Capítulo 3 Tercera parte - Universidad Tecnológica Nacional

Versión 2014
CAPITULO 3
TENSIONES Y DEFORMACIONES. REVISIÓN DE
PRINCIPIOS FÍSICOS
División 3
Diversos Modelos de análisis y cálculo
Casos de Estudio
UTN-FRBB Cátedra: Elementos de Máquinas. Profesor: Dr. Ing. Marcelo Tulio Piovan
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1. Introducción
En esta parte se resumen algunos modelos sencillos ya vistos en los cursos anteriores de
Estabilidad I y II y Mecánica de Sólidos para el cálculo de piezas y/o dispositivos. En estos
casos no se suministrarán deducciones específicas, ya que pertenecen al alcance de las
asignaturas mencionadas. Por otro lado se suministrarán descripciones de modelos de cálculo
más refinados para enfrentar la solución de problemas devenidos por la limitación de algunos
de los modelos clásicos donde su aplicación deja de tener seguridad por no cumplirse las
hipótesis en que se basan los mismos.
2. Modelos de Barras
En la Figura 3.35 se muestra una viga sometida a cargas generales además de evidenciar las
variables cinemáticas que se utilizan normalmente para caracterizar el comportamiento de una
viga. En ella se ven claramente los desplazamientos y rotaciones flexionales en las dos
direcciones, junto con el desplazamiento axial y la rotación torsional. De acuerdo al tipo de
geometría seccional, las ecuaciones de equilibrio de un modelo u otro pueden ser
desacopladas o no. En términos generales un modelo de viga contemplará tres grupos de
ecuaciones diferenciales:
- Las que caracterizan el movimiento axial
- Las que caracterizan el movimiento torsional
- Las que caracterizan el movimiento flexional
Figura 3.35. Descripción de una viga y sus variables más importantes
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NOTA: El conjunto de ecuaciones que completan un modelo dependerá de la precisión y
detalle que amerite la solución, el cual podrá ser de 3, 4 o 6 ecuaciones.
El modelo de barra solicitada axialmente
En la Figura 3.36 se muestra una barra sometida a solicitaciones axiales. Para esta viga se
supone que la sección se mantiene totalmente plana antes y después de la deformación. La
ecuación diferencial para este movimiento es:
Q X
(3.96)
 q x ( x)  0
x
donde QX y qx(x) son el esfuerzo normal y la carga distribuida a lo largo de la barra,
respectivamente. El esfuerzo normal se calcula con
u xo
x
Las posibles condiciones de borde para resolver la ecuación son:
Q X  EA
(3.97)
Nombre de la condición
Identificación
Forma Matemática en los
desplazamientos
Borde Fijo
Desplazamiento nulo
u xo  0
Borde Libre
esfuerzo normal nulo
u xo
0
x
Borde con carga PX
esfuerzo normal no nulo
EA
u xo
 PX
x
Tabla 3.10. Condiciones de borde típicas para la teoría de vigas de Bernouilli-Euler.
El modelo de flexión: Teoría de Bernouilli-Euler
El modelo de se basa en las siguientes hipótesis:
-
Se supone planitud de la sección transversal antes y después de la deformación
Se supone la presencia solamente de un estado uni-axial de tensiones en la dirección
del eje lo que implica existencia de flexión pura.
El material es isótropo, homogéneo y verifica la ley de Hooke
La viga es recta con sección constante y de doble simetría en todo el dominio.
En estas circunstancias las ecuaciones de equilibrio de la viga vienen dadas por el siguiente
modelo matemático:

2M y
x 2
 q y ( x)  0 ,
2M z
 q z ( x)  0
x 2
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(3.98)
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siendo qy(x) y qz(x) funciones de distribución de carga, en tanto que My y Mz son los
momentos flectores en las direcciones y y z. Los momentos flectores pueden escribirse en
función de los desplazamientos como:
 2 u yo
 2 u zo
(3.99)
x 2
x 2
Siendo uyo y uzo los desplazamientos del centroide (ubicado en la línea neutra) de la sección en
M z  EI z
, M y   EI y
las direcciones y y z. Por otro lado, se tendrá presente la relación existente entre los momentos
flectores y los esfuerzos cortantes, definida por:
M y
M z
 Q y (x)
x
x
Las rotaciones flexionales se definen de la siguiente manera:
 Qz (x) ,
u yo
(3.100)
u zo
(3.101)
x
x
Queda claro que los momentos flectores son proporcionales a las derivadas primeras de las
z 
, y 
rotaciones flexionales. Por otro lado, los signos de los momentos flectores y rotaciones se
pueden fijar por convención previamente declarada o bien de acuerdo con las direcciones del
sistema de referenciación.
Se puede apreciar que para la solución de (3.96)-(3.97) es necesario contar con una serie de
condiciones de borde en términos de los desplazamientos, las cuales se discriminan en la
siguiente Tabla 3.11.
Nombre de la condición
Identificación
Forma Matemática en los
desplazamientos
Desplazamiento Nulo
u zo  0 , u yo  0
Rotación Nula
u yo
u zo
0
0,
x
x
Momento flector Nulo
 2 u yo
 2 u zo
0
0,
x 2
x 2
Esfuerzo cortante Nulo
 3 u yo
 3 u zo
0
0 ,
x 3
x 3
Desplazamiento Nulo
u zo  0 , u yo  0
Momento Nulo
 2 u yo
 2 u zo
0
,

0
x 2
x 2
Borde Fijo (o empotrado)
Borde Libre
Extremo Articulado
Tabla 3.11. Condiciones de borde típicas para la teoría de vigas de Bernouilli-Euler.
Por otro lado la ecuación de resistencia que relaciona los esfuerzos con las tensiones, en un
punto (y, z) de la sección de la viga (Ver Figura 3.36a), viene dada por la siguiente expresión:
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 xx x, y, z   
M y x 
Iy
z
M z x 
y
Iz
(a)
(3.102)
(b)
Figura 3.36. (a) Sección resistente a flexión (b) esquema para el cálculo de tensiones cortantes
Ahora bien, para el cálculo de la tensión de corte en la sección transversal se tendrán las
siguientes expresiones (Jourawski-Colignon):
 xy x, y  
Q y x 
I z by
S z ( y) ,
 xz x, z  
Qz x 
S y ( z)
I y bz
(3.103)
donde by y bz son los anchos de la faja donde se calcula el estado tensional en las direcciones y
y z respectivamente, según se ve en la Figura 3.36b, y además:

