CAPı́TULO 8
Dualidad
1.
Dual de una transformación lineal
En este capı́tulo volveremos a considerar el tema de la dualidad de espacios vectoriales.
©
∗
Se recuerda que si V es un espacio
vectorial,
definimos
el
dual
como
V
=
f :V →
ª
k : f es una transformación lineal .
En el caso en que V tiene dimensión finita y B = {e1 , . . . , en } es una base, denotamos
la base dual como B ∗ = {e∗1 , . . . , e∗n }, ver Definición 4.4.18. Recordar que la propiedad
más importante de la base dual es que se verifican las siguientes igualdades para todo
v ∈ V y para todo f ∈ V ∗ (ver Lema 4.4.19).
v=
X
e∗i (v)ei
i
f=
X
f (ei )e∗i
i
Denotemos V a la familia de todos los espacios vectoriales, que consideramos simultáneamente con la famila de todas las transformaciones lineales entre todos los espacios vectoriales. Decimos que estamos considerando la categorı́a de todos los espacios
vectoriales.
La dualidad se puede pensar como una construcción en la categorı́a V. Para esto
necesitamos completar la definición y considerar el dual de una transformación lineal.
Definición 8.1. Sean V y W espacios vectoriales y sea T : V → W una transformación lineal. Definimos una nueva transformación lineal T ∗ : W ∗ → V ∗ de la siguiente
forma: T ∗ (f ) = f ◦ T si f ∈ W ∗ .
Observación 8.2. (1) Es de destacar que para verificar la correctitud de la definición
anterior es necesario probar dos linealidades. La primera es probar que T ∗ (f ) ∈ V ∗ o sea
necesitamos verificar que T ∗ (f ) es una transformación lineal. Esto es consecuencia del
hecho de que T ∗ (f ) = f ◦ T y que esta última es una composición de transformaciones
lineales. La segunda es verificar que T ∗ es lineal. En ese caso necesitamos probar que si
f, g ∈ W ∗ y a ∈ k, entonces (af + g) ◦ T = af ◦ T + g ◦ T . Esta propiedad se deduce de
la definición de af + g ∈ W ∗ .
¡
¢
(2) En términos explı́citos, podemos decir que T ∗ (f )(v) = f T (v) .
63
64
8. DUALIDAD
(3) La funcional lineal T ∗ (f ) : V → k se puede caracterizar como la única funcional
lineal que hace el diagrama de abajo conmutativo.
T ∗ (f )
V A
AA
AA
A
T AA
Ã
W
/k
~>
~
~~
~~ f
~
~
La construcción del dual verfica las dos siguientes propiedades que se pueden abreviar
diciendo que el dual es un functor contravariante.
Lema 8.3. Sean V, W, U espacios vectoriales y T : V → W , S : W → U transformaciones lineales. Entonces:
(1) (S ◦ T )∗ = T ∗ ◦ S ∗ ;
(2) (IdV )∗ = IdV ∗
∗
∗
Demostración.
¡ ∗ (1)¢Sea f∗ ∈ U , entonces (S ◦ T ) (f ) = f ◦ (S ◦ T ). Por otro lado
∗
∗
(T ◦ S )(f ) = T S (f ) = T (f ◦ S) = (f ◦ S) ◦ T . El resultado buscado se deduce de
la asociatividad de la composición de funciones.
(2) La demostración de esta propiedad es simple y queda como ejercicio.
¤
∗
2.
Dualidad y matrices asociadas
A continuación calculamos la matriz asociada a T ∗ en las bases duales, en términos
de la matriz asociada a T en las bases dadas.
Definición 8.4. Si A ∈ Mm×n es una matriz definimos la matriz transpuesta At ∈
Mn×m como la matriz que se obtiene a partir de la matriz A intercambiando filas por
columnas.
Observación 8.5. (1) Podemos interpretar el mapa A Ã At : Mm×n → Mn×m como
una transformación lineal que cuando la aplicamos dos veces da la identidad. Eso se debe
a que la transpuesta de una suma de matrices es la suma de las transpuestas y que la
transpuesta del múltiplo escalar de una matriz es el múltiplo escalar de la transpuesta.
Además si intercambiamos columnas por filas y luego nuevamente columnas por filas,
volvemos a la matriz original.
(2) Si la matriz es cuadrada, al transponerla obtenemos una matriz cuadrada que es la
simétrica de la primera con respecto a la diagonal principal. Claramente la transpuesta
de la identidad es la identidad.
(3) Una matriz se dice simétrica si coincide con su transpuesta y se dice antisimétrica si
es la opuesta de su transpuesta.
(4) Probaremos más adelante –se podrı́a también verificar directamente– que la transpuesta de un producto es el producto de las transpuestas en el orden inverso. O sea,
(AB)t = B t At , ver Corolario 8.7.
