Capítulo 7 Cuarta parte

Versión 2014
CAPITULO 7
PROYECTO Y CÁLCULO DE EJES
Y ELEMENTOS ACCESORIOS
División 4
Dinámica de ejes y rotores
Determinación de frecuencias críticas
UTN-FRBB Cátedra: Elementos de Máquinas. Profesor: Dr. Ing. Marcelo Tulio Piovan
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1. Introducción
En esta división se presentan conceptos para analizar y determinar las frecuencias críticas de
los ejes rotantes. Se efectúa una somera revisión del problema de vibraciones mecánicas para
introducir la idea de vibraciones naturales. Luego se presentan algunas fórmulas simples para
determinar la frecuencia crítica flexional.
2. Vibraciones Mecánicas: Revisión elemental
Para entrar en tema se recordarán algunos aspectos de las vibraciones mecánicas empleando
el sistema elemental de la Figura 7.40, donde se muestra un sistema masa, resorte
amortiguador bajo una condición de solicitación Fe(t).
Figura 7.40 Sistema de masa, resorte y amortiguador completo.
Se recordará del curso de Mecánica Racional [4] que la ecuación de equilibrio dinámico para
el sistema de la Figura 7.40 viene dado por la ecuación:
  cw
  kw  Fe t 
ma w
(7.86)
Siendo ma, c y k, la masa, la constante de amortiguación y la constante de resorte del sistema
respectivamente. Mientras que w es el desplazamiento de la masa y Fe(t) la fuerza excitadora,
cuyo caso más común y simple es de tipo armónico (o sea representable mediante una
función sinusoidal de frecuencia e). Se recordará también que en el caso que el sistema de
la Figura 7.40 sea tal que el amortiguamiento se pueda despreciar y no exista fuerza
excitadora, la ecuación de equilibrio viene dada por la siguiente expresión:
  kw  0
ma w
(7.87)
Esta expresión se puede acomodar de la siguiente manera:
  n2 w  0
w
(7.88)
Donde n que es la denominada frecuencia circular natural del sistema viene dada por:
n 
k
ma
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(7.89)
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Luego la frecuencia natural y el período natural vienen dados por:
fn 
1
2
ma
k
, Tn  2
k
ma
(7.90)
La solución de (7.88) o de (7.87) contemplando las condiciones iniciales de posición w0 y
de velocidad w 0 viene dada (ver [4] o [5]) por:
wt  
w 0
n
 
 
Sen n t  w0Cos n t
(7.91a)
O bien por:


wt   Ao Sen n t  o con Tan o  
w0
w 0
w0n
, A0 

Sen o  nCos o 
w 0
(7.91b)
Ahora bien la ecuación (7.86) con una fuerza de excitación armónica puede escribirse como:
 
w
c
F
w  n2 w  o Senet 
ma
ma
(7.92)
La cual tiene la siguiente solución general (ver [4] o [5]):
wt  

Fo Sen e t  

2
   2    2
k 1   e     2 e 
  n    n 
(7.93)
Con
Tan  
2
e
n
 
1   e 
 n 
2
, 
c
2man
(7.94)
En la (7.94),  suele llamarse coeficiente o factor de amortiguamiento.
Obsérvese que en la medida que   0 y e  n las oscilaciones del sistema aumentan
considerablemente. Esto significa que en la medida que la frecuencia de forzamiento o de
excitación se acerque a la frecuencia natural del sistema, este tendrá una condición de
funcionamiento inestable y es lo que se desea evitar sea cual fuere el sistema mecánico
involucrado.
3. Frecuencias críticas en ejes: cálculo simplificado
Nótese que en la ecuación (7.90), bajo la situación de deflexión estática, se puede calcular la
frecuencia fundamental o natural en tanto que se conozca la masa y la deflexión estática. Así
pues, si  es la deflexión estática y g es la aceleración de la gravedad, la constante de resorte
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viene dada por k = P/, donde P es el peso de la masa dado por P = mag. En consecuencia la
frecuencia natural viene dada por:
fn 
n
1 g

