Teorema de Stokes

2.10. Teorema de Stokes.
El Teorema de Stokes establece que el cálculo de la integral de línea del campo
vectorial F en la dirección tangencial de la curva C, es igual a la integral sobre la
superficie S de la circulación del campo F alrededor de la frontera, en la dirección de la
componente normal unitaria a la superficie, siendo la curva C es una curva orientada
positivamente, de tal manera que es la frontera de la superficie orientada positivamente
S,
Teorema. Sea S una superficie orientada, suave a trozos, limitada por la curva simple
cerrada C, suave a trozos, con orientación positiva. Sea F ( x, y, z ) un campo vectorial
cuyas componentes tienen primeras derivadas parciales continuas en alguna región
abierta D ⊆ ℜ3 que contiene a S. Entonces
∫ F ( x, y, z ) ⋅ dr = ∫∫ ( ∇ × F ) ⋅ nds
C
S
EJEMPLO 68. Utilice el teorema de Stokes para evaluar la integral de superficie del
campo vectorial F ( x, y, z ) = ( yz , xz , xy ) a través de la superficie dada por la parte del
paraboloide z = 9 − x 2 − y 2 que esta por arriba del plano z = 5 , orientado hacia arriba.
Solución. La curva frontera de esta superficie esta dada por la circunferencia resultante
entre el paraboloide z = 9 − x 2 − y 2 y el plano z = 5 , por lo cual la ecuación de este
círculo viene dado por x 2 + y 2 = 4 , z = 5 . Una parametrización para esta curva C viene
dada por la función vectorial g : [ 0, 2π ] → ℜ3 / g ( t ) = ( 2 cos ( t ) , 2sen ( t ) ,5 )
∫∫ ( ∇ × F ) ⋅ nds = ∫ F ( x, y, z ) ⋅ dr
S
C
= ∫ yzdx + xzdy + xydz
C
( 2sen ( t ) 5 ( −2sen ( t ) ) + 2cos ( t ) 5 ( 2cos ( t ) ) + 2cos ( t ) ( 2sen ( t ) ) ( 0 )) dt
= ∫ ( −20sen ( t ) + 20cos ( t ) ) dt
=∫
2π
0
2π
2
2
0
2π
= 20 ∫ cos ( 2t ) dt
0
= 10  sen ( 2t ) 
=0
2π
0
Figura 69. Superficie del Ejemplo 68.
EJEMPLO 69. Utilice el teorema de Stokes para evaluar la integral de superficie del
campo vectorial F ( x, y, z ) = ( zx, x 2 + y 2 , z 2 − y 2 ) a través de la superficie dada por la
parte del cono z =
y 2 + z 2 que se encuentra por debajo de la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 2
orientado hacia la dirección negativa del eje z.
Solución. Para esta superficie su frontera esta dada por la circunferencia resultante entre
la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 2 y el cono z = y 2 + z 2 , para la cual se la ecuación viene dada
por x 2 + y 2 = 1 , z = 1 . Una parametrización de esta curva C se define por la función
vectorial g : [ 0, 2π ] → ℜ3 / g ( t ) = ( cos ( t ) , sen ( t ) ,1)
∫∫ ( ∇ × F ) ⋅ nds = ∫ F ( x, y, z ) ⋅ dr
S
C
= ∫ zxdx + ( x 2 + y 2 ) dy + ( z 2 − y 2 ) dz
C
=∫
2π
=∫
2π
0
0
((1) cos (t ) ( −sen (t )) + (cos (t )) + ( sen (t ))  (cos (t )) + 1 − ( sen (t ))  ( 0)) dt
2
( − sen ( t ) cos ( t ) + cos ( t ) ) dt
2π
 cos 2 ( t )

=
+ sen ( t ) 
 2
0
=0
2
2
Figura 70. Superficie S del Ejemplo 69.
EJERCICIOS PROPUESTO 2.10
1)
2)
3)