Se ha investigado el tiempo (T, en minutos) que se tarda en realizar

Curso ON LINE
Tema 8
Se ha investigado el tiempo (T, en minutos) que se tarda en realizar cierta prueba de atletismo
en función del tiempo de entrenamiento de los deportistas (x, en días), obteniéndose que:

300
si 0 ≤ x ≤ 30

x + 30

T(x) = 

1.125
x > 30
 ( x − 5)( x − 15) + 2 si

007
BH2
PAU OVIEDO
Junio 1999
(a) Comprueba si la función T es continua en todo su dominio.
(b) Sabiendo que la función T(x) decrece con x, por mucho que se entrene un deportista, ¿será
capaz de hacer la prueba en menos de un minuto? ¿Y en menos de 2?.
(c) Haz un esbozo de la gráfica función T(x)
Resolución CON LÁPIZ Y PAPEL apartado (a)
x ≡ "Número de días de entrenamiento".
T(x): Minutos que tarda en realizar cierta prueba de atletismo.
Se trata de una función definida por 2 trozos, por lo que para estudiar su continuidad la
estudiaremos en sus intervalos correspondientes:
(A) Intervalo
0 ≤ x < 30
300
x + 30
Æ
x + 30 = 0
Æ
x = – 30
Es continua, puesto que sólo sería discontinua para x = – 30, y este valor cae fuera del intervalo
estudiado.
(B) Intervalo
x > 30
1.125
+2
( x − 5)( x − 15)
x–5=0
Æ
x = 5
x – 15 = 0
Æ
x = 15
Es continua, puesto que sólo sería discontinua para x = 5 y x = 15, y estos valores caen fuera del
intervalo que estamos estudiando.
(C) x = 30
Diremos que la función real T(x) es continua en x = 30 cuando verifica Lím T ( x) = T(30), es
x→ 30
decir, se verifican las 3 condiciones siguientes:
(I) Existe Lím T ( x)
x→30
1.125
+ 2 = 2.003
( x − 5)( x − 15)
300
Lím T ( x) = Lím−
=5
x→30 x + 30
x →30 −
Lím T ( x) = Lím+
x →30 +
x→30
Lím T ( x) ≠
x →30 +
Lím T ( x)
x →30 −
No existe el límite de T(x) en dicho punto, por lo que no hace falta mirar las otras 2 condiciones
(II y III).
A
A
N
Á
S
S
R
T
O
D
O
S
R
S
U
T
A
D
O
S
AN
NÁ
ÁLLLIIIS
SIIIS
S CCCR
RÍÍÍT
TIIICCCO
OD
DEEE LLLO
OS
SR
REEES
SU
ULLLT
TA
AD
DO
OS
S
El tiempo que se tarda en realizar cierta prueba de atletismo, en función del tiempo de
entrenamiento de los deportistas, presenta una discontinuidad a los 30 días, con un salto de
2.997 minutos.
Resolución CON LÁPIZ Y PAPEL apartado (b)
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1
 Abel Martín
"Límites"
Para determinar si algún deportista, por mucho que se entrene, será capaz de hacer la prueba en
menos de un minuto, al ser la función estrictamente decreciente, bastará comprobar cuál es su
límite cuando el tiempo de entrenamiento tienda a infinito:
Lím T (x)
x →+∞
1.125
+2=2
( x − 5)( x − 15)
T(0) =
300
= 10
x + 30
A
A
N
Á
S
S
R
T
O
D
O
S
R
S
U
T
A
D
O
S
AN
NÁ
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SIIIS
S CCCR
RÍÍÍT
TIIICCCO
OD
DEEE LLLO
OS
SR
REEES
SU
ULLLT
TA
AD
DO
OS
S
Cuando un deportista no dedica ningún tiempo a entrenarse, el tiempo que se estima tardará
en realizar cierta prueba de atletismo será de 10 minutos; en el momento en el que empiece a
entrenar, cuanto más tiempo dedique, menos tiempo tardará en realizar dicha prueba, llegando
a realizarla, como mínimo, en 2 minutos, pero nunca en un tiempo inferior a éste, por mucho
que entrene.
Resolución CON LÁPIZ Y PAPEL apartado (c)
Con los datos que nos da el problema, las características de la función calculadas en los apartados
anteriores y una tabla de valores podemos representar cualitativamente la función del tiempo que
tarda en realizar una prueba de atletismo según el tiempo de entrenamiento.
5
10
5
5
10
10
2
Matemáticas y TIC