ANTENAS 1 Potencial de una carga Una carga Q está situada en el origen de coordenadas. Obtener el potencial en todos los puntos del espacio, y representar gráficamente el potencial en el intervalo 0.1 m a 1 m en los siguientes casos a) La carga no varía con el tiempo b) La carga varía en forma armónica, a una frecuencia de de 1GHz. Representar gráficamente el potencial para distintos instantes del período. c) La carga toma el valor Q en el tiempo comprendido entre 0 y 1ns Representar gráficamente el potencial para t=1.5ns, y t=3ns Solución Potencial en estática La expresión para el potencial es Φ= 1 G G G G (r , r ') ρ (r ')dv ' ε ∫∫∫ v' La función de Green en el espacio libre G G − jk r − r ' e e − jkR G G G (r , r ') = = G G 4π r − r ' 4π R En el caso de una carga situada en el origen, en el caso k=0, la expresión del potencial y la gráfica normalizada son: Φ= Q 4πε r 10 10 8 6 1 r 4 2 1 0 0.1 r 1 © Miguel Ferrando, Alejandro Valero. Dep. Comunicaciones. Universidad Politécnica de Valencia ANTENAS 2 Potencial, variación armónica Particularizando en el caso indicado, el potencial es Q Φ(r ) = e − jkr 4πε r Q ⎛ Q − jkr jω t ⎞ e e ⎟= Φ (r , t ) = Re ⎜ cos (ω t − kr ) ⎝ 4πε r ⎠ 4πε r Frecuencia Pulsación Longitud de Onda Cte. Propagación Período f=1 GHz ω=2πf λ=1/f k=2π/λ T=1/f = 1ns La representación gráfica del potencial en distintos instantes del período es t=0 t=T/4 t=T/2 t=3T/4 10 10 6 Φ ( r , 0) ⎛ ⎝ T⎞ Φ ⎛⎜ r , T⎞ 2⎠ Φ ⎜ r, ⎝ 4⎠ ⎛ 3T ⎞ Φ ⎜ r, ⎝ 4 ⎠ 2 2 6 − 10 10 0.1 r 1 © Miguel Ferrando, Alejandro Valero. Dep. Comunicaciones. Universidad Politécnica de Valencia ANTENAS 3 Potencial, variación con el tiempo La expresión del potencial escalar retardado es G G r −r ' G ρ (r ', t − ) G c Φ (r , t ) = ∫∫∫ dv ' G G 4πε r − r ' v' La expresión se simplifica en el caso de tener una sóla carga situada en el origen. r Q(t − ) c Φ (r , t ) = 4πε r La representación gráfica del potencial en función de la distancia, para t=1.5 ns. Y t=3 ns es: 10 10 6 Φ1( r , 1.5T ) 2 Φ1( r , 3 ⋅T ) 2 6 − 10 10 0.1 r 1 © Miguel Ferrando, Alejandro Valero. Dep. Comunicaciones. Universidad Politécnica de Valencia