Práctico 7 Arquivo

Mecánica Analı́tica
Curso 2016
Práctico 7
Transformaciones canónicas
1. Dado un sistema con un solo grado de libertad considere la transformación en el
espacio de fases:
1
Q = ln
sen(p)
P = q cot(p)
q
a. Demuestre que es canónica calculando los paréntesis de Poisson entre las variables
Q y P.
b. Halle la función generatriz F = F (q, p).
2. Sea un sistema con un solo grado de libertad. Calculando paréntesis de Poisson muestre
que una rotación en el espacio de fases:
p
sen α
P = −aq sen α + p cos α
a
donde a es una constante, es una transformación canónica. Halle la función generatriz
F = F (q, p) correspondiente.
Q = q cos α +
3. Sea un sistema con un solo grado de libertad y considere una transformación invertible en el espacio de fases ξ → η = η(ξ, t) no necesariamente canónica. Demuestre la
siguiente relación entre los paréntesis de Poisson y de Lagrange: [ξa , ξa ]η = {ηa , ηb }ξ .
4. Para un sistema con dos grados de libertad considere la transformación:
Q1 = q1
Q2 = p 2
P1 = p1 − 2p2
P2 = −2q1 − q2
a. Note que ηa = Aai ξi y halle la matriz A = (Aai ).
b. Usando paréntesis de Lagrange demuestre que la transformación es canónica.
c. Halle la función generatriz F (q, p, t).
Nota: Es conveniente trabajar en notación simpléctica.
5. Para un sistema con n grados de libertad, se tiene la siguiente transformación de
coordenadas en el espacio de fases: ξ → η = Aξ donde A es una matriz constante.
a. Halle qué relación matricial debe satisfacer A para que la transformación sea
canónica.
n 0n
b. Suponga que A = bI
0n cIn donde b y c son números constantes. Halle cómo deben
relacionarse b y c para que la transformación sea canónica. Escriba la transformación en
la notación q, p (esta transformación es una dilatación).
1
c. Para la transformación de b) halle la función generatriz F = F (q, p) correspondiente.
6. Sean dos transformaciones canónicas sucesivas de tipo 1, (q, p) → (Q, P ) y (Q, P ) →
(Q0 , P 0 ) y sean F1 (q, Q, t) y G1 (Q, Q0 , t) las funciones generatrices de tipo 1 correspondientes. Demuestre por cálculo directo que W1 (q, Q, t) ≡ (F 1 + G1)|Q=Q(q,Q0 ,t) genera la
transformación canónica de tipo 1: (q, p) → (Q, P ).
7. Sea ξ → η(ξ, t) una transformación canónica para un sistema de Hamiltoniano H(ξ, t).
a. Suponga que la transformación canónica es de tipo 1 y está generada por F1 =
F1 (q, Q, t). Suponga también que se pueden tomar como independientes las variables
(q, P ). Por medio de una transformación de Legendre pase de una descripción en las
variables (q, Q) a las variables (q, P ), i.e., encuentre F2 y las ecuaciones que permitan
hallar Qa , pa y K en términos de F2 .
b. Suponga ahora que la transformación canónica es de tipo 1 y tipo 3. Pase de las
ecuaciones tipo 1 a las tipo 3 por medio de una Transformación de Legendre.
c. Por medio de una transformación de Legendre pase de tipo 2 a tipo 4.
8. Sea ξa → ηa = ξa + χa (ξ, t) una transformación de coordenadas en el espacio de fases
tal que es un parámetro infinitesimal.
a. Calcule el paréntesis de Lagrange [ξa , ξb ]η y demuestre que la transformación es
∂w
canónica a primer orden en si y sólo si existe w = w(ξ, t) tal que χa = γab ∂ξ
. Nota: A
b
esta transformación se le llama transformación canónica infinitesimal.
∂w
b. Dada la transformación canónica infinitesimal ηa = ξa + γab ∂ξ
:
b
b1. Demuestre que para cualquier función f = f (ξ, t) se cumple que:
δ f ≡ f (η, t) − f (ξ, t) = {f (ξ, t), w(ξ, t)}ξ
b2. Escriba la transformación en notación (q, p) y halle su función generatriz de tipo
2 (a primer orden en ).
