Modelado con ec. dif. de orden superior

5
MODELADO CON ECUACIONES
DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
5.1 Modelos lineales: Problemas con valores iniciales
5.1.1 Sistemas resorte /masa: Movimiento libre no amortiguado
5.1.2 Sistemas resorte /masa: Movimiento libre amortiguado
5.1.3 Sistemas resorte /masa: Movimiento forzado
5.1.4 Circuito en serie análogo
5.2 Modelos lineales: Problemas con valores en la frontera
5.3 Modelos no lineales
REPASO DEL CAPÍTULO 5
Ya hemos visto que una sola ecuación puede servir como modelo matemático para
varios sistemas físicos. Por esta razón sólo examinamos una aplicación, el
movimiento de una masa sujeta a un resorte, que se trata en la sección 5.1. Excepto
por la terminología y las interpretaciones físicas de los cuatro términos de la ecuación lineal ay by cy g(t), las matemáticas de, digamos, un circuito eléctrico en serie son idénticas a las de un sistema vibratorio masa /resorte. Las formas
de esta ED de segundo orden se presentan en el análisis de problemas en diversas
áreas de la ciencia e ingeniería. En la sección 5.1 se tratan exclusivamente
problemas con valores iniciales, mientras que en la sección 5.2 examinamos aplicaciones descritas por problema con valores en la frontera. También en la sección 5.2
vemos cómo algunos problemas con valores en la frontera conducen a los importantes conceptos con eigenvalores y funciones propias (eigenfunciones). La sección
5.3 inicia con un análisis acerca de las diferencias entre los resortes lineales y no
lineales; entonces se muestra cómo el péndulo simple y un cable suspendido conducen a modelos matemáticos no lineales.
181
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182
CAPÍTULO 5
●
MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
MODELOS LINEALES: PROBLEMAS CON VALORES INICIALES
5.1
REPASO DE MATERIAL
● Secciones 4.1, 4.3 y 4.4
● Problemas 29 a 36 de los ejercicios 4.3
● Problemas 27 a 36 de los ejercicios 4.4
INTRODUCCIÓN En esta sección, se van a considerar varios sistemas dinámicos lineales en los
que cada modelo matemático es una ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes junto con condiciones iniciales especificadas en un tiempo que tomaremos como t = 0:
a
d 2y
dt 2
b
dy
dt
cy
g(t), y(0)
y0 ,
y (0)
y1.
Recuerde que la función g es la entrada, función de conducción o función forzada del sistema.
Una solución y(t) de la ecuación diferencial en un intervalo I que contiene a t = 0 que satisface las
condiciones iniciales se llama salida o respuesta del sistema.
5.1.1
l
l
no estirado
s
m
posición de
equilibrio
mg − ks = 0
a)
l+s
x
m
movimiento
b)
c)
FIGURA 5.1.1 Sistema masaresorte.
SISTEMAS RESORTEMASA:
MOVIMIENTO LIBRE NO AMORTIGUADO
LEY DE HOOKE Suponga que un resorte se suspende verticalmente de un soporte
rígido y luego se le fija una masa m a su extremo libre. Por supuesto, la cantidad de alargamiento o elongación del resorte depende de la masa; masas con pesos diferentes
alargan el resorte en cantidades diferentes. Por la ley de Hooke, el resorte mismo ejerce
una fuerza restauradora F opuesta a la dirección de elongación y proporcional a la cantidad de elongación s y es expresada en forma simple como F ks, donde k es una constante de proporcionalidad llamada constante de resorte. El resorte se caracteriza en esencia por el número k. Por ejemplo, si una masa que pesa 10 libras hace que un resorte se
alargue 12 pie, entonces 10 k 12 implica que k 20 lb/pie. Entonces necesariamente
una masa que pesa, digamos, 8 libras alarga el mismo resorte sólo 25 pie.
SEGUNDA LEY DE NEWTON Después de que se une una masa m a un resorte, ésta
alarga el resorte una cantidad s y logra una posición de equilibrio en la cual su peso W se
equilibra mediante la fuerza restauradora ks. Recuerde que el peso se define mediante
W mg, donde la masa se mide en slugs, kilogramos o gramos y g 32 pies/s2, 9.8 m/s2,
o bien 980 cm /s2, respectivamente. Como se indica en la figura 5.1.1b, la condición de
equilibrio es mg ks o mg ks 0. Si la masa se desplaza por una cantidad x de su posición de equilibrio, la fuerza restauradora del resorte es entonces k(x s). Suponiendo
que no hay fuerzas restauradoras que actúan sobre el sistema y suponiendo que la masa
vibra libre de otras fuerzas externas —movimiento libre— se puede igualar la segunda
ley de Newton con la fuerza neta o resultante de la fuerza restauradora y el peso.
x<0
x=0
x>0
d2x
m –––2 k(s x) mg kx mg ks kx.
dt
(1)
cero
m
FIGURA 5.1.2 La dirección hacia
abajo de la posición de equilibrio es
positiva.
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El signo negativo en (1) indica que la fuerza restauradora del resorte actúa opuesta a la
dirección de movimiento. Además, se adopta la convención de que los desplazamientos medidos abajo de la posición de equilibrio son positivos. Véase la figura 5.1.2.
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5.1
MODELOS LINEALES: PROBLEMAS CON VALORES INICIALES
●
183
ED DE UN MOVIMIENTO LIBRE NO AMORTIGUADO Dividiendo (1) entre la
masa m, se obtiene la ecuación diferencial de segundo orden d2xdt2 (km)x 0, o
d 2x
2
(2)
x 0,
dt 2
donde v2 km. Se dice que la ecuación (2) describe el movimiento armónico simple
o movimiento libre no amortiguado. Dos condiciones iniciales obvias relacionadas
con (2) son x(0) x0 y x(0) x1, el desplazamiento inicial y la velocidad inicial de la
masa, respectivamente. Por ejemplo, si x0 0, x1 0, la masa parte de un punto abajo
de la posición de equilibrio con una velocidad impartida hacia arriba. Cuando x(0) 0, se dice que la masa se libera a partir del reposo. Por ejemplo, si x0 0, x1 0, la masa
se libera desde el reposo de un punto x0 unidades arriba de la posición de equilibrio.
ECUACIÓN DE MOVIMIENTO Para resolver la ecuación (2), se observa que la
solución de su ecuación auxiliar m2 v2 0 son los números complejos ml vi,
m2 vi. Así de (8) de la sección 4.3 se encuentra la solución general de (2) es
x (t)
c1 cos t
c2 sen t .
(3)
El periodo del movimiento descrito por la ecuación (3) es T 2pv. El número T
representa el tiempo (medido en segundos) que tarda la masa en ejecutar un ciclo
de movimiento. Un ciclo es una oscilación completa de la masa, es decir, la masa m
que se mueve, por ejemplo, al punto mínimo abajo de la posición de equilibrio hasta
el punto más alto arriba de la misma y luego de regreso al punto mínimo. Desde un
punto de vista gráfico, T 2pv segundos es la longitud del intervalo de tiempo entre
dos máximos sucesivos (o mínimos) de x(t). Recuerde que un máximo de x(t) es el desplazamiento positivo correspondiente a la masa que alcanza su distancia máxima debajo de la posición de equilibrio, mientras que un mínimo de x(t) es el desplazamiento
negativo correspondiente a la masa que logra su altura máxima arriba de la posición de
equilibrio. Se hace referencia a cualquier caso como un desplazamiento extremo de la
masa. La frecuencia de movimiento es f 1T v2p y es el número de ciclos completado cada segundo. Por ejemplo, si x(t) 2 cos 3pt 4 sen 3pt, entonces el periodo
es T 2p3p 23 s y la frecuencia es f 32 cicloss. Desde un punto de vista
x (t) ,
esquemático la gráfica de x(t) se repite cada 23 de segundo, es decir, x t 23
y 32 ciclos de la gráfica se completan cada segundo (o, equivalentemente, tres ciclos de
la gráfica se completan cada dos segundos). El número
1k>m (medido en radianes
por segundo) se llama frecuencia circular del sistema. Dependiendo de qué libro lea,
tanto f v2p como v se conocen como frecuencia natural del sistema. Por último,
cuando se emplean las condiciones iniciales para determinar las constantes c1 y c2 en (3),
se dice que la solución particular resultante o respuesta es la ecuación de movimiento.
