Introducción y explicación para los estudiantes

Versión 2013
CAPITULO 3
TENSIONES Y DEFORMACIONES. REVISIÓN DE
PRINCIPIOS FÍSICOS
CASO DE ESTUDIO N° 6
Resistencia de una prótesis Femoral.
Análisis de Seguridad con Teorías de Falla
en materiales Dúctil o Frágil
UTN-FRBB Cátedra: Elementos de Máquinas. Profesor: Dr. Ing. Marcelo Tulio Piovan
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1. Introducción
En la Figura 1 se muestra la prótesis insertada en la cadera. Este tipo de prótesis se usa para
tratar situaciones muy dolorosas para aquellas personas aquejadas de artritis deformante que
conducen a una pérdida de la movilidad. La operación de inserción de la prótesis involucra el
recorte de partes óseas de la cabeza del fémur y el agrandamiento de la cavidad femoral, para
posteriormente insertar al implante y fijarlo con cierto tipo de resinas biodegradables. Tal
como puede apreciarse en la Figura el vástago se inserta en la cadera en un alojamiento
esférico. La cabeza del vástago está pulida con mucha precisión. Todos los componentes se
suelen fabricar para el caso particular de una persona específica, dado la gran dificultad y
complejidad de efectuar una estandarización estricta. Aún así se establecen algunos modelos
estándar que se mecanizan para la ocasión.
Figura 1. Esquema de la prótesis (Hamorck [1]).
Por lo general se emplean materiales que tengan propiedades de alta resistencia mecánica
junto a una gran capacidad de resistencia al desgaste tales como las aleaciones de cromocobalto fundido, el acero inoxidable forjado o las aleaciones de titanio (entre ellas por ejemplo
Ti-6A1-4V).
2. Datos y Objetivos del Problema
En la Figura 2 se puede apreciar las dimensiones geométricas (en centímetros) más
importantes del implante, además de las secciones más riesgosas y conflictivas desde el punto
de vista de resistencia estructural.
El análisis de resistencia y seguridad de dispositivos de esta índole es dominio de acción de
los ingenieros, quienes se deben encargar de garantizar el buen funcionamiento del
dispositivo. Para efectuar el análisis se pueden emplear diversas metodologías. Una elemental
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basada en esquemas típicos de resistencia de materiales, la otra más sofisticada y basada en
herramientas computacionales como elementos finitos.
Figura 2. Datos y zonas críticas (Hamorck [1]).
Se pretenderá obtener una condición de seguridad en función de costos de cada material. Las
secciones más comprometidas son las que se muestran en la Figura 2, es decir la AA, BB y
CC. La sección AA es perpendicular a la línea del eje de diámetro 1.27 cm. La sección BB es
perpendicular a la línea de conexión a 36.5°. La sección CC es una sección base (una
cualquiera) que se halla dentro del fémur, para esta sección no es tan necesario obtener una
condición de seguridad por resistencia ya que al estar inmersa en el hueso, este último absorbe
parte de la carga.
Para simplificar el análisis se supondrá que las secciones resistentes son circulares. La carga
se supondrá actuante en el punto medio del cilindro según se ve en la Figura 2 y con una
condición adicional de seguridad que quintuplique el peso de la persona. La persona en
cuestión posee un peso de 894 N (unos 91.2 kg). En consecuencia la carga de cálculo efectiva
será de 4470 N. En la siguiente Tabla 1, se puede apreciar los valores de los esfuerzos
permitidos para los tres materiales. Nótese que la fundición de Cromo-cobalto tiene un
comportamiento diferente a compresión y a tracción. En la misma tabla se puede observar el
costo aproximado del material y su mecanizado.
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Material
Tensión Permitida (Mpa)
Costo Aprox.
Fundición Cromo-Cobalto
550 (1170 a compresión)
250
Acero inoxidable forjado
830
170
Aleación de Titanio Ti-6A1-4V
1100
220
