Cierta empresa de material fotográfico oferta una máquina que es

Curso ON LINE
Tema 8
Cierta empresa de material fotográfico oferta una máquina que es capaz de revelar y pasar a
papel 15.5 fotografías por minuto. Sin embargo, sus cualidades se van deteriorando con el
tiempo de forma que el número de fotografías por minuto será función de la antigüedad de la
máquina de acuerdo a la siguiente expresión [F(x) representa el número de fotografías por
minuto cuando la máquina tiene x años]:
F(x) =
006

15.5 − 1.1x si 0 ≤ x ≤ 5


 5 x + 45
si
x>5

 x+2
BH2
PAU OVIEDO
Junio 1998
(a) Estudia la continuidad de la función F(x)
(b1)Comprueba que si el número de fotografías por minuto decrece con la antigüedad de la
máquina entonces si ésta tiene más de 5 años revelará menos de 10 fotocopias por minuto.
(b2)Justifica que por muy vieja que sea la máquina no revelará menos de 5 fotografías por
minuto.
(c) Haz un esbozo de la gráfica de la función.
Resolución CON LÁPIZ Y PAPEL apartado (a)
x ≡ "Número de años que tiene la máquina".
F(x): Número de fotografías que realiza por minuto.
Se trata de una función definida por 2 trozos, por lo que para estudiar su continuidad
estudiaremos esta función en cada uno de sus intervalos correspondientes:
(A) Intervalo
0 ≤ x < 5
15.5 - 1.1x
(B) Intervalo
Es continua pues se trata de una función polinómica sencilla.
x > 5
5 x + 45
x+2
Æ x+2=0
x=–2
Æ
Es continua, puesto que sólo sería discontinua para x = – 2, y este valor cae fuera del intervalo
estudiado
(C) x = 5
Diremos que la función real F(x) es continua en x = 5 cuando verifica Lím F ( x) = F(5), es
x→ 5
decir, se verifican las 3 condiciones siguientes:
(I) Existe Lím F ( x)
x→5
Lím F ( x) = Lím+
x→5 +
x→5
5 x + 45
= 10
x+2
Lím F ( x) = Lím− F ( x)
x→5 +
Lím− F ( x) = Lím− (15.5 − 1.1x) = 10
x→5
x→5
x→5
(II) Existe F(5) = 15.5 – 1.1·5 = 10
(III) F(5) = Lím F ( x)
x→5
A
A
N
Á
S
S
R
T
O
D
O
S
R
S
U
T
A
D
O
S
AN
NÁ
ÁLLLIIIS
SIIIS
S CCCR
RÍÍÍT
TIIICCCO
OD
DEEE LLLO
OS
SR
REEES
SU
ULLLT
TA
AD
DO
OS
S
El número de fotografías que una máquina realiza por minuto con relación al número de años
que tiene es una función continua en todo su dominio.
Resolución CON LÁPIZ Y PAPEL apartado (b1)
Si al aumentar el número de años de la máquina, disminuye el número de fotocopias por minuto
diremos que la función es decreciente
F(5) > F(5+)
Al ser la función estrictamente decreciente para valores x ≥ 5, entonces F(5) será el máximo
valor que tendrá la función en ese intervalo:
F(5) = 15.5 – 1.1·5 = 10
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1
 Abel Martín
"Límites"
F(5+) =
5 ⋅ 5 + 45
= 10
5+2
F(5) = F(5+)
A
A
N
Á
S
S
R
T
O
D
O
S
R
S
U
T
A
D
O
S
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NÁ
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SIIIS
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RÍÍÍT
TIIICCCO
OD
DEEE LLLO
OS
SR
REEES
SU
ULLLT
TA
AD
DO
OS
S
Hemos comprobado que si el número de fotografías que una máquina realiza por minuto con
relación al número de años que tiene es una función decreciente, a partir de 5 años revelará
menos de 10 fotografías por minuto.
Resolución CON LÁPIZ Y PAPEL apartado (b2)
Al ser la función decreciente, para contestar a esta cuestión sólo habrá que calcular el límite de la
función cuando el número de años tienda a +∞:
Lím F (x) = Lím
x →+ ∞
x →+ ∞
5 x + 45
∞
tiende a la indeterminación
x+2
∞
45
5 x 45
5+
+
5 x + 45
x = 5+0 = 5
x
x
Lím
= Lím
= Lím
2
2
x →+ ∞ x + 2
1+ 0
x→+ ∞ x
x →+ ∞
+
1+
x x
x
A
A
N
Á
S
S
R
T
O
D
O
S
R
S
U
T
A
D
O
S
AN
NÁ
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SIIIS
S CCCR
RÍÍÍT
TIIICCCO
OD
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OS
SR
REEES
SU
ULLLT
TA
AD
DO
OS
S
Por muy vieja que sea la máquina no revelará menos de 5 fotografías por minuto.
Resolución CON LÁPIZ Y PAPEL apartado (c)
Con los datos que nos da el problema, las características de la función calculadas en los apartados
anteriores y una tabla de valores podemos representar cualitativamente la función número de
fotografías por minuto según el número de años que tenga.
x=5
3
10
2
Matemáticas y TIC