2 2 
(7.95)
El razonamiento efectuado en el párrafo anterior permite establecer una forma simplificada
para el cálculo de la frecuencia natural en un sistema de eje con rotores a partir de conocer
los desplazamientos flexionales en los puntos donde actúan tales rotores. Para ello téngase
presente el método energético visto en Mecánica Racional [4] (ver también [5]) según el cual
la ecuación (7.87) puede obtenerse a partir de la conservación de la energía del sistema. Para
ello se tendrá en claro que la conservación de la energía del sistema cumplirá con la siguiente
condición:
K t   U t   cte , o bien
(7.96)
d
K t   U t   0
dt
(7.97)
Siendo K y U la energía cinética y energía potencial del sistema, respectivamente.
Recuérdese que si el sistema mecánico posee un movimiento armónico y libre de
amortiguamiento (o de otras solicitaciones no conservativas), la (7.97) conduce a que la
energía potencial se transforma totalmente en energía cinética y viceversa, es decir que se
tiene:
K MAX  U MAX
(7.98)
Ejemplo 1: A modo de ejemplo se deducirá la (7.87) a partir de la (7.97).
Si en el sistema de la Figura 7.40 se toma c = 0 y Fe(t) = 0. Entonces bajo la condición
de equilibrio estático, según la (7.96) se obtiene:
1
1
ma w 2  kw2  cte
2
2
Luego, aplicando (7.97) se tiene
ma w  kww  0 , con
w  0
Finalmente la ecuación diferencial se obtiene:
ma w  kw  0
Ejemplo 2: Empleando la (7.97), dedúzcase la frecuencia natural flexional de un eje de
longitud L simplemente apoyado que soporta en el medio del tramo un rotor de masa
M. El eje tiene una rigidez flexional EI.
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Este problema se puede resolver fácilmente empleando la expresión (7.95) y teniendo
presente que:

PL3
, con P  Mg
48EI
Luego, aplicando (7.95) se tiene
fn 
1
2
48EI
ML3
Sin embargo esta última expresión no contempla la distribución de masa del eje.
Por otro lado, la frecuencia natural se podría haber obtenido a partir de (7.98), teniendo
presente que la energía cinética máxima y la energía potencial máxima vienen dadas
por (tener presente la expresión (7.91b)):
U MAX 
1 2
1
2
kwMAX , K MAX  man2 wMAX
2
2
Luego, empleado (7.98) se puede despejar n quedando según (7.89).
Ahora bien el método de energía se puede emplear en sistemas de masas concentradas y
distribuidas en tanto que se conozca el movimiento de cada punto del sistema. En muchos
sistemas mecánicos las masas están vinculadas entre si por conectores, palancas, etc. que
pueden vincularse entre si para dar el valor de una masa efectiva, que es la que se emplea
para aproximar el valor de la frecuencia.
Ejemplo 3: Calcule la frecuencia natural del sistema del ejemplo 2, pero considerando
ahora el efecto de la masa m del eje.
Este problema se puede resolver teniendo presente que la deflexión a lo largo de la
viga viene dada por:
3
 3x
L
x 
w  wmax   4   con x 
2
 L  
 L
Luego la energía cinética máxima de la masa del eje se tiene que integrar empleando:
1 L/2 m 2
1 17
2
w dx 
mw max

2 0 L
2 35
Luego la máxima energía cinética total del sistema para el movimiento armónico viene
dada por:
KeMAX  2
1
1 17
1
2
2
2
Mn2 wmax

mn2 wmax
 M ef n2 wmax
2
2 35
2
Siendo Mef la masa efectiva del sistema, es decir:
K MAX 
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17
m
35
Luego empleando (7.98) y teniendo presente el Ejemplo 2 se llega a
M ef  M 
fn 
1
2
48EI
M eff L3
Ahora bien, luego de exponer los anteriores ejemplos se puede plantear la metodología
energética para calcular la frecuencia natural (también llamada crítica) para los sistemas de
masas concentradas. En la Figura 7.41 se tiene un eje simplemente apoyado con un par
masas rotantes adosadas (poleas o engranajes o volantes, etc).
Figura 7.41 Sistema de masas concentradas en un eje.
Tal como se mencionó previamente, para hallar la frecuencia crítica o natural a partir
de la metodología energética se debe conocer una configuración de los desplazamientos.
De acuerdo con la Figura 7.41 y contemplando los desplazamientos estáticos, que se pueden
hallar conociendo los pesos de las masas, la energía potencial máxima y la energía cinética
máxima vienen dadas por:
1
1

k1w12  k2 w22   P1w1  P2 w2 
2
2
(7.99)
1
1 n2


m1w12  m2 w 22  
P1w12  P2 w22 
2
2 g
(7.100)
U MAX 
K MAX 
Donde P1 y P2 son los pesos de las masas y n es la frecuencia circular crítica. De manera
que empleando (7.98) se puede despejarla frecuencia crítica como:
fn 
n
1