Tabla 1
3. Solución con esquemas de resistencia de materiales
Observando la Figura 2 para las dos secciones conflictivas se puede obtener la siguiente tabla
2, con la información sobre los coeficientes de concentración de tensiones cuyos valores se
pueden obtener de las Figura 2.63 y 2.64 para la carga normal y carga flexional
respectivamente o bien de las rutinas 8 y 9 que figuran en el archivo excel suministrado por la
cátedra
denominado
“Formulas-Calculo-Basico.xls”,
dentro
de
la
pestaña
“Fact.Concentradores”. El diámetro nominal menor para la sección BB se ha interpolado con
un valor de 2.54 cm.
Sección
d
D
r
Kax
Kflex
A [m²]
I [m4]
AA
0.0127
0.0311
0.0015
2.10
1.67
1.267 10-4
1.277 10-9
BB
0.0254
0.0311
0.00064
2.54
2.44
5.067 10-4
2.043 10-8
Tabla 2. medidas en metros.
Las fórmulas que se emplean para calcular las tensiones normales y tangenciales vienen dadas
por la siguiente expresión.
 max   K ax
Qax
Mc
 K flex
A
I
(C.1)
4 Qcorte
 max 
3 A
donde Qax y Qcorte son los esfuerzos normales y cortante en la sección, mientras que M es el
momento flector, estos se pueden calcular fácilmente por equilibrio siguiendo la Figura 2, tal
como se muestra en la tabla 3, en la cual si P es la carga efectiva los esfuerzos se obtienen
como:
Qax  P.Cos36.5
M  P.L.Sen36.5
Qcorte  P.Sen36.5
(C.2)
siendo L=1.345 cm (o sea 2.69 cm /2) para la sección AA y L=2.065 cm para la sección BB.
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Sección
Qax [N]
Qcorte [N]
M [N.m]
AA
3593
2659
35.76
BB
3593
2659
54.91
Tabla 3. Valores de los esfuerzos
Los estados tensionales máximos se obtienen de (C1) y se pueden apreciar en la Tabla 4
Sección
max [Mpa]
max [Mpa]
AA
-356.5 a 237.4
27.98
BB
-101.3 a 65.3
6.99
Tabla 4. Valores de las tensiones máximas
Es claro que la sección AA es la más solicitada. Ahora bien en la fibra más alejada no hay
tensión tangencial, entonces las tensiones relevantes son las normales y ellas serán las
principales. Pero en el centro de la sección, sobre el eje neutro, habrá tensión cortante máxima
y tensión normal (debida solo al esfuerzo normal compresivo) cuyo valor es –59.55 Mpa. Así
pues se tendrán 3 posibles casos en la sección AA.
a) Caso 1: Acción axial tractiva (1 = 237.4 Mpa, 2=3=0)
b) Caso 2: Acción axial compresiva (1=2=0, 3= -356.5 Mpa)
c) Caso 3: tensión tangencial y compresiva: (1=11.07 Mpa, 2=0, 3=-70.64 Mpa, Esto
fue obtenido con un círculo Mohr: Rutina02 de “Formulas-Calculo-Basico.xls”)
Entonces para el caso a) se puede emplear la siguiente expresión para calcular el coeficiente
de seguridad
1 
S ut
siempre que  1   2   3
ns
(C.3)
Para el caso b) la siguiente expresión
3 
S uc
siempre que  1   2   3
ns
(C.4)
En cambio para el caso c) se usará selectivamente la hipótesis de fricción interna:
1
S ut

3
S uc

1
siendo  1  0 y  3  0
ns
(C.5)
que se puede reducir a la teoría de máxima tensión cortante, es decir
 1  3 
Sy
ns
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(C.6)
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En consecuencia para el caso c) se usará (C.5) con la fundición de Cromo-cobalto y (C.6) en
las restantes dos.
Caso
Fundición de
Cromo-cobalto
Acero
Inoxidable
Aleación de
Titanio
Caso a)
2.32
3.50
4.64
Caso b)
3.28
2.33
3.08
Caso c)
12.42
10.16
13.46
Tabla 5. Coeficientes de seguridad
En la Tabla 5 se exponen los valores de los coeficientes de seguridad y se han realzado los
que para un caso determinado atestiguan el mayor grado de seguridad. Puede observarse que
la elección más apropiada en términos económicos y de resistencia es la aleación de titanio.
4. Bibliografía
[1] B.J. Hamrock, B. Jacobson y S.R. Schmid, “Elementos de Máquinas”, McGraw Hill 2000
[2] J.E. Shigley y C.R. Mischke, “Diseño en Ingeniería Mecánica”, McGraw Hill 2002.
[3] R.L. Norton, “Diseño de maquinaria”, McGraw Hill 2000.
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