Teorema 8.6. Sea T : V → W una transformación lineal entre espacios de dimensión finita y sean B = {e1 , . . . , en } una base de V y C = {f1 , . . . , fm } una base de W . Sean
¡
¢t
∗
} las bases duales. Entonces B∗ [T ∗ ]C ∗ = C [T ]B .
B ∗ = {e∗1 , . . . , e∗n } y C ∗ = {f1∗ , . . . , fm
3. PROPIEDADES DE T VS. PROPIEDADES DE T ∗
Demostración. Si escribimos C [T ]B = (aij )1≤i≤m , y
1≤j≤n
B∗
65
[T ∗ ]C ∗ = (bji ) 1≤i≤n tenemos
1≤j≤m
∗
que T (ej¡) = a1j¢f1 + · · · + amj fm . Si evaluamos
anterior
en
¡ ∗la igualdad
¢
¡P
¢ fi obtenemos que
∗
∗
∗
aij = fi T (ej ) Por otro lado tenemos que T (fi ) (ej ) =
bti et (ej ) = bji , de donde
bji = aij .
¤
Corolario 8.7. (1) Si A es una matriz, entonces (LA )∗ = LAt .
(2) Si A ∈ Mm×n y B ∈ Mn×l , entonces (AB)t = B t At .
Demostración. (1) es inmediato.
(2) se deduce de (1) y del hecho que LAB = LA ◦ LB .
3.
¤
Propiedades de T vs. propiedades de T ∗
Las siguientes propiedades, relacionan la inyectividad y suryectividad de una transformación lineal con las correspondientes propiedades de su transformación lineal dual.
Teorema 8.8. Sean V y W espacios vectoriales y T : V → W una transformación
lineal.
(1) Si T es sobreyectiva entonces T ∗ : W ∗ → V ∗ es inyectiva. Más aún, si dim W < ∞
y T ∗ es inyectiva, entonces T es sobreyectiva.
(2) Si dim V < ∞ y dim W < ∞, entonces T es inyectiva si y sólo si T ∗ es sobreyectiva.
Demostración. (1) Supongamos que T ∗ (f ) = 0 para f ∈ W ∗ . En ese caso deducimos que f ◦ T = 0, y como T es sobreyectiva concluı́mos que f = 0.
El recı́proco, aunque vale en general, lo enunciamos y lo probamos sólo en el caso de
dimensión finita.
Consideremos Im(T ) ⊂ W . Si T no es sobreyectiva, entonces Im(T ) ( W y el Corolario 3.3.31 nos garantiza que existe un complemento directo N 6= {0} de Im(T ) (ver Definición 3.3.30). Sea α : N → k, una funcional lineal no nula –que existe porque la dimensión
de N y la de N ∗ coinciden y la primera es positiva-. Definimos f : W = Im(T ) ⊕ N → k,
de la siguiente forma: f (w + n) = α(n). Este mapa f es una funcional lineal no nula en
W tal que f |Im(T ) = 0, es decir T ∗ (f ) = 0. Eso quiere decir que T ∗ no es inyectiva.
(2) Supongamos que T ∗ es sobreyectiva, y sea 0 6= v ∈ V tal que T (v) = 0. Consideremos
una¢ base {v1 , v2 , . . . , vn } de V , con v1 = v. Entonces v1∗ (v) = 0, pero T ∗ (f )(v) =
¡
f ∗ T (v) = 0 para todo f ∈ W ∗ , luego v1∗ no está en la imagen de T ∗ y entonces T ∗ no
es sobreyectiva. Esto es una contradicción a menos que no exista v no nulo en el núcleo
de T , o sea a menos que T sea inyectiva.
Recı́procamente, supongamos que T es inyectiva; si f : V → k es un funcional lineal,
queremos construir g : W → k lineal que verifique©que g ◦ T = f . ªSi {v1 , . . . , vn } es
una base de V , como T es inyectiva es claro que T (v1 ), . . . , T (vn ) es una base de
T (V ). Si completamos esta base con los vectores wn+1 , . . . , wm hasta
formar
una base
¡
¢
∗
de¡ W podemos
definir
g
:
W
→
k
∈
W
de
la
siguiente
forma,
g
T
(v
)
=
f
(v
1
1 ), . . . ,
¢
g T (vn ) = f (vn ), g(wn+1 ) = 0, . . . , g(wm ) = 0. Es evidente que f = g ◦ T .
¤
Observación 8.9. (1) En el teorema anterior la hipótesis sobre las dimensiones de los
espacios no es necesaria. En efecto, sabemos que siempre es posible extender un conjunto
66
8. DUALIDAD
linealmente independiente a una base de un espacio vectorial. Consecuentemente siempre
se puede encontrar el complemento de un subespacio cualquiera de un espacio vectorial.
(2) Veremos más adelante (ver Teorema 8.12) una generalización de este resultado.