9. Sea (q, p) → (Q, P ) una transformación canónica con función generatriz F (q, p, t) para
un sistema de dos grados de libertad. Se dice que esta transformación es de tipo mezcla si
el espacio de fases se puede describir con las variables (q1 , Q1 , p2 , P2 ). Conocida F , halle
la correspondiente función generatriz del tipo mezcla, FM = FM (q1 , Q1 , p2 , P2 , t), tal que
K = H + ∂FM /∂t. Halle también las ecuaciones que permiten obtener (p1 , P1 , q2 , Q2 ) a
partir de FM .
2
10. Sea (q, p) → (Q, P ) una transformación canónica de tipo 1.
a. Demuestre que la transformación es canónica si y solo si existe una función g(q, t)
que satisface Qa (q, p, t) = Bpa + ∂g(q, t)/∂qa , donde B es una constante que debe determinarse.
b. Si la transformación (q, p) → (Q, P ) es canónica, demuestre que existe f = f (Q, t)
que satisface Pa (q, Q, t) = Cqa + ∂(Q, t)/∂Qa , donde C es otra constante que debe determinarse. Dadas las funciones f y g halle la función generatriz de tipo 1, F1 (q, Q, t),
asociada a la transformación canónica (q, p) → (Q, P ).
11. Para un sistema con dos grados de libertad se define la siguiente transformación en
el espacio de fases:
Q1 = q12 ,
Q2 = q1 + q2 ,
Pa = Pa (q, p),
a ∈ {1, 2}.
a. Se quiere que esta transformación sea canónica con función generadora F (q, p, t).
Complete la transformación encontrando las expresiones generales para los Pa en función
de q, p y de las derivadas parciales de F . ¿Depende F de todas las coordenadas canónicas
q y p?
b. Use la transformación anterior con una elección particular de los momentos Pa y
muestre que el Hamiltoniano:
H(q, p) =
p1 − p2
2q1
2
+ p2 + (q1 + q2 )2
se transforma en K(Q, P ) = P12 + P2 . Resuelva las ecuaciones de movimiento en las
variables (Q, P ) y a partir de ellas obtenga las funciones qa (t).
12. En un espacio de fases de dimensión 2 considere la transformación de coordenadas:
Q = f (q) cos(βp)
P = f (q) sen(βp)
donde f (q) es una función arbitraria, β es una constante positiva y q > 0. Encuentre
la forma general que debe tener f (q) para que la transformación sea canónica. En ese
caso halle la función generadora F3 (p, Q). Verifique que ∂ 2 F3 /∂p∂Q 6= 0.
13. El hamiltoniano de un sistema está definido por:
1 1
2 4
H=
+p q
2 q2
a. Halle la ecuación de movimiento para q.
b. Encuentre una transformación canónica que cambie H a la forma de un oscilador
armónico. Muestre que en las variables transformadas la solución es tal que se verifica
3
la ecuación de movimiento hallada anteriormente.
14. Una partı́cula con carga e y masa m en un campo electromagnético tiene el hamiltoniano:
H=
1
~ 2 + eφ
(~
p − eA)
2m
~ x, t) y φ(~x, t) son los potenciales vector y escalar. Bajo una transformación
donde A(~
de gauge del campo dada por una función f (~x, t):
~→A
~0 = A
~ + ∇f
A
φ → φ0 = φ −
∂f
∂t
~ no cambia. b. Muestre que es una transformación canónica y
a. Muestre que p~ − eA
determine una función generatriz F2 (~x, P~ , t).
15. Para un sistema de un grado de libertad considere la transformación canónica
(q, p) → (Q, P ) con función generadora tipo-3 F3 (p, Q) = −(eQ − u)2 tg(p) y variables
que satisfacen las condiciones
π
π
≤p≤
2
2
Halle la transformación {Q = Q(q, p), P = P (q, p)} y la función generadora de la
misma F (q, p, t).
−
Q > ln u
16. Considere un sistema con n grados de libertad y variables canónicas (q, p).
a. Halle la transformación canónica que se obtiene a partir de la función generadora
de tipo-1 F1 (q, Q) = qa Qa . Para esta transformación encuentre la función generadora de
tipo-4 F4 (p, P ).
b. Halle la transformación canónica que se obtiene a partir de la función generadora
de tipo-2 F2 (q, P ) = qa Pa . Para esta transformación encuentre la función generadora de
tipo-3 F3 (Q, p).
4