(
EJEMPLO 1
)
Movimiento libre no amortiguado
Una masa que pesa 2 libras alarga 6 pulgadas un resorte. En t 0 se libera la masa
desde un punto que está 8 pulgadas abajo de la posición de equilibrio con una velocidad ascendente de 43 pies. Determine la ecuación de movimiento.
SOLUCIÓN Debido a que se está usando el sistema de unidades de ingeniería, las
mediciones dadas en términos de pulgadas se deben convertir en pies: 6 pulg 12 pie;
8 pulg 23 pie. Además, se deben convertir las unidades de peso dadas en libras a
1
unidades de masa. De m Wg tenemos que m 322
16 slug. También, de la ley de
1
Hooke, 2 k 2 implica que la constante de resorte es k 4 lbpie. Por lo que, de la
ecuación (1) se obtiene
1 d 2x
d 2x
o
4
x
64 x 0.
16 dt 2
dt 2
El desplazamiento inicial y la velocidad inicial son x(0) 23 , x(0) 43 , donde el
signo negativo en la última condición es una consecuencia del hecho de que a la masa
se le da una velocidad inicial en la dirección negativa o hacia arriba.
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184
●
CAPÍTULO 5
MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Ahora v2 64 o v 8, por lo que la solución general de la ecuación diferencial es
x (t)
c2 sen 8t .
c1 cos 8t
(4)
Aplicando las condiciones iniciales a x(t) y x(t) se obtiene c1
tanto, la ecuación de movimiento es
2
cos 8t
3
x (t)
2
3
1
.
6
y c2
1
sen 8t.
6
Por
(5)
FORMA ALTERNATIVA DE X(t) Cuando c1 ⫽ 0 y c2 ⫽ 0, la amplitud A de las vibraciones libres no es evidente a partir de la inspección de la ecuación (3). Por ejemplo,
aunque la masa del ejemplo 1 se desplaza inicialmente 23 pie más allá de la posición de
equilibrio, la amplitud de las vibraciones es un número mayor que 23 . Por tanto, suele
ser conveniente convertir una solución de la forma (3) en una forma más simple
x (t)
donde A
2c21
c22
),
A sen( t
(6)
y f es un ángulo de fase definido por
c1
A
tan
c2
A
sen
cos
c1
.
c2
(7)
Para comprobar esto se desarrolla la ecuación (6) usando la fórmula de suma para la
función seno:
A sen t cos
cos t sen
( sen )cos t
( cos )sen t .
(8)
Se deduce de la figura 5.1.3 que si f está definida por
c12 + c22
c1
c1
sen
φ
1c12
c22
c1
,
A
c2
cos
1c12
c22
c2
,
A
entonces la ecuación (8) se convierte en
c2
A
FIGURA 5.1.3 Una relación entre
c1 0, c 2 0 y el ángulo de fase f.
c1
cos t
A
EJEMPLO 2
A
c2
sen t
A
c1 cos t
c2 sen t
x (t).
Forma alternativa de solución (5)
En vista de la descripción anterior, se puede escribir la solución (5) en la forma alternativa
1 2
x(t)
2 23 2
f A sen(8t f). El cálculo de la amplitud es directo, A
6
17
236 0.69 pies , pero se debe tener cuidado al calcular el ángulo de fase f definido
()
por (7). Con c1
2
3
y c2
1
6
( )
se encuentra tan f 4 y, con una calculadora se ob-
tiene tan (4) 1.326 rad. Este no es el ángulo de fase, puesto que tan1(4) se
localiza en el cuarto cuadrante y por tanto contradice el hecho de que sen f 0 y
cos f 0 porque c1 0 y c2 0. Por tanto, se debe considerar que f es un ángulo
del segundo cuadrante f p (1.326) 1.816 rad. Así la ecuación (5) es igual a
1
x (t)
117
sen(8t
6
1.816).
(9)
El periodo de esta función es T 2p8 p4 s.
En la figura 5.1.4a se ilustra la masa del ejemplo 2 que recorre aproximadamente
dos ciclos completos de movimiento. Leyendo de izquierda a derecha, las primeras
cinco posiciones (marcadas con puntos negros) corresponden a la posición inicial de
la masa debajo de la posición de equilibrio x 23 , la masa que pasa por la posición
(
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)
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5.1
MODELOS LINEALES: PROBLEMAS CON VALORES INICIALES
x negativa
x=−
185
●
17
6
x=0
x=0
x positiva
x=
x=0
2
3
17
6
x=
a)
x
(0, 23 )
amplitud
x positiva
A=
x=0
17
6
t
x negativa
π
4
periodo
b)
FIGURA 5.1.4 Movimiento armónico simple.
de equilibrio por primera vez en dirección ascendente (x 0), la masa en su desplazamiento extremo arriba de la posición de equilibrio (x
117 6) , la masa en la
posición de equilibrio para la segunda vez que se dirige hacia arriba (x 0) y la masa
117 6). Los
en su desplazamiento extremo abajo de la posición de equilibrio (x
puntos negros sobre la gráfica de (9), que se presenta en la figura 5.1.4b también concuerdan con las cinco posiciones antes mencionadas. Sin embargo, observe que en la
figura 5.1.4b la dirección positiva en el plano tx es la dirección ascendente usual y por
tanto, es opuesta a la dirección positiva que se indica en la figura 5.1.4a. Por lo que
la gráfica sólida azul que representa el movimiento de la masa en la figura 5.1.4b es la
reflexión por el eje t de la curva punteada azul de la figura 5.1.4a.
La forma (6) es muy útil porque es fácil encontrar valores de tiempo para los cuales
la gráfica de x(t) cruza el eje t positivo (la recta x 0). Se observa que sen(vt f) 0
cuando vt f np, donde n es un entero no negativo.
SISTEMAS CON CONSTANTES DE RESORTE VARIABLES En el modelo apenas
analizado se supuso una situación ideal, una en la que las características físicas del resorte
no cambian con el tiempo. No obstante, en la situación no ideal, parece razonable esperar
que cuando un sistema resorte/masa está en movimiento durante un largo tiempo, el resorte se debilita; en otras palabras, varía la “constante de resorte”, de manera más específica, decae con el tiempo. En un modelo para el resorte cada vez más viejo la constante
de resorte k en (1) se reemplaza con la función decreciente K(t) keat, k 0, a 0.
La ecuación diferencial lineal mx keat x 0 no se puede resolver con los métodos
considerados en el capítulo 4. Sin embargo, es posible obtener dos soluciones linealmente
independientes con los métodos del capítulo 6. Véase el problema 15 en los ejercicios 5.1,
el ejemplo 4 de la sección 6.3 y los problemas 33 y 39 de los ejercicios 6.3.
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CAPÍTULO 5
●
MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Cuando un sistema resorte/masa se somete a un ambiente en el cual la temperatura
disminuye con rapidez, podría tener sentido reemplazar la constante k con K(t) kt, k 0,
una función que se incrementa con el tiempo. El modelo resultante, mx ktx 0, es una
forma de la ecuación diferencial de Airy. Al igual que la ecuación para un resorte viejo, la
ecuación de Airy se resuelve con los métodos del capítulo 6. Véase el problema 16 de los ejercicios 5.1, el ejemplo 4 de la sección 6.1 y los problemas 34, 35 y 40 de los ejercicios 6.3.