cy
S z ( y )  y.dA ,
y

cz
S y ( z )  z.dA
(3.104)
z
Las tensiones cortantes máximas se obtendrán en los ejes neutros y es claro que la valoración
de las mismas dependerá del tipo de sección. En la siguiente Figura se muestra unos casos
típicos de tensiones máximas en la dirección y.
Figura 3.37. Casos típicos de tensiones cortantes máximas
El modelo de flexión: Teoría de Timoshenko
Este modelo permite mejorar la respuesta de la teoría de Bernouilli-Euler cuando la razón
entre la longitud de la viga y la principal dimensión de la sección comienza a ser cada vez
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más pequeña. Esto significa vigas de aspecto más robusto como se pueden ver en la Figura
3.36. La teoría de Timoshenko se basa en las mismas hipótesis que la teoría de BernouilliEuler, aunque con el agregado de algunas adicionales a saber:
-
Se supone la presencia de un estado de tensiones cortantes en la sección de la viga.
La rotación flexional se considera como una variable independiente no asociada con
los desplazamientos flexionales.
Para simplificar el proceso deductivo, que se dará en forma completa a partir de suponer el
campo de desplazamientos, se procederá a reducir el problema flexional a un solo plano, para
ir fijando ideas en el plano XY, y posteriormente se extenderá el problema flexional a dos
planos.
Para deducir las ecuaciones de equilibrio de flexión según la teoría de Timoshenko se
empleará el principio de trabajos virtuales considerando los desplazamientos virtuales como
entidades arbitrarias.
Ahora bien, de acuerdo con las hipótesis de la teoría, el campo de desplazamiento para una
viga en flexión se puede reducir a las siguientes expresiones:
u x ( x, y )   z ( x) y
u y ( x, y )  u yo ( x)
(3.105)
Para interpretar el sentido de (3.105) se puede observar la Figura 3.38.
Ahora reemplazado (3.105) en las relaciones (3.43) y (3.44) para hallar las deformaciones se
tiene:
u x

  z y   z y
x
x
u y

0
y
u y u x


 u yo   z
x
y
 xx 
 yy
 xy
(3.106)
En la Expresión (3.106) se utiliza el apóstrofo para indicar la derivación con respecto a la
variable x. Con la descripción cinemática puesta en evidencia en las expresiones (3.105) y
(3.106) es claro que plano de la sección transversal (que se mantiene siempre plana) de la
viga, no es perpendicular al eje neutro una vez deformada la misma. Para ello se puede ver la
comparación entre las teorías Bernoulli-Euler y Timoshenko en la Figura 3.39. Por otro lado
recuérdese que según la teoría de flexión clásica (i.e Teoría de Bernoulli-Euler), la
deformación axial es proporcional a la derivada de la rotación flexional (3.101) definida en
función de la primer derivada del desplazamiento flexional del eje neutro, y en consecuencia
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de la tangente de la curva de deformación del eje neutro. Adicionalmente de la (3.106) se
tiene que la deformación por corte transversal no es nula y en consecuencia la tensión cortante
no es nula. Luego suponiendo nulas todas las componentes del tensor de tensiones, excepto
xx y xy, la energía de deformación y el trabajo de las fuerzas externas vendrá dado por la
siguiente expresión:
U
1
 xx  xx   xy xy dAdx
2V

(3.107)

WP   q( x)u yo dx
L
(a)
(b)
Figura 3.38. Sección transversal. (a) sentido de giro y movimiento (b) corte transversal
Figura 3.39. Comparación de los desplazamientos entre las teorías B-E y Timoshenko
La expresión (3.107) puede ser replanteada en términos de los desplazamientos y
deformaciones virtuales, de tal manera que el principio de trabajos virtuales queda descripto
por la siguiente expresión:
U  WP   xx xx   xy  xy dAdx  q( x)u yo dx  0

V

L
(3.108)
Donde el operador “” tiene el significado de entidad virtual aplicable solo a deformaciones y
desplazamientos (Ver referencias [4,6] para mayores explicaciones y/o detalles). Luego,
reemplazando (3.105) y (3.106) en (3.108), se puede obtener la siguiente expresión:
U  WP   xx   z y    xy u yo   z dAdx  q( x)u yo dx  0

V

L
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(3.109)
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En (3.109) teniendo en cuenta las ecuaciones constitutivas de las tensiones en términos de las
deformaciones se pueden definir los esfuerzos, momento flector y esfuerzo de corte de la
siguiente manera:


M z ( x)   xx ydA   E z y 2 dA   EI z z
A
A
Q y ( x)   xy dA  G u yo  z  dA  GAu yo  z 


A
(3.110)
A
Antes de proseguir, es importante el análisis de un par de cosas. En primer lugar la
deformación por corte obtenida en (3.106) no es función de la variable y, en consecuencia, por
(3.47) la tensión cortante tampoco será función de y. Esto contradice la evidencia de que las
tensiones cortantes de una viga varían con la variable y, según (3.103). Para tener una mejor
representación de la energía (o trabajo virtual) de las tensiones de corte se empleará la
fórmula de Colignon-Jourawski. Para ello si se consideran dos situaciones:
a) si se analiza el desplazamiento de una sección sin considerar el alabeo (ver Figura
3.38b) se tendrá que la energía de deformación de corte por unidad de longitud viene
dada por
1  xy
G
(3.111)
EC 1 
dA 
 xy2 dA
2 A G
2 A
b) Ahora si se considera la fórmula de Colignon-Jourawski correspondiente (3.103), la
energía de deformación de corte por unidad de longitud viene dada por:

2

1  Q y x S z ( y ) 
dA

AG
I z by


2
EC 2
1

2

(3.112)
Es verifica que EC 1  EC 2 y entre ellas se puede establecer una relación como la siguiente:

