Introducción y explicación para los estudiantes

Versión 2013
CAPITULO 3
TENSIONES Y DEFORMACIONES. REVISIÓN DE
PRINCIPIOS FÍSICOS
CASO DE ESTUDIO N° 3
Aplicaciones de los conceptos de interferencia
y termoelasticidad para encajar un eje a un núcleo
UTN-FRBB Cátedra: Elementos de Máquinas. Profesor: Dr. Ing. Marcelo Tulio Piovan
Versión 2013
1. Introducción
En la Figura 1 se ve un puente basculante cuyo pivote se construye incrustando por
interferencia un eje dentro de un núcleo que se halla soldado o atornillado a la estructura.
Figura 1. Puente basculante y su pivote (tomado de A.Kaw [3]).
Para poder encajar el eje en el núcleo es necesario primero enfriar el eje para contraerlo, luego
deslizarlo dentro del núcleo (Figura 2) y finalmente al dilatarse a temperatura ambiente se
encaja por interferencia. El proceso de enfriamiento en casos de piezas de dimensiones
considerables suele ser costoso y delicado y un error tanto en el procedimiento de anclaje
como en el procedimiento de cálculo y determinación de la temperatura de enfriamiento,
puede conducir a pérdidas de tiempo y dinero desastrosas, tal como se verá a continuación.
Figura 2. Proceso de ensamble.
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2. Contexto y Objetivos del Problema
En 1995 en uno de los puentes basculantes del Estado de Florida (Estados Unidos N.A.) el
procedimiento de ensamble no funcionó. Ocurrió que el eje se encastró antes de ser
completamente introducido en el núcleo. Una vez que esto sucede es imposible retroceder y se
debió construir un nuevo núcleo y un nuevo eje a un costo de U$ 50.000. El costo del núcleo,
del eje, sumados a la demora de tiempo, implicó una perdida total de U$ 110.000.
Una pregunta surge. ¿Por que el eje se atoró antes de tiempo?. La respuesta es inmediata,
porque no fue suficientemente enfriado y no se contrajo lo suficiente antes de ser introducido
en el núcleo.
Se ha contratado al mismo estudio de ingeniería para calcular y construir otro puente
basculante con dimensiones diferentes. En estas circunstancias es necesario establecer
metodologías más depuradas para evitar problemas. Para este nuevo puente basculante el
diámetro externo del eje es de 12.363 pulg y el diámetro interno del núcleo es de 12.358 pulg.
con lo cual se presenta una interferencia de 0.005 pulg (0.127 mm).
La idea operativa original era sumergir el eje en una mezcla de hielo seco y alcohol a una
temperatura mínima posible de –108°F para contraer el eje hasta que se produzca un huelgo
diametral especificado por experiencias previas en 0.010 pulg. (El doble de la interferencia).
La temperatura ambiente se supone a 80°F
La pregunta es; ¿será correcto emplear la mezcla de hielo seco y alcohol para enfriar el eje,
sin que se contraiga antes?
3. Solución
En primera instancia observando la memoria de cálculo original se ve que se han utilizado los
siguientes datos:
-
Coeficiente de dilatación de fundición de acero (a Ta = 80°F):  = 6.817 10-6 1/°F
-
Diferencia de temperatura: T = Tf – Ta = -108 – 80 = -188°F.
- Diámetro inicial del eje: De = 12.363 pulg.
En consecuencia la contracción del eje será
D  D fe  De  DeT  0.01504 pu lg
(C.1)
Donde Dfe es el diámetro final del eje. Ahora cabría preguntarse si semejante contracción es
suficiente para la operación de ensamblado. Aparentemente si, puesto que la contracción del
eje que se calcula de la siguiente manera (Ver Figura 3)
d c  De  Da  d h   12.363  12.358  0.01  0.01500 pu lg
(C.2)
Entonces comparando, se ve que lo que predice (C.1) con la contracción que realmente se
necesita, permitiría asegurar que la temperatura de enfriamiento sea de –108°F.
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Figura 3. Ajustes y tolerancias.
Figura 4. Variación del coeficiente de expansión Térmica con la Temperatura.
Ahora bien si se observa la Figura 4, que muestra la variación del coeficiente de dilatación
térmica de la fundición de acero con respecto a la temperatura, se ve que no es una función
constante. En estas circunstancias la contracción vendrá dada por la siguiente expresión
Tf

D  De  T T
(C.3)
Ta
Donde el coeficiente a(T) se obtiene por aproximación polinómica de segundo grado como:
 T   1.2278 x10 11T 2  6.1946 x10 9 T  6.0150 x10 6
(C.4)
En consecuencia como se desea una contracción dada por (C.2), para hallar la temperatura de
enfriamiento Tf se reemplaza (C.2) y (C.4) en (C.3), se integra y se resuelve numéricamente la
ecuación cúbica resultante. En el Cuadro C1 se muestra una notebook de Mathematica para la
resolución del problema.
Se puede apreciar entonces que de las tres raíces de la ecuación cúbica, la temperatura de
enfriamiento más cercana es –128.753°F, es decir que se debe enfriar más de los –108°F que
se supuso al principio.
Por otro lado, de enfriar a –108°F, se hubiera obtenido una contracción de –0.0136891 pulg,
es decir menor a lo especificado. Aunque el diámetro del eje contraído sea menor que el
diámetro del núcleo, existe mayor riesgo a encajarse antes de culminar la operación.
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Cuadro C1. Notebook de mathematica para la solución de la ecuación cúbica.
Entonces como conclusión el hecho de usar una hipótesis de cálculo con el coeficiente de
dilatación térmica constante, condujo a una sobrestimación de la contracción efectiva, lo cual
puede poner en riesgos el proceso de encastre. Sin embargo para asegurar el uso de la mezcla
de hielo seco y alcohol es necesario establecer cual es el riesgo real de pre-encastre y esto se
hace evaluando un problema transitorio de dilatación, lo cual trae aparejada la solución de
ecuaciones diferenciales de campo acoplado para la fundición de acero.
4. Bibliografía
[1] J.E. Shigley y C.R. Mischke, “Diseño en Ingeniería Mecánica”, McGraw Hill 2002.
[2] B.J. Hamrock, B. Jacobson y S.R. Schmid, “Elementos de Máquinas”, McGraw Hill 2000
[3] A. Kaw. Non-linear equations applied to mechanical engineering. http://numerical
methods.eng.usf.edu (2003)
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