Repaso general Fracciones parciales Raíces con multiplicidad Octave

Fracciones parciales
Repaso general
Representar una fracción de polinomios como
una sumatoria de fracciones más simples con
k
polinomios de menor grado: P (x) X
pi (x)
=
.
Q(x)
q (x)
i=1 i
Típicamente buscamos por algo de este tipo:
P (x)
a1
ak
=
+ ... +
.
Q(x)
x + b1
x + bk
Raíces con multiplicidad
Si r es una raíz de Q(x) que tiene multiplicidad
k > 1, habrá una fracción en el desarrollo de
sumatoria para cada (x - r)i para i ∈ [1, k].
Octave
Chequen la función residue.
Cuenta con otras manipulaciones útiles
de polinomios además de esa.
Convolución
Análisis complejo
Parte real y/o parte imaginaria
f (t) · g(t) = g(t) · f (t) =
Z
Variable: s = σ + j ω (no olviden que j2 = -1)
t
f (t
⌧ )g(⌧ ) d⌧
0
Función: G(s) = Gx + jGy
Magnitud: √(Gx2 + Gy2)
Ángulo: tan-1(Gy/Gx)
Complejo conjugado: G(s) = Gx - jGy
Función exponencial
Más series de potencias
Una de sus múltiples definiciones:
1
X xi
x2
x3
e =1+x+
+
+ ... =
2!
3!
i!
i=0
x
cos ✓ = 1
✓2
✓4
+
2!
4!
✓6
+ ...
6!
sin ✓ = ✓
✓3
✓5
+
3!
5!
✓7
+ ...
7!
=
1
X
( 1)i
✓2i
(2i)!
( 1)i
✓2i+1
(2i + 1)!
i=0
=
1
X
i=0
“Magia”
cos ✓ + j sin ✓ =
Teorema de Euler
1
X
(j✓)i
cos ✓ + j sin ✓
cos ✓ j sin ✓
i!
i=0
Más “magia”
cos ✓
sin ✓
=
=
= ej✓
= e j✓
Función analítica
1 j✓
2 (e
+e
1 j✓
2 (e
e
j✓
j✓
)
)
Definida dentro de una región específica del
plano complejo.
Se requiere que G(s) y todas las D[G(s)] existen
para cualquier punto complejo dentro de esa
región.
Aquí D[G(s)] es la (primera) derivada de G(s).
Derivada
D[G(s)] = G0 (s) =
G(s + s)
d
G(s) = lim
s!0
ds
s
El acercamiento al cero puede tomar lugar por una cantidad
infinita de trayectorias en el plano complejo.
Nos concentramos en dos maneras: en paralelo al eje real
(Δs = Δσ) o en paralelo al eje imaginario (Δs = jΔω).
Si estos dos son iguales (dentro de una región), la derivada
existe (en esa región) y es única para cualquier Δs = Δσ +
jΔω.
Condiciones Cauchy-Riemann
@Gx
@
=
@Gy
@!
@Gy
@
=
@Gx
@!
Para la existencia de una derivada única.
Ojo, son derivadas parciales...
Practicar
Sin libro, sin internet. Con un compañero.
Singularidad
Un punto donde una función compleja no es
analítica.
Chequen en qué parte(s) del plano complejo
aplican las condiciones Cauchy-Riemann para
G(s) = (s + 1)-1.
Los demás son puntos ordinarios.
¿Cuál es la derivada?
Aquellas singularidades donde la función es igual
a cero se llaman, pues, ceros.
Aquellas singularidades donde la función y/o su
derivada tiende a infinito es un polo.
Multiplicidad de ceros
Practicamos más
Búsquen los ceros y sus órdenes para
(lim s → -p G(s) = ∞ ⋀ |G(s)(s + p)n | ≠ ∞)
⇒
(s = -p es un polo de orden n)
G(s) =
K(s + 2)(s + 10)
s(s + 1)(s + 5)(s + 15)2
Si n = 1, el polo es simple.
donde K es una constante.
Sistemas dinámicos
Ecuaciones diferenciales
Comportamiento descrito como función de
tiempo.
Tiempo continuo:
Ecuaciones diferenciales.
Tiempo discreto:
Mapas iteradas (= ecuaciones de diferencia).
Strogatz: Nonlinear Dynamics and Chaos, 1994.
Ordinaria vs. parcial
Si hay una sola variable cuyas derivadas aparecen en la
ecuación diferencial, es una ecuación ordinaria; se
usa típicamente el símbolo d para la derivada.
Un punto encima de una variable indica su derivada
en el tiempo:
d
dx
ẋ = x
dt
=
dt
.
Si hay derivadas de más de una variable, es una
ecuación diferencial parcial; se utiliza otro símbolo
por lo general para distinguir, ∂.
Condición inicial
La solución siempre es referente a una condición
inicial, o sea, el estado del sistema cuando t = 0,
desde el cual se comienza el comportamiento
dinámico.
Ocupamos conocer/fijar los valores de todas las
funciones fi(t) para t = 0.
Sistema típico
x˙1
=
..
.
f1 (x1 , . . . , xn ),
x˙n
=
fn (x1 , . . . , xn ).
El sistema es lineal si todas las fi(...) lo son.
Espacio de fases
La “curva” formada por el avance de tiempo se conoce
como una trayectoria.
Ya que cualquier punto podría ser un punto inicial,
las trayectorias posibles definen un espacio que se
conoce como el espacio de fases del sistema.
La cantidad de variables n es la dimensión del
sistema.
Solución
Primer orden
Analítica:
Matemáticamente derivar la función de tiempo desde
la descripción del sistema.
Numérica:
Calcular una solución con algoritmos específicos de
solución numérica para rastrear una trayectoria sin
conocer la solución analítica.
Una sola variable, n = 1;
ẋ = f (x).
Por lo general separamos la derivada de la
variable e integramos para resolver este tipo de
ecuaciones.
La constante de integración se resuelve a partir
de las condiciones iniciales.
Euler, Runge-Kutta, etc.
Forma matricial
Para órdenes mayores a uno, la representación
matricial de sistemas lineales es útil y común:
ẋ = Ax.
Campo vectorial
En muchas ocasiones es fácil, informativo y
suficiente visualizar las trayectorias (o
calcularlos a través de métodos numéricos) en
vez de resolver el sistema tal cual.
Determinamos para una rejilla de puntos la
dirección y velocidad de desplazamiento.
Ahora las trayectorias mueven en híperplanos;
no son fáciles de visualizar para n > 2.
Puntos estables e inestables.