4.
Correspondencia entre subespacios de V y de V ∗
Estudiaremos a continuación la relación entre los subespacios de un espacio vectorial
y los de su dual.
Definición 8.10. (1) Sea V un espacio vectorial y W ⊂ V un subespacio. Se define
el anulador o perpendicular de W en V ∗ , W ⊥ ⊂ V ∗ de la siguiente forma: W ⊥ = {f :
V → k ∈ V ∗ : f |W = 0}.
(2) Sea X ⊂ V ∗ un subespacio del dual de V , se define X ⊥ ⊂ V de la siguiente forma:
X ⊥ = {v ∈ V : f (v) = 0 para todo f ∈ X}.
Es fácil probar a partir de las definiciones anteriores que W ⊥ es un subespacio de V ∗
y que X ⊥ es un subespacio de V .
Lema 8.11. Sea V un espacio vectorial y W ⊂ V un subespacio. Entonces la proyección canónica π : V → V /W induce un isomorfismo π ∗ : (V /W )∗ → W ⊥ ⊂ V ∗ .
Demostración. La aplicación π ∗ : (V /W )©∗ → V ∗ es injectiva – como se deduce del
∗
teorema
ª anterior – y su imagen es Im(π ) = f : V → k : existe g : V⊥/W → k, f =
g ◦ π . Claramente una transformación lineal de la forma g ◦ π está en W pues se anula
en W . Recı́procamente, si tenemos una transformación lineal f : V → k que está en W ⊥
, usando la propiedad universal del cociente deducimos que existe g : V /W → k tal que
f = g ◦ π. En definitiva, hemos probado que Im(π ∗ ) = W ⊥ .
¤
Teorema 8.12. Sean V y W espacios vectoriales de dimensión finita y T : V → W
una transformación lineal.
¡
¢∗
(1) N(T ∗ ) ∼
= W/ Im(T ) .
¡
¢∗
(2) Im(T ∗ ) ∼
= V / N(T ) .
Demostración. (1) Observemos que N(T ∗ ) = {f ∈ W ∗ :¡ f ◦ T = 0}¢ = {f ∈ W ∗ :
∗
f |Im T = 0}. Aplicando el Lema 8.11, deducimos que N(T ∗ ) ∼
= W/ Im(T ) .
(2) Si probamos que f ∈ Im(T ∗ ) si y sólamente si f |N(T ) = 0, el resultado se deduce
aplicando nuevamente el Lema 8.11.
Por definición, Im(T ∗ ) = {f ∈ V ∗ : ∃ g ∈ W ∗ , g ◦ T = f }. Luego, si f = g ◦ T ∈
Im(T ∗ ) y v ∈ N(T ), entonces f (v) = g ◦ T (v) = g(0) = 0. Recı́procamente, si f |N(T ) = 0,
entonces f induce una funcional lineal fe : V / N(T ) → k. Por otro lado, T induce un
isomorfismo Te : V / N(T ) → Im(T ); sea S : Im(T ) → V / N(T ) su inversa. Entonces
g = f ◦ S : Im(T ) → k es tal que g ◦ T = (f ◦ S) ◦ T = f . Razonando como antes
extendemos g : Im(T ) → k a una funcional ge : W → k ∈ W ∗ Entonces ge ∈ W ∗ es la
funcional lineal buscada, o sea una funcional que verifica que T ∗ (e
g ) = f y que garantiza
que f ∈ Im(T ∗ ).
¤
Observación 8.13. Nuevamente, obsérvese que la hipótesis en las dimensiones es
sólo técnica, obedeciendo a que no tenemos probado extensión de bases en dimensión
infinita.
6. DOBLE DUAL
5.
67
Rango de T y rango de T ∗
Estamos ahora en condiciones de probar que el rango por filas de una matriz es igual
al rango por columnas.
Corolario 8.14. Sea T : V → W una transformación lineal entre espacios vectoriales de dimensión finita. Entonces r(T ) = r(T ∗ ). En particular, el rango por filas de
una matriz es igual al rango por columnas.
Demostración. En efecto,
¡
¢∗
dim Im(T ∗ ) = dim V / N(T ) = dim V / N(T ) = dim Im(T ) .
¡
¢
Si A es una matriz, entonces rc(A) = r(LA ) = r (LA )∗ = rc(At ) = rf(A). La
penúltima igualdad se demuestra aplicando el Teorema 8.7.
¤
6.
Doble dual
En esta sección estudiaremos la relación entre un espacio vectorial V y su doble dual
V .
La construcción – functor – que realizamos en V y que a un espacio vectorial le asocia
su dual, podemos iterarla. De esta forma tenemos otro functor V → V, tal que V Ã V ∗∗
y T : V → W Ã T ∗∗ : V ∗∗ → W ∗∗ .