EC 2
EC 1
(3.113)
El coeficiente  se lo denomina coeficiente de corte de Timoshenko y es diferente para cada
sección (en la Tabla 3.12 se muestran valores para algunas secciones) y en virtud de (3.113),
el esfuerzo de corte (3.110) se puede reemplazar por (3.114).
M z ( x)   EI z z
Q y ( x)  GA u yo  z 
(3.114)
Ahora bien, con las definiciones (3.114) se puede rescribir (3.109) de la siguiente forma:
U  WP 
 M    Q u
z
z
y
yo
  z  q( x)u yo dx  0
(3.115)
L
Nótese que las variables virtuales se hallan con órdenes de derivación cero y uno, luego se
tiene que integrar por partes para obtener la expresión anterior en términos de los
desplazamientos virtuales:
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U  WP 
M   Q    Q  q( x)u dx  M 
z
y
z
y
yo
z
z x 0 , L
 Q y u yo
x 0 , L
0
(3.116)
L
Las ecuaciones diferenciales de equilibrio se pueden hallar de (3.116) teniendo en cuenta que
u yo y  z son cantidades arbitrarias. Luego se deben cumplir las siguientes ecuaciones
diferenciales de equilibrio:
M z  Q y  0
(3.117)
 Q y  q( x)  0
junto con las condiciones de borde:
Mz
Qy
x 0 , L
x 0 , L
 z
0
0
o
u yo
x 0 , L
x 0 , L
 0  z
x 0 , L
 0  u yo
0
(3.118)
0
x 0 , L
Entonces la solución se obtiene resolviendo (3.117) sujetas a las condiciones (3.118). En la
Tabla 3.13 se pueden obtener algunos casos de condiciones de borde típicas.
Tipo de sección
Valor del coeficiente de corte
Rectangular o cuadrada Maciza
5
Rectangular o cuadrada hueca
5
Circular
6
/6
/12
/7
Perfil I en la dirección del alma
0.296
Tabla 3.12. Coeficientes de corte para algunas secciones típicas
Nombre de la condición
Identificación
Forma Matemática en los
desplazamientos
Desplazamiento Nulo
u zo  0 , u yo  0
Rotación Nula
z 0 , y 0
Momento flector Nulo
 y
 z
0
0,
x
x
Esfuerzo cortante Nulo
u yo
u zo
 z  0
 y  0 ,
x
x
Desplazamiento Nulo
u zo  0 , u yo  0
Momento Nulo
 y
 z
0
0,
x
x
Borde Fijo (o empotrado)
Borde Libre
Extremo Articulado
Tabla 3.13. Condiciones de borde típicas para la teoría de vigas de Timoshenko.
En cuanto a la valoración del estado tensional, en la Teoría Timoshenko se emplea el mismo
criterio que en la Teoría Bernouilli-Euler, basado en las ecuaciones (3.102) o (3.103).
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A continuación se verán dos ejemplos para distinguir las dos teorías flexionales. En el primer
caso se comparan las soluciones para una viga empotrada en ambos extremos sometida a una
carga distribuida uniforme. En (3.119) y (3.120) se muestran las soluciones obtenidas
(mediante Mathematica) para la teoría B-E y la Timoshenko, respectivamente, para una viga
de sección circular y longitud unitaria (L=1). Obsérvese que la solución del desplazamiento
uyo, según la Teoría Timoshenko, es igual a la suma de la solución de la Teoría B-E más los
términos devenidos del corte por flexión. En la Figura 3.40.a se muestra la diferencia entre
ambas para una relación D/L=0.1 y en la Figura 3.40.b para una relación D/L=0.3.
u yo ( x) 
u yo ( x) 

q  x2  x4

 x 3 
12 EI z  2

(3.119)

q  x2  x4
q

 x 3  
x  x2
12 EI z  2
2
GA




q
 z ( x) 
x  3x 2  2x 3
12 EI z


(3.120)
En la Figura 3.41 se puede apreciar la comparación experimental entre las dos teorías para un
tubo estructural de aluminio de sección rectangular, empotrado en un extremo y con carga en
el otro. Nótese la diferencia que hay entre una teoría y otra con respecto a los resultados
experimentales.
(a)
(b)
Figura 3.40. Comparación de desplazamientos entre teorías de flexión
Figura 3.41. Comparación experimental de desplazamientos entre teorías de flexión
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En la hoja de cálculo de Mathematica “Vigas.nb” (ver página web de la asignatura) se
muestra la solución y comparación de varios casos adicionales de las teorías B-E y
Timoshenko.
El modelo de torsión: Teoría de Coulomb
Esta teoría se basa en la hipótesis de que la sección de la barra se mantiene plana y sin la
existencia de alabeo. En consecuencia es una teoría sólo aplicable a vigas cilíndricas de
sección hueca o maciza y en forma aproximada a vigas troncocónicas de baja conicidad,
según se muestra en la Figura 3.42. En estas circunstancias, la ecuación de equilibrio derivada
de conceptos de estabilidad I y II se presenta como:
M x
(3.121)
 m x x   0
x
siendo Mx el momento torsor definido por (3.122) y mx(x) el momento torsor distribuido por
unidad de longitud.

