1 Vibraciones amortiguadas libres . E: Un resorte de 21 cm alcanza 30:8 cm después de colgarle una masa de 250 g. El medio por el que se mueve la masa ofrece una fuerza de amortiguamiento igual a 3 veces la velocidad instantánea. Encuentre la ecuación de movimiento, si la masa se libera de la posición de equilibrio, con una velocidad descendente de 2 m/s. Calcule el tiempo en el que la masa alcanza su desplazamiento extremo, ¿cuál es la posición de la masa en ese instante? D: H De acuerdo con la ley de Hooke, la constante del resorte es mg 0:25.9:8/ D D 25 N/m: x 0:308 0:21 De forma que la ecuación diferencial que modela la posición x.t/ de la masa es kD 0:25x 00 .t/ C 3x 0 .t/ C 25x.t/ D 0: La ecuación característica asociada es 0:25r 2 C 3r C 25 D 0I aplicando la fórmula para resolver ecuaciones cuadráticas resulta: p 3 ˙ 9 4.0:25/.25/ D 6 ˙ 8i: rD 0:5 De acuerdo con esto, la solución general de la ED es x.t/ D c1 e 6t cos 8t C c2 e 6t sen 8t: Sabemos que la masa parte de la posición de equilibrio, x.0/ D 0, lo que implica que c1 D 0, por lo que x.t/ D c2 e 6t sen 8t: Derivando la posición obtenemos la velocidad: v.t/ D 8c2 e 6t cos 8t 6c2 e 6t sen 8t: Usando ahora la condición v.0/ D 2, tenemos que 2 D 8c2 , por lo cual c2 D 1=4. Finalmente, la posición y la velocidad están dadas por 1 x.t/ D e 6t sen 8t mI 4 3 6t v.t/ D 2e 6t cos 8t e sen 8t m/s. 2 Por otra parte, el desplazamiento extremo se tiene en el primer instante en que v.t/ D 0: 3 6t 3 4 2e 6t cos 8t e sen 8t D 0 ) sen 8t D 2 cos 8t ) tan 8t D : 2 2 3 Es decir, el tiempo para que la masa empiece a regresar es 1 4 t D arctan D 0:1159 s. 8 3 La posición en ese instante es x.0:1159/ D 0:0998 m: 6. canek.azc.uam.mx: 16/ 12/ 2010