5.1.2
SISTEMAS RESORTE/MASA:
MOVIMIENTO LIBRE AMORTIGUADO
El concepto de movimiento armónico libre es un poco irreal, puesto que el movimiento
que describe la ecuación (1) supone que no hay fuerzas retardadoras actuando sobre
la masa en movimiento. A menos que la masa se suspenda en un vacío perfecto, habrá
por lo menos una fuerza de resistencia debida al medio circundante. Como se muestra
en la figura 5.1.5, la masa podría estar suspendida en un medio viscoso o unida a un
dispositivo amortiguador.
m
ED DE UN MOVIMIENTO LIBRE AMORTIGUADO En el estudio de la mecánica, las fuerzas de amortiguamiento que actúan sobre un cuerpo se consideran proporcionales a una potencia de la velocidad instantánea. En particular, en el análisis posterior se supone que esta fuerza está dada por un múltiplo constante de dxdt. Cuando
ninguna otra fuerza actúa en el sistema, se tiene de la segunda ley de Newton que
a)
m
d 2x
dt 2
dx
,
dt
kx
(10)
donde b es una constante de amortiguamiento positiva y el signo negativo es una
consecuencia del hecho de que la fuerza de amortiguamiento actúa en una dirección
opuesta al movimiento.
Dividiendo la ecuación (10) entre la masa m, se encuentra que la ecuación diferencial del movimiento libre amortiguado es d 2xdt 2 (bm)dxdt (km)x 0 o
m
d 2x
dt 2
donde
2
FIGURA 5.1.5 Dispositivos de
2
0,
x
2
,
m
b)
amortiguamiento.
dx
dt
2
(11)
k
.
m
(12)
El símbolo 2l se usa sólo por conveniencia algebraica, porque la ecuación auxiliar es
m2 2lm v2 0 y las raíces correspondientes son entonces
2
m1
2
2,
2
m2
2
2.
Ahora se pueden distinguir tres casos posibles dependiendo del signo algebraico de
l2 v2. Puesto que cada solución contiene el factor de amortiguamiento elt, l 0, los
desplazamientos de la masa se vuelven despreciables conforme el tiempo t aumenta.
x
CASO I: L2 V2 0 En esta situación el sistema está sobreamortiguado porque
el coeficiente de amortiguamiento b es grande comparado con la constante del resorte
k. La solución correspondiente de (11) es x(t) c1 e m1t c2 em 2 t o
t
FIGURA 5.1.6 Movimiento de un
sistema sobreamortiguado.
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x(t)
e
t
(c1 e1
2
2t
c2 e
1
2
).
2t
(13)
Esta ecuación representa un movimiento uniforme y no oscilatorio. En la figura 5.1.6
se muestran dos gráficas posibles de x(t).
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5.1
MODELOS LINEALES: PROBLEMAS CON VALORES INICIALES
187
CASO II: L2 V2 0 Este sistema está críticamente amortiguado porque cualquier ligera disminución en la fuerza de amortiguamiento daría como resultado un
movimiento oscilatorio. La solución general de (11) es x (t) c1e m1t c2 tem1t o
x
t
x (t)
FIGURA 5.1.7 Movimiento de un
sistema críticamente amortiguado.
x
●
no amortiguado
subamortiguado
e
t
c2 t) .
(c1
(14)
En la figura 5.1.7 se presentan algunas gráficas típicas de movimiento. Observe que el
movimiento es bastante similar al de un sistema sobreamortiguado. También es evidente de (14) que la masa puede pasar por la posición de equilibrio a lo más una vez.
CASO III: L2 V2 0 En este caso el sistema está subamortiguado puesto que
el coeficiente de amortiguamiento es pequeño comparado con la constante del resorte.
Las raíces m1 y m2 ahora son complejas:
1
m1
2
2 i,
1
m2
2
2 i.
Así que la ecuación general de la ecuación (11) es
t
x (t)
FIGURA 5.1.8 Movimiento de un
sistema subamortiguado.
e
t
(c1 cos 1
2
c2 sen 1
2t
2
).
2t
(15)
Como se indica en la figura 5.1.8, el movimiento descrito por la ecuación (15) es oscilatorio; pero debido al coeficiente elt, las amplitudes de vibración S 0 cuando t S .
EJEMPLO 3
Movimiento sobreamortiguado
Se comprueba fácilmente que la solución del problema con valores iniciales
d 2x
dt 2
x
5
2
1
2
3
a)
t
x(t)
1
1.5
2
2.5
3
0.601
0.370
0.225
0.137
0.083
b)
t
dx
dt
4x
x (t)
es
x = 3 e −t − 3 e −4t
5
0, x (0)
5
e
3
t
2
e
3
1, x (0)
4t
.
1
(16)
El problema se puede interpretar como representativo del movimiento sobreamortiguado de una masa sobre un resorte. La masa se libera al inicio de una posición una
unidad abajo de la posición de equilibrio con velocidad descendente de 1 pie/s.
Para graficar x(t), se encuentra el valor de t para el cual la función tiene un extremo, es decir, el valor de tiempo para el cual la primera derivada (velocidad) es cero.
8
5
t
4t
, así x(t) 0 implica
Derivando la ecuación (16) se obtiene x (t)
3e
3e
8
1
8
3
t
que e
o
.
Se
tiene
de
la
prueba
de
la
primera derivada, así
t
ln
0.157
5
3
5
como de la intuición física, que x(0.157) 1.069 pies es en realidad un máximo. En
otras palabras, la masa logra un desplazamiento extremo de 1.069 pies abajo de la
posición de equilibrio.
Se debe comprobar también si la gráfica cruza el eje t, es decir, si la masa pasa
por la posición de equilibrio. En este caso tal cosa no puede suceder, porque la ecuación x(t) 0, o e3t 25 , tiene una solución irrelevante desde el punto de vista físico
t 13 ln 25
0.305 .
En la figura 5.1.9 se presenta la gráfica de x(t), junto con algunos otros datos
pertinentes.
FIGURA 5.1.9 Sistema
sobreamortiguado.
EJEMPLO 4
Movimiento críticamente amortiguado
Una masa que pesa 8 libras alarga 2 pies un resorte. Suponiendo que una fuerza amortiguada que es igual a dos veces la velocidad instantánea actúa sobre el sistema, determine la ecuación de movimiento si la masa inicial se libera desde la posición de
equilibrio con una velocidad ascendente de 3 pies/s.
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188
●
CAPÍTULO 5
MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
SOLUCIÓN De la ley de Hooke se ve que 8 k(2) da k 4 lb/pie y que W mg da
8
32
m
1
4
slug. La ecuación diferencial de movimiento es entonces
1 d 2x
4 dt2
4x
2
dx
dt
d 2x
dt 2
o
8
dx
dt
16 x
0.
(17)
La ecuación auxiliar para (17) es m2 8m 16 (m 4)2 0, así que m1 m2 4. Por tanto el sistema está críticamente amortiguado y
x (t)
x
t=
1
4
t
− 0.276
c1e
4t
FIGURA 5.1.10 Sistema críticamente
amortiguado.
.
(18)
Aplicando las condiciones iniciales x(0) 0 y x(0) 3, se encuentra, a su vez, que
c1 0 y c2 3. Por tanto la ecuación de movimiento es
x (t)
altura
máxima arriba de la
posición de equilibrio
4t
c2 te
3te
4t
.
(19)
Para graficar x(t), se procede como en el ejemplo 3. De x(t) 3e (1 4t)
vemos que x(t) 0 cuando t 14 . El desplazamiento extremo correspondiente es
x 14
3 14 e 1
0.276 pies. Como se muestra en la figura 5.1.10, este valor
se interpreta para indicar que la masa alcanza una altura máxima de 0.276 pies arriba
de la posición de equilibrio.
4t
()
()
EJEMPLO 5
Movimiento subamortiguado
Una masa que pesa 16 libras se une a un resorte de 5 pies de largo. En equilibrio el resorte
mide 8.2 pies. Si al inicio la masa se libera desde el reposo en un punto 2 pies arriba de la
posición de equilibrio, encuentre los desplazamientos x(t) si se sabe además que el medio
circundante ofrece una resistencia numéricamente igual a la velocidad instantánea.
SOLUCIÓN La elongación del resorte después que se une la masa es 8.2 5 3.2
pies, así que se deduce de la ley de Hooke que 16 k(3.2) o k 5 lb/pie. Además,
1
m 16
32
2 slug, por lo que la ecuación diferencial está dada por
1 d 2x
2 dt 2
dx
dt
5x
d 2x
dt 2
o
2
dx
dt
10 x
0.
