EcDifOrdPrOrdFacIntE..

Mediante el método del factor integrante, resolver la siguiente ecuación diferencial ordinaria de primer orden y 2 x2 y + 2xy = 0
Solución:
Escribiendo explicitamente la derivada
dy
+ 2xy = 0
y 2 x2
dx
y poniendo la ecuación en forma diferencial
2xydx + y 2 x2 dy = 0
Para ver si la ecuación es exacta, sacamos las derivadas
@
y 2 x2 = 2x
@x
@
(2xy) = 2x
@y
como son diferentes, la ecuación no es exacta.
Cuando la ecuación es de la forma
M (x; y) dx + N (x; y) dy = 0
y el término
1 @M
@N
M
@y
@x
es función exclusivamente de y; el factor integrante está dado por la expresión
R 1 @M
@N
dy
(x; y) = exp
M
@y
@x
Debemos, por tanto, determinar el factor integrante. Primero notamos que
@N
@M
@
@
=
y 2 x2
(2xy) = 4x
@x
@y
@x
@y
y que si esta expresión la dividimos entre M , nos queda una función que
depende únicamente de y,
1 @N
@M
4x
2
=
=
M @x
@y
2xy
y
y el factor integrante es
R
2
1
(y) = exp
dy = 2
y
y
Multiplicamos entonces la ecuación
2xydx + y 2 x2 dy = 0
por el factor integrante, y encontramos
2x
x2
dx + 1
dy
y
y2
Veri…quemos primero que esta nueva ecuación es exacta,
@
x2
x
1
= 2 2
2
@x
y
y
@ 2x
x
= 2 2
@y y
y
Efectivamente, es exacta.
Tenemos entonces que
2x
@g (x; y)
=
@x
y
por tanto
1
g (x; y) =
R 2x
x2
dx =
+
y
y
(y)
Ahora
@g (x; y)
x2
+ (y) = 1
=
@y
y2
así que
(y) = 1
de donde
(y) = y + c1
y
x2
+ y + c1
g (x; y) =
y
y la solución …nal es
y = c x2 + y 2
x2
y2
2