M x  GJ
 x
x
(3.122)
En (3.122), G, J y x son el módulo de elasticidad transversal, el momento de inercia polar y
el ángulo de giro torsional específico, respectivamente.
Para resolver (3.121) se pueden emplear las siguientes condiciones de borde:
Nombre de la condición
Identificación
Forma Matemática en los
desplazamientos
Borde Fijo (o empotrado)
Rotación Torsional Nula
x 0
Borde Libre
Momento torsor Nulo
 x
0
x
Tabla 3.14. Condiciones de borde típicas para la teoría de vigas de torsión de Coulomb.
Figura 3.42. Estructura esbelta troncocónica.
Nota: Cuando se tenga entre manos un problema en el cual aparezcan diferentes
solicitaciones, flexionales, torsionales y axiales, una primera medida de análisis es, dentro de
lo posible, desacoplar las ecuaciones de movimiento en casos particulares representados en
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cada uno de los apartados anteriores. De lo contrario será necesario evaluar otro método de
análisis como por ejemplo las soluciones de elementos finitos sólidos.
Modelos Extendidos para Barras.
En la mecánica estructural de estructuras esbeltas se pueden presentar situaciones que por la
geometría de las vigas, no sea posible utilizar los modelos simplificados presentados en los
apartados anteriores. Vigas con secciones de paredes delgadas (perfiles estructurales U, L, I,
etc.) sometidas a esfuerzos generalizados presentan un comportamiento mecánico fuertemente
acoplado en lo estructural, es decir que difícilmente el modelo de cálculo pueda reducirse a la
separación de los grupos de ecuaciones de cada movimiento en particular. Estos modelos
suelen ser complejos para un planteo de solución analítica y exigen como forma de solución,
un enfoque numérico. Aquellos que estén interesados en tales metodologías, que exceden el
tratamiento del presente curso de elementos de máquina, se pueden dirigir a las referencias
[5,6,10,11,12,13,14,15] para abundar en detalles específicos de modelación, análisis y cálculo
de elementos estructurales unidimensionales, tanto de materiales isótropos como anisótropos.
3. Tensiones en Cilindros.
En los cilindros hidráulicos, recipientes sometidos a presión, tuberías que conducen fluidos a
muy alta presión, tubos de armas de fuego, etc. suelen presentarse estados tensionales radiales
y tangenciales muy altos que dependen mayormente del radio del cilindro. Se considera qeu
una sección rectangular plana (en la dirección del eje) del cilindro se mantendrá plana luego
de la deformación. En estas circunstancias se puede demostrar (Ver referencia [16]) que las
tensiones radiales y tangenciales cuando actúan presiones internas y externas en los cilindros
vienen dadas por:
pi ri 2  p0 r02  ri 2 r02  p0  pi / r 2
r02  ri 2
(3.123)
pi ri 2  p0 r02  ri 2 r02  p0  pi / r 2
t 
r02  ri 2
(3.124)
r 
donde , pi, po son las presiones internas y externas, respectivamente. ro y ri son los radios
externo e interno, respectivamente y r es un radio genérico entre ri y ro. En el caso de que no
exista presión externa o se la pueda considerar nula se tendrá la siguiente reducción de las
ecuaciones anteriores:
r 
pi ri 2  ro2 
1
r02  ri 2  r 2 
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(3.125)
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pi ri 2  ro2 
 t  2 2 1 2
r0  ri  r 
(3.126)
La variación de estas cantidades se puede ver gráficamente en la siguiente Figura 3.43.
Figura 3.43. Variación de las tensiones en un cilindro de pared gruesa.
Nota: la tensión tangencial se la suele denominar también tensión circunferencial.
En el caso de que el espesor del tubo sea pequeño y no haya presión externa, se puede
prescindir de la tensión radial (ver Figura 3.44), y se podrá considerar solo la tensión
tangencial promedio cuyo valor viene dado por:
pi d i
2e
Donde di y e son el diámetro interior y el espesor del cilindro.
 t , prom 
(3.127)
Nota: los contenidos vistos en este apartado son los rudimentos fundamentales para encarar el
análisis tensional en recipientes sometidos a presión según el Código ASME sección VIII lo
cual es materia de la asignatura “Diseño de Máquina”. Sin embargo, en elementos de máquina
se utilizarán para el cálculo de tensiones en cilindros hidráulicos y en problemas semejantes.
Ajustes a presión por contracción.
Cuando se ensamblan dos partes cilíndricas por contracción a presión, la una sobre la otra se
crea una presión de contacto. La forma para calcular las tensiones de ajuste se puede obtener a
partir de las hipótesis de análisis del apartado anterior.
En la Figura 3.44a se muestran dos elementos cilíndricos que por contracción se han
ensamblado como lo muestra al Figura 3.44b. Sobre las superficies del radio de transición R
se forma una presión supuesta igual en cada punto de valor p. Entonces de las ecuaciones
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(3.123)-(3.126) se puede obtener las presiones tangencial y radial de transición en el cilindro
interno según (3.128) y en el cilindro externo según (3.129).
R 2  ri 2
R 2  ri 2
(3.128)
r02  R 2
r02  R 2
(3.129)
 it ( R)   p
 ir R    p
 ot ( R)  p
 or R    p
Las dos ecuaciones anteriores no pueden resolverse pues no se conoce la presión de transición
p. Para hallarla, es necesario fijar una ecuación que relacione tensiones con desplazamientos,
lo cual se logra recurriendo al concepto de interferencia radial.
Figura 3.44. Cilindros sujetos a contracción y a efectos de interferencia.
La interferencia radial se puede apreciar en la Figura 3.44a, donde se ve claramente como el
cilindro interno se contrae y el cilindro externo se expande, uno por la acción del otro. La
interferencia radial se obtiene como la suma de los desplazamientos absolutos que exhiben los
cilindros, es decir
  i  o
(3.130)
La deformación tangencial en el radio R del cilindro exterior se mide como la diferencia
circunferencial, es decir:
2 ( R   o )  2R  o
(3.131)

  o   ot R
2R
R
Téngase presente que la deformación tangencial se puede representar en términos de la
tensión tangencial actuante como:
 ot 
 ot 
 ot  or
Eo

Eo
(3.132)
Donde las tensiones se obtienen con (3.128) y Eo es el módulo de elasticidad del cilindro
externo. Con lo cual reemplazando la (3.128) se tiene:
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o 

pR  r02  R 2
 2



o
2

Eo  r0  R

(3.133)
Se procede de la misma manera con el cilindro interno de manera que
i  

pR  R 2  ri 2
 2
  i 
2
Ei  R  ri

(3.134)
Reemplazando (3.133) y (3.134) en (3.130) se obtiene la interferencia total

 pR  R 2  ri 2

pR  r02  R 2
 2

 2 2  i 


o
2
Eo  r0  R
 Ei  R  ri

(3.135)
Si se tiene el valor de la interferencia pretendida es decir , luego de la (3.135) se puede
despejar la presión, y en el caso que los dos materiales sean idénticos ( Ei  Eo  E ), se tendrá
el siguiente valor de la presión:
p