(20)
Procediendo, encontramos que las raíces de m2 2m 10 0 son m1 1 3i y
m2 1 3i, lo que significa que el sistema está subamortiguado y
e t(c1 cos 3t
x (t)
c2 sen 3t).
(21)
Por último, las condiciones iniciales x(0) 2 y x(0) 0 producen c1 2 y
2
, por lo que la ecuación de movimiento es
c2
3
x (t)
e
t
2 cos 3t
2
sen 3t .
3
(22)
FORMA ALTERNATIVA DE x(t) De una manera idéntica al procedimiento usado
en la página 184, se puede escribir cualquier solución
x (t)
e
t
(c1 cos 1
2
2t
c2 sen 1
)
2
2t
en la forma alternativa
x (t)
donde A
1c12
t
(
sen 1
2
2
t
),
(23)
c22 y el ángulo de fase f se determina de las ecuaciones
sen
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Ae
c1
,
A
cos
c2
,
A
tan
c1
.
c2
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5.1
MODELOS LINEALES: PROBLEMAS CON VALORES INICIALES
189
●
El coeficiente Aelt en ocasiones se llama amplitud amortiguada de vibraciones.
2
Debido a que (23) no es una función periódica, el número 2 1 2
se llama
2
2
2 es la cuasi frecuencia. El cuasi periodo es el incuasi periodo y 1
tervalo de tiempo entre dos máximos sucesivos de x(t). Se debe comprobar, para la
ecuación de movimiento del ejemplo 5, que A 2 110 3 y f 4.391. Por tanto,
una forma equivalente de (22) es
2 110 t
e sen(3t
3
x (t)
4.391).
5.1.3 SISTEMAS RESORTE/MASA: MOVIMIENTO
FORZADO
ED DE MOVIMIENTO FORZADO CON AMORTIGUAMIENTO Suponga
que ahora se toma en consideración una fuerza externa f(t) que actúa sobre una masa
vibrante en un resorte. Por ejemplo, f(t) podría representar una fuerza motriz que causa
un movimiento vertical oscilatorio del soporte del resorte. Véase la figura 5.1.11. La
inclusión de f(t) en la formulación de la segunda ley de Newton da la ecuación diferencial de movimiento forzado o dirigido:
m
m
d 2x
dt2
kx
dx
dt
f (t) .
(24)
F (t) ,
(25)
Dividiendo la ecuación (24) entre m, se obtiene
FIGURA 5.1.11 Movimiento vertical
d 2x
dt2
oscilatorio del apoyo.
2
dx
dt
2
x
donde F(t) f(t)m y, como en la sección anterior, 2l bm, v2 km. Para resolver la última ecuación homogénea, se puede usar ya sea el método de coeficientes
indeterminados o variación de parámetros.
EJEMPLO 6
Interpretación de un problema con valores iniciales
Interprete y resuelva el problema con valores iniciales
1 d 2x
5 dt2
1.2
dx
dt
2x
5 cos 4t, x (0)
1
,
2
x (0)
0.
(26)
Se puede interpretar el problema para representar un sistema vibratorio
que consiste en una masa (m 15 slug o kilogramo) unida a un resorte (k 2 lbpie
o Nm). La masa se libera inicialmente desde el reposo 12 unidad (pie o metro) abajo
de la posición de equilibrio. El movimiento es amortiguado (b 1.2) y está siendo
impulsado por una fuerza periódica externa (T p2 s) comenzando en t 0. De
manera intuitiva, se podría esperar que incluso con amortiguamiento el sistema permaneciera en movimiento hasta que se “desactive” la función forzada, en cuyo caso disminuirían las amplitudes. Sin embargo, como se plantea en el problema, f (t) 5 cos
4t permanecerá “activada” por siempre.
Primero se multiplica la ecuación diferencial en (26) por 5 y se resuelve
SOLUCIÓN
dx2
dt2
6
dx
dt
10 x
0
por los métodos usuales. Debido a que m1 3 i, m2 3 i, se deduce que
xc(t) e3t(c1 cos t c2 sen t). Con el método de coeficientes indeterminados, se
supone una solución particular de la forma xp(t) A cos 4t B sen 4t. Derivando xp(t)
y sustituyendo en la ED, se obtiene
xp
08367_05_ch05_p181-218.indd 189
6x p
10 xp
( 6A
24B) cos 4 t
( 24A
6B) sen 4t
25 cos 4 t.
6/4/09 12:19:13 PM
190
CAPÍTULO 5
●
MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
x
El sistema de ecuaciones resultante
6A
estado estable
xp (t)
1
se cumple en A
t
transitorio
_1
x (t)
a)
x
x(t)=transitorio
+ estado estable
t
π /2
50
51
25,
24A
6B
0
. Se tiene que
3t
e
e
3t
(c1 cos t
c2 sen t)
38
cos t
51
86
sen t
51
25
cos 4 t
102
50
sen 4t .
51
(28)
TÉRMINOS TRANSITORIO Y DE ESTADO ESTABLE Cuando F es una función
periódica, como F(t) F0 sen gt o F(t) F0 cos gt, la solución general de (25) para l
0 es la suma de una función no periódica xc(t) y una función periódica xp(t). Además
xc(t) se desvanece conforme se incrementa el tiempo, es decir, lím t : xc (t) 0 . Así,
para valores grandes de tiempo, los desplazamientos de la masa se aproximan mediante
la solución particular xp(t). Se dice que la función complementaria xc(t) es un término
transitorio o solución transitoria y la función xp(t), la parte de la solución que permanece después de un intervalo de tiempo, se llama término de estado estable o solución de estado estable. Por tanto, observe que el efecto de las condiciones iniciales en
un sistema resorte/masa impulsado por F es transitorio. En la solución particular (28),
25
50
86
e 3t 38
102 cos 4 t
51 sen 4t es
51 cos t
51 sen t es un término transitorio y xp(t)
un término de estado estable. Las gráficas de estos dos términos y la solución (28) se
presentan en las figuras 5.12a y 5.12b, respectivamente.
(
_1
yB
24B
25
50
cos 4 t
sen 4t.
(27)
102
51
c1 38
Cuando se hace t 0 en la ecuación anterior, se obtiene
51 . Derivando la expre51
86
sión y haciendo t 0, se encuentra también que c2
51 . Por tanto, la ecuación de
movimiento es
x (t)
π/2
1
25
102
)
b)
FIGURA 5.1.12 Gráfica de la solución
EJEMPLO 7
Soluciones de estado transitorio y de estado estable
dada en (28).
La solución del problema con valores iniciales
d 2x
dx
2
2 x 4 cos t
dt
dt2
donde x1 es constante, está dada por
x
x 1 =7
x 1 =3
x 1 =0
x(t)
(x1
2 sen t, x (0)
2) e t sen t
0, x (0)
x1,
2 sen t.
transitorio estado estable
t
x1=_3
π
2π
FIGURA 5.1.13 Gráfica de la solución
del ejemplo 7 para diferentes x 1.
Las curvas solución para valores seleccionados de la velocidad inicial x1 aparecen en
la figura 5.1.13. Las gráficas muestran que la influencia del término transitorio es despreciable para un valor aproximado de t 3p2.
ED DE MOVIMIENTO FORZADO SIN AMORTIGUAMIENTO Cuando se
ejerce una fuerza periódica sin fuerza de amortiguamiento, no hay término transitorio
en la solución de un problema. También se ve que una fuerza periódica con una frecuencia cercana o igual que la frecuencia de las vibraciones libres amortiguadas causa
un problema grave en un sistema mecánico oscilatorio.
EJEMPLO 8
Movimiento no amortiguado forzado
Resuelva el problema con valor inicial
d 2x
2
x F0 sen t, x (0)
dt2
donde F0 es una constante y g ⫽ v.
