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CAMPO DE UN ANILLO CON CARGA UNIFORME
y
dsdQ
r
a
dEx
α
x
P
dEy dE
Un conductor de forma anular y
cuyo radio es a tiene una carga
total
Q
distribuida
uniformemente
en
toda
su
circunferencia.
Encuentre
el
campo eléctrico en un punto P
situado sobre el eje del anillo a
una distancia x de su centro.
Imaginamos el anillo dividido en
segmentos infinitesimales de longitud
ds y carga dQ. Cada segmento actúa
como una carga puntual.
El campo dE debido a dQ es:
dQ
1
dQ
dE =
=
2
4πε 0 r
4πε 0 x 2 + a 2
r = x2 + a2
1
Un segmento en la parte inferior del anillo crea
un capo eléctrico dE con componente dEy igual y
opuesta, así que sólo contribuyen las
componentes en x
sin(α ) =
y
=
r
x
cos(α ) = =
r
a
x2 + a2
x
x2 + a2
1
dQ
dE x = dE cos(α ) =
4πε 0 x 2 + a 2
x
1
xdQ
=
2
2 3/ 2
2
2
4
πε
(
x
+
a
)
x +a
0
Para hallar la componente x total Ex del campo en P, se integra esta
expresión con respecto a todos los segmentos. x no varía al pasar de un
punto a otro del anillo, todos los factores, salvo dQ, son constantes y se
pueden sacar de la integral:
xdQ
x
1
1
xQ
Ex = ∫
dQ =
=
2
2 3/ 2
2
2 3/ 2 ∫
4πε 0 ( x + a )
4πε 0 ( x + a )
4πε 0 ( x 2 + a 2 ) 3 / 2
1
Cuando el punto P está muy alejado del anillo en comparación con el
tamaño de éste (x >> a) el denominador se hace aproximadamente igual
a x3 y el campo eléctrico se reduce al campo de una carga puntual:
1
Q
E=
4πε 0 x 2
CAMPO DE UN DISCO CON CARGA UNIFORME
R
Halle el campo eléctrico que produce
un disco de radio R con una densidad
superficial de carga σ positiva en un
punto P a lo largo del eje del disco
situado a una distancia x respecto a
su centro.
Q
dQ
P
r+dr
r
x
Podemos representar la distribución de
carga como un conjunto de anillos
concéntricos de carga dQ.
Un anillo representativo tiene carga dQ, un radio interno r y un radio
externo r+dr. Su área dA es:
dA = 2πrdr
La carga del anillo es:
dQ = σdA = σ 2πrdr = 2πσrdr
r
E=
xQ
iˆ
2
2 3/ 2
4πε 0 ( x + a )
1
Usemos la expresión del campo eléctrico debido a un anillo, con dQ en vez
de Q, y sustituyamos también el radio a por r.
R
Q
dQ = σdA = σ 2πrdr = 2πσrdr
dQ
P
r+dr
x
r
dE x =
dEx
1
2πσrdr
xdQ
=
x
2
2 3/ 2
2
2 3/ 2
4πε 0 ( x + r )
4πε 0 ( x + r )
1
Para hallar el campo total debido a todos los anillos, se integra dEx con
respecto a r de r=0 a r = R:
R
Ex = ∫
0
(2πσrdr ) x σx
rdr
σx
=
=
4πε 0 ( x 2 + r 2 ) 3 / 2 2ε 0 ∫0 ( x 2 + r 2 ) 3 / 2 2ε 0
1
1 σ
σx  − 1
+ =
=
 2
2
x  2ε 0
2ε 0  x + R
R


1
1 −

2
2

( R / x ) + 1 
R
−1
x +r
2
=
2
0
Si el disco se hace muy grande (infinito), R -> ∞, la distribución se vuelve en
una lámina infinita con carga uniforme. Si R >> x, la expresión se reduce a:
E=
σ
2ε 0
No depende de la distancia x ! El campo producido por una lámina infinita
es independiente de la distancia respecto a la lámina, su dirección es en
todas partes perpendicular a la lámina. El sentido depende del signo de la
carga.
-σ
+σ
E
E
CAMPO ELECTRICO ENTRE DOS LAMINAS
1
E2
2
+ +
+ +
E
+ + 2
+ +
+ +
E1 + +
+ +
+σ1
E1
-
-
A la izquierda de la lámina 1 el campo neto es:
E2
r r
r
r
r
 σ 2 σ1 
ˆ
ˆ
iˆ
E = E2 + E1 = E2 i + E1 (−i ) = 
−

