Tensiones y direcciones principales Tensiones y direcciones

Tensiones
Tensiones yy direcciones
direcciones principales
principales
1
RESISTENCIA
[T ]
ÁLGEBRA
MATRIZ
DIAGONALIZABLE
AUTOVALORES
AUTOVECTORES
[T ]xyz
⎛ σ x τ xy τ xz ⎞
⎜
⎟
= ⎜τ xy σ y τ yz ⎟
⎜τ
⎟
τ
σ
yz
z ⎠
⎝ xz
2
z
σz
τ yz
τ xz
τ xy
σy
y
σx
x
P
3
OBTENCIÓN DE TENSIONES PRINCIPALES
• Definición de tensión principal
• Vector tensión en función de [T]
r r
[T − σ ⋅ I ]⋅ n = 0
T −σ ⋅I = 0
4
INVARIANTES DE [T]
• A: Invariante lineal
σx +σy +σz
• B: Invariante cuadrático
σ xσ y + σ xσ z + σ y σ z − τ
2
xy
−τ
2
xz
−τ
2
yz
• C: Invariante cúbico
Det [T]
5
EJEMPLO
⎛ 1 −4 6 ⎞
⎜
⎟
[T ] = ⎜ − 4 − 3 − 2 ⎟ (MPa )
⎜ 6 −2 2 ⎟
⎝
⎠
6
Cálculo de tensiones principales
Ecuación característica
T −σ·I = 0
σ 3 − 63 σ − 162 = 0
σ1 = 9 MPa
σ2 = -3 MPa
σ3 = -6 MPa
7
Cálculo de la dirección principal 1
r r
• Sustituir σ11 en [T − σ 1 ⋅ I ] ⋅ n = 0
−4
⎛1
⎜
⎜−4 3
⎜ 6
−2
⎝
6 ⎞ ⎛α ⎞ ⎛ 0⎞
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
− 2 ⎟ ⋅ ⎜ β ⎟ = ⎜0⎟
2 ⎟⎠ ⎜⎝ γ ⎟⎠ ⎜⎝ 0 ⎟⎠
⎧− 8α − 4 β + 6γ = 0 (1)
⎪
⎨− 4α − 12 β − 2γ = 0 (2)
⎪6α − 2 β − 7γ = 0
(3)
⎩
• Poner α y β en funci
ón de γ
función
(1) – 2 · (3) → - 20 α + 20 γ = 0 → α = γ
• Dar un valor a γ (distinto de cero)
• Normalizar el vector
r
u1 = 3
r t
1
n 1 = (2
3
−1
2)
8
Cálculo de las direcciones principales 2 y 3
r r
[T − σ 2 ⋅ I ]⋅ u = 0
• Sustituir σ22 en
• Repetir el proceso y obtener la d. p. 2
rt 1
n2 = (− 1 2 2)
3
• Forzar a que la d. p. 3 forme un triedro
a derechas con 1 y 2
r
r r
n3 = n1 × n2
rt 1
n3 = (− 2 − 2 1)
3
9