2 2



g P1w1  P2 w2
P1w12  P2 w22

(7.101)
Ahora bien en el caso que el sistema tenga una cantidad arbitraria de masas condensadas, la
expresión de cálculo se desprende inmediatamente del procedimiento precedente. De manera
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que para N masas condensadas la frecuencia crítica del eje está dada por la siguiente
expresión, también llamada ecuación de Rayleigh:
N
fn 
n
1

2 2
g  Pi wi
i 1
N
(7.102)
 Pw
i 1
i
2
i
Obviamente la (7.101) es un caso particular de la (7.102). Nótese que en estas últimas
ecuaciones no se contempló la masa del eje, cosa que puede hacerse simplemente teniendo
presente el Ejemplo 3.
La ecuación de Rayleigh sobrestima el valor de la frecuencia natural ya que los
desplazamientos efectivos son mayores que los empleados en la ecuación, es decir los
estáticos asociados a los pesos de las masas y no contempla el efecto de la masa del eje.
La siguiente expresión, denominada ecuación de Dunkerley (ver desarrollo en [5]), permite
establecer una cota inferior para el cálculo de la frecuencia crítica.
1

2
n
N

1
2
i 1 i
(7.103)
En la (7.103), n es la frecuencia circular crítica del sistema, en tanto que i es la frecuencia
circular crítica de la i-ésima masa actuando por si sola en el sistema y en ausencia de las
restantes. Obviamente i se puede calcular empleando la (7.95). La razón por la cual la
ecuación de Dunkerley da una cota inferior de la frecuencia crítica verdadera reside en el
hecho que se emplea la deflexión de una de las masas actuando por si sola.
Observación 1: El empleo de las ecuaciones de Rayleigh y de Dunkerley permite establecer
o acotar el valor verdadero de la frecuencia natural. Es decir de la primera frecuencia del
sistema.
Observación 2: Tanto la ecuación de Dunkerley cuanto la de Rayleigh no contemplan la
masa asociada al eje, que puede incluirse como en el Ejemplo 3. Este efecto puede ser de
mucha importancia si el eje es relativamente grueso.
Observación 3: Las ecuaciones de Dunkerley y Rayleigh están limitadas para condiciones de
borde sencillas (simplemente apoyadas, o empotradas) en cada extremo, de manera que se
sepa el desplazamiento flexional en todo el sistema. Además el modelo de estudio es regido
por la teoría de vigas de Bernoulli-Euler.
Observación 4: Es claro que un eje que porta masas adosadas también está rotando y este
aspecto debe tenerse en cuenta para poder determinar con mayor detalle el patrón vibratorio
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del sistema. Sin embargo tal aspecto está más allá de los alcances de la asignatura de
elementos de máquina y es tema propio de una asignatura de vibraciones mecánicas.
4. Bibliografía
[1] J.E. Shigley y C.R. Mischke, “Diseño en Ingeniería Mecánica”, McGraw Hill 2002.
[2] B.J. Hamrock, B. Jacobson y S.R. Schmid, “Elementos de Máquinas”, McGraw Hill
2000.
[3] R.L. Norton, “Diseño de maquinaria”, McGraw Hill 2000.
[4] L. Ercoli, “Mecánica Racional”, Serie de Monografías Docentes, UTN-FRBB, 2001,
Página de Internet: http://www.frb.utn.edu.ar/carreras/materias/mecanicaracional/index.html.
[5] W.T. Thomson, “Teoría de Vibraciones: Aplicaciones”, Prentice-Hall, 1983.
5. Problemas Propuestos
Problema 1:
