diseo de compensadores

DISEÑO DE COMPENSADORES USANDO
LOS DIAGRAMAS DE BODE
INTRODUCCIÒN
Se abordará a continuación el problema de especificar los parámetros de compensadores
eléctricos típicos, que son las formas aproximadas de los controladores industriales P,
PI, PD, y PID estudiados anteriormente.
En el cuadro siguiente se muestran las funciones de transferencia de estos
compensadores y a cuáles controladores corresponden.
13
COMPENSADOR EN ADELANTO
La función de transferencia del compensador en adelanto es:
Gc =
Kc s + 1 T
1+ T ⋅ s
= Kc
α s +1 α ⋅T
1+ α ⋅T ⋅ s
con α<1
Para prever los efectos de este compensador en el sistema compensado, se
analiza a continuación el diagrama polar y también el diagrama de Bode del
compensador en adelanto.
Diagrama polar de la red de adelanto:
senφ m
1− α
1− α
= 2 =
1+ α 1+ α
2α
en ωm
Nótese que φm aumenta al disminuir el valor de α.
14
El diagrama de Bode de la red de adelanto se muestra a continuación.
15
TECNICAS DE COMPENSACION
MEDIANTE EL USO DE DIAGRAMAS DE BODE.
EJEMPLO DEL DISEÑO DE UN COMPENSADOR EN ADELANTO.
Diseñe un compensador para que el sistema con
GH ( s ) =
4
s (0.5 ⋅ s + 1)(0.02 ⋅ s + 1)
cumpla con las siguientes especificaciones:
.- Kv ≥ 40 seg-1 ,
.- MF ≥ 45º,
.- MG tal que W ≥15 rad/seg. (W es la frecuencia que corresponde a una magnitud de -3
db en el diagrama de Bode de lazo abierto).
PROCEDIMIENTO DE RESOLUCION:
a) Determine la ganancia necesaria para cumplir el requisito de coeficiente de error.
Kc’=10 para que Kv=40 ⇒
K c′ ⋅ GH ( s) =
40
s(0.5 ⋅ s + 1)(0.02 ⋅ s + 1)
b) Trace el diagrama de Bode del sistema de lazo abierto, con la ganancia hallada en
(a), y encuentre los actuales MF, MG, y W.
(MF ≈ 5º; W ≈ 10rad/seg.)
c) Determine el adelanto de fase necesario que debe ser agregado al sistema:
φ = (45º-5º) + 12º = 52º
(los 12º se añaden para compensar el desplazamiento de la frecuencia de transición
de la ganancia).
17
Sistema sin Compensar con K=40 G ( s ) =
40
s (0.5s + 1)(0.02s + 1)
100
G
0
ai
n
dB -100
-200 -1
10
10
0
1
10
Frequency (rad/sec)
10
2
3
10
0
Ph -90
as
e
de -180
g
-270
10
-1
10
0
1
10
Frequency (rad/sec)
Bode del compensador en adelanto diseñado: G ( s ) =
10
2
3
10
0.19s + 1
( 0,02242s + 1)
20
G
ai
10
n
dB
0 -1
10
10
0
1
10
Frequency (rad/sec)
10
2
10
3
60
Ph
as 40
e
de 20
g
0 -1
10
10
0
1
10
Frequency (rad/sec)
10
2
10
3
16
d) Halle α, sabiendo que:
sen φ =
1− α
⇒ α = 0118
.
1+ α
e) Determine la frecuencia a la cual el sistema no compensado tiene una magnitud
⎛ 1 ⎞
⎟ = 10 log α = − 9.28 db ; esta frecuencia es W=15rad/seg.
igual a − 20 log ⎜
⎝ α⎠
Fije esta W, que es la frecuencia media Wm del compensador, como la nueva
frecuencia de transición de la ganancia, (en esta frecuencia se produce precisamente
el φm que aporta el compensador).
f) Determine el cero y el polo de la red de adelanto como se muestra ya
que:
⎛ 1 ⎞
1
⎟ ⇒> T = 019
Wm = − 15 = ⎜
. ⇒ = 515
. rad / seg
T
⎝ α ⋅T⎠
y
1
= 43.66 rad / seg
α ⋅T
g) Determine la “ganancia” de la red de adelanto: K’c=Kc/α=10/0.118=84,75.
h) Compruebe en el diagrama de Bode del sistema compensado, que se cumplan las
especificaciones requeridas (MF ≈ 45º; W ≈ 20rad/seg).
LIMITACIONES
φm ≤ 60º
α ≥ 0.07 y menor que 1.
18
Sistema Compensado G ( s ) =
0.19s + 1
40
*
s (0.5s + 1)(0.02s + 1) ( 0,02242s + 1)
100
G
ai
n
dB
0
-100 -1
10
10
0
1
10
Frequency (rad/sec)
10
2
10
3
0
Ph -90
as
e
de -180
g
-270
10
-1
10
0
1
10
Frequency (rad/sec)
10
2
10
Compensador en adelanto
Respuesta transitoria ante una entrada escalón unitaria
2
*** Sistema Original
1.8
--- Sistema con K=40
1.6
ooo Sistema Compensado
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
3
19
Respuesta temporal del sistema original ante una entrada rampa unitaria
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
Time (second)
Respuesta temporal del sistema compensado ante una entrada rampa unitaria
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0.2
0.4
0.6
Time (second)
0.8
1
20
COMPENSADOR EN ATRASO
Función de transferencia del compensador:
Gc = K c
Kc ( s + 1 T )
(1 + T ⋅ s)
=
(1 + α ⋅ T ⋅ s) α ( s + 1 α ⋅ T )
Diagrama de Bode de la red de atraso:
con α ⟩ 1
21
TECNICAS DE COMPENSACION MEDIANTE EL USO DE DIAGRAMAS DE
BODE.