E r02  R 2 R 2  ri 2
2R 3
r02  ri 2



(3.136)
Nota: La presión de contacto según (3.136) y los valores de las tensiones tangenciales se han
obtenido bajo la suposición de que los dos cilindros tienen la misma longitud. En el caso de
que se tenga que ajustar por presión una masa o un rotor (por ejemplo un volante) este tipo de
suposición no vale y se presentan tensiones en los bordes de los anclajes, como se muestra en
la Figura 3.45 que normalmente se analizan con factores de concentración de tensiones, cuyos
valores rara vez son superiores a 2.
Figura 3.45. Zona de concentraciones de tensiones por interferencia.
Esfuerzos y tensiones de origen térmico.
Un cuerpo sin restricciones, se dilata por efecto del incremento de temperatura, de manera
uniforme en todas sus direcciones, en consecuencia las componentes normales del tensor de
deformación son todas iguales y vienen dadas por la siguiente relación:
 xx   yy   zz  T
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(3.137)
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donde  y T son el coeficiente de dilatación térmica y el incremento de temperatura
respectivamente. Si una barra recta se restringe rígidamente en ambos extremos el estado
tensional compresivo en la barra, luego de un incremento
 xx  E xx  ET
(3.138)
Por otro lado si se restringe una plancha plana (estado plano de tensión) en dos extremos, la
tensión normal en la dirección restringida será:
ET
(3.139)
1 
En casos donde existe una geometría compleja y la temperatura sea una variable en cada
punto del dominio de estudio, la forma de obtener el estado tensional asociado a variaciones
térmicas, es bastante más complejo que el presentado en las expresiones anteriores, y requiere
de la solución de un conjunto de ecuaciones diferenciales acoplado. Este tipo de análisis
excede los objetivos de un primer curso de elementos de máquina.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ejemplo y Caso de Estudio:
En la siguiente Figura se ve un puente basculante cuyo pivote se construye incrustando por
interferencia un eje dentro de un núcleo que se halla soldado o atornillado a la estructura.
 xx 
Puente basculante y su pivote (tomado de A.Kaw [19]).
Para poder encajar el eje en el núcleo es necesario primero enfriar el eje para contraerlo, luego
deslizarlo dentro del núcleo y finalmente al dilatarse a temperatura ambiente se encaja por
interferencia. El proceso de enfriamiento en casos de piezas de dimensiones considerables
suele ser costoso y delicado y un error tanto en el procedimiento de anclaje como en el
procedimiento de cálculo y determinación de la temperatura de enfriamiento, puede conducir
a pérdidas de tiempo y dinero desastrosas, tal como se verá a continuación.
En 1995 en uno de los puentes basculantes del Estado de Florida (Estados Unidos N.A.) el
procedimiento de ensamble no funcionó. Ocurrió que el eje se encastró antes de ser
completamente introducido en el núcleo. Una vez que esto sucede es imposible retroceder y se
debió construir un nuevo núcleo y un nuevo eje a un costo de U$ 50.000. El costo del núcleo,
del eje, sumados a la demora de tiempo, implicó una perdida total de U$ 110.000.
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Una pregunta surge. ¿Por qué el eje se atoró antes de tiempo?. La respuesta es inmediata,
porque no fue suficientemente enfriado y no se contrajo lo suficiente antes de ser introducido
en el núcleo.
Se ha contratado al mismo estudio de ingeniería para calcular y construir otro puente
basculante con dimensiones diferentes. En estas circunstancias es necesario establecer
metodologías más depuradas para evitar problemas. Para este nuevo puente basculante el
diámetro externo del eje es de 12.363 pulg y el diámetro interno del núcleo es de 12.358 pulg.
con lo cual se presenta una interferencia de 0.005 pulg (0.127 mm).
La idea operativa original era sumergir el eje en una mezcla de hielo seco y alcohol a una
temperatura mínima posible de –108°F para contraer el eje hasta que se produzca un huelgo
diametral especificado por experiencias previas en 0.010 pulg. (El doble de la interferencia).
La temperatura ambiente se supone a 80°F
La pregunta es; ¿será correcto emplear la mezcla de hielo seco y alcohol para enfriar el eje,
sin que se contraiga antes?
Solución:
En primera instancia observando la memoria de cálculo original se ve que se han utilizado los
siguientes datos:
-
Coeficiente de dilatación de fundición de acero (a Ta = 80°F):  = 6.817 10-6 1/°F
-
Diferencia de temperatura: T = Tf – Ta = -108 – 80 = -188°F.
- Diámetro inicial del eje: De = 12.363 pulg.
En consecuencia la contracción del eje será
D  D fe  De  DeT  0.01504 pu lg
(C.1)
Donde Dfe es el diámetro final del eje. Ahora cabría preguntarse si semejante contracción es
suficiente para la operación de ensamblado. Aparentemente si, puesto que la contracción del
eje que se calcula de la siguiente manera (Ver Figura)
d c  De  Da  d h   12.363  12.358  0.01  0.01500 pu lg
(C.2)
Entonces comparando, se ve que lo que predice (C.1) con la contracción que realmente se
necesita, permitiría asegurar que la temperatura de enfriamiento sea de –108°F.
Ajustes y tolerancias.
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Versión 2014
Variación del coeficiente de expansión Térmica con la Temperatura.
Ahora bien si se observa la anterior, que muestra la variación del coeficiente de dilatación
térmica de la fundición de acero con respecto a la temperatura, se ve que no es una función
constante. En estas circunstancias la contracción vendrá dada por la siguiente expresión
Tf

D  De  T T
(C.3)
Ta
Donde el coeficiente a(T) se obtiene por aproximación polinómica de segundo grado como:
 T   1.2278 x10 11T 2  6.1946 x10 9 T  6.0150 x10 6
(C.4)
En consecuencia como se desea una contracción dada por (C.2), para hallar la temperatura de
enfriamiento Tf se reemplaza (C.2) y (C.4) en (C.3), se integra y se resuelve numéricamente la
ecuación cúbica resultante. En el Cuadro C1 se muestra una notebook de Mathematica para la
resolución del problema.
Cuadro Notebook de Mathematica para la solución de la ecuación cúbica.
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Se puede apreciar entonces que de las tres raíces de la ecuación cúbica, la temperatura de
enfriamiento más cercana es –128.753°F, es decir que se debe enfriar más de los –108°F que
se supuso al principio.
Por otro lado, de enfriar a –108°F, se hubiera obtenido una contracción de –0.0136891 pulg,
es decir menor a lo especificado. Aunque el diámetro del eje contraído sea menor que el
diámetro del núcleo, existe mayor riesgo a encajarse antes de culminar la operación.
Entonces como conclusión el hecho de usar una hipótesis de cálculo con el coeficiente de
dilatación térmica constante, condujo a una sobrestimación de la contracción efectiva, lo cual
puede poner en riesgos el proceso de encastre. Sin embargo para asegurar el uso de la mezcla
de hielo seco y alcohol es necesario establecer cuál es el riesgo real de pre-encastre y esto se
hace evaluando un problema transitorio de dilatación, lo que trae aparejada la solución de
ecuaciones diferenciales de campo acoplado para la fundición de acero.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
4. Deformaciones y Tensiones Elementos Curvos
En este apartado se presentan las ecuaciones diferenciales que rigen el equilibrio estático de
un elemento curvo con radio constante. La distribución de las tensiones en un elemento curvo
sometido a la acción de cargas flexionales se determina efectuando las siguientes
suposiciones:
- La sección transversal tiene un eje de simetría en un plano perpendicular a la sección
de la viga, según se muestra en la Figura 3.46. Es decir simetría respecto al plano XY.
- Las secciones transversales se mantienen planas antes y después de la deformación.
- No se considera ningún tipo de efecto de alabeo en la sección transversal debido a la
torsión.
- El módulo de elasticidad se mantiene siempre igual en tracción como en compresión.
Figura 3.46. Descripción de un elemento curvo.
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En la Figura 3.46 se muestra una sección rectangular, pero este enfoque también es válido
para cualquier sección que tenga simetría respecto del plano XY. En primer lugar se analizará
el comportamiento en el plano XY y posteriormente se analizará el comportamiento fuera del
plano. La base deductiva de esta teoría se puede encontrar en la referencia [18].
El sistema de referencia Oxyz es de tipo circunferencial. Nótese que en la Figura 3.46 también
se identifican los desplazamientos genéricos de la sección transversal, es decir, u es el
desplazamiento axial del centro de referencia genérico G, que está ubicado en el centroide de
la sección transversal formada por el plano que pasa por el punto G y la recta e. Es claro que
el punto G está a una distancia R del eje e. Por otro lado v es el desplazamiento lateral del
punto G y z es la rotación de la sección medida a partir de G. En la Figura 3.46 también se
aprecian las fuerzas internas como la fuerza normal a la sección, N, la fuerza cortante, QY, y el
momento flector, MZ. Tales solicitaciones se pueden calcular empleando la siguiente
expresión:
 u v 
 ,
 x R 
1 u 
 
