μ θ π θ θ φ

Electrodinámica Clásica
4º Curso – Física
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SOLUCIÓN AL PROBLEMA 4
4.- Dos dipolos cortos (no infinitesimales) están situados en el eje X, en x=0 y x=d
y orientados según el eje Z, como muestra la figura. La corriente en los dipolos
es I0 (para el colocado en x=0) e I0ejαd para el colocado en x=d. Encontrar α y
d para que no exista radiación en la dirección negativa del eje X y para tener
máxima radiación en la dirección positiva del eje X
Z
I0
Y
I0ejαd
Dipolo 1
d
X
Dipolo 2
Solución:
El potencial vector magnético para el dipolo 1, colocado en z = 0 , es (ver tema 7)
r
r
A1 = A1z a z
⇒
A1z =
μ0 I 0 L − jk r sen u
e
;
u
4π r
0
u = k0 L cos θ
2
Para el dipolo 2, necesitamos escribir el vector de posición de sus puntos fuente
r
r
r
r ′ = dax + z ′az
por lo que, para la fase, la distancia entre un punto fuente y un punto campo, en la
zona de radiación, se puede aproximar por
r r
xd + z′z ⎞
⎛ r ⋅ r′ ⎞
⎛
R ≈ r ⎜1 − 2 ⎟ = r ⎜1 −
⎟ = r − z′ cos θ − d senθ cos φ
r ⎠
r2 ⎠
⎝
⎝
y para la amplitud R ≈ r . El potencial vector queda entonces
Hoja de problemas: Radiación y Antenas Lineales
Solución al problema 4
Electrodinámica Clásica
r
r
A2 = A2 z a z
⇒
4º Curso – Física
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μ0 I 0 L 2 e − jk R
μI
A2 z =
dz′ ≈ 0 0 e − jk r e jα d e jd k
∫
2
−
L
4π
4π r
R
0
0
=
μ0 I 0 L − jk r jd (α + k
e e
4π r
0
0
senθ cos φ )
sen u
;
u
0
senθ cos φ
∫
L2
−L 2
e jk0 z′dz′ =
u = k0 L cos θ
2
El potencial vector del conjunto de los dos dipolos es entonces
r
r
r
r
Atotal = Az ,total az = A1z az + A2 z az
Az ,total =
⇒
μ0 I 0 L − jk r ⎡
jd (α + k
e
⎣1 + e
4π r
0
Az ,total = A1z + A2 z
0
senθ cos φ )
⎤ sen u
⎦ u
que puesto en esféricas (sin la componente radial) es
r
r
r
A = − Az ,total sen θ aθ = Aθ aθ
⇒
Aθ = − Az ,total sen θ
El campo eléctrico en la zona de radiación es
r
r
r
E = − jω Aθ aθ = Eθ aθ
Eθ = jω Az ,total senθ
⇒
V m
Debemos particularizar el campo eléctrico en las direcciones ± X , que como están
en el plano XY se corresponden con el plano θ = π
Eθ (θ = π 2 ) = jω
2
, entonces
μ0 I 0 L − jk r ⎡
jd α + k
1+ e (
e
⎣
4π r
0
0 cos φ
)⎤
⎦
Vamos a quedarnos únicamente con el interior del corchete, pues el resto no
depende del ángulo φ . Ahora, nos queda por ver qué sucede en los sentidos positivo
y negativo del eje X : x > 0 y x < 0 ,
Máxima radiación:
x>0
⇒
jd (α + k0 )
φ =0
1+ e
φ =π
1+ e
⇒
d (α + k0 ) = 2nπ ; n = 1, 2,3...
⇒
d (α − k0 ) = mπ ; m = 1,3,5...
máx
Mínima radiación:
x<0
⇒
jd (α − k0 )
mín
Hoja de problemas: Radiación y Antenas Lineales
Solución al problema 4
Electrodinámica Clásica
4º Curso – Física
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La primera solución será para n = 1 y m = 1 , entonces
d (α + k0 ) = 2π
;
d (α − k 0 ) = π
dividiendo
d (α + k0 )
=2
d (α − k 0 )
⇒
α = 3k0
Hoja de problemas: Radiación y Antenas Lineales
;
d=
π
2k0
=
λ0
4
Solución al problema 4