 2ε 0 2ε 0 
En la región entre las dos láminas el campo neto es:
E1
-σ2
r r
r
r
r
 σ 2 σ1 
ˆ
ˆ
iˆ
E = E2 + E1 = E2 i + E1 i = 
+

 2ε 0 2ε 0 
A la derecha de la lámina 2 el campo neto es:
x
r r
r
r
r
 σ1 σ 2 
ˆ
ˆ
iˆ
E = E2 + E1 = E2 (−i ) + E1 i = 
−

ε
ε
2
2
0 
 0
Si las densidades de carga superficial σ1 y σ2 son iguales y opuestas, el campo
en la región a la izquierda de la lámina 1 y a la derecha de la lámina 2 es cero.
En la región entre las dos láminas es:
r  σ
σ ˆ σ ˆ

i = i
+
E =
 2ε 0 2ε 0  ε 0
21.99 Tres láminas aislantes grandes paralelas tienen densidades superficiales
de carga +0.02 C/m2, +0.01 C/m2 y -0.02 C/m2. Las láminas adyacentes están a
una distancia de 0.3 m una de la otra. Calcule el campo eléctrico neto
(magnitud y dirección) debido a las tres láminas en los puntos P, R, S, T.
+σ1
+σ2
-σ3
σ1=+0.02 C/m2
- + +
+ +
σ2=+0.01 C/m2
- + +
+ +
2
σ
=-0.02
C/m
3
P
R + + S - - T
+ +
0.15 m 0.15 m
0.15 m
0.15 m
+ +
+ +
- -
+ +
+ +
- -
0.3 m
0.3 m
ε0=8.854 10-12 C2/Nm2
+σ1
+σ2
-σ3
E2 + +
E2 + +
E2 - -
+ +
+ +
- -
+ +
E3 + +
E3 - -
E3
+ +
E1 - -
E1
+ +
- -
E3
E1 + +
E1
+ +
P
R
S
E2
ε0=8.854 10-12 C2/Nm2
T
x
r  σ1
 σ
  σ   − 0.02 0.01 0.02   iˆ = −5.65 108 iˆ
−
+
P) E = 
(−iˆ)  +  2 (−iˆ)  +  3 iˆ  = 
C
2ε 0 2ε 0  C
 2ε 0
  2ε 0
  2ε 0   2ε 0
r  σ1   σ 2
  σ   0.02 0.01 0.02   iˆ = 1.69 109 iˆ
−
+
R) E = 
iˆ  + 
(−iˆ)  +  3 iˆ  = 
C
  2ε 0   2ε 0 2ε 0 2ε 0  C
 2ε 0   2ε 0
r  σ 1   σ 2   σ 3   0.02 0.01 0.02   iˆ = 2.82 109 iˆ
+
+
S ) E = 
iˆ  + 
iˆ  + 
iˆ  = 
C
 2ε 0   2ε 0   2ε 0   2ε 0 2ε 0 2ε 0  C
r  σ1   σ 2   σ 3
  0.02 0.01 0.02   iˆ = 5.65 108 iˆ
+
−
T ) E = 
iˆ  + 
iˆ  + 
(−iˆ)  = 
C
  2ε 0 2ε 0 2ε 0  C
 2ε 0   2ε 0   2ε 0
Un dipolo eléctrico está en un campo eléctrico uniforme de magnitud E=5 105
N/C. Las dos cargas son de ±5 nC y la distancia entre ellas es de 0.03 m.
a) Calcule la magnitud del momento dipolar eléctrico p.
b) Si inicialmente p es paralelo al campo eléctrico (φ=0) y se mueve así que
φ=45o, calcule el cambio de energía potencial y el momento de torsión de la
fuerza eléctrica en las dos posiciones.
−9
−9
a) p = qd = (5 10 C )(0.03 m) = 0.15 10 Cm
p
1 Posición inicial
+
U1 = − pE cos(0) = − pE = −(0.15 10 −9 Cm)(5 105 / C ) = −0.75 10 −4 J
r r
τ 1 = p × E = pE sin(0) = 0
E
+
φ
p
E
2 Posición final
U 2 = − pE cos(45) = −(0.15 10 −9 Cm)(5 105 / C ) cos(45) = −0.53 10 −4 J
r r
τ 2 = p × E = pE sin(45) = (0.15 10 −9 Cm)(5 105 / C ) sin( 45) = 0.53 10 −4 m
∆U = U 2 − U1 = (−0.53 + 0.75)10 −4 J = 0.22 10 −4 J
21.46 Una carga puntual q1=-4 nC está en el punto x=0.6 m, y = 0.8 m y una
segunda carga puntual q2=+6 nC está en el punto x=0.6 m, y=0. Calcule la
magnitud y dirección del campo eléctrico neto debido a estas dos cargas
puntuales en el origen.
r1 = (0.6) 2 + (0.8) 2 = 1 m
r1
E1
cos(α ) = 0.6
α
q2=6 nC
E2
r
E2 =
q1=-4 nC
sin(α ) = 0.8
r2
2
−9
m
6
10
C ˆ
ˆ
ˆ) = (8.9 109
(
−
i
)
(
−
i
)
=
−
150
i
2
2
2
4πε 0 r2
C
(0.6 m)
C
1
q2
q1=-4 nC
r1
E1
α
E2
q2=6 nC
r2
2
−9


