Guía de estudio Funciones trigonométricas Unidad B: Clase 26 y 27

Guía de estudio
Funciones trigonométricas
Unidad B: Clase 26 y 27
Camilo Ernesto Restrepo Estrada, Lina María Grajales Vanegas y Sergio Iván
Restrepo Ochoa1.
4. Funciones trigonométricas
Ángulos y sus medidas
Un ángulo consta de tres partes como se muestra en la figura
Camilo Ernesto Restrepo Estrada. Facultad de Ciencias Económicas Universidad de Antioquia. Dirección
electrónica: [email protected]. Lina María Grajales Vanegas. Facultad de Ciencias Económicas Universidad
de Antioquia. Dirección electrónica: [email protected]. Sergio Iván Restrepo Ochoa. Facultad de
Ciencias Económicas Universidad de Antioquia. Dirección electrónica: [email protected].
1
156
Un ángulo está en posición normal cuando su lado inicial coincide con el eje
positivo x y su vértice con el origen. Si la orientación del ángulo es en sentido
contrario a las agujas del reloj, el ángulo es positivo y en caso contrario es
negativo.
Debido al uso de transportadores la medida más frecuente de un ángulo son
los grados, aunque los ángulos deben pasarse a radianes al dar los resultados.
De acuerdo a su medida en grados los ángulos los clasificamos como:
i. Si un ángulo θ está entre 00 y 900 se llama ángulo agudo
ii. Si un ángulo β está entre 900 y 1800 se llama ángulo obtuso
iii. Si un ángulo α = 1800 se lama ángulo llano
Un giro completo corresponde a 360 0
157
Los ángulos α = 60° y β = 330° son coterminales.
Un ángulo mayor que 360 0 grados es aquel cuyo lado terminal ha girado más
de una vuelta en el sentido de las agujas del reloj.
Medidas en radianes
Se puede observar en la figura que a medida que el ángulo θ crece, el arco α
también crece, lo que significa que hay una relación directa entre la medida del
ángulo en radianes y en grados.
La medida del ángulo en radianes se define como la longitud del arco del
sector circular. Ahora, como la longitud de la circunferencia completa es
2π r = 2π 1 = 2π entonces,
3600 = 2π radianes
158
10 =
π
180
radianes
1 radian =
1800
π
Las dos igualdades anteriores permiten convertir ángulos que están en
radianes en grados y viceversa.
Ejemplo 1
1) θ = 450 = 45 ×
π
180
2) θ = 300 = 30 ×
π
180
3) θ = 1200 = 120 ×
4) θ =
π
3
radianes =
radianes =
π
180
radianes =
π
4
radianes
π
6
radianes =
radian
2π
radianes
3
π 180
×
= 600
3 π
Definición de las funciones trigonométricas
Las funciones trigonométricas
ométricas las podemos definir como el cociente de los
lados de un triