Lección 3. Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden

3 Algunos métodos de resolución de ecuaciones diferenciales
ordinarias de primer orden I
3.1. Integración directa
Si la e.do. se presenta de la forma:
dy
= g(x),
dx
la solución general se calcula integrando:
Z
y=
g(x) dx.
Ejemplo:
dy
= 7x2 + 2x → y =
dx
solución
y=
Z
(7x2 + 2x) dx,
7 3
x + x2 + C.
3
3.2. Variables separables
Si la e.d.o. se presenta de la forma
g(x)
dy
=
,
dx
h(y)
la solución general se calcula:
Z
Z
h(y) dy =
g(x) dx.
Ejemplo:
dy
2x
=
,
dx
y+1
entonces
Z
(y + 1) dy = 2x dx →
solución
Z
(y + 1) dy =
2x dx,
y 2 + 2y = 2x2 + C.
Ejemplo:
1
xy 4 dx + (y 2 + 2) e−3x dy = 0,
entonces
y2 + 2
e x dx +
dy = 0 →
y4
3x
solución
e3x (3x − 1) =
Z
Z
3x
e x dx = −
y2 + 2
dy,
y4
9
6
+ 3 + C.
y y
Observaciones:
Se obtiene una familia uniparamétrica de soluciones implícitas.
Puede que se pierdan soluciones al hacer manipulaciones algebraicas.
3.3. Ecuaciones exactas
3.3.1. Diferencial exacta
Se dice que M (x, y)dx+N (x, y)dy es una diferencial exacta en una región R del plano si es la diferencial
total de alguna función f (x, y). Es decir,
df (x, y) = M (x, y)dx + N (x, y)dy,
donde
M (x, y) =
∂f
∂x
N (x, y) =
∂f
·
∂y
Condición necesaria y suciente para que la expresión M (x, y)dx + N (x, y)dy sea exacta.
Sean M (x, y) y N (x, y) funciones continuas, con derivadas parciales de primer orden continuas en una
región R del plano. Entonces una condición necesaria y suciente para que M (x, y)dx + N (x, y)dy sea
diferencial exacta es que
∂M
∂N
=
.
∂y
∂x
3.3.2. Ecuación diferencial ordinaria exacta
Una ecuación M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 es exacta si la expresión de la izquierda del igual es una
diferencial exacta.
3.3.3. Solución de la ecuación exacta
Si encontramos f (x, y) tal que df (x, y) = 0, entonces la solución general de la ecuación es
f (x, y) = C,
donde C es una constante.
2
3.3.4. Cálculo de la solución de la ecuación exacta
Integrar la ecuación
∂f
= M (x, y) y se obtiene
∂x
Z
Z
∂f
f (x, y) =
dx + c(y) = M (x, y)dx + c(y).
∂x
Para calcular c(y) diferenciamos
∂f
∂
=
∂y
∂y
despejando
c0 (y) =
∂f
∂
−
∂y
∂y
Z
M (x, y)dx + c0 (y),
Z
M (x, y)dx = N (x, y) −
∂
∂y
Z
M (x, y)dx.
Finalmente sustituir c(y) calculado en el apartado anterior para obtener la expresión de f (x, y).
La solución de la ecuación diferencial exacta será
f (x, y) = C.
Ejemplo:
2xy dx + (x2 − 1) dy = 0.
Es exacta: M (x, y) = 2xy , N (x, y) = x2 − 1 y
∂M
∂N
= 2x =
.
∂y
∂x
Existe una función f (x, y) tal que
Integrando
∂f
∂f
= 2xy y
= x2 − 1.
∂x
∂y
∂f
= 2xy se obtiene
∂x
De lo anterior
f (x, y) = x2 y + c(y).
∂f
= x2 + c0 (y).
∂y
Igualando este resultado a N (x, y):
x2 + c0 (y) = x2 − 1
Así
→ c0 (y) = −1
→ c(y) = −y.
f (x, y) = x2 y − y,
y la solución de la ecuación será
x2 y − y = C.
3
3.4. Ecuaciones reducibles a exactas: factores integrantes
Si M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 no es exacta, se puede transformar en una ecuación exacta multiplicando
toda la ecuación por un factor apropiado µ(x, y) llamado factor integrante de la ecuación, tal que
µ(x, y)M (x, y)dx + µ(x, y)N (x, y)dy = 0
sea exacta.
Ejemplo:
La ecuación
no es exacta
tan(y) + tan(x) y 0 = 0
→ tan(y) dx + tan(x) dy = 0,
1
1
∂
∂
(tan(y)) =
6=
=
(tan(x)).
∂y
cos2 (y)
cos2 (x)
∂x
La ecuación equivalente
cos(x) sen(y) dx + sen(x) cos(y) dy = 0,
es exacta:
∂
∂
(cos(x) sen(y)) = cos(x) cos(y) =
(sen(x) cos(y)).
∂y
∂x
Resulta de multiplicar la ecuación por el factor
µ(x, y) = cos(y) cos(x).
4
Ejercicios del capítulo
1. Resuelve, por separación de variables, la e.d.o. de primer orden (modelo de enfriamiento)
dT
= k(T − 70).
dt
2. Resuelve, por separación de variables, la e.d.o. de primer orden (modelo de reacción química)
x0 = k(x − α)(x − β),
en los casos siguientes: (a) α 6= β
(b) α = β.
3. Resuelve, por separación de variables, la e.d.o. de primer orden (modelo de reacción química)
x0 = kx(x − α).
4. Resuelve, por separación de variables, la e.d.o. de primer orden (modelo de fusión)
dV
1/3
= k(4π) 32/3 V 2/3 .
dt
dy
5. Una ecuación diferencial de la forma
= f (ax + by + c), b 6= 0, puede reducirse siempre a
dx
una ecuación de variables separables por medio de la sustitución u = ax + by + c. Así resuelve
dy
2
= (x + y + 1) .
dx
6. Integra las siguientes ecuaciones reducibles a exactas utilizando el factor integrante que se indica:
a) (x + y 2 ) dx − x dy = 0, µ = µ(x)
b) dx + [1 + (x + y) tg y] dy = 0, µ = µ(x + y)
7. Demuestra que la ecuación (3x + 2y + y 2 )dx + (x + 4xy + 5y 2 )dy = 0 admite un factor integrante
de la forma µ = µ(x + y 2 ) calculándolo.
Ejercicios del texto recomendado
Ejercicios del Capítulo 2: Ecuaciones diferenciales de primer orden.
1. Determina si la ecuación (2x + y)dx − (x + 6y)dy = 0 es exacta. Si lo es, resuélvela.
2. Determina si la ecuación
³
1 + ln(x) +
y´
dx = (1 − ln(x))dy
x
es exacta. Si lo es, resuélvela.
2
2
3. Determina si la ecuación (2y sen(x) cos(x) − y + 2y 2 exy )dx = (x − sen2 (x) − 4xyexy )dy es exacta.
Si lo es, resuélvela.
4. Resuelve el problema de valor inicial (ex + y)dx + (2 + x + yey )dy = 0, y(0) = 1.
5. Calcula el valor de k para que la ecuación diferencial (6xy 3 + cos(y))dx + (2kx2 y 2 − x sen(y))dy = 0
sea exacta.
6. Verica que la ecuación diferencial (x2 +2xy−y 2 )dx+(y 2 +2xy−x2 )dy = 0 no es exacta. Multiplica
−2
la ecuación por el factor integrante µ = µ(x + y) y comprueba que la nueva ecuación es exacta.
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