08367_05_ch05_p181-218.indd 190
0, x (0)
0,
(29)
6/4/09 12:19:14 PM
5.1
MODELOS LINEALES: PROBLEMAS CON VALORES INICIALES
191
●
SOLUCIÓN La función complementaria es xc(t) c1 cos vt c2 sen vt. Para obtener
una solución particular se supone xp(t) A cos gt B sen gt, por lo que
2
xp
xp
A(
2
2
) cos t
B(
2
2
) sen t
F0 sen t.
Igualando los coeficientes se obtiene de inmediato A 0 y B F0(v2 g2). Por tanto,
xp(t)
F0
2
2
sen t.
Aplicando las condiciones iniciales a la solución general
x (t)
c1 cos t
F0
c2 sen t
2
2
sen t
se obtiene c1 0 y c2 gF0 v(v 2 g 2). Por tanto, la solución es
x (t)
F0
(
2
2
)
(
sen t
(30)
sen t),
RESONANCIA PURA Aunque la ecuación (30) no se define para g v, es interesante observar que su valor límite conforme g S v se obtiene al aplicar la regla de
LHôpital. Este proceso límite es análogo a “sintonizar” la frecuencia de la fuerza
impulsora (g2p) con la frecuencia de vibraciones libres (v2p). De una manera intuitiva, se espera que en un espacio de tiempo se deban poder incrementar en forma
sustancial las amplitudes de vibración. Para g v se define la solución como
x (t)
lím F0
:
sen t
( 2
sen t
2
)
F0 lím
d
(
d
d
(
d
:
F0 lím
sen t
sen t
F0
t
FIGURA 5.1.14 Resonancia pura.
2
)
t cos t
2
:
x
3
sen t
sen t)
(31)
t cos t
2
2
F0
F0
t cos t.
sen t
2 2
2
Como se sospechaba, conforme t S los desplazamientos se vuelven largos; de
hecho, x(tn)S cuando tn npv, n 1, 2, ... . El fenómeno recién descrito se
conoce como resonancia pura. La gráfica de la figura 5.1.14 muestra el movimiento
característico en este caso.
En conclusión, se debe observar que no hay necesidad real de usar un proceso
límite en (30) para obtener la solución para g v. Alternativamente, la ecuación (31)
se deduce resolviendo el problema con valores iniciales
d 2x
2
x F0 sen t, x (0) 0, x (0) 0
dt 2
en forma directa por métodos convencionales.
Si realmente una función, como la ecuación (31) describiera los desplazamientos de
un sistema resorte/masa, el sistema necesariamente fallaría. Las oscilaciones grandes
de la masa forzarán en algún momento el resorte más allá de su límite elástico. Se podría
argumentar también que el modelo resonante presentado en la figura 5.1.14 es por completo irreal, porque no se toman en cuenta los efectos retardadores de las fuerzas de amortiguamiento que siempre están presentes. Aunque es verdad que la resonancia pura no
puede ocurrir cuando se toma en consideración la cantidad pequeña de amortiguamiento, las amplitudes de vibración grandes e igualmente destructivas pueden ocurrir (aunque
acotadas conforme t S ). Véase el problema 43 de los ejercicios 5.1.
08367_05_ch05_p181-218.indd 191
6/4/09 12:19:15 PM
192
●
CAPÍTULO 5
MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
5.1.4
L
E
R
CIRCUITO EN SERIE ANÁLOGO
CIRCUITOS LRC EN SERIE Como se mencionó en la introducción de este capítulo, muchos sistemas físicos diferentes se describen mediante una ecuación diferencial de segundo
orden similar a la ecuación diferencial de movimiento forzado con amortiguamiento:
m
C
FIGURA 5.1.15 Circuito LRC en
serie.
d 2x
dt 2
dx
dt
kx
f (t) .
(32)
Si i(t) denota la corriente en el circuito eléctrico en serie LRC que se muestra en la
figura 5.1.15, entonces las caídas de voltaje en el inductor, resistor y capacitor son
como se muestra en la figura 1.3.3. Por la segunda ley de Kirchhoff, la suma de estos
voltajes es igual al voltaje E(t) aplicado al circuito; es decir,
L
di
dt
Ri
1
q
C
E (t) .
(33)
Pero la carga q(t) en el capacitor se relaciona con la corriente i(t) con i dqdt, así la
ecuación (33) se convierte en la ecuación diferencial lineal de segundo orden
L
d 2q
dt2
R
dq
dt
1
q
C
E(t) .
(34)
La nomenclatura usada en el análisis de circuitos es similar a la que se emplea
para describir sistemas resorte/masa.
Si E(t) 0, se dice que las vibraciones eléctricas del circuito están libres. Debido a
que la ecuación auxiliar para (34) es Lm2 Rm 1C 0, habrá tres formas de solución
con R ⫽ 0, dependiendo del valor del discriminante R2 4LC. Se dice que el circuito es
y
sobreamortiguado si
R2 4LC 0.
críticamente amortiguado si
R2 4LC 0,
subamortiguado si
R2 4LC 0.
En cada uno de estos tres casos, la solución general de (34) contiene el factor eRt2L,
así q(t) S 0 conforme t S . En el caso subamortiguado cuando q(0) q0, la carga
en el capacitor oscila a medida que ésta disminuye; en otras palabras, el capacitor se
carga y se descarga conforme t S . Cuando E(t) 0 y R 0, se dice que el circuito
no está amortiguado y las vibraciones eléctricas no tienden a cero conforme t crece sin
límite; la respuesta del circuito es armónica simple.
EJEMPLO 9
Circuito en serie subamortiguado
Encuentre la carga q(t) en el capacitor en un circuito LRC cuando L 0.25 henry (h),
R 10 ohms (), C 0.001 farad (f), E(t) 0, q(0) q0 coulombs (C) e i(0) 0.
SOLUCIÓN Puesto que 1C 1000, la ecuación (34) se convierte en
1
q
4
10 q
1000 q
0
o
q
40 q
4000 q
0.
Resolviendo esta ecuación homogénea de la manera usual, se encuentra que el circuito
es subamortiguado y q(t) e20t(c1 cos 60t c2 sen 60t). Aplicando las condiciones
1
iniciales, se encuentra c1 q0 y c2
. Por tanto
3 q0
q (t)
08367_05_ch05_p181-218.indd 192
q0e
20t
cos 60t
1
sen 60t .
3
6/4/09 12:19:15 PM
5.1
MODELOS LINEALES: PROBLEMAS CON VALORES INICIALES
193
●
Usando (23), podemos escribir la solución anterior como
q0 1 10
e
3
q(t)
20t
1.249).
sen(60t
Cuando se aplica un voltaje E(t) al circuito, se dice que las vibraciones eléctricas
son forzadas. En el caso cuando R ⫽ 0, la función complementaria qc(t) de (34) se
llama solución transitoria. Si E(t) es periódica o una constante, entonces la solución
particular qp(t) de (34) es una solución de estado estable.
EJEMPLO 10
Corriente de estado estable
Encuentre la solución de estado estable qp(t) y la corriente de estado estable en un
circuito LRC en serie cuando el voltaje aplicado es E(t) E0 sen gt.
La solución de estado estable qp(t) es una solución particular de la ecuación diferencial
SOLUCIÓN
L
d 2q
dt 2
R
dq
dt
1
q
C
E0 sen t.
Con el método de coeficientes indeterminados, se supone una solución particular de la
forma qp(t) A sen gt B cos gt. Sustituyendo esta expresión en la ecuación diferencial e igualando coeficientes, se obtiene
E0 L
A
2 2
L
2L
C
1
C
,
1
C2
2
R
E0 R
2L
1
2
C
C
B
2
2 2
L
.
2
R
2
Es conveniente expresar A y B en términos de algunos nuevos símbolos.
Si
X
L
Si
Z
1X2
1 ,
C
R2,
entonces
Z2
L2
2
entonces
Z2
L2
2
2L
C
1
C2
2L
C
1
C2
2
2
.
R 2.
Por tanto A E0 X(gZ 2) y B E0 R(gZ 2), así que la carga de estado estable es
qp(t)
E0 X
sen t
Z2
E0 R
cos t.
