π ε ε πε

DISTRIBUCIÓN ESFÉRICA (Esfera maciza)
Una carga Q se encuentra uniformemente distribuida en todo el volumen de una
esfera no conductora de radio R . Determinar el campo eléctrico en puntos:
1. fuera de la esfera, r > R
2. dentro de la esfera, r ≤ R
Fig. 12
SOLUCIÓN
v
1. En la figura 12 se muestran las líneas de campo eléctrico E , suponiendo la
esfera cargada positivamente, y se muestran también las superficies gaussianas
para r > R y r < R , las cuales consisten de esferas centradas en la esfera
cargada. De la ley de Gauss,
εo ∫ E ⋅ ds = Q
cuando r > R la carga que encierra la superficie gaussiana es exactamente Q .
Debido a la simetría esférica,
ε o E ∫ ds = Q
ε o E (4π r 2 ) = Q
Y despejando E tenemos
E=
Q
4πε 0 r 2
r >R
Lo mismo que obtendríamos si la carga Q fuese una carga punto colocada en el
centro de la esfera.
2. r < R
Para esta situación, la carga Q' encerrada por la superficie gaussiana es menor que
Q , y será
4
Q' = ρV ' = ρ ( π r 3 )
3
Donde ρ es la densidad de carga y V ' es el volumen encerrado por la carga Q'
Como
c a rga total
Q
Q
=
ρ= =
V volumen esfera 4
π R3
3
resulta
3Q
, y,
ρ=
4π R 3
4
Q 4
r3
3
3
Q' = ρ ( π r ) =
( π r )=Q 3
4 3 3
3
R
πR
3
De la ley de Gauss
ε o ∫ E ⋅ d s = Q'
r3
ε o E (4π r ) = Q 3
R
Q r
E=
4πε o R 3
2
, r<R
Observe que el campo es cero para r = 0 , y aumenta linealmente con r hasta
r = R , y después decrece inversamente a r 2 , es decir,
E=
r
, E α r , para r < R ,
4πε o R 3
E=
1
Q
, Eα
, para r > R
4πε o r 2
r2
Los campos coinciden en
muestran en la figura 13.
Q
y,
1
r = R y tienen el valor E =
1
Q
; y sus curvas se
4πε o R 2
Fig. 13