Es importante notar que si bien la construcción del dual es contravariante en el
sentido que intercambia el dominio con el codominio, al iterarla se hace covariante y a
T : V → W le corresponde T ∗∗ : V ∗∗ → W ∗∗ .
El doble dual está ligado con el espacio original mediante un mapa natural que
pasamos a definir.
∗∗
Definición 8.15. Sea V un espacio vectorial, se define jV : V → V ∗∗ de la siguiente
forma: jV (v)(f ) = f (v) para toda f ∈ V ∗ .
Lema 8.16. (1) Para todo V el mapa jV definido arriba es lineal e inyectivo. (2)
Para toda transformación lineal T : V → W , el digrama de abajo conmuta.
V
T
jV
²
W
/ V ∗∗
²
jW
T ∗∗
/ W ∗∗
Demostración. (1) Debemos en primer lugar observar que si v ∈ V entonces
jV (v) ∈ V ∗∗ . Eso quiere decir que para todos a, b ∈ k y para todo f, g ∈ V ∗ , jV (v)(af +
bg) = ajV (v)(f )+bjV (v)(g). Se verifica directamente que jV (v)(af +bg) = (af +bg)(v) =
af (v) + bg(v) = ajV (v)(f ) + bjV (v)(g).
Además queremos probar que jV es lineal o sea que jV (av + bw) = ajV (v) + bjV (w)
para a, b ∈ V y v, w ∈ V . Si evaluamos en f ∈ V ∗ tenemos que: jV (av + bw)(f ) =
f (av + bw) = af (v) + bg(w) = ajV (v)(f ) + bjV (w)(f ). La inyectividad de V se prueba de
la siguiente forma: v ∈ N(jV ) si y solo si f (v) = 0 para todo f ∈ V ∗ . Queremos probar
que si 0 6= v ∈ V , entonces existe una funcional lineal f ∈ V ∗ tal que f (v) 6= 0. Para
68
8. DUALIDAD
ello, dado v 6= 0 consideramos el subespacion hvi ⊂ V y un complemento L ⊂ V . O sea
L ⊂ V es un subespacio tal que hvi ⊕ L = V .
Usando la propiedad universal de la suma directa definimos una transformación lineal
f : V → k tal que f (av) = a para a ∈ k y f (w) = 0 para todo w ∈ L. Explı́citamente, f
se caracteriza por la igualdad f (av + w) = a, si a ∈ k y w ∈ L. La transformación lineal
f : V → k verifica que f (v) = 1.
(2) Queremos probar que T ∗∗ ◦ jV = jW ◦ T . Si calculamos
de esa
¡
¢ el primer miembro
∗∗
∗∗
∗
igualdad a v ∈ V obtenemos que (T ◦ jV )(v) = T (jV )(v) =¡jV (v)¢◦ T . Si evaluamos
ahora en g ∈ W ∗∗ tenemos que (jV (v)◦T ∗ )(g) = jV (v)(g◦T ) = g T (v) . Si procedemos
¡
¢ en
la¡ misma
¢ forma con el segundo miembro obtenemos que (jW ◦ T )(v)(g) = jW T (v) (g) =
g T (v) . De ahi deducimos lo que queremos probar.
¤
Observación 8.17. (1) La segunda conclusión del teorema anterior es la llamada
condición de naturalidad del mapa j. Esa condición expresa de manera formal el hecho
de que en la definición de jV entran como ingredientes tan sólo las estrucuturas básicas
del espacio V .
(2) Esta condición de naturalidad no se verifica en otras situaciones. Por ejemplo para
espacios de dimensión finita, existe siempre un isomorfismo iV : V ∼
= V ∗ , pero este
isomorfismo no es natural en V porque en general no se cumple la conmutatividad del
diagrama
V
T
iV
T∗
²
W
/ V∗
O
iW
/ W∗
La conmutatividad del diagrama falla porque para definir iV necesitamos elegir una
base en V y la elección de esa base es arbitaria.
Corolario 8.18. En la notación de arriba, si V tiene dimensión finita el mapa jV
es un isomorfismo.
Demostración. Si la dimensión de V es finita, la de V ∗ también e igual a la de V .
Consecuentemente V ∗∗ es un espacio vectorial de la misma dimensión que V . Como jV
es inyectiva deducimos que también es sobreyectiva.
¤
Observación 8.19. (1) Se verifica, pero la demostración de este resultado está fuera
del alcance de este curso, que si jV es un isomorfismo, entonces V tiene dimensión finita.
O sea que el corolario anterior admite un recı́proco.
(2) Si V tiene dimensión finita y {e1 , . . . , en } es una base si consideramos la base dual
∗∗
∗∗
{e∗1 , . . . , e∗n } ⊂ V ∗ y la dual nuevamente {e∗∗
1 , . . . , en } ⊂ V , se puede probar que
jV (ei ) = e∗∗
i .
