EcDifOrdPrOrdFacIntE..

Usando el método del factor integrante, resuelve la ecuación diferencial ordinaria de primer orden
dx
1 + xy 2 dy = 0
x
Solución:
Cuando
@M (x; y)
@N (x; y)
6=
@y
@x
se puede encontrar un factor integrante que la haga exacta.
En nuestro caso
@ 1
=0
@y x
@
1 xy 2 = y 2
@x
y la ecuación no es exacta.
Para encontrar el factor integrante en este caso, debemos crear la expresión
@N
@M
aM +
@x
@y
N
y determinar para que valor de a es únicamente función de x.
Sustituyendo los valores encontramos
@N
@M
a
aM +
y2
1 a + xy 2
@x
@y
x
=
=
N
1 xy 2
x 1 + xy 2
así que si hacemos
a=1
obtenemos
@N
@M
a
aM +
y2
1 a + xy 2
1 1 + xy 2
1
@x
@y
x
=
=
=
= = (x)
2
2
2
N
1 xy
x 1 + xy
x 1 + xy
x
tal como necesitamos.
El factor integrante es
R dx
R
(x; y) = eay exp
(x) dx = ey exp
= ey exp (ln x) = xey
x
Multiplicando ambos miembros de la ecuación por el factor integrante
ey
ey
dx
1 + xy 2 dy = 0
x2
x
Como
@
ey
1
1 + xy 2 = 2 ey
@x
x
x
@ ey
1
= 2 ey
@y x2
x
la ecuación equivalente es exacta, tal y como debe de ser, porque para ello
construimos el factor integrante.
Ahora debemos resolver la ecuación exacta equivalente que obtuvimos. Para
ello utilizamos la técnica usual,
Hacemos
ey
@
g (x; y) = 2
@x
x
1
que integrando respecto a x,
R ey
g (x; y) =
dx
x2
da
1 y
g (x; y) =
e + (y)
x
donde (y) es una función arbitraria que depende sólo de y (para x es una
constante de integración).
Diferenciando ahora respecto a y,
1 y
@
g (x; y) =
e + (y)
@y
x
y eso debe ser igual al coe…ciente de dy, así que
@
1 y
ey
g (x; y) =
e + (y) =
1 + xy 2
@y
x
x
de donde obtenemos
(y) = y 2 ey
o bien, integrando
respecto a y,
R
(y) =
y 2 ey dy = 2yey 2ey y 2 ey + c1
donde c1 es una constante de integración.
Tenemos entonces
1 y
e + 2yey 2ey y 2 ey + c1
g (x; y) =
x
Como la solución está dada implicitamente por
g (x; y) = c
entonces llegamos a la solución …nal,
1
ey y 2 2y + 2 +
=c
x
2