Z2
Ahora la corriente de estado estable está dada por ip(t)
ip(t)
E0 R
sen t
Z Z
q p(t) :
X
cos t .
Z
(35)
Las cantidades X Lg 1Cg y Z
1X2 R2 definidas en el ejemplo 11 se
llaman reactancia e impedancia del circuito, respectivamente. Tanto la reactancia
como la impedancia se miden en ohms.
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194
●
CAPÍTULO 5
MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
EJERCICIOS 5.1
Las respuestas a los problemas con número impar comienzan en la página RES-7.
5.1.1 SISTEMAS RESORTE/MASA:
MOVIMIENTO LIBRE NO AMORTIGUADO
1. Una masa que pesa 4 libras se une a un resorte cuya constante es 16 lb/pie. ¿Cuál es el periodo del movimiento
armónico simple?
2. Una masa de 20 kilogramos se une a un resorte. Si la frecuencia del movimiento armónico simple es 2p ciclos/s,
¿cuál es la constante de resorte k? ¿Cuál es la frecuencia
del movimiento armónico simple si la masa original se
reemplaza con una masa de 80 kilogramos?
3. Una masa que pesa 24 libras, unida al extremo de un resorte, lo alarga 4 pulgadas. Al inicio, la masa se libera
desde el reposo en un punto 3 pulgadas arriba de la posición de equilibrio. Encuentre la ecuación de movimiento.
4. Determine la ecuación de movimiento si la masa del problema 3 se libera al inicio desde la posición de equilibrio
con una velocidad descendente de 2 pies/s.
5. Una masa que pesa 20 libras alarga 6 pulgadas un resorte.
La masa se libera al inicio desde el reposo en un punto
6 pulgadas abajo de la posición de equilibrio.
a) Encuentre la posición de la masa en los tiempos t p12, p8, p6, p4 y 9p32 s.
b) ¿Cuál es la velocidad de la masa cuando t 3p16 s?
¿En qué dirección se dirige la masa en este instante?
c) ¿En qué tiempos la masa pasa por la posición de equilibrio?
arriba de la posición de equilibrio con una velocidad ascendente de 2 pies/s. ¿Cuántos ciclos enteros habrá completado la masa al final de 4p segundos?
9. Una masa que pesa 8 libras se une a un resorte. Cuando se
pone en movimiento, el sistema resorte/masa exhibe movimiento armónico simple. Determine la ecuación de
movimiento si la constante de resorte es 1 lb/pie y la masa
se libera inicialmente desde un punto 6 pulgadas abajo de
la posición de equilibrio, con una velocidad descendente
de 32 pie/s. Exprese la ecuación de movimiento en la
forma dada en (6).
10. Una masa que pesa 10 libras alarga un resorte 14 pie. Esta
masa se retira y se coloca una de 1.6 slugs, que se libera
desde un punto situado a 13 pie arriba de la posición de
equilibrio, con una velocidad descendente de 54 pie/s. Exprese la ecuación de movimiento en la forma dada en (6).
¿En qué tiempos la masa logra un desplazamiento debajo
de la posición de equilibrio numéricamente igual a 12 de
la amplitud?
11. Una masa que pesa 64 libras alarga 0.32 pies un resorte.
Al inicio la masa se libera desde un punto que está 8 pulgadas arriba de la posición de equilibrio con una velocidad descendente de 5 pies/s.
a) Encuentre la ecuación de movimiento.
b) ¿Cuáles son la amplitud y el periodo del movimiento?
c) ¿Cuántos ciclos completos habrá realizado la masa al
final de 3p segundos?
6. Una fuerza de 400 newtons alarga 2 metros un resorte.
Una masa de 50 kilogramos se une al extremo del resorte
y se libera inicialmente desde la posición de equilibrio
con una velocidad ascendente de 10 m/s. Encuentre la
ecuación de movimiento.
d) ¿En qué momento la masa pasa por la posición de
equilibrio con dirección hacia abajo por segunda vez?
7. Otro resorte cuya constante es 20 N/m se suspende del
mismo soporte, pero paralelo al sistema resorte/masa
del problema 6. Al segundo resorte se le coloca una
masa de 20 kilogramos y ambas masas se liberan al inicio desde la posición de equilibrio con una velocidad
ascendente de 10 m/s.
g) ¿Cuál es la velocidad instantánea en t 3 s?
a) ¿Cuál masa presenta la mayor amplitud de movimiento?
b) ¿Cuál masa se mueve más rápido en t p4 s? ¿En
p2 s?
c) ¿En qué instantes las dos masas están en la misma
posición? ¿Dónde están las masas en estos instantes?
¿En qué direcciones se están moviendo las masas?
8. Una masa que pesa 32 libras alarga 2 pies un resorte.
Determine la amplitud y el periodo de movimiento si la
masa se libera inicialmente desde un punto situado 1 pie
08367_05_ch05_p181-218.indd 194
e) ¿En qué instantes la masa alcanza sus desplazamientos
extremos en cualquier lado de la posición de equilibrio?
f) ¿Cuál es la posición de la masa en t 3 s?
h) ¿Cuál es la aceleración en t 3 s?
i) ¿Cuál es la velocidad instantánea en los instantes
cuando la masa pasa por la posición de equilibrio?
j) ¿En qué instantes la masa está 5 pulgadas abajo de la
posición de equilibrio?
k) ¿En qué instantes la masa está 5 pulgadas abajo de la
posición de equilibrio apuntando en dirección hacia
arriba?
12. Una masa de 1 slug se suspende de un resorte cuya constante es de 9 lbpie. Inicialmente la masa se libera desde
un punto que está 1 pie arriba de la posición de equilibrio
con una velocidad ascendente de 13 pies/s. Determine
los instantes en los que la masa se dirige hacia abajo a una
velocidad de 3 pies/s.
6/4/09 12:19:16 PM
5.1
MODELOS LINEALES: PROBLEMAS CON VALORES INICIALES
13. Bajo algunas circunstancias, cuando dos resortes paralelos, con constantes k1 y k2, soportan una sola masa, la
constante de resorte efectiva del sistema se expresa
como k 4k1k 2 (k1 k 2 ). Una masa que pesa 20 libras
estira 6 pulgadas un resorte y 2 pulgadas otro resorte. Los
resortes se unen a un soporte rígido común y luego a una
placa metálica. Como se muestra en la figura 5.1.16, la
masa se une al centro de la placa en la configuración de
resorte doble. Determine la constante de resorte efectiva
de este sistema. Encuentre la ecuación de movimiento si
la masa se libera inicialmente desde la posición de equilibrio con una velocidad descendente de 2 pies/s.
17.
195
x
t
FIGURA 5.1.17 Gráfica del problema 17.
18.
x
t
k2
k1
●
FIGURA 5.1.18 Gráfica del problema 18.
20 lb
FIGURA 5.1.16
Sistema de resorte doble del
19.
x
problema 13.
14. Una cierta masa alarga un resorte 13 pie y otro resorte 12
pie. Los dos resortes se unen a un soporte rígido común
en la manera descrita en el problema 13 y en la figura
5.1.16. Se quita la primera masa y se coloca una que pesa
8 libras en la configuración de resorte doble y se pone en
movimiento el sistema. Si el periodo de movimiento es
p15 segundos, determine cuánto pesa la primera masa.
15. Un modelo de un sistema de resorte/masa es 4x e0.1tx
0. Por inspección de la ecuación diferencial solamente,
describa el comportamiento del sistema durante un periodo largo.
16. El modelo de un sistema de resorte/masa es 4x tx 0.
Por inspección de la ecuación diferencial solamente, describa el comportamiento del sistema durante un periodo
largo.
5.1.2 SISTEMAS RESORTE/MASA:
MOVIMIENTO LIBRE AMORTIGUADO
En los problemas 17 a 20, la figura representa la gráfica de una
ecuación de movimiento para un sistema resorte/masa amortiguado. Use la gráfica para determinar:
a) si el desplazamiento inicial está arriba o abajo de la posición de equilibrio y
b) si la masa se libera inicialmente desde el reposo, con dirección descendente o ascendente.
