Repartiendo tierras I.-Restrictiva: Las parcelas triangulares las

Repartiendo tierras
I.-Restrictiva: Las parcelas triangulares las delimitan los dos trozos
La superficie de la parcela es 10.000 m2 que tendrá por lado √10.000 = 100 m. Entonces les da
4·100 = 400 m. de cuerda que deben cortar en dos trozos; U y D.
La nueva parcela tendrá por superficie
Si no quieren perder superficie, ésta deberá mantenerse en 10.000 m2.
Entonces
= 10.000.
U+D = 400
U·D sen β = 20.000
senβU2 – senβ400U -20000= 0  U=
=
0
Para valores reales 2·senβ -1 ≥0  senβ ≥ ½  β≥ 30
Veamos valores de U y D para 30, 45, 60 y 900
30
45
60
90
200
200
200 +
200 -
200 +
200 -
200 +
200 -
Calculemos el punto de contacto entre ambos trozos, diagonales, para conseguir triángulos de
área entera. Dividirá a U y D en U1 U2 y D1 D2 de forma que U1+U2= U y D1+D2 = D.
Los triángulos tendrán un área de D1·H1/2 , D1·H2/2, D2·H1/2 y D2·H2/2, siendo H1= U1senβ y
H2 = U2senβ
Para β = 300
; X,Y desplazamientos desde punto central
T1 = (D1 · U1·sen 300)/2 = D1·U1 /4 = Entero = (100+X)·(100+Y)/4 = 2500 + 25X + 25Y + XY/4
T2 = (D2 · U1·sen 300)/2 = D2·U1 /4 = Entero = (100+X)·(100-Y)/4 = 2500 +25X – 25Y- XY/4
T3 = (D2 · U2·sen 300)/2 = D2·U2 /4 = Entero = (100-X)·(100+Y)/4 = 2500 – 25X +25Y –XY/4
T4 = (D1 · U2·sen 300)/2 = D1·U2 /4 = Entero = (100-X)·(100-Y)/4 = 2500 – 25X -25Y + XY/4
X,Y desplazamientos desde punto central
Para conseguir los triángulos más próximos a 2500, pero diferentes, deberemos ajustar X e Y a
los menores valores posibles válidos
Si 25X y 25Y han de ser enteros X e Y habrán de ser enteros ó “divisores” de 25 y XY/4
entero. O bien
Que X ó Y sea < 1 y 25X ó 25Y tenga la misma parte decimal que XY/4 y dado que XY/4 suma en
unos triángulos y resta en otros, el decimal buscado en ambos, 25Y ó 25X y XY/4, sólo puede
ser 0.5 (0.5-0.5 =0 y .5+.5= 1)
Así X=1/2  25 X = 12,5 XY/4 = Y/8 = 0,5  Y =4
T1 = 100,5 x 48 /2 = 2.412; T2 = 99,5 x 48 / 2 = 2.388; T3 = 100, 5 x 52 / 2 = 2.613
T4 = 99,5 x 52 /2 = 2.587, que completa los 10.000 m2
Pero quizás existen otros mejores…
25X, 25Y e XY/4. Si tomamos 25X = entero  X= n/5 (n<5); R (25Y) = 0.5; R(XY/4) = 0.5
Y= m/2 (m, impar) R(25Y)=0.5
Entonces si R(XY/4)=0.5  R( mn/40) = 0.5  mn =20  m= 5, n=4  X= 4/5 e Y = 5/2 darían
T1 = 100,8 x 51,75 /2 = 2.583; T2 = 100,8 x 48,75 / 2 = 2.457; T3 = 99,2 x 51,75 / 2 = 2.542
T4 = 99,2 x 48,75 /2 = 2.418, que completa los 10.000 m2
II.-“Pitagórica”: Delimitada la nueva parcela buscar el óptimo reparto
Después de pasar por el Club se ha visto que obtenida la nueva forma, rectángulo o romboide,
de 10.000 m2, nada impedía buscar una distribución libre de las parcelas. Así, intentaremos
0
conseguir 4 triángulos de áreas 2502, 2501, 2499 y 2498. Para β=30
Partimos de 4 parcelas de 2500 m2 cada una con lados interiores de valor 100.
Vamos a calcular la altura de estos triángulos h= sen 30· 100 = 50 , ahora desplazamos el punto
central de la parte superior en X , la nueva área será (100+X)·25 = 2501  X= 1/25 = 0,04 
Área nueva = 100,04 · 25 = 2501
El otro, misma altura y base 100-0,04 = 99,96  Área = 99,96 · 25 = 2499
Ahora desplazamos el punto de la parte inferior en Y
Otro, base 100-Y y área (100-Y)· 25 = 2498  Y = 2/25 = 0,08  nueva área = 99,92· 25 = 2498
El último, base = 100+0,08  Área = 100,08·25 = 2502
En la parcela romboidal
En este II apartado el óptimo se consigue para todos los ángulos enteros.
Veamos cómo:
2 Diagonales;
altura=
sen β ; base =
Ahora desplazamos el punto central de la parte superior en X,
) y
)
Ahora desplazamos el punto de la parte inferior en Y; de forma análoga llegamos a
y
)
Ahora haciendo 2502·2 =
·sen β
2499·2=
·sen β
2501·2 =
·sen β
2498·2=
·sen β
Hallamos los desplazamientos a realizar desde el punto de contacto entre diagonales que
hacen 4 triángulos iguales
Veamos algunos ejemplos; ángulos de 30, 45, 60 90, 75, 50 grados
U
D
100
154,11961
165,0115167
170,7106781
169,4522793
158,9318552
100
45,880390
34,988483
29,289322
30,547721
41,068145
β
30
45
60
90
75
50
sen β
0,5
0,707107
0,866025
1
0,965926
0,766044
desplazamientos
X
Y
0,08
0,04
0,1232957 0,061647844
0,1320092 0,066004607
0,1365685 0,068284271
0,1355618 0,067780912
0,1271455 0,063572742
2502
2502
2502
2502
2502
2502
Triángulos
2498 2501
2498 2501
2498 2501
2498 2501
2498 2501
2498 2501
2499
2499
2499
2499
2499
2499