Apendice 7

Versión 2014
APENDICE 7
COMPARACION DE ALGUNOS ENFOQUES PARA
ANÁLISIS CINEMÁTICO DE MECANISMOS DE
CUATRO BARRAS
UTN-FRBB Cátedra: Elementos de Máquinas. Profesor: Dr. Ing. Marcelo Tulio Piovan
Versión 2014
1. Introducción
En este apéndice se muestra una comparación de las metodologías para caracterizar la
cinemática de mecanismos de cuatro barras empleando el enfoque algebraico angular. Se hace
un desarrollo de dos posibles alternativas y se dispone de un par de ejemplos para mostrar los
riesgos de mal cálculo que se pueden cometer si no se tiene determinado tipo de cuidados
2. Método algebraico angular
En la Figura A7.1 se muestra un mecanismo de cuatro barras definido por los eslabones a, b, c
y d, cuyas longitudes son datos y definida la posición  de la manivela b, que es la que genera
el movimiento.
Figura A7.1. Síntesis gráfica de un mecanismo de cuatro barras.
Luego es posible determinar la posición angular  del eslabón c como:
      
(A7.1)
Siendo
 h2  a 2  b2 
 h2  d 2  c 2 

ArcCos



2ha
2hd




(A7.2)
 c 2  d 2  h2 

2cd


(A7.3)
h2  a 2  b2  2abCos 
(A7.4)
  ArcCos 
  ArcCos 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Nota: Para entender las expresiones anteriores se debe recordar el Teorema del Coseno de un
triángulo general. De manera que conociendo dos lados de un triángulo y el ángulo que forman los
mismos, se puede calcular el lado restante empleado la siguiente fórmula:
g 2  d 2  e2  2deCos 
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Donde “d” y “e” son los lados conocidos, “” es el ángulo formado por ellos y “g” es el lado
restante. Obsérvese que también se cumple para un triángulo rectángulo, reduciéndose al teorema de
Pitágoras. Obsérvese, a su vez, que en el caso de la Figura A7.1, los ángulos  y  son
suplementarios y con ello Cos[]=-Cos[], de donde resulta la ecuación (2.8).
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Así pues, las coordenadas de un punto como el P, vienen dadas por
PX  b.Cos   r.Cos   
PY  b.Sen   r.Sen   
(A7.5)
Se debe tener en cuenta que las expresiones (A7.5) están encadenadas a lo que suceda con el
ángulo de entrada , su variación temporal y la variación temporal de los ángulos internos, ,
 y , dado que están en función de  (o  en su defecto).
Una vez que se tiene el vector posición del punto P en función de los ángulos y siendo que el
ángulo de entrada está en función del tiempo, para hallar la velocidad y la aceleración de tal
punto se deberán emplear las ecuaciones de cinemática del cuerpo rígido correspondientes a la
asignatura Mecánica Racional.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ejemplo: El mecanismo de la Figura A7.1 tiene las siguientes dimensiones: a=100 mm, b=60 mm, c=85 mm,
d=95mm, r=60 mm, =. El movimiento se genera por rotación de la barra b con respecto al eje que pasa por
el punto A, comenzando desde (0)=120o=2/3, a una velocidad =2. Se pide calcular la posición de los
puntos C, D y P en función del tiempo. Para la resolución de este problema se empleará el programa
Mathematica.
En primer lugar se debe verificar la condición de Grashof-Gruebler para determinar
abcd
100  60  85  95 , luego la barra “b” rota 360º.
160  180
Luego se tiene que determinar la ley de variación del ángulo en función del tiempo:
 t 
2
d
 2 t
Dado que  
, luego  dt   d   t   o  t 
3
dt
0
o
t
Ahora se deben calculan los ángulos ,  y , empleando el soft de álgebra simbólica Mathematica (se
recomienda a los alumnos bajar el archivo Ejemplo2_3.nb de la página web de la asignatura que también tiene
otras soluciones devenidas de otros enfoques). Para calcular los ángulos, primero se necesitan tener desarrolladas
las expresiones (A7.1) a (A7.5):
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Ahora se calcularán las posiciones en el tiempo de los puntos C, D y P (por ser voluminosas no se expresan en
forma extendida, eso se puede ver en el programa Mathematica de la manera usual, es decir quitando el carácter
“;” al final de cada sentencia), mediante sus coordenadas X e Y:
Ahora se determinarán las coordenadas de la posición inicial de los puntos mencionados:
A continuación se graficará la trayectoria de los puntos C, D y P, y la forma del mecanismo en el instante inicial
y en el instante t=0.3 seg.
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t=0.3
t=0
Se puede notar que existe un desfasaje espurio en los gráficos y que conduce a una configuración inaceptable e
ilógica en las trayectorias de los puntos P y D (que se muestran en trazo punteado en la figura). La razón de
ello se encuentra en las funciones trigonométricas inversas que se emplean para resolver el problema, en
cualquier programa de computadora o calculadora no reconocen el cuadrante donde se ubica el ángulo
correspondiente.
Para sobrellevar esta contingencia hay que emplear otro enfoque tal que pueda reconocer la posición del
cuadrante y determinar correctamente el valor del argumento de las funciones angulares.
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3. Bibliografía.
[1] R.E. Gustavson, “Standard Handbook of machine design”, Digital Edition McGraw Hill,
cap 3, 2004.
[2] R.L. Norton, “Diseño de maquinaria”, McGraw Hill 2000.
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