Sistema masa-resorte

Sistema masa-resorte
El la figura se muestra un resorte sujeto a la pared por un extremo y a un cuerpo de masa m por
el otro. La constante del resorte es k y en el sistema no actúan fuerzas de rozamiento.
Al separar el cuerpo de la posición de equilibrio (hasta la posición inicial x(0) = x 0 ), se le sujeta
un instante y se le libera (con lo que la velocidad inicial es v(0) = 0 ).
x=0
x(0) = x0
Inmediatamente, comienza a actuar sobre la masa la fuerza elástica del resorte, que según la ley
de Hooke, ésta responde a la expresión:
F = − kx .
En donde el signo de menos indica que el sentido de la fuerza elástica es contrario a la posición
de la masa, es decir: si la masa está a la derecha de la posición de equilibrio, el sentido de la
fuerza es hacia la izquierda y al revés.
Como F es la fuerza neta que actúa sobre la masa, tendremos que:
m a = − kx
en donde a es la aceleración del cuerpo. Tal vez no parezca una ecuación diferencial, sin
embargo lo es. No olvide que la aceleración es la primera derivada de la velocidad respecto del
tiempo y que la velocidad, a su vez, es la primera derivada de la posición.
••
d 2x
Por lo que 2 = a . Usando la notación de Newton, esto se escribe x = a , y la ecuación anterior
dt
queda escrita:
••
m x = −kx .
•
Resolvamos entonces la ecuación con las condiciones iniciales x(0) = x0 y x(0 ) = 0 .
••
Escribiéndola así: m x + kx = 0 y usando el teorema correspondiente, llegamos a que la solución
general es:
⎛ k ⎞
⎛ k ⎞
t ⎟⎟ .
x = k1 cos⎜⎜
t ⎟⎟ + k 2 sin ⎜⎜
m
m
⎝
⎠
⎝
⎠
Usando las condiciones iniciales, obtenemos que k1 = x0 y k 2 = 0 por lo que la solución
particular es
⎛ k ⎞
x = x 0 cos⎜⎜
t ⎟⎟ .
⎝ m ⎠
Se trata de la ecuación de un movimiento armónico simple, de período T = 2π
m
y amplitud
k
máxima x0 .
Fíjese que ésta podría ser una forma alternativa para determinar la constante del resorte, ya que T
es fácilmente medible y la masa es un dato.