Un sistema rotante está formado por un eje de 6 mm de diámetro empotrado en ambos
extremos distantes L=0.3 m. En el eje se montan de manera equidistante 2 rotores. El espesor
de cada rotor es de 1 cm y el radio de cada uno es de 2.5 cm. Se conocen las siguientes
propiedades del eje y de los rotores: todos son de acero con módulo de elasticidad E = 206
GPa, módulo de elasticidad por corte G = 80.8 GPa, densidad  =7850 g/m3, coeficiente de
Poisson  = 0.3.
a) Calcule la frecuencia fundamental para este caso empleando la fórmula de Rayleigh y
la de dunkerley.
b) Efectue una comparación de los resultados con un programa de elementos finitos.
Para comparación emplee el descriptor FlexPDE que se adjunta con toda la información
necesaria.
TITLE "Modal Analysis: Resonance frecuencies"
SELECT
modes=2
ngrid = 1
errlim = 1E-2
COORDINATES
cartesian3
VARIABLES
U { X-displacement }
V { Y-displacement }
W { Z-displacement }
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DEFINITIONS
L=0.3
b =0.01
Re=0.025
Ri=0.003
{ Radio }
z0=0
z1= L/3-b/2
z2= L/3+b/2
z3 = 2*L/3-b/2
z4 = 2*L/3+b/2
z5= L
mag=0.05
{ factor de escala de despalzamiento en plots }
{ Acero } { bottom }
E=2.06E11
G=8.08E10
mu=0.3
rho=7850
C=E/(1-mu^2)
{ relaciones constitutivas y cinematicas para materiales isotropos }
uvw=vector(u,v,w)
uvwm=magnitude(uvw)
ex=dx(u)
ey=dy(v)
ez=dz(w)
exy=dx(v)+dy(u) exz=dz(u)+dx(w) eyz=dy(w)+dz(v)
sxy=(G*exy)
sxz=(G*exz)
syz=(G*eyz)
sx=2*G*ex+((mu*E)/((1+mu)*(1-2*mu)))*(ex+ey+ez)
sy=2*G*ey+((mu*E)/((1+mu)*(1-2*mu)))*(ex+ey+ez)
sz=2*G*ez+((mu*E)/((1+mu)*(1-2*mu)))*(ex+ey+ez)
INITIAL VALUES
U = 0.0001
V = 0.0001
W= 0.0001
EQUATIONS
{ define las ecuaciones de desplazamiento } {omega =sqrt(lambda)}
U: dx[Sx] + dy[Sxy]+dz[Sxz]+lambda*rho*U = 0
V: dx[Sxy] + dy[Sy] +dz[Syz]+lambda*rho*V = 0
W: dx[Sxz]+dy[Syz]+dz[Sz]+lambda*rho*W=0
EXTRUSION
surface z=z0
surface z=z1
surface z=z2
surface z=z3
surface z=z4
surface z=z5
BOUNDARIES
surface 1 value(U)=0 value(V)=0 value(W)=0
surface 6 value(U)=0 value(V)=0 value(W)=0
REGION 1
start (0,Re) ARC(CENTER=0,0) ANGLE=360
TO CLOSE
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limited REGION 2
layer 1 VOID
{ void exists only on layer 2 }
start (0,Re) ARC(CENTER=0,0) ANGLE=360
TO CLOSE
start (0,Ri) ARC(CENTER=0,0) ANGLE=360
TO CLOSE
limited REGION 3
layer 3 VOID
{ void exists only on layer 2 }
start (0,Re) ARC(CENTER=0,0) ANGLE=360
TO CLOSE
start (0,Ri) ARC(CENTER=0,0) ANGLE=360
TO CLOSE
limited REGION 4
{ void exists only on layer 2 }
layer 4
start (0,Re) ARC(CENTER=0,0) ANGLE=360
TO CLOSE
start (0,Ri) ARC(CENTER=0,0) ANGLE=360
TO CLOSE
limited REGION 5
{ void exists only on layer 2 }
layer 5 VOID
start (0,Re) ARC(CENTER=0,0) ANGLE=360
TO CLOSE
start (0,Ri) ARC(CENTER=0,0) ANGLE=360
TO CLOSE
MONITORS
grid(x+mag*U,y+mag*V,z+mag*W) as "deformacion" { show final deformed grid }
report sqrt(lambda)/(2*pi) as "Frequency in [1/seg]"
PLOTS
grid(x+mag*U,y+mag*V,z+mag*W) as "deformacion" { show final deformed grid }
summary
report (lambda) as "eigenvalue"
report sqrt(lambda)/(2*pi) as "Frequency in [1/seg]"
grid(x+mag*U,y+mag*V,z+mag*W) as "deformacion" { show final deformed grid }
summary
report (lambda) as "eigenvalue"
report sqrt(lambda)/(2*pi) as "Frequency in [1/seg]"
END