EJEMPLO DEL DISEÑO DE UN COMPENSADOR EN ATRASO.
Un sistema tiene la siguiente función de transferencia de lazo abierto:
GH ( s) =
2
(1 + 0.25 ⋅ s)(1 + 01
. ⋅ s) s
Diseñar un compensador en atraso tal que el sistema tenga:
.- Kv ≥ 4 seg-1.
.- MF ≥ 40º
.- MG ≥ 12db.
PROCEDIMIENTO DE RESOLUCION:
a) Determinar la ganancia de lazo abierto tal que se satisfaga el requerimiento de
coeficiente de error:
Kv (actual) = 2 ⇒ K=2Kc=4 ⇒ K c ⋅ GH ( s) =
4
(1 + 0.25 ⋅ s)(1 + 01
. ⋅ s) s
b) Con la ganancia así determinada, trazar el diagrama de Bode (de lazo abierto)
del sistema no compensado, y determinar MF y MG. Si son insuficientes,
proceder con los otros pasos.
(Condiciones actuales del sistema: MG ≈ 7db ; MF ≈ 24º)
c) Hallar el valor de la frecuencia que corresponde a un margen de fase igual al
margen de fase requerido más un agregado entre 5 y 12º (que se añaden para
compensar el retardo de fase que produce la red de atraso). Se elige esta
frecuencia como la nueva frecuencia de transición de la ganancia: WT’
⇒ WT’ (corresponde a MF= 40º+5º=45º)=2.4rad/seg.
22
d) Se elige 1/T una década por debajo de WT’ ⇒ 1/T=0.24rad/seg. (para asegurar T
suficientemente grande y que la curva de fases no se vea afectada en la zona de
transición de la ganancia).
e) Determinar la atenuación necesaria para reducir la curva de amplitud a 0 db en
WT’, atenuación que corresponde a -20 log α.
En el diagrama de bode: WT’ corresponde a 4.2db ⇒ -20 log α=-4.2db.
⇒ α = 1.62 ⇒ 1/ α·T = 0.15rad/seg.
(Este último punto: el polo de la red de atraso, también puede determinarse
como el punto de corte en la recta de 0 db, de una línea recta de pendiente
- 20db/dec que parte del punto correspondiente al cero de la red, en la atenuación
deseada).
f) Finalmente, se obtiene el diagrama de Bode del sistema compensado, y se
comprueban las especificaciones.
(MF ≈ 43º; MG ≈ 13db).
Función de transferencia del sistema compensado:
Gc ⋅ GH ( s) =
1 s + 0.24
4
162
. s + 015
. (1 + 0.25 ⋅ s)(1 + 01
. ⋅ s) s
23
Sistema sin Compensar : G ( s ) =
4
s (0.25s + 1)(0.1s + 1)
50
G
0
ai
n
dB -50
-100 -1
10
0
1
0
1
10
10
Frequency (rad/sec)
2
10
0
Ph -90
as
e
de -180
g
-270
-1
10
10
10
Frequency (rad/sec)
Bode del compensador en adelanto diseñado: G ( s ) =
2
10
s + 0.24
1
*
1.62 ( s + 0.15)
0
G
ai
-2
n
dB
-4 -2
10
-1
10
Frequency (rad/sec)
0
10
0
Ph
as -5
e
de -10
g
-15 -2
10
-1
10
Frequency (rad/sec)
0
10
24
Sistema Compensado: G ( s ) =
s + 0.24
1
4
*
*
s (0.25s + 1)(0.1s + 1) 1.62 ( s + 0.15)
100
Ga
in
dB
0
-100
-3
10
10
-2
-1
0
-1
0
10
10
Frequency (rad/sec)
10
1
10
2
0
Ph
as -90
e
de -180
g
-270
10
-3
10
-2
10
10
Frequency (rad/sec)
10
1
10
2
25
Compensador en atraso
Respuesta transitoria ante una entrada escalón unitaria
1.4
1.2
1
0.8
*** Sistema Original
0.6
--- Sistema con K=4
0.4
ooo Sistema Compensado
0.2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Respuesta temporal del sistema original ante una entrada rampa unitaria
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
Time (second)
5
6
26
Respuesta temporal del sistema compensado ante una entrada rampa unitaria
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
Time (second)
5
6
27
TECNICAS DE COMPENSACION MEDIANTE EL USO DE DIAGRAMAS DE
BODE.
EJEMPLO DEL DISEÑO DE UN COMPENSADOR EN ADELANTO-ATRASO.
Un sistema tiene la siguiente función de transferencia:
G ( s) =
K
s(1 + 0.25 ⋅ s)(1 + 01
. ⋅ s)
Se quiere que el sistema de lazo cerrado con retroalimentación unitaria tenga:
1.- Coeficiente de error de velocidad: Kv = 15.
2.- MF ≥ 50º.
3.- MG ≥ 10 db.
Del requisito de coeficiente de velocidad
s/
K
= 15
s →0 s/ (1 + 0.25 ⋅ s )(1 + 0.1 ⋅ s )
K v = lim s ⋅ G ( s ) = lim
s →0
Se dibuja el diagrama de Bode del sistema.
Margen de fase = -15º.
Margen de ganancia = -6db.
El próximo paso en el diseño de un compensador Adelanto-Atraso es la elección
de la nueva frecuencia de transición de ganancia.
De la curva de ángulo de fase de G(jw) vemos que ∠G(jw)=-180º es en
Wc=6rad/seg.
Es conveniente elegir la nueva frecuencia de transición en 6rad/seg para que el
ángulo de fase requerido en W=6rad/seg sea mas o menos 50º.