Tensiones y direcciones principales Tensiones y direcciones
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Tensiones Tensiones yy direcciones direcciones principales principales 1 RESISTENCIA [T ] ÁLGEBRA MATRIZ DIAGONALIZABLE AUTOVALORES AUTOVECTORES [T ]xyz ⎛ σ x τ xy τ xz ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜τ xy σ y τ yz ⎟ ⎜τ ⎟ τ σ yz z ⎠ ⎝ xz 2 z σz τ yz τ xz τ xy σy y σx x P 3 OBTENCIÓN DE TENSIONES PRINCIPALES • Definición de tensión principal • Vector tensión en función de [T] r r [T − σ ⋅ I ]⋅ n = 0 T −σ ⋅I = 0 4 INVARIANTES DE [T] • A: Invariante lineal σx +σy +σz • B: Invariante cuadrático σ xσ y + σ xσ z + σ y σ z − τ 2 xy −τ 2 xz −τ 2 yz • C: Invariante cúbico Det [T] 5 EJEMPLO ⎛ 1 −4 6 ⎞ ⎜ ⎟ [T ] = ⎜ − 4 − 3 − 2 ⎟ (MPa ) ⎜ 6 −2 2 ⎟ ⎝ ⎠ 6 Cálculo de tensiones principales Ecuación característica T −σ·I = 0 σ 3 − 63 σ − 162 = 0 σ1 = 9 MPa σ2 = -3 MPa σ3 = -6 MPa 7 Cálculo de la dirección principal 1 r r • Sustituir σ11 en [T − σ 1 ⋅ I ] ⋅ n = 0 −4 ⎛1 ⎜ ⎜−4 3 ⎜ 6 −2 ⎝ 6 ⎞ ⎛α ⎞ ⎛ 0⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − 2 ⎟ ⋅ ⎜ β ⎟ = ⎜0⎟ 2 ⎟⎠ ⎜⎝ γ ⎟⎠ ⎜⎝ 0 ⎟⎠ ⎧− 8α − 4 β + 6γ = 0 (1) ⎪ ⎨− 4α − 12 β − 2γ = 0 (2) ⎪6α − 2 β − 7γ = 0 (3) ⎩ • Poner α y β en funci ón de γ función (1) – 2 · (3) → - 20 α + 20 γ = 0 → α = γ • Dar un valor a γ (distinto de cero) • Normalizar el vector r u1 = 3 r t 1 n 1 = (2 3 −1 2) 8 Cálculo de las direcciones principales 2 y 3 r r [T − σ 2 ⋅ I ]⋅ u = 0 • Sustituir σ22 en • Repetir el proceso y obtener la d. p. 2 rt 1 n2 = (− 1 2 2) 3 • Forzar a que la d. p. 3 forme un triedro a derechas con 1 y 2 r r r n3 = n1 × n2 rt 1 n3 = (− 2 − 2 1) 3 9
![[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]cm [ ]cm](http://s2.studylib.es/store/data/007213353_1-9d4c0452b86921f5f72aa34bae5cf132-300x300.png)