m
C
4
10
ˆ =  8.9 109
ˆ = 21.6 iˆ

α
i
i
cos(
)
0
.
6

C 2  1
C
4πε 0 r12

2
−9
r
r
q1


1
4
10
m
C
9
ˆj =  8.9 10
ˆj = 28.8 ˆj

sin(
)
0
.
8
E1 y = E1 sin(α ) ˆj =
α
2 

4πε 0 r12
C
C

 1
r
ˆ r
ˆ
E x = (21.6 − 150) i = −128.8 i E y = 28.8 ˆj
C
C
C
r
Ey
tan(α ) =
α = 12.6o
E = (−128.8) 2 + (28.8) 2 = 131.6
C
Ex
r
r
E1x = E1 cos(α )iˆ =
1
q1
DENSIDADES NO UNIFORMES:
Una esfera de radio R = 0.8 m está cargada con una densidad de carga
volumétrica no uniforme:
0 < r < R k = 10-8 C/m4
ρ (r ) = kr
Calcule la carga total Qtot de la esfera.
dq
= ρ (r ) ⇒ Qtot = ∫ ρ (r )dV
dV
R
R
4 3
V = ∫ dV = ∫ 4πr dr = πR
3
0
dV = 4πr dr
2
2
R
R
0
0
Qtot = ∫ ρ (r )dV = ∫ ρ (r )(4πr 2 dr ) = ∫ (kr )(4πr 2 )dr =
R
4 R
r
4πk ∫ r 3 dr =4πk
4
0
0
 R4 
= 4πk   = π (10 −8 C / m 4 )(0.8 m) 4 = 1.28 10 −8 C
 4 
Calcule la carga total de la esfera en el caso de una densidad de carga no
uniforme:
 kr 0 < r < R / 2
ρ (r ) = 
k / r R / 2 < r < R
R
R/2
0
0
Qtot = ∫ ρ (r )dV = ∫ ρ (r )(4πr 2 dr ) =
R
R/2
4πk
∫
2
kr
r
(
)(
4
)dr +
π
∫
4 R/2
r
r dr + 4πk ∫ rdr = 4πk
4
R/2
3
0
2
r
+ 4πk
2
0
 R 4 + 24 R 2 
 R2 R2 
R4

 = πk 
4πk
+ 4πk 
−
64
8 
16


 2
R
k
2
r
(
4
)dr =
π
∫R / 2 r
R
=
R/2