 z 
,
 x R x 
N  
 N   J 11

 
M Z    J 12
Q   0
 Y 
J 12
J 22
0
0   N 


0    Mz  , con  Mz

J 33  
  Qy 
(3.140)
 v

z 
 x

 Qy  
con:
 R
J ij   Eg i g j F dydz , g  1, y , i = 1, 2 siendo F  
R
A


y 
J 33  k y  GF dydz
(3.141)
A
Donde E es el módulo de elasticidad longitudinal, G el módulo de elasticidad transversal, A es
el área de la sección y ky es un coeficiente que depende del tipo de sección. El cálculo de ky es
una tarea relativamente tediosa, sin embargo si el radio es suficientemente grande se pueden
emplear los coeficientes correspondientes a las vigas rectas con suficiente grado de
aproximación. Para los coeficientes ky se puede recurrir a la Tabla 3.12. N, Mz y Qy son las
denominadas deformaciones específicas normal, flexional y cortante en el plano,
respectivamente.
Si se conoce la variación de las variables u, v y z a lo largo de la viga curva, se pueden
obtener las deformaciones específicas N, Mz y Qy apelando a la expresión (3.141) se
obtienen los esfuerzos.
Las ecuaciones de equilibrio estático de una viga curva en el plano son las presentadas la
expresión (3.142) (ver deducción en [14], [18] y [19]). Estas ecuaciones están sujetas a
condiciones de borde que vienen dadas en las ecuaciones (3.143) y cuyos casos se identifican
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en la Figura 3.47. Nótese que en la Figura 3.47 las fuerzas correspondientes al caso (d) de la
expresión (3.143) se han puesto con sus respectivos signos. Téngase presente que en la
ecuación (3.142) las funciones P1(x), P2(x) y P3(x) son fuerzas distribuidas a lo largo de la
línea de centroides, fuerzas cortantes distribuidas y momentos distribuidos respectivamente.
N 1 M Z

 P1 x   0
x R x
Q
N
 Y   P2 x   0
,
x
R
M Z
 QY  P3 x   0
x

(a) Empotrado en xo = x o xo = L
(b) Libre en xo = x o xo = L
ux0   vx0    z x0   0
N x0   M Z x0   QY x0   0
(c) Rótula en xo = x o xo = L
(d) Libre con fuerzas en xo = x o xo = L
u  x 0   v x 0   M Z  x 0   0
N x0    N 0 ,
(3.142)
(3.143)
M Z x0    M Z 0
QY x0   QY 0
Es claro que si se reemplazan las expresiones de las fuerzas (3.140) en las ecuaciones
diferenciales (3.142) junto con las condiciones de borde (3.143) entonces se pueden calcular
las variables u, v y z resolviendo las ecuaciones diferenciales pertinentes.
Figura 3.47. Algunas condiciones de borde para las ecuaciones diferenciales de la viga curva en el plano.
Ahora bien en la Figura 3.48 se puede observar una viga curva sometida a solicitaciones que
generan desplazamientos fuera del plano de simetría, es decir: Momento torsor T, momento
flector MY y fuerza de corte QZ. Los desplazamientos que generan son: el ángulo de giro por
torsión, , la rotación flexional fuera del plano y y el desplazamiento flexional en la
dirección z, w. Estas solicitaciones vienen dadas por la expresión (3.144), donde T, My y Qz
son las denominadas deformaciones específicas de torsión, de flexión y de corte fuera del
plano, respectivamente. Es claro que si se conoce la variación de las variables w,  y y a lo
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largo de la viga curva, se pueden obtener las deformaciones específicas T, My y Qz y
apelando a la expresión (3.144) se obtienen los esfuerzos correspondientes.
 T   J 44

 
M Y    0
Q   0
 Z 
0
J 55
0
   
 T    y ,
 x R 
0   T 
 

 
0   My  , con  My   y  ,
 x R 

J 66  
 Qz 
 w

 Qz  
y 
 x
(3.144)

siendo


J 66  k z  GFdydz , J 55   Ez 2 Fdydz , J 44   G z 2  y 2 Fdydz
A
A
(3.145)
A
Las ecuaciones de equilibrio estático de una viga curva fuera del plano son las presentadas en
la expresión (3.146) (ver deducción en [14], [18] y [19]). Estas ecuaciones están sujetas a
condiciones de borde que vienen dadas en las ecuaciones (3.147) y cuyos casos se identifican
en la Figura 3.49. Nótese que en la Figura 3.49 las fuerzas correspondientes al caso (d) de la
expresión (3.147) se han puesto con sus respectivos signos. Téngase presente que en la
ecuación (3.146) las funciones P4(x), P5(x) y P6(x) son momentos torsores distribuidos a lo
largo de la línea de centroides, fuerzas cortantes distribuidas y momentos distribuidos
(actuando en sus correspondientes direcciones) respectivamente.
T M Y

 P4 x   0
x
R
Q
 Z  P5 x   0
,
x
M Y
T

 QZ   P6 x   0
x
R

(a) Empotrado en xo = x o xo = L
(b) Libre en xo = x o xo = L
wx0    x0    y x0   0
T x0   M Y x0   QZ x0   0
(c) Rótula doble en xo = x o xo = L
(d) Libre con fuerzas en xo = x o xo = L
wx0   T x0   M Z x0   0
T x0   T0 ,
(3.146)
(3.147)
M Y x0   M Y 0
QZ  x 0   QZ 0
Ahora bien una vez resueltas las ecuaciones diferenciales (3.142) y (3.147) y obtenidos los
desplazamientos y rotaciones de los centros de referencia G en cada uno de los planos que se
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proyectan desde el eje e, es decir u, v, w, y, z y , se pueden obtener las deformaciones
especificas en todos los puntos y luego se pueden obtener los estados de tensiones en todos
los puntos aplicando la ley de Hooke, es decir:
 xx  E  N  y Mz  z My F
 xy  G Qy  z T F
 xz  G Qz  y T F
(3.148.a)
Por otro lado, conociendo los desplazamientos y rotaciones del centro de referencia de cada
sección se pueden obtener los desplazamientos de cada punto de cada sección como:
u

u x x, y, z   u  y z    z y
R

u y x, y, z   v  z
(3.148.b)
u z x, y, z   w  y
Entonces, la solución del problema se obtiene conociendo los desplazamientos y tensiones
dados en las expresiones (3.148.a) y (3.148.b).
Figura 3.48. Elemento curvo bajo acción combinada de flexión y torsión fuera del plano de simetría
Figura 3.49. Algunas condiciones de borde para las ecuaciones diferenciales de la viga curva fuera del plano.
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5. Aspectos Elementales de pandeo
La ecuación diferencial de equilibrio para obtener la carga de pandeo (es idéntica en las dos
direcciones, modificando claro está la rigidez flexional), se recordará viene formulada con la
siguiente expresión:
d 2 u yo
dx
2

P
u yo  0
EI z
(3.149)
Estas son las denominadas ecuaciones de Euler. Resolviendo estas ecuaciones se puede
obtener la carga crítica de acuerdo con las condiciones de borde que se impongan. Ejemplos
típicos de estas condiciones se pueden apreciar en al Figura 3.50. La solución general de la
ecuación (3.149) se puede hallar en la siguiente expresión:
Figura 3.50. Condiciones de borde típicas para problemas de pandeo
K f  2 EI z
2
PCR K f  E
(3.150)
o bien
PCR 

2
2
A
L

donde L es la longitud, Kf es un factor que depende de la condición de borde (ver Tabla 3.15)
y  es la esbeltez definida por

L
rg
y rg 
Iz
A
(3.151)
rg es el radio de giro de la sección.
Condición de Borde
Valor Teórico
Valor Recomendado
Empotrado-Libre
¼
¼
Apoyado-Apoyado
1
1
Empotrado-Apoyado
2
1.2
Empotrado-Empotrado
4
1.2
Tabla 3.15. Valores de la constante Kf para la ecuación de Euler (3.150)
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Se tendrá presente que la (3.150) es valida para vigas sumamente esbeltas o largas y no
correlaciona suficientemente bien con resultados experimentales. Para relaciones de esbeltez
más bajas se suele utilizar la ecuación de Johnson (3.152). La zona que delimita el uso de
ambas ecuaciones se suele discriminar en el punto de tangencia de ambas curvas según se
aprecia en la Figura 3.51
 S yc  
PCR
1

 S yc  
   1
A
 2  EC CB
2
(3.152)
Figura 3.51. Ecuaciones de Johnson y de Euler para pandeo de vigas
En el caso de tener una carga excéntrica como la que se muestra en la Figura 3.52, mediante
equilibrio se llega a la ecuación diferencial siguiente:
d 2 u yo
dx
2

Pe
P
u yo   c
EI z
EI z
(3.153)
donde ec es la excentricidad. La solución de esta ecuación se obtiene mediante la siguiente
expresión:
S yc
P

A 1  ec c / rg2 Sec  / 2  P / EA

 

(3.154)
En (3.154) ec es la excentricidad, c es la distancia desde el eje neutro a la fibra más solicitada
y rg es el radio de giro de la sección. La relación ec c / rg2 se denomina relación de
excentricidad y con ella se describen gráficos para la obtención aproximada de la carga
crítica, dado que la obtención de la misma mediante (3.154) no se hace en forma explícita, y
hay que hallar las raíces empleando métodos numéricos.
Figura 3.52. Viga pandeada por carga excéntrica
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Figura 3.53. Comparación de las ecuaciones de la secante y de Euler.
6. Bibliografía
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[6] R.E. Rossi, “Introducción al Método de Elementos finitos, Curso Básico con aplicaciones
en elasticidad lineal”. Departamento de Ingeniería. Universidad Nacional del Sur. 1993.
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Jerusalem (1961)
[12] Timoshenko S.P. y Gere J.M. "Theory of Elastic stability". McGraw-Hill Company. New
York (1961)
[13] M. T. Piovan y V.H. Cortínez “Mecánica de vigas curvas anisótropas con sección de
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Ingeniería, Vol 19(3), 341-362 (2003)
UTN-FRBB Cátedra: Elementos de Máquinas. Profesor: Dr. Ing. Marcelo Tulio Piovan
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[19] A. Kaw. Non-linear equations applied to mechanical engineering.
http://numericalmethods.eng.usf.edu (2003)
7. Problemas resueltos en clase y para completar
Problema tipo 3.4
En el sistema de la figura, las barras tienen sus extremos soldados a paredes rígidas y a una
pieza muy rígida que tiene solicitaciones verticales distribuidas simétricamente.
Peso: W1 = 4500 N
Mód de Elasticidad: E1 = E2
Diámetro: D1 = D2
Longitud: L1 = 45 cm
Longitud: L2 = 35 cm
Se necesita determinar el valor de la fuerza en cada barra y si es posible el valor del
desplazamiento de la pieza horizontal y en caso que no sea posible dejarlo expresado en forma
simbólica.
Solución del Problema tipo 3.4
Para resolver este problema se tiene que pensar en primer lugar que el desplazamiento de la
pieza horizontal es único y en consecuencia eso repercute en las dos barras. Por otro lado, la
tentación inmediata a decir que las fuerzas se reparten por igual en cada barra puede conducir
a un error grave.
Claramente la barra superior se estira y la inferior se comprime, ambas con un valor de
desplazamiento, que se puede llamar  y que  = 1 = 2, luego de la ley de Hooke para cada
barra surge que:
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 1  E11  E1
u1
du

 L FL
 E1 1  E1 1  1  1 1  1 1
x
dx
L1
E1
E1 A1
 2  E2 2  E2
u2
du

 L
FL
 E2 2  E2 2   2  2 2  2 2
x
dx
L2
E2
E2 A2
Siendo A1 y A2 las áreas de cada barra y F1 y F2 las fuerzas actuantes. Luego se puede obtener
la siguiente ecuación ya que
1   2   
F1L1 F2 L2

 F1L1  F2 L2
E1 A1 E2 A2
Ahora bien la ecuación de equilibrio estático de todo el conjunto será
F1  F2  2W1
En consecuencia para hallar las fuerzas en cada barra se tendrá que resolver el siguiente
sistema lineal con incógnitas en F1 y F2:
 F1  F2  2W1

 F1 L1  F2 L2  0
Lo cual lleva a la siguiente respuesta:
F1 
2W1 L2
2W1
, F2 
1  L2 / L1 L1
1  L2 / L1
Nótese que la única condición para que ambas fuerzas tengan el mismo valor es que las
longitudes de las barras sean iguales.
Se deja al alumno concluir los restantes detalles de este problema.
Problema tipo 3.5
En la siguiente Figura se muestra el marco curvo que hace las veces de soporte de elementos
funcionales de una prensa troqueladora. Tal como fue diseñado (hace más 30 años) el marco
posee rigidez variable y una sección rectangular. Se desea conocer el máximo desplazamiento
entre los extremos dado que se desea incrementar la capacidad de carga sobre el marco.
Esquema del marco de una troqueladora (Shigley [1]).
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En este caso de estudio se efectuará un planteo basado en las ecuaciones de la viga curva
para la verificación de desplazamientos en la repotenciación de la máquina.
La sección posee en los dos extremos dimensiones b = h = 2 pulgadas, el radio centroidal es
de R = 32 pulgadas, los radios externo e interno varían en forma sinusoidal con una amplitud
de 2 pulgadas. Esto significa que la sección transversal A=b.h pasa de 2x2 en los extremos a
2x6 en el centro o a 90° de los extremos. El marco es de acero (E = 30 106 psi, G =14.5 106
psi) y será solicitado a una carga máxima de 1000 libras. La sección siendo rectangular posee
un coeficiente de corte k =5/6. Se desea saber cuánto se distanciaran los dos extremos.
Teniendo en cuenta que la cota máxima de desplazamiento no puede ser mayor a una
milésima de pulgada por razones de precisión del troquelado, será 1000 lb una carga
excesiva?. Determine el valor de la máxima carga que podría soportar en ambos extremos sin
que el proceso de troquelado se resienta.
Solución del Problema tipo 3.5
Como se verá la solución impone el empleo de las ecuaciones de equilibrio estático para
elementos curvos, sin embargo la rigidez es variable, en consecuencia no se pueden obtener
por integración elemental las ecuaciones de los desplazamientos ya que en el proceso se
obtienen funciones trascendentes que difícilmente sean integrables en forma explícita.
Las expresiones de la geometría del marco vienen dadas por una variación que puede
definirse según que sea sinusoidal. Para mayor sencillez en el tratamiento algebraico se
empleará la simetría de la estructura, en consecuencia el ángulo de abertura del arco que se
analizará tiene 90º.
Entonces la variación de la altura h de la sección de la viga viene dada por:
h  hm  he  hm Senx / R
Donde hm es la altura en la parte más gruesa y he es la altura de la sección en los extremos.
Para integrar las ecuaciones de equilibrio de la viga curva en el plano (3.142) se requerirá el
empleo del programa Mathematica®. Se sugiere a los alumnos buscar en la página web de la
asignatura el archivo “problema_tipo3_5.nb”.
8. Problemas Propuestos
Problema 1:
Hallar cuanto se desplaza el peso W2 que está en el extremo inferior, sabiendo lo siguiente:
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Peso: W1 = 430 kg
Peso: W2 = 350 N
Mód de Elasticidad: E1 = 0.7 107 N/cm2
Mód de Elasticidad: E2 = 2 107 N/cm2
Diámetro: D1 = 19 mm
Diámetro: D2 = 16 mm
Longitud: L1 = 70 cm
Longitud: L2 = 60 cm
Problema 2:
Hallar el ángulo de rotación de la barra de peso W1.
Peso: W1 = 450 kg
Mód de Elasticidad: E = 2 107 N/cm2
Diámetro: D1 = 25 mm
Diámetro: D2 = 18 mm
Longitud: L1 = 60 cm
Longitud: L2 = 20 cm
Longitud: L3 = 35 cm
Longitud: L4 = 50 cm
Problema 3:
Una viga de fundición simplemente aployada mide 90 cm de longitud y soporta una carga de
1500 N en el centro de la misma. La viga sirve como guía para una máquina y puede tener
cualquiera de las secciones que aparecen a continuación
Nótese que las tres secciones tiene la misma área. Se pide calcular la tensión y el
desplazamiento en el punto más crítico para cada configuración.
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Problema 4.
El eje de la figura soporta un par de 200000 N.cm en el lugar indicado en la figura. Si los
extremos del eje se fijan para no rotar, calcule los momentos torsores en los extremos.
Problema 5.
El eje macizo de acero tiene una longitud de L = 1.2 m y un radio de r = 20 mm, hallándose
solamente a un par de torsión  =1000 N.m. El módulo de elasticidad transversal es de 80
GPa. Determine:
a) El esfuerzo cortante máximo y donde se produce.
b) El ángulo de giro en la sección extrema y un gráfico de la variación del mismo en función
de la posición.
Problema 6.
El eje de la Figura está sometido a tensiones triaxiales provocadas por una carga axial de
valor P, una carga flexional de valor Q y un momento torsor de valor T aplicados en un
extremo según se ve en la idealización de la figura adjunta. El diámetro menor del eje es la
mitad del diámetro mayor; en tanto que el radio de acuerdo entre ambos es 20 veces menor
que el diámetro mayor. Determinar el valor de las tensiones en los puntos más críticos. Se
sabe que la longitud desde el empotramiento hasta el radio de acuerdo es de 8 veces el
diámetro mayor mientras que la longitud restante es de 6 veces el diámetro menor.
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Problema 7.
Dada la fuerza distribuida en forma sinusoidal, hallar en función del desplazamiento flexional
el momento flector y el esfuerzo de corte en un eje de diámetro d constante. NOTA: recuerde
la ecuación diferencial del desplazamiento por flexión.
Problema 8.
Determine si el estado de tensiones normales y cortantes de una viga a flexión como la que se
muestra en la Figura verifica el equilibrio.
La carga actuante es P, la viga es rectangular de altura h y base b. Se puede decir lo mismo si
la viga es de diámetro D.
Problema 9.
En una viga de acero que acciona la superestructura de un domo deslizante se desea saber la
carga axial y el momento flector que están actuando en una cierta sección. Para ello se
dispusieron “strain gauges” alrededor de la superficie de la viga siguiendo el contorno
circular. Se determinó que la tensión normal a la sección viene dada por la expresión
 x  500( y  1) Pa, siendo el diámetro externo de la viga de 0.25 m y el interno de 0.18 m.
Recordar que el sistema de referencia de la viga está en el centro de la sección.
Problema 10
Dado el esquema de solicitación, determine el valor de la carga w tal que la deflexión en el
centro de la viga sea de o. La viga tiene una longitud L y posee una altura h = b/3, siendo b la
profundidad.
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Problema 11.
La cuchilla de una podadora de césped gira a 3000 RPM. La misma se trata de una planchuela
de 24” de longitud con una sección transversal uniforme de 1/8” de espesor por 1 ¼” de ancho.
Tiene un orificio de ½“ en el centro para montarla al motor. Se desea determinar la tensión
nominal en la sección central debido a la rotación.
Problema 12.
En la Figura siguiente hay dos engranajes que se deben montar sobre un eje. Las cargas en los
engranajes son F1 = 2000 N y F2 = 1000 N. Se desea saber la localización del momento flector
máximo y el máximo desplazamiento flexional. Como influirá en el cálculo suponer que las
cargas son puntuales o distribuidas en el ancho de los engranajes. Considere que los extremos
están empotrados. Las unidades están en mm.
Problema 13.
En la Figura siguiente hay un engranaje montado en el extremo de un eje troncocónico. La
fuerza distribuida que actúa en el engranaje es q1 = 20000 N/m a una distancia r1 = 65 mm del
eje de rotación y siendo el engranaje de un ancho de 2 cm. Se sabe que el radio del eje donde
se aloja el engranaje es de 30 mm y en el otro extremo, el diámetro es de 90 mm. La distancia
entre tales secciones es de 350 mm.
a) Se quiere saber el valor del ángulo de rotación, en el extremo donde actúa la fuerza.
b) Compare los resultados empleando las metodologías de resistencia de materiales y del
Teorema de Castigliano.
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