∫u ∫eu du= ∫ dx=∫

INTEGRACION POR SUSTITUCIÓN
∫  3 x5 dx.
Hallar
Solución
du
=3 y
dx
Se escoge u=3 x5 de modo que
du=3 dx o
3
1
1
dx= du. Al sustituir,
3
3
1
1
1 u2
2
2
3
x5
dx=
u
du=
u
du=
C = u 2 C Al volver a


∫
∫ 3
∫
3
3 3
9
2
tenemos:
x u=3 x5 :
3
2
∫  3 x5 dx= 9 3 x5 2 C
Hallar
∫ xe x −1 dx
2
solución
El problema se reescribe así:
2
∫ e x −1 x dx
2
. (Esto está sugerido por el hecho de que
2
d  x −1
d  x −1
= x dx Entonces sea u= x 2−1 con
=2 x , con d  x 2−1=2 x dx o
dx
2
du
1
1 u
x −1
u 1
u
= x dx . Al sustituir, tenemos: ∫ xe
dx=∫ e du= ∫ e du= e C
2
2
2
2
1 x −1
x −1
regresando a los x, ∫ xe dx= 2 e C
2
2
2
x
Hallar
∫ e xe1 dx
solución
du
x
x
=e o du=e dx. Al sustituir, tenemos que
dx
x
e
du
ex
∫ e x 1 dx=∫ u =ln uC regresando a los x, ∫ e x 1 dx=ln∣1e x∣C
x
Sea u=1e , con
Hallar
∫ tan x sec3 x dx
solución
d sec x
=sec x tan x de modo que se reescribe el problema:
dx
∫ tan x sec3 x dx=∫ sec 2 x sec x tan x dx Entonces la sustitución es fácil:
u3
u=sec x , du=sec x tan x dx , y ∫ sec 2 x sec x tan x=∫ u 2 du= C finalmente:
3
3
sec x
∫ tan x sec3 x dx= 3 C
Hay que recordar que
Hallar
cos x
dx
∫ 5sen
x
solución
Hacemos el cambio:
5sen x=v  cos x dx=dv y la integral queda:
de x:
cos x
∫ 5sen x dx=ln∣5sen x∣C
Hallar
I =∫
dv
=ln∣v∣C volviendo a términos
v
.
1
∫ 1x 2 tan−1 x dx
solución
−1
Hacemos el cambio tan x=u 
dx
=du haciendo la sustitución nos queda:
2
1x
1
du
dx=∫ =ln∣u∣C =ln∣tan−1 x∣C
∫ 1 x 2 tan
−1
u
x
Hallar
∫
solución
dx
x ∗ 4− x 2
2
Sacando el factor común en el radicando:
∫
dx
x ∗ 4−x
2
2
=∫

dx
x 2∗ 41−
2
x

4
=
1
∫
2

dx
x 2 hacemos el cambio:
x 2∗ 1− 
2
x
2
2
2
=u  x=2 u  x =2 u =4 u
2
du
dx
=du  dx=2 du lo cual nos quedaría: I =∫ 2
2 y haciedo un nuevo cambio
2
4 u ∗ 1−u
x
u=cos t  t=cos−1 u=cos−1  
2
du=−sen t dt lo cual nos queda haciendo las respectivas sustituciónes:
−sen t dt
I =∫
utilizando que sen t=  1−cos t 2  nos quedaría:
2
2
4 cost  ∗ 1−cost  
−sen t dt
dt
−1
dt
1
1
I =∫
=−∫
= ∫
=− tan t C =− tan cos−1 uC
2
2
2
2
4
4
4
4 cost 
cost 
4 cost  ∗ 1−cost 
sustituyendo en la ecuación original tendríamos:
∫
dx
1
x
=− tan cos−1  C
4
2
x ∗ 4−x
2
2