08367_05_ch05_p181-218.indd 195
t
FIGURA 5.1.19 Gráfica del problema 19.
20.
x
t
FIGURA 5.1.20 Gráfica del problema 20.
21. Una masa que pesa 4 libras se une a un resorte cuya constante es 2 lb/pie. El medio ofrece una fuerza de amortiguamiento que es numéricamente igual a la velocidad
instantánea. La masa se libera desde un punto situado
1 pie arriba de la posición de equilibrio con una velocidad descendente de 8 pies/s. Determine el tiempo en el
que la masa pasa por la posición de equilibrio. Encuentre
el tiempo en el que la masa alcanza su desplazamiento
extremo desde la posición de equilibrio. ¿Cuál es la posición de la masa en este instante?
6/4/09 12:19:17 PM
196
●
CAPÍTULO 5
MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
22. Un resorte de 4 pies mide 8 pies de largo después de colgarle una masa que pesa 8 libras. El medio por el que se
mueve la masa ofrece una fuerza de amortiguamiento igual
a 1 2 veces la velocidad instantánea. Encuentre la ecuación de movimiento si la masa se libera inicialmente desde
la posición de equilibrio con una velocidad descendente
de 5 pies/s. Calcule el tiempo en que la masa alcanza su
desplazamiento extremo desde la posición de equilibrio.
¿Cuál es la posición de la masa en ese instante?
23. Una masa de 1 kilogramo se fija a un resorte cuya constante es 16 N/m y luego el sistema completo se sumerge
en un líquido que imparte una fuerza amortiguadora igual
a 10 veces la velocidad instantánea. Determine las ecuaciones de movimiento si:
a) al inicio la masa se libera desde un punto situado
1 metro abajo de la posición de equilibrio, y luego
b) la masa se libera inicialmente desde un punto 1 metro
abajo de la posición de equilibrio con una velocidad
ascendente de 12 m/s.
24. En los incisos a) y b) del problema 23, determine si la
masa pasa por la posición de equilibrio. En cada caso,
calcule el tiempo en que la masa alcanza su desplazamiento extremo desde la posición de equilibrio. ¿Cuál es
la posición de la masa en este instante?
25. Una fuerza de 2 libras alarga 1 pie un resorte. Una masa
que pesa 3.2 libras se une al resorte y luego se sumerge el
sistema en un medio que ofrece una fuerza de amortiguamiento igual a 0.4 veces la velocidad instantánea.
a) Encuentre la ecuación de movimiento si inicialmente
se libera la masa desde el reposo en un punto situado
a 1 pie por encima de la posición de equilibrio.
b) Exprese la ecuación de movimiento en la forma dada
en (23).
c) Encuentre la primera vez en que la masa pasa a través
de la posición de equilibrio en dirección hacia arriba.
26. Después de que una masa de 10 libras se sujeta a un resorte de 5 pies, éste llega a medir 7 pies. Se retira la masa
y se sustituye con una de 8 libras. Luego se coloca al
sistema en un medio que ofrece una fuerza de amortiguamiento igual a la velocidad instantánea.
los valores de la constante de amortiguamiento b por lo
que el movimiento posterior sea a) sobreamortiguado,
b) críticamente amortiguado y c) subamortiguado.
28. Una masa que pesa 24 libras alarga 4 pies un resorte. El
movimiento posterior toma lugar en un medio que ofrece
una fuerza de amortiguamiento igual a b (b 0) veces la
velocidad instantánea. Si al inicio la masa se libera desde
la posición de equilibrio con una velocidad ascendente
3 1 2 la ecuación de
de 2 pies/s, muestre que cuando
movimiento es
3
2
x (t)
e 2 t /3 senh 1 2 18 t.
1 2 18
3
5.1.3
SISTEMAS RESORTE/MASA:
MOVIMIENTO FORZADO
29. Una masa que pesa 16 libras alarga 83 pie un resorte. La
masa se libera inicialmente desde el reposo desde un punto
2 pies abajo de la posición de equilibrio y el movimiento
posterior ocurre en un medio que ofrece una fuerza de
amortiguamiento igual a 12 de la velocidad instantánea.
Encuentre la ecuación de movimiento si se aplica a la
masa una fuerza externa igual a f(t) 10 cos 3t.
30. Una masa de 1 slug está unida a un resorte cuya constante es 5 lb/pie. Al inicio la masa se libera 1 pie abajo de
la posición de equilibrio con una velocidad descendente
de 5 pies/s y el movimiento posterior toma lugar en un
medio que ofrece una fuerza de amortiguamiento igual a
dos veces la velocidad instantánea.
a) Encuentre la ecuación de movimiento si una fuerza
externa igual a f (t) 12 cos 2t 3 sen 2t actúa
sobre la masa.
b) Trace la gráfica de las soluciones transitorias y de estado estable en los mismos ejes de coordenadas.
c) Trace la gráfica de la ecuación de movimiento.
31. Una masa de 1 slug, cuando se une a un resorte, causa en
éste un alargamiento de 2 pies y luego llega al punto de
reposo en la posición de equilibrio. Empezando en t 0,
una fuerza externa igual a f(t) 8 sen 4t se aplica al sistema. Encuentre la ecuación de movimiento si el medio
circundante ofrece una fuerza de amortiguamiento igual a
8 veces la velocidad instantánea.
a) Encuentre la ecuación de movimiento si la masa se libera inicialmente desde el reposo de un punto situado
1 pie arriba de la posición de equilibrio.
b) Exprese la ecuación de movimiento en la forma dada
en (23).
c) Calcule los tiempos en los que la masa pasa por la
posición de equilibrio con dirección hacia abajo.
d) Trace la gráfica de la ecuación de movimiento.
33. Cuando una masa de 2 kilogramos se une a un resorte cuya
constante es 32 Nm, éste llega al reposo en la posición de
equilibrio. Comenzando en t 0, una fuerza igual a f(t) 68e2t cos 4t se aplica al sistema. Determine la ecuación de
movimiento en ausencia de amortiguamiento.
27. Una masa que pesa 10 libras produce un alargamiento de
2 pies en un resorte. La masa se une a un dispositivo amortiguador que ofrece una fuerza de amortiguamiento igual
a b (b 0) veces la velocidad instantánea. Determine
34. En el problema 33, escriba la ecuación de movimiento en
la forma x(t) Asen(vt f) Be2tsen(4t u). ¿Cuál
es la amplitud de las vibraciones después de un tiempo
muy largo?
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32. En el problema 31 determine la ecuación de movimiento
si la fuerza externa es f(t) et sen 4t. Analice el desplazamiento para t S .
6/4/09 12:19:17 PM
5.1
MODELOS LINEALES: PROBLEMAS CON VALORES INICIALES
35. Una masa m está unida al extremo de un resorte cuya
constante es k. Después de que la masa alcanza el equilibrio, su soporte empieza a oscilar verticalmente respecto
a una recta horizontal L de acuerdo con una fórmula h(t).
El valor de h representa la distancia en pies medida desde
L. Véase la figura 5.1.21.
a) Determine la ecuación diferencial de movimiento si
el sistema entero se mueve en un medio que ofrece
una fuerza de amortiguamiento igual a b(dxdt).
b) Resuelva la ecuación diferencial del inciso a) si el resorte se alarga 4 pies con una masa que pesa 16 libras
y b 2, h(t) 5 cos t, x(0) x(0) 0.
F0
b) Evalúe lím
2
:
2
41. a) Muestre que x(t) dada en el inciso a) del problema 39
se puede escribir en la forma
x(t)
2F0
2
2
x(t)
h(t)
36. Una masa de 100 gramos se fija a un resorte cuya constante es 1600 dinas/cm. Después de que la masa alcanza el
equilibrio, su apoyo oscila de acuerdo con la fórmula h(t) sen 8t, donde h representa el desplazamiento desde su posición original. Véanse el problema 35 y la figura 5.1.21.
a) En ausencia de amortiguamiento, determine la ecuación de movimiento si la masa parte del reposo desde
la posición de equilibrio.
b) ¿En qué instantes la masa pasa por la posición de
equilibrio?
c) ¿En qué tiempos la masa alcanza sus desplazamientos extremos?
d) ¿Cuáles son los desplazamientos máximo y mínimo?
e) Trace la gráfica de la ecuación de movimiento.
