diseo de compensadores

28
Parte de atraso:
Una vez escogida Wc=6rad/seg podemos encontrar la frecuencia de corte de la
parte de atraso del compensador Adelanto-Atraso.
Escogemos W = 1/T2 (cero de la parte de atraso) una década debajo de Wc
⇒W=1/T2=0.60rad/seg.
Escogemos α =10.
1
Entonces la frecuencia de corte 1α ⋅ T (polo atraso) es:
= 0.06rad/seg.
2
αT 2
Función de transferencia de la red de atraso:
( s + 0.6)
(1.66 ⋅ s + 1)
= 10
( s + 0.06)
(16.6 ⋅ s + 1)
Parte de adelanto:
Wc =6rad/seg.
Del diagrama de Bode → G(j 6.0)=6db → Margen de ganancia (-6db)
⇒ Si el compensador Adelanto-Atraso contribuye con -6db en W=6rad/seg
entonces la nueva Wc es la deseada.
De este requisito es posible dibujar una línea recta de pendiente 20db/dec que
pase a través del punto (-6db, 6rad/seg).
La intersección de esta línea con la línea de 0db y -20db, determina la frecuencia
de corte (α=10 ⇒ -20 log 10= - 20db). Luego:
1
= 1,25 y
αT1
1
= 12,5
T1
29
Función de transferencia de la parte de adelanto:
( s + 125
. ) 1 (0.8 ⋅ s + 1)
=
( s + 12.5) 10 (0.08 ⋅ s + 1)
Combinando ambas funciones de transferencia:
G c (s) =
(s + 0.6) (s + 1.25) (1.66 ⋅ s + 1) (0.8 ⋅ s + 1)
⋅
=
⋅
(s + 0.06) (s + 12.5) (16.6 ⋅ s + 1) (0.08 ⋅ s + 1)
30
Sistema sin Compensar : G ( s ) =
15
s (0.25s + 1)(0.1s + 1)
50
Ga
in
dB
0
-50
-100 -1
10
0
1
0
1
10
10
Frequency (rad/sec)
10
2
0
Ph
as -90
e
de -180
g
-270
10
-1
10
10
Frequency (rad/sec)
Bode del compensador en adelanto diseñado: G ( s ) =
10
2
1.66s + 1 0.8s + 1
*
16.6s + 1 0.08s + 1
0
Ga
in
dB -10
-20 -3
10
10
-2
-1
0
-1
0
10
10
Frequency (rad/sec)
10
1
10
2
Ph 30
as
e
0
de
g
-30
10
-3
10
-2
10
10
Frequency (rad/sec)
10
1
10
2
31
Sistema Compensado : G ( s ) =
15
1.66 s + 1 0.8s + 1
*
*
s (0.25s + 1)(0.1s + 1) 16.6 s + 1 0.08s + 1
100
Ga
in
dB
0
-100
-3
10
10
-2
-1
0
-1
0
10
10
Frequency (rad/sec)
10
1
10
2
0
Ph
as -90
e
de -180
g
-270
10
-3
10
-2
10
10
Frequency (rad/sec)
10
1
10
2
32
Compensador Adelanto-Atraso
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
2
4
6
8
10
Respuesta temporal del sistema original ante una entrada rampa unitaria
6
5
4
3
2
1
1
2
3
Time (second)
4
5
33
Respuesta temporal del sistema compensado ante una entrada rampa unitaria
12
10
8
6
4
2
2
4
6
Time (second)
8
10
34
PROBLEMA
Sea un sistema con F.T.L.A:
GH (s ) =
K
s (0.1.s + 1)(0.2.s + 1)
Se desea que funcione en lazo cerrado con un error menor que el 15% ante una entrada
rampa. Calcule un compensador para lograr además : MF≥35° y MG≥10ds.
CÁLCULO DE K:
ess= 1/Kv = 1/K < 0.15 => K> 6.67
Se toma K=7
Entonces se grafica el Bode de GH (s ) =
7
s (0.1.s + 1)(0.2.s + 1)
Por la naturaleza del sistema y las especificaciones la compensación se puede realizar
por adelanto o por atraso.
COMPENSACIÓN EN ADELANTO:
El sistema tiene actualmente:
MF≅7°
•
y
MG≅3.1 db
Fase adicional necesaria:
φm = (35° - 7°) + 7° ≅35°
Para este ángulo corresponde α=0.27
•
Aporte en magnitud del compensador, –10log α= +5.6db
•
Cálculo de la nueva ωc :
⎢GH ⎢en ωc = -5.6=> ωc ≅ 8 rad/seg
Entonces:
1
•
ωc =
•
y finalmente G c
α.T
= ω m . D aquí: T=0.2405 ; αT= 0.0649
1 + 0.241s
1 + 0.065s
35
COMPENSACIÓN EN ATRASO:
Considerando que se requiere mover la frecuencia de corte hasta lograr un nuevo
MF≅ 35°+5° = 40°, esta nueva frecuencia será:
•
ωc ≅ 2.5 rad/seg
•
La magnitud del compensador:
⎢GH(ωc )⎢= 8.79db
de modo que se requiere : -20logα= -8.79=> α=2.75
•
El cero del compensador se toma entonces:
1/T=0.25 (una década por debajo de ωc) y 1/αT +0.091
y finalmente: Gc =
1 + 4s
1 + 11s
(ver diagramas de Bode del sistema compensado)
36
Sistema sin Compensar : G ( s ) =
7
s (0.2s + 1)(0.1s + 1)
50
G
0
ai
n
dB -50
-100 -1
10
0
1
0
1
10
10
Frequency (rad/sec)
10
2
0
Ph -90
as
e
de -180
g
-270
10
-1
10
10
Frequency (rad/sec)
10
2
7
0.2405s + 1
*
s (0.2s + 1)(0.1s + 1) 0.065s + 1
Compensación en adelanto : G ( s ) =
50
G
0
ai
n
dB -50
-100 -1
10
0
1
0
1
10
10
Frequency (rad/sec)
2
10
0
Ph -90
as
e
de -180
g
-270
-1
10
10
10
Frequency (rad/sec)
2
10
37
Compensación en atraso : G ( s ) =
7
4s + 1
*
s (0.2s + 1)(0.1s + 1) 11s + 1
100
Ga
in
dB
0
-100 -3
10
-2
10
-1
0
-1
0
10
10
Frequency (rad/sec)
1
2
10
10
0
Ph
-90
as
e
de -180
g
-270
-3
-2
10
10
10
10
Frequency (rad/sec)
1
2
10
10
Respuestas Transitorias
1.6
1.4
1.2
1
0.8
*** Sistema Compensado en Adelanto
0.6
xxx Sistema Compensado en Atraso
0.4
--- Sistema Original
0.2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
38
Respuesta temporal del sistema compensado en atraso ante una entrada rampa
unitaria.
9
8
7
6
5
4
3
2
1
2
4
Time (second)
6
8
Respuesta temporal del sistema compensado en adelanto ante una entrada rampa
unitaria.
9
8
7
6
5
4
3
2
1
2
4
Time (second)
6
8