Problema 2:
Calcular el diámetro del eje que se muestra en la Figura, de manera que la velocidad crítica
fundamental sea de 9000 RPM. El eje es de acero de 207 Gpa. La distancia a=300 mm y la
masa ma = 100 kg. Ignorar la Masa del eje. Para esto emplear las ecuaciones de Rayleigh y
de Dunkerley y comparar ambos diámetros. Comparar la velocidad crítica con un modelo de
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elementos finitos cuyo planteo en FlexPDE se adjunta. Emplee el diámetro calculado
previamente.
title "vibraciones Libre: viga tipo Timoshenko" {HECHO PARA FLEXPDE 2.20, corregir de ser necesario}
Select
modes 3
errlim=0.001
Variables
wc
thy
Definitions
{--------------------------------------------------------------------------------------------------------------- }
d= 0.13
{DIAMETRO DEL EJE, QUE SE DEBE IR VARIANDO}
{--------------------------------------------------------------------------------------------------------------- }
Lx = 0.3
{distancia entre tramos medida en metros}
esp=0.1
MA1 = 200 {masa en kg}
MA2 = 100 {masa en kg}
Ly=Lx/8
Em = 2.07e11
{modulo de elasticidad longitudinal}
Gm = Em/2.6
{modulo de elasticidad transversal}
ro = 7850
{densidad}
Egig = 1e10
{--------- Diametros de las masas rotantes ---------------------------------------------}
d1=Sqrt(4*MA1/ro/Pi/esp)
d2=Sqrt(4*MA1/ro/Pi/esp)
{--------- Constantes de rigidez e inerciales --------------------------------------------}
roIy0 = ro*Pi*d^4/64 roA0 = ro*Pi*d^2/4
EI0 = Em*Pi*d^4/64 GAk0=6/7*Gm*Pi*d^2/4
roIy1 = ro*Pi*d1^4/64 roA1 = ro*Pi*d1^2/4
EI1 = Em*Pi*d1^4/64 GAk1=6/7*Gm*Pi*d1^2/4
roIy2 = ro*Pi*d2^4/64 roA2 = ro*Pi*d2^2/4
EI2 = Em*Pi*d2^4/64 GAk2=6/7*Gm*Pi*d2^2/4
{--------- Constantes por defecto -------------------------------------------------------------}
roIy = roIy0 roA= roA0
EI = EI0 GAk = GAk0
frecHertz= Sqrt(lambda)/ (2*pi)
mag= 0.5
EQUATIONS
GAk*dx(dx(wc)-thy) + Egig*dy(dy(wc)) + roA*lambda*(wc) = 0
GAk*(dx(wc)-thy) + EI*dx(dx(thy)) + Egig* dy(dy(thy)) + (roIy)*lambda*(thy) = 0
BOUNDARIES
Region 1
start(0,0)
Natural[wc]=0
Natural[thy]=0
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line to (Lx-esp/2,0) to (Lx-esp/2,Ly) to (0,Ly)
value[wc]=0
Natural[thy]=0
line to Finish
Region 2
roIy = roIy1 roA= roA1
EI = EI1 GAk = GAk1
start(Lx-esp/2,0)
Natural[wc]=0
Natural[thy]=0
line to (Lx+esp/2,0) to (Lx+esp/2,Ly) to (Lx-esp/2,Ly) to Finish
Region 3
roIy = roIy0 roA= roA0
EI = EI0 GAk = GAk0
start(Lx+esp/2,0)
Natural[wc]=0
Natural[thy]=0
line to (2*Lx-esp/2,0) to (2*Lx-esp/2,Ly) to (Lx+esp/2,Ly) to Finish
Region 4
roIy = roIy2 roA= roA2
EI = EI2 GAk = GAk2
start(2*Lx-esp/2,0)
Natural[wc]=0
Natural[thy]=0
line to (2*Lx+esp/2,0) to (2*Lx+esp/2,Ly) to (2*Lx-esp/2,Ly) to Finish
Region 5
roIy = roIy0 roA= roA0
EI = EI0 GAk = GAk0
start(2*Lx+esp/2,0)
Natural[wc]=0
Natural[thy]=0
line to (3*Lx,0)
value[wc]=0
Natural[thy]=0
line to (3*Lx,Ly)
Natural[wc]=0
Natural[thy]=0
line to (2*Lx+esp/2,Ly) to Finish
plots
grid( x, y) report( frecHertz)
end
Problema 3:
Con los datos de material y de rotor del problema 1, calcule la frecuencia fundamental si el
eje está empotrado a flexión en un extremo y en el extremo libre se halla un solo rotor.
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