En los problemas 37 y 38, resuelva el problema con valores
iniciales.
38.
d 2x
dt 2
1, x (0)
9x
3 cos 2t,
1
5 sen 3t,
x(0)
2, x (0)
0
39. a) Muestre que la solución del problema con valores iniciales
d 2x
2
x F0 cos t, x(0) 0, x (0) 0
dt 2
es
08367_05_ch05_p181-218.indd 197
x(t)
F0
2
2
(cos t
1
)t sen (
2
)t.
cos t) .
F0
sen t sen t.
2
Cuando e es pequeña, la frecuencia g2p de la fuerza aplicada es cercana a la frecuencia v2p de vibraciones libres.
Cuando esto ocurre, el movimiento es como se indica en la
figura 5.1.22. Las oscilaciones de esta clase se llaman pulsaciones y se deben al hecho de que la frecuencia de sen et es
bastante pequeña en comparación con la frecuencia de sen
gt. Las curvas punteadas o envoltura de la gráfica de x(t), se
obtienen de las gráficas de (F0 2eg) sen et. Use un programa de graficación para trazar gráficas con varios valores
de F0, e, y g para comprobar la gráfica de la figura 5.1.22.
FIGURA 5.1.21 Soporte oscilante del problema 35.
5 sen 2t
1
sen (
2
1
b) Si se define
), muestre que cuando e es
2 (
pequeña una solución aproximada es
L
4x
cos t) .
40. Compare el resultado obtenido en el inciso b) del problema 39 con la solución obtenida usando la variación de
parámetros cuando la fuerza externa es F0 cos vt.
soporte
d2x
37.
dt 2
x(0)
(cos t
197
●
x
t
FIGURA 5.1.22 Fenómeno de pulsaciones del problema 41.
Tarea para el laboratorio de computación
42. ¿Puede haber pulsaciones cuando se agrega una fuerza
de amortiguamiento al modelo del inciso a) del problema
39? Defienda su posición con las gráficas obtenidas ya
sea de la solución explícita del problema
d 2x
dt 2
2
dx
dt
2
x
F0 cos t, x(0)
0, x (0)
0
o de curvas solución obtenidas usando un programa de
solución numérica.
43. a) Muestre que la solución general de
d2x
dt 2
2
dx
dt
2
x
F0 sen t
6/4/09 12:19:18 PM
198
●
es
x(t)
CAPÍTULO 5
MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
5.1.4
lt
Ae
sen 2v
2
2
lt
f
F0
1(
2
2 )2
4
2
sen( t
2
),
donde A
1c12 c22 y los ángulos de fase f y u
están, respectivamente, definidos por sen f c1A,
cos f c2A y
sen
2
1(
2
2) 2
2
cos
1(
2
,
4
2
2
4
2
2
2
2) 2
.
b) La solución del inciso a) tiene la forma x(t) xc(t) xp(t). La inspección muestra que xc(t) es transitoria y
por tanto para valores grandes de tiempo, la solución
se aproxima mediante xp(t) g(g) sen(gt u), donde
F0
g( )
.
2
2)2
1(
4 2 2
Aunque la amplitud g(g) de xp(t) está acotada conforme t S , demuestre que las oscilaciones máximas ocurrirán en el valor 1
1 2 2 2 . ¿Cuál es
el valor máximo de g? El número 1 2 2 2 /2 se
dice que es la frecuencia de resonancia del sistema.
c) Cuando F0 2, m 1 y k 4, g se convierte en
2
g( )
.
2 )2
2 2
1(4
Construya una tabla de valores de g1 y g(g1) que
corresponden a los coeficientes de amortiguamien1
3
1
to b 2, b 1,
,y
. Usando
4
4,
2
un programa de graficación para trazar obtenga las
gráficas de g que corresponden a estos coeficientes de
amortiguamiento. Use los mismos ejes de coordenadas.
Esta familia de gráficas se llama curva de resonancia
o curva de respuesta de frecuencia del sistema. ¿A
qué valor se aproxima g1 conforme b S 0? ¿Qué sucede con la curva de resonancia conforme b S 0?
44. Considere un sistema resorte/masa no amortiguado descrito por el problema con valores iniciales
d 2x
2
x F0 sen n t, x(0) 0, x (0) 0.
dt2
a) Para n 2, explique por qué hay una sola frecuencia
g12p en la que el sistema está en resonancia pura.
b) Para n 3, analice por qué hay dos frecuencias g12p
y g22p en las que el sistema está en resonancia pura.
c) Suponga que v 1 y F0 1. Use un programa de solución numérica para obtener la gráfica de la solución
del problema con valores iniciales para n 2 y g g1 en el inciso a). Obtenga la gráfica de la solución del
problema con valores iniciales para n 3 que corresponde, a su vez, a g g1 y g g2 en el inciso b).
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CIRCUITO EN SERIE ANÁLOGO
45. Encuentre la carga en el capacitor de un circuito en serie
LRC en t 0.01 s cuando L 0.05 h, R 2 , C 0.01 f, E(t) 0 V, q(0) 5 C e i(0) 0 A. Determine la
primera vez en que la carga del capacitor es igual a cero.
46. Calcule la carga del capacitor en un circuito LRC en serie
1
cuando L 14 h, R 20 , C 300
f, E(t) 0 V, q(0)
4 C e i(0) 0 A. ¿Alguna vez la carga en el capacitor
es igual a cero?
En los problemas 47 y 48 encuentre la carga en el capacitor
y la corriente en el circuito LRC. Determine la carga máxima
en el capacitor.
47. L 53 h, R 10 , C
i(0) 0 A
48. L 1 h, R 100 ,
q(0) 0 C, i(0) 2 A
1
30
f, E(t) 300 V, q(0) 0 C,
C 0.0004 f,
E(t) 30 V,
49. Encuentre la carga y la corriente de estado estable en un
circuito LRC en serie cuando L 1 h, R 2 , C 0.25
f y E(t) 50 cos t V.
50. Demuestre que la amplitud de la corriente de estado estable en el circuito LRC en serie del ejemplo 10 está dada
por E0Z, donde Z es la impedancia del circuito.
51. Use el problema 50 para demostrar que la corriente de estado estable en un circuito LRC en serie cuando L 12 h ,
R 20 , C 0.001 f, y E(t) 100 sen 60t V, está dada
por ip(t) 4.160 sen(60t 0.588).
52. Encuentre la corriente de estado estable en un circuito
LRC cuando L 12 h , R 20 , C 0.001 f y E(t) 100 sen 60t 200 cos 40t V.
53. Encuentre la carga en el capacitor de un circuito
LRC en serie cuando L 12 h , R 10 , C 0.01 f,
E(t) 150 V, q(0) 1 C e i(0) 0 A. ¿Cuál es la carga
en el capacitor después de un largo tiempo?
54. Demuestre que si L, R, C y E0 son constantes, entonces la
amplitud de la corriente de estado estable del ejemplo 10
es un máximo cuando
1> 1LC . ¿Cuál es la amplitud máxima?
55. Demuestre que si L, R, E0 y g son constantes, entonces la
amplitud de la corriente de estado estable en el ejemplo
10 es un máximo cuando la capacitancia es C 1Lg2.
56. Calcule la carga en el capacitor y la corriente en un circuito LC cuando L 0.1 h, C 0.1 f, E(t) 100 sen gt
V, q(0) 0 C e i(0) 0 A.
57. Calcule la carga del capacitor y la corriente en un circuito
LC cuando E(t) E0 cos gt V, q(0) q0 C e i(0) i0 A.
58. En el problema 57, determine la corriente cuando el circuito está en resonancia.
6/4/09 12:19:18 PM