ω ω π ω

EXAMEN DE FÍSICA DE LOS PROCESOS BIOLÓGICOS 6-Sep-2004
PROBLEMA 1
1.- Se sabe que un resorte se estira 0.076 m, con respecto a su posición de equilibrio, cuando se ejerce
sobre él una fuerza se 3.34 N. Se toma un cuerpo de 0.68 Kg, se fija el extremo del resorte y se desplaza
0.10 m, de su posición de equilibrio en una mesa horizontal sin fricción. Entonces se suelta sin velocidad
inicial el cuerpo y ejecuta un movimiento armónico simple.
a) ¿Cuál es la constante de fuerza del resorte, y la fuerza ejercida por el resorte cuando está a punto
de ser soltado?
b) ¿Cuál es el periodo de oscilación después de soltar el cuerpo y la amplitud del movimiento?
c) ¿Cuál es la máxima velocidad del cuerpo en vibración y la aceleración del cuerpo al iniciar el
movimiento?
d) Calcular la velocidad, la aceleración y las energías cinética y potencial del cuerpo cuando se ha
movido a la mitad de su distancia hacia el centro del movimiento
e) ¿Cuál es la ecuación del movimiento del cuerpo?
a) La respuesta es lineal (Hook): F=-kx
F
k
siendo F la fuerza necesaria para
desplazar al resorte un valor x desde la
posición de equilibrio. k es la constante
del resorte. El signo (-) indica fuerza
0
x
recuperadora (si se alarga el resorte y
ponemos los ejes de forma que esto
corresponde a x>0, ver figura, la fuerza que genera tiende a recuperar la posición de equilibrio, es
negativa (utilizando escalares con signo para designar vectores en 1 dimensión), hacia el origen.
En nuestro caso nos dan una fuerza de 3.34N para obtener un alargamiento de 0.076m, lo cual
corresponde a una constante del resorte de valor
k=
3.34
= 43.9 N/m
0.076
El alargamiento o acortamiento cuando está a punto de ser soltado es x0=0.10 m. La fuerza necesaria para
producir este alargamiento es, en valor absoluto:
F0 = kx0 = 4.39N
b) La ecuación diferencial del movimiento corresponde a utilizar la 2ª Ley de Newton con la expresión de
fuerza ya vista. Esto resulta en la conocida ecuación del movimiento armónico simple
x = −ω02 x con ω02 ≡
k
(los dos puntos indican derivada segunda respecto al tiempo), cuya solución
m
es un movimiento sinusoidal con pulsación angular ω0 (ver apdo. (e)). El período corresponde a
T=
2π
ω
.
Sustituyendo valores se obtiene ω0 = 8.03 rad/s Æ T = 0.78 s
Al desplazar el resorte un valor x0 = 0.10 m y soltarlo sin velocidad inicial, el movimiento de m será entre
+ x0 y - x0. Por tanto x0 corresponde a la amplitud del movimiento.
Amplitud = 0.10 m
c) Para responder a esta cuestión y también para la siguiente hemos de recurrir a la conservación de la
energía. El sistema masa resorte tiene, para una posición x dada en que la masa tiene una velocidad v una
2
2
energía total dada por E = 1 kx + 1 mv , suma de las energías potencial elástica y cinética.
2
2
Hay dos posiciones especialmente significativas; cuando se suelta el resorte (en x = x0) sin velocidad
inicial (con elongación máxima), toda la energía E es elástica; también, cuando el resorte pasa por la
posición de equilibrio (x = 0) con su velocidad máxima pues toda la energía es cinética.
Así pues,
2
E = 1 kx 2 + 1 mv 2 = 1 kx02 = 1 mvmax
.
2
2
2
2
Conociendo k y x0 podemos calcular la energía total E. Se obtiene E = 0.219 J.
Conocida E se puede determinar la velocidad máxima que resulta ser vmax =
cualquiera de las dos expresiones se obtiene vmax = 0.803 m/s
2E
= ω0 x0 . Utilizando
m
d) Se nos piden diversas magnitudes en el punto x = x0/2 = 0.05m. Para lo relativo a velocidad y energías
acudiremos a la ecuación de conservación de energía ya vista. Para la aceleración acudiremos a la ley de
fuerza.
2
2
De E = 1 kx + 1 mv , dado x y conocida E (que es constante en todo el movimiento) se deduce
2
2
v=
3
k 2
=
( x0 − x 2 ) = ω0 x0
4
m
Las energías cinética y potencial serán, respectivamente:
Ec = 1 mv 2 =
2
1
Ep =
kx 2 =
2
De a = F = − kx se obtiene a = 3.2m/s2 dirigida hacia el origen si el cuerpo está en x>0.
m
m
e) Se trata de un movimiento armónico simple, cuya ecuación general es de la forma
x = x0 cos(ωt + ϕ ) . En esta ecuación x0 es la Amplitud, ω es la pulsación angular y φ la fase, que
depende de la elección del origen de tiempos. Ya hemos visto en (b) cuál es el valor de la amplitud (x0 =
0.10 m) y cuál el de la frecuencia angular (ω0 = 8.03 rad/s).
Para la fase del movimiento, φ, hemos de imponer que en t = 0 es x = x0. De ello se obtiene fácilmente
que φ = 0.
x = 0.1cos(8.03t ) , estando x en metros y t en segundos.
Así pues, en nuestro caso: