mkN M Mz . 34,2º45 cos 31,3 cos ≅ × = × = α 10 64,8 12 12,006,0 m

Trabajo Práctico Nº 5: Tensiones en flexión oblicua y compuesta
Ejercicio 1: Calcular las tensiones máximas por flexión en la siguiente estructura y las
tensiones en la fibra que pasa por el punto A. Determinar la posición del Eje Neutro y
graficar el diagrama de tensiones. Nota: La luz está en metros y la sección en centímetros.
“A” es el apoyo izquierdo y “B” el derecho.
Datos: P = 4,41 kN
M máx =
R A = RB =
P × l 4,41 [kN ] × 3 [m]
=
= 3,31 kN . m
4
4
P 4,14 kN
=
= 2,205 kN
2
2
En este caso se debe determinar la proyección del Momento que actúa en la sección
sobre cada eje, para poder aplicar el principio de independencia de acciones y
superposición de efectos.
M z = M × cos α = 3,31 × cos 45º ≅ 2,34 kN . m
M y = M × sen α = 3,31 × sen 45º ≅ 2,34 kN . m
Al tener un Momento flexionando alrededor de cada eje, se debe calcular las
propiedades de la sección para los ejes Z e Y.
0,06 × 0,12 3
= 8,64 ×10 −6 m 4
Iz =
12
Wz =
12 × 6 3
= 216 cm 4 ≡ 2,16 × 10 −6 m 4
Iy =
12
0,06 × 0,12 2
= 144 ×10 −6 m 3
6
Wy =
12 × 6 2
= 72 cm 3 ≡ 72 × 10 −6 m 3
6
La sección posee doble simetría por lo cual las tensiones máximas en tracción y
compresión serán iguales en valor absoluto; para calcular las mismas puede emplearse la
expresión de Navier o la fórmula de los espejos.
σ máx = ±
My
Mz
2,34 [kN . m]
2,34 [kN . m]
±
=±
±
≅ ± 48,75 MPa
−6
3
Wz
Wy
144 × 10 m
72 × 10 −6 m 3
[ ]
[ ]
Para el cálculo de las tensiones que pasan por un punto específico (el A en este
caso), debe utilizarse la expresión de Navier (4.26.a), teniendo cuidado con los signos de
Trabajo Práctico 5 - 1
cada término, en este caso ambas componentes de momento son positivas y el punto A
tiene ambas coordenadas negativas.
σ máx = −
My
Mz
2,34 [kN . m ] × ( − 0,02) [m ]
2,34 [kN . m ] × ( − 0,02) [m ]
y+
z =−
+
4
−6
Iz
Iy
8,64 × 10 m
2,16 × 10 −6 m 4
[ ]
[ ]
Alternativamente los signos de cada término pueden determinarse observando si la fibra
está traccionada o comprimida para cada componente del Momento usando la regla de la
mano derecha. Para esta viga simplemente apoyada, para la componente de carga
qz = + Psen 45 que actúa en la dirección “z” tracciona la parte izquierda de la sección (z
positivo) y la componente de la carga Py = − P cos 45 en la dirección “y” tracciona la parte
inferior de la sección (y negativo)
σ x = − 16,28 MPa
A
El Eje Neutro es baricéntrico, pero no resulta normal a la traza del plano de cupla flectora,
por lo cual se determina el ángulo que forma con el eje Z.
tg β = tg α
Iz
8,64 × 10 −6 m 4
= tg 45º
= 4
Iy
2,61 × 10 −6 m 4
⇒
β = arc tg 4 = 75º 57´
Al aplicar el principio de independencia de acciones y superposición de efectos en
lugar de la expresión de Navier para la flexión oblicua, los resultados obtenidos en este
ejercicio, para cada vector Momento y para las tensiones, tanto las máximas como para la
fibra que pasa por el punto, corresponden a la suma de los resultados finales de los
ejercicios 6 y7 del Trabajo Práctico 4.
Ejercicio 2: Un techo de chapa de fibrocemento está formado por vigas en celosía
separadas 4 m entre sí con una inclinación de 25º con respecto a la horizontal,
Datos: q techo = 0,6 kN/m2
Sección P. N. I. Nº 12
σadm = 140 MPa
Trabajo Práctico 5 - 2
I z = 328 cm4 ≡ 3,28 x 10-6 m4
W z = 54,7 cm3 ≡ 54,7 x 10-6 m3
Wy =
[ ]
I y = 21,5 cm4 ≡ 0,215 x 10-6 m4
b = 5,8 cm
[ ]
21,5 cm 4
= 7,41 cm 3
5,8
[cm]
2
W y ≡ 7,41 x 10-6 m3
1-Calcular las tensiones máximas por flexión para la correa correspondiente
2-Calcular las tensiones en la fibra que pasa por el punto A que se encuentra a 2 cm del eje
Y en el borde superior del ala.
3-Trazar el diagrama de tensiones indicando la posición del E. N.
Para determinar la carga sobre el perfil que actúa como correa, se considera que las
chapas están simplemente apoyadas sobre los mismos, y que descargan su carga por
mitades sobre cada correa por lo que exceptuando los perfiles extremos, la incidencia del
techo sobre la correa sería la correspondiente a dos reacciones de apoyo.
q correa
q correa
 kN 
0,6  2  × 1,3 [m]
m 
=
=2
2
 kN 
 kN 
= 0,6  2  × 1,3 [m] = 0,78  
m
m 
 kN 
0,78   × 4 [m]
m
R A = RB =
= 1,56 [kN ]
2
M máx
 kN 
2
0,78   × 4 2 [m]
m
= 1,56 kN . m
=
8
M z =1,56 × cos 25º = 1,41 kN . m
M y = 1,56 × sen 25º = 0,66 kN . m
En este caso para calcular las tensiones máximas es suficiente emplear los módulos
resistentes.
σ máx =
1,41 [kN . m]
0,66 [kN . m]
 kN 
+
= 114.845,79  2 
−6
3
−6
3
54,7 × 10 m
7,41× 10 m
m 
[ ]
[ ]
σ máx ≅ ± 115 MPa < σ adm
Para el cálculo de las tensiones en la fibra que pasa por el punto A, debe emplearse
la expresión de Navier respetando los signos de Momentos y coordenadas
Trabajo Práctico 5 - 3
σx = −
A
1,41 [kN . m] × 0,06 [m]
0,66 [kN . m] × 0,02 [m]
+
=
−6
4
3,28 × 10 m
0,215 × 10 −6 m 4
[ ]
[ ]
 kN 
= − 25.792,7 + 61.395,35 = 35.602,65  2  ≅ 35,6 MPa
m 
Teniendo en cuenta la acción de cada momento para determinar el signo de cada
término se arriba al mismo resultado. En forma idéntica al ejemplo anterior en el que el
ángulo α es positivo y menor a 90 (ambas componentes positivas) la componente de
Momento Mz, tracciona la parte inferior que NO incluye a la fibra que pasa por el punto A por
lo cual la comprime. En tanto que el Momento My tracciona la parte izquierda de la sección
que SI incluye a la fibra que pasa por el punto A.
σ x =−
A
1,41 [kN . m] × 0,06 [m] 0,66 [kN . m] × 0,02 [m]
=
+
3,28 × 10 −6 m 4
0,215 × 10 −6 m 4
[ ]
[ ]
≅ 35,6 MPa
tg β = tg 25º
3,28 × 10 −6 m 4
= 7,11
0,215 × 10 −6 m 4
⇒
β = arc tg 7,11 = 81º 59´
Ejercicio 3: Dimensionar la correa del Ejercicio 2 para una sección rectangular en madera
con una relación h/b = 2. Nota: La luz de la viga está en metros.
Datos: q correa = 0,78 kN/m
Trabajo Práctico 5 - 4
σ adm = 8 MPa
 kN 
0,78   × 4 [m]
m
= 1,56 [kN ]
R A = RB =
2
M máx
 kN 
2
0,78   × 4 2 [m]
m
=
= 1,56 kN . m
8
En el caso de la flexión disimétrica se tienen dos incógnitas, el Módulo resistente Wz
y el Módulo resistente Wy, para emplear la fórmula de los espejos se debe vincular ambos
módulos para tener una sola incógnita.
Wz
b × h2
h
6
=
×
= =2
2
b
6
Wy
h×b
Si se opta por poner Wz en función de Wy, se tiene:
My
W z = 2 Wy
My
Mz
Mz
+
=
+
=
2 Wy
Wz
Wy
Wy
σ adm =
1 Mz

+ My

Wy  2

=
Por lo cual el Módulo resistente con respecto al eje Y se obtiene despejando de la
expresión anterior.
W y nec =
1
 kN 
8.000  2 
m 
0.0001706 m 3 =
b=
3

 1,41 [kN . m]

+ 0,66 [kN . m] = 0,0001706 m 3
2


h × b 2 2b × b 2
=
=
6
6
0,0001706 m 3 =
3 × 0,0001706 m 3 = 0,0799 m
2 b3
6
⇒ b ≅ 0,08 m
h = 2 × 0,08 = 0,16 m
Si se opta por poner Wy en función de Wz, se tiene:
Wy =
Wz
2
Reemplazando en la expresión que vincula la tensión admisible con los momentos:
σ adm =
=
My
2 My
Mz
Mz
+
=
+
=
Wz
Wy
Wz
Wz
1
(Mz + 2 M y)
Wz
Trabajo Práctico 5 - 5
W z nec =
1
( 1,41 [kN . m] + 2 × 0,66 [kN . m]) ≅ 0,00034 m 3
kN
 
8.000  2 
m 
0.00034 m 3 =
b=
3
b × h 2 b × ( 2 b) 2
=
=
6
6
3 × 0,00034 m 3
= 0,0799 m
2
0,00034 m 3 =
4 b3
6
⇒ b ≅ 0,08 m
h = 2 × 0,08 = 0,16 m
Iz =
0,08 × 0,16 3
= 27,31 × 10 −6 m 4
12
Iy =
0,16 × 0,083
= 6,83 × 10 −6 m 4
12
Se verifica la tensión máxima de trabajo en la sección
σ máx =
− 1,41 [kN . m] × (m ) 0,08 [m] − 0,66 [kN . m] × (m ) 0,04 [m]
=
+
27,31 × 10 −6 m 4
6,83 × 10 −6 m 4
[ ]
[ ]
 kN 
= ± 7995,65  2  ≅ ± 8 MPa
m 
El análisis de tracción-compresión de cada punto es idéntico al ejercicio anterior (de
hecho es el mismo estado de carga. Los puntos más traccionados se ubican el cuadrante
inferior izquierdo. El punto A está comprimido por la componente Mz y traccionado por My
1,41 [kN . m] × 0,04 [m]
0,66 [kN . m] × 0,03 [m]
 kN 
+
= 833,79  2 
−6
4
−6
4
27,31 × 10 m
6,83 × 10 m
m 
≅ 0,8 MPa
σx = −
A
σx
A
tg β = tg 25º
[ ]
[ ]
27,31 × 10 −6 m 4
= 1,865
6,83 × 10 −6 m 4
⇒
β = arc tg 1,865 = 61º 48´
Trabajo Práctico 5 - 6
Ejercicio 4: Dimensionar la viga para un P. N. I. Siendo σadm = 140 MPa el plano de carga
forma un ángulo de 15º con el eje de las Y. Determinar las tensiones máximas y las
tensiones en la fibra que pasa por el punto E que se encuentra a 4 cm del eje Y en el borde
inferior del ala. Trazar el diagrama de tensiones indicando la posición del E. N.. Nota: Las
distancias están en metros.
Datos: P = 50 kN
R A = Rb =
M máx =
P 50
=
= 25 [kN ]
2
2
P × l 50 [kN ] × 3 [m]
=
= 37,5 [kN . m]
4
4
Recordar que el ángulo α es el formado por el momento con el eje z (en este caso es horario
o negativo)
M z = 37,5 × cos ( − 15º ) = 36,22 [kN . m]
M y = 37,5 × sen ( −15º ) = − 9,71 [kN . m]
En este caso se debe también vincular los Módulos resistentes respecto a ambos
ejes; se elige un perfil de la tabla y se vinculan ambos Módulos. Se ha elegido el P. N. I. Nº
20, si bien esta relación no es constante para los distintos perfiles es suficiente para la
búsqueda.
Datos del P. N. I. Nº 20:
Wz = 214 cm 3
I y = 117 cm 4
b = 9 cm
Wy =
[ ]
I y 117 cm 4
=
= 26 cm 3
9 [cm]
b
2
2
Al vincular los Módulos resistentes, se debe tener en cuenta si la tabla de perfiles
tiene ambos Módulos, en caso de tener únicamente uno, por ejemplo Wz, se deberá colocar
Wy en función del Módulo dato.
[ ]
[ ]
Wz
214 cm 3
=
= 8,23
Wy
26 cm 3
⇒ Wy =
Wz
8,23
Trabajo Práctico 5 - 7
σ adm =
| Mz | | My | | Mz | | My |
+
=
+
=
Wz
Wz
Wy
Wz
8,23
140 MPa =
36,22 [kN . m] 8,23 × 9,71 [kN . m]
=
+
Wz
Wz
140 MPa =
1
( 36,22 + 79,91 ) [kN . m]
Wz
W znec =
116,13 [kN . m]
= 0,0008295 m 3 ≡ 829,5 cm 3
 kN 
140.000  2 
m 
[ ]
[ ]
P. N. I. Nº 34 : W z = 923 cm3 ≡ 923 x 10 –6 m3
Iz = 15.700 cm4 ≡ 157 x 10 –6 m4
Iy = 674 cm4 ≡ 6,74 x 10 –6 m4
b = 13,7 cm
Wy =
σ máx = ±
6,74 × 10 −6 m 4 × 2
= 98,39 × 10 −6 m 3
0,137 m
36,22 [kN . m]
9,71 [kN . m]
±
= ± 137.930,49
−6
3
923 × 10 m
98,39 × 10 −6 m 3
[ ]
[ ]
 kN 
m2 
 
σ máx ≅ ± 138 MPa < 140 MPa
Para calcular las tensiones en la fibra que pasa por el punto E, analizaremos la
acción de los Momentos correspondientes a cada flexión recta. Debido a la orientación del
plano de carga y al tratarse de una viga simplemente apoyada, para el Momento Mz
(positivo) la fibras inferiores están traccionadas (y negativo) y para el Momento My (negativo)
están traccionadas las fibras en la parte derecha de la sección (z negativo), luego para el
punto A ambas componentes contribuyen con valores positivos:
σx = −
E
− 9,71 [kN . m] × ( −0,04) [m]
36,22 [kN . m] × ( −0,17) [m]
+
= 96.845,22
−6
4
157 × 10 m
6,74 × 10 −6 m 4
[ ]
[ ]
 kN 
 m 2 
σ x ≅ 96,85 MPa
E
tg β = tg α
Iz
157 × 10 −6 m 4
= tg ( − 15º )
= − 6,24
Iy
6,74 × 10 −6 m 4
Trabajo Práctico 5 - 8
β = arc tg ( −6,24) = 99º 07 ´( −80º 53´)
Ejercicio 5: Dimensionar la viga de la figura, siendo σadm = 17 MPa, para una sección
rectangular con h/b = 3. Determinar las tensiones en la fibra que pasa por el punto B que se
encuentra a 5 cm por debajo del eje Z en el borde derecho de la sección, posición del Eje
Neutro y trazar el diagrama de tensiones. Nota: La luz está en metros.
Datos: q = 1 kN/m
σadm = 17 MPa
h/b = 3
Se obtiene para b un valor próximo a 8 cm, redondeando el ancho en esa medida, la
tensión máxima es aproximadamente de 16 MPa y la tensión en la fibra que pasa por el
punto B es 9,42 MPa. Observar bien que en función de los apoyos el ángulo α=-40
Ejercicio 6: Si la tensión admisible es σadm = 140 MPa, dimensionar la viga con un P. N. I..
Calcular la tensión en la fibra que pasa por el punto D ubicado a 2 cm del eje Y en el borde
superior del ala. Determinar la posición del eje Neutro y trazar el diagrama de tensiones.
Nota: Las distancias están en metros.
Datos: P = 10 kN
Trabajo Práctico 5 - 9
Se debe elegir un perfil de la tabla y vincular ambos Módulos resistentes.
Determinado el Módulo necesario y eligiendo el Perfil en base al Módulo por exceso, la
tensión máxima es aproximadamente de 122,93 MPa y la tensión en la fibra que pasa por el
punto D es próxima a 20 MPa.
Flexión Compuesta.
Ejercicio 7: Determinar las tensiones máximas, posición del Eje Neutro y trazar el diagrama
de tensiones. Calcular las dimensiones del Núcleo central y graficarlo en la sección.
Datos: N = 200 kN
M = 40 kN. M
A = 0,12 × 0,25 = 0,03 m 2
Iy =
Wy =
0,12 × 0,25 2
= 1.250 × 10 −6 m 3
6
0,12 × 0,253
= 156,25 × 10 −6 m 4
12
Debido a que la carga normal es de compresión el valor mínimo será el de mayor absoluto,
esto puede verse ocurre para valores negativos de la coordenada z.
σ máx = −
200 [kN ]
40 [kN . m]
 kN 
−
= − 38.666,67  2 
2
−6
3
0,03 m
1.250 × 10 m
m 
[ ]
[ ]
σ máx ≅ − 38,67 MPa
La máxima tensión positiva es cambiando el signo a la componente de flexión
σ mín = −
200 [kN ]
40 [kN . m]
 kN 
+
= 25.333,33  2 
2
−6
3
0,03 m
1.250 × 10 m
m 
[ ]
[ ]
σ mín ≅ 25,33 MPa
En el punto A se contrarestan ambos efectos.
σx = −
A
200 [kN ]
40 [kN . m] × ( 0,04) [m]
 kN 
+
= 3.573,33  2 
2
−6
4
0,03 m
156,25 × 10 m
m 
[ ]
[ ]
σ x ≅ 3,57 MPa
A
Trabajo Práctico 5 - 10
Al tratarse de una flexión compuesta recta, el Eje Neutro será paralelo al eje Y pero
no será baricéntrico, por lo cual se debe determinar la absisa al origen.
z =−
[ ]
Iy
N
200 [kN . m] 156,25 × 10 −6 m 4
×
=−
×
= 0,026 [m]
A My
0,03 m 2
40 [kN . m]
tg β = tg 90º
[ ]
[ ]
[ ]
36 × 10 −6 m 4
=∞
156,25 × 10 −6 m 4
⇒ β = 90º
En la sección coexisten tensiones de compresión y de tracción lo que pone de
manifiesto que el centro de presiones cae fuera del Núcleo central de inercia.
e=
ez =
12 cm
= 2 cm
6
ey =
25 cm
≅ 4,17 cm
6
40 [kN . m]
M
=
= 0,20 [m]
200 [kN ]
N
Trabajo Práctico 5 - 11
Ejercicio 8: Calcular las tensiones máximas y las tensiones actuantes en el punto A
ubicado en la unión del alma con el ala del perfil. Determinar la posición del Eje neutro y
trazar el diagrama de tensiones. Calcular las dimensiones del Núcleo central y graficarlo en
la sección.
Datos: N = 10 kN
P. N. I. Nº 36
A = 97,1 cm2 ≡ 9,71 x 10-3 m2
b = 14,3 cm
d = 1,3 cm
t = 1,95 cm
Iz = 19.610 cm4 ≡ 196,1 x 10 -6 m4
Iy = 818 cm4 ≡ 8,18 x 10 -6 m4
M z = − N × e z = − ( − 10 ) [kN ] × ( − 1,7 ) [m ] = − 17 [kN . m ]
M
y
= N × e y = ( − 10 ) [kN ] × 1,0 [m ] = − 10 [kN . m ]
La tensión mínima (máxima en valor absoluto) se produce en (y,z) = (-0,18, 0,143) (el punto
de la sección más cercano al centro de presiones)
σ min =
− 10 [kN ]
− 17 [kN . m ] × ( −0,18) [m ]
− 10 [kN . m ] 0,143 [m ]
−
+
=
2
4
−3
−6
9,71 × 10 m
196,1 × 10 m
8,18 × 10 − 6 m 4
2
[ ]
[ ]
[ ]
 kN 
≅ − 104 [MPa ]
2
 m 
σ min = − 104 .042,46 
La tensión máxima (positiva) se produce en (y,z) = (0,18, -0,143) (el punto de la sección más
alejado del centro de presiones)
σ max =
− 10 [kN ]
− 17 [kN . m ] × 0,18 [m ] − 10 [kN . m ] × ( −0,143) [m ]
−
+
=
−3
2
9,71 × 10 m
196 ,1 × 10 − 6 m 4
8,18 × 10 − 6 m 4 × 2
[ ]
[ ]
[ ]
σ max = 101 .982,73 
kN 
≅ 102 MPa
2
 m 
En la figura se indica en sombreado la zona comprimidas para cada solicitación.
Trabajo Práctico 5 - 12
Las tensión en el punto A resulta
y A = 18 − 1,95 = 16,05 cm
σx
A
d
1,3
=−
= − 0,65 cm
2
2
− 10 [kN ]
− 17 [kN . m] × 0,1605 [m] − 10 [kN . m] × ( −0,0065 ) [m]
−
+
=
−3
2
9,71 × 10 m
196,1 × 10 −6 m 4
8,18 × 10 −6 m 4
 kN 
= 20.830,16  2  ≅ 20,83 MPa
m 
σx =
A
zA = −
[ ]
[ ]
[ ]
Para la ubicación del Eje neutro se determinará la abcisa y ordenada al origen.
También para control se podría calcular el ángulo β que forma el eje neutro, notando que el
ángulo α resulta de que tan α = My/Mz = -ez/ey.
z=−
y=
[ ]
N Iy
− 10 [kN ]
8,18 × 10−6 m 4
=−
= − 0,0008 m
A My
9,71 × 10− 3 m 2 − 10 [kN . m]
[ ]
[ ]
N Iz
− 10 [kN ]
196,1 × 10− 6 m 4
=
= 0,012 m
A Mz
9,71 × 10− 3 m 2
− 17 [kN . m]
[ ]
Para determinar las dimensiones del Núcleo central de Inercia, debe aplicarse la expresión
que vincula el Momento de inercia con el área de la sección y la distancia de la fibra ubicada
en el contorno envolvente de la sección. Dado que la sección tiene doble simetría
Trabajo Práctico 5 - 13
[ ]
ez =
1 Iz
19.610 cm 4
=
= 11,22 cm
97,1 cm 2 × 18 [cm ]
A ymax
ey =
1 Iy
818 cm 4 × 2
=
≅ 1,18 cm
A zmax
97,1 cm 2 × 14,3 [cm ]
[ ]
[ ]
[ ]
Ejercicio 9: Para la estructura de la figura sometida a la carga P se pide: a) Dimensionar el
voladizo con dos P. N. I. b) Dimensionar la columna sostén para las dos posiciones
indicadas del tramo en voladizo. Determinar las dimensiones del Núcleo central y graficarlo
en la sección. Trazar el diagrama de tensiones para la posición 2 del tramo volado. Nota:
Las luces están en metros.
Datos: P = 10 kN
σadm = 140 MPa
Para el voladizo
corte
T1 = 10 kN × cos 30º ≅ − 8,66 kN
esfuerzo normal
N1 = 10 kN × sen 30º = − 5 kN
Momento
M = 10 [kN ] ×1,3 [m ] = 13 [kN . m ]
Dado que el esfuerzo principal es de flexión determinamos el perfil en base a este
esfuerzo y luego verificamos
Wnec =
M
σ adm
=
13 [kN . m]
= 93 × 10 −6 m 3
 kN 
140.000  2 
m 
[ ]
[ ]
Wnec 93 cm3
Para un perfil :
=
= 46,5 cm3
2
2
Datos P. N. I. Nº 12
W´z = 54,7 cm3 ≡ 54,7 x 10-6 m3
A´ = 14,2 cm2 ≡ 1,42 x 10-3 m2
Trabajo Práctico 5 - 14
σ máx =
13 [kN . m]
− 5 [kN ]
 kN 
−
= − 122.351,11  2 
−3
2
−6
3
1,42 × 10 m
2 × 54,7 × 10 m
m 
[ ]
[ ]
σ máx ≅ − 122,4 MPa < σ adm
COLUMNA Posición 1:
N = -10 kN
Mz = 13 kN. M
13 [kN . m]
= 93 × 10 −6 m 3
kN
σ adm
 
140.000  2 
m 
W
93 cm 3
Para un perfil : nec =
= 46,5 cm 3
2
2
M
Wnec =
[ ]
=
[ ]
Datos P. N. U Nº 12 W´z = 60,7 cm3 ≡ 60,7 x 10-6 m3
I´z = 364 cm4
I´y = 43,2 cm4
A´ = 17 cm2 ≡ 1,7 x 10-3 m2
b = 5,5 cm
e = 1,6 cm
13 [kN . m]
− 10 [kN ]
−
=
−3
2
2 × 1,7 × 10 m
2 × 60,7 × 10 − 6 m3
σ máx =
[ ]
[ ]
 kN 
≅ − 110 MPa < σ adm
2
 m 
σ máx = − 110.025,2 
COLUMNA Posición 2:
M z = 13 [kN . m] × cos 30º = 11,26 [kN . m]
M y = 13 [kN . m] × sen 30º = 6,5 [kN . m]
I z = 2 × 364 = 728 cm 4 ≡ 7,28 × 10 − 6 m 4
[
]
[
]
I y = 2 I ´ý + A´ (b − e) 2 = 2 43,2 + 17 (5,5 − 1,6) 2 ≅ 604 cm 4 ≡ 6,04 × 10 −6 m 4
σ máx =
− 10 [kN ]
11,26 [kN . m] × 0,06 [m] 6,5 [kN . m] × ( −0,055) [m]
−
+
=
−3
2
2 × 1,7 × 10 m
7,28 × 10− 6 m 4
6,04 × 10 − 6 m 4
[ ]
[ ]
[ ]
σ máx = − 154.932,12 
kN 
≅ − 155 MPa > σ adm
2
 m 
Como la tensión en la Posición 2 supera en 15 MPa a la admisible, se elige el
siguiente perfil de la tabla y se verifica para el caso de flexión compuesta oblicua.
Datos P. N. U Nº 14 W´z = 86,4 cm3
I´z = 605 cm4
I´y = 62,7cm4
A´ = 20,4 cm2 ≡ 2,04 x 10-3 m2
b = 6 cm
e = 1,75 cm
Trabajo Práctico 5 - 15
I z = 2 × 605 = 1.210 cm 4 ≡ 12,1 × 10 −6 m 4
[
]
I y = 2 62,7 + 20,4 (6 − 1,75) 2 = 862,35 cm 4 ≅ 8,62 × 10 −6 m 4
σ máx =
− 10 [kN ]
11,26 [kN . m] × 0,07 [m] 6,5 [kN . m] × ( − 0,06) [m]
−
+
=
−3
2
2 × 2,04 × 10 m
12,1 × 10− 6 m 4
8,62 × 10− 6 m 4
[ ]
[ ]
[ ]
 kN 
≅ − 112,8 MPa < σ adm
2
 m 
σ máx = − 112.835,1 
σ mín =
− 10 [kN ]
11,26 [kN . m] × ( −0,07) [m] 6,5 [kN . m] × 0,06 [m]
−
+
=
−3
2
2 × 2,04 × 10 m
12,1 × 10− 6 m 4
8,62 × 10 − 6 m 4
[ ]
[ ]
[ ]
 kN 
≅ 107,9 MPa
2
 m 
σ mín = 107.933,13 
Se determina ordenada y abcisa al origen del Eje Neutro.
y=
[ ]
12,1 × 10 −6 m 4
− 10 [kN ]
= − 0,0026 m ≡ − 0,26 cm
2 × 2,04 × 10−3 m 2 11,26 [kN . m]
[ ]
z= −
[ ]
8,62 × 10 −6 m 4
− 10 [kN ]
= 0,0033 m ≡ 0,33 cm
2 × 2,04 × 10−3 m 2
6,5 [kN . m]
[ ]
[ ]
[ ]
12,1 × 10 −6 m 4
ez =
= 0,042 m ≡ 4,2 cm
2 × 2,04 × 10 −3 m 2 × 0,07 [m]
ey =
[ ]
[ ]
8,62 × 10 −6 m 4
= 0,035 m ≡ 3,5 cm
2 × 2,04 × 10 −3 m 2 × 0,06 [m]
Ejercicio 10: Un muro de sostenimiento tiene 2,2 m de espesor y 4,5 m de altura.
Determinar las tensiones actuantes teniendo en cuenta que el peso específico de la
mampostería es 16 kN/m3 y la resultante del diagrama de presiones del terreno, que sigue
Trabajo Práctico 5 - 16
una ley lineal es de 38,736 kN. Trazar el diagrama de tensiones actuantes. Calcular las
dimensiones del Núcleo central y graficarlo en la sección.
El análisis de las tensiones actuantes en el muro se realizará considerando en la
base del mismo, franjas de 1 m de ancho.
 kN 
N = − 2,2 [m] ×1 [m] × 4,5 [m] × 16  3  = − 158,4 kN
m 
M y = 38,736 [kN ] × 1,5 [m] = 58,104 [kN . m]
A = 2,2 × 1 = 2,2 m
2
1 × 2,2 2
Wy =
= 0,807 m 3
6
σ máx = −
158,4 [kN ] 58,104 [kN . m]
−
= − 144
2,2 m 2
0,807 m 3
σ mín = −
158,4 [kN ] 58,104 [kN . m]
 kN 
+
=0  2
2
3
2,2 m
0,807 m
m 
[ ]
[ ]
[ ]
 kN 
 m 2  ≅ − 0,14 MPa
[ ]
Al ser nula la tensión mínima, el Eje Neutro se ubicará tangente al borde de la
sección, por lo cual se puede asegurar que el centro de presiones se ubica en el perímetro
del Núcleo central de inercia.
Trabajo Práctico 5 - 17
e=
My
ez =
N
=
58,104 [kN . m]
≅ 0,37 m
158,4 [kN ]
2,2 [m]
≅ 0,37 m
6
ey =
1 [m]
≅ 0,17 m
6
Ejercicio 11: Determinar las tensiones actuantes en la sección C y trazar el diagrama de
tensiones. Calcular las dimensiones del Núcleo central y graficarlo en la sección.
Datos: P = 10 kN
q = 10 kN/m
P.N. I. T Nº 30
La fuerza vertical sobre el punto B, se proyecta según el eje del tramo BC,
constituyendo el esfuerzo Normal en la sección C. La proyección de esta fuerza vertical en B
según la normal al eje del tramo BC es el esfuerzo de corte en este tramo originando el
momento flector en la sección C. Es un caso de flexión compuesta recta alrededor del eje Y.
Recordar, para la determinación de las propiedades de la sección, que el eje Y del
sistema no coincide con el eje de cada perfil.
.
Ejercicio 12: En la sección del empotramiento calcular las tensiones máximas, posición del
eje neutro y trazar el diagrama de tensiones. Determinar las dimensiones del núcleo central
y graficarlo en la sección. Nota: Las distancias están en metros y las dimensiones de la
sección en centímetros.
Datos: N = 100 kN
P = 5 kN
Resultados para controlar el ejercicio: Tensión mínima 64,12 MPa, ordenada al
origen 1,082 cm, ancho total del núcleo central 5 cm.
Trabajo Práctico 5 - 18