Ejercicios de Campo Eléctrico Ejercicio 1 Dos partículas con cargas q1 = 0.5 nC y q2 = 8.0 nC están separadas por una distancia de 1.20 m. ¿En qué punto a lo largo de la recta que une las cargas es igual a cero el campo eléctrico total debido a ambas cargas? SOLUCIÓN r1 q1 r2 P Consideremos un punto cargas. Como ambas producen campos en P dándose la posibilidad q2 1.20 m → → → campos E1 y E 2 en P. Para que se anulen los campos producidos por ambas cargas, las magnitudes de los campos deben ser iguales, esto es q2 E 2 P E1 q1 → 1.20 m E1 = E2 Recordemos que E = ke ke q1 r1 2 = ke r2 2 8.0 (1.20 − r1 )2 r1 0.72 − 1.2r1 + 0.5r12 = 8.0r12 Simplificando: r1 = 0.5 q2 2 = − 1.2 ± 1.22 − 4(7.5)(−0.72) intermedio entre ambas cargas son positivas, que se alejan de ellas de que se anulen los ke 0.5 × 10−9 2 r1 q r2 : magnitud 8.0 × 10 −9 = ke (1.20 − r1 )2 0.5(1.20 − r1 ) 2 = 8.0r12 7.5r12 + 1.2r1 − 0.72 = 0 r1 = − 1.2 ± 4.8 r1 = − 1.2 + 4.8 = 0.24 2(7.5) 2(7.5) 2(7.5) (La solución negativa se descarta, no tiene significado físico en este caso) Resp/ r1 = 0.24m Ejercicio 2 Repita el ejercicio anterior, pero ahora con q1 = −4.0 nC. → → → E1 P E 2 E1 q1 Q q2 → E2 1.20 m E1 = E2 4.0 2 x = ke q1 r1 2 = ke 8.0 (1.20 + x)2 q2 r2 2 ke 4.0 × 10 −9 x2 Ahora, por los signos de las cargas, el campo no se anula en ningún punto intermedio tal como P. Debe considerarse el punto Q a la izquierda de q1 debido al tamaño de las cargas y a las distancia es aquí donde se da la posibilidad de que se anulen los campos de cada carga. 8.0 × 10 −9 = ke (1.20 + x) 2 4.0(1.20 + x)2 = 8.0 x2 5.76 + 9.6 x + 4.0 x2 = 8.0 x2 9.6 ± 9.62 − 4(4.0)(−5.76) 9.6 + 13.576 = 2.897 x= 4.0 x − 9.6 x − 5.76 = 0 x= 2(4.0) 2(4.0) (La solución negativa se descarta por no tener significado físico en este caso) 2 Resp/ x = 2.90 m Ejercicio 3 Una carga puntual q1 = −4.0 nC está en el punto x = 0.6 m, y = 0.8 m, y una segunda carga puntual q2 =+6.0 nC está en el punto x = 0.6 m, y = 0. Calcule la magnitud y dirección del campo eléctrico neto debido a estas dos cargas puntuales en el origen. SOLUCIÓN De acuerdo a los signos de las cargas, los campos producidos por cada una se muestran en la figura. Las magnitudes son q1 1.0 m → 0.8 m E1 → E2 φ 0.6 m q2 4 × 10−9 E1 = ke 2 = 9 × 10 = 36 1.02 r1 q1 9 6 × 10 −9 E2 = ke 2 = 9 × 10 = 150 0.62 r2 Por componentes rectangulares q2 Ex = E1cosφ−E2 9 Ex = 36 × 0.6 − 150 = −128.4 N/C Ey = E1sinφ q1 E = 128.4 2 Ey = 36 × 0.8 = 28.8 N/C + 28.82 = 131.6 θ 28.8 = tan −1 = 12.6° 128.4 → E Ey θ Resp/ ⇒ E = 131.6 N C , θ = 12.6° q2 Ex Ejercicio 4 La carga positiva Q está distribuida uniformemente a lo largo del eje positivo de las y entre y = 0 y y = a. Calcule las componentes del campo eléctrico x y y del campo eléctrico producido por la carga distribuida Q en puntos sobre el eje positivo de las x. SOLUCIÓN → Ecuación (7) de apuntes de clase: E = ke λdl ∫r 2 rˆ Lin dy Carga distribuida uniformemente: λ=Q/a Elemento de carga: dq = λdy = (Q/a)dy dq r̂ Vector unitario rˆ = → dE Campo resultante: a → Qdy xi − yj λdl E = ke r k = ˆ e 2 2 2 2 1/ 2 r2 Lin 0 a(x + y ) (x + y ) ∫ ∫ xiˆ − yˆj x2 + y2 Distancia punto fuente-punto campo: r = x2 + y2 a Qx dy = ke iˆ 2 2 3 / 2 a 0 (x + y ) ∫ a Q ydy − ke ˆj 2 2 3 / 2 a 0 (x + y ) ∫ En la última expresión, el primer integral es la componente en x y la segunda integral es la 1 componente en y. Hay que recordar que ke = 4πε 0 Evaluando las integrales a a dy ∫ (x + y ) 0 2 3/2 2 a ydy ∫ (x + y ) 0 2 3/ 2 2 1 Qx → E= = y x2 x2 + y2 =− + y2 a 4πε 0 a x2 x2 + a2 Ex = 1 4πε 0 Q x( x2 + a2 )1 2 0 a x2 x2 + a2 a 1 x2 = =− 0 iˆ − 1 x2 + a2 + 1 Q 1 4πε 0 − a x Ey = − 1 x ˆ j x2 + a2 1 1 Q 1 4πε 0 − 2 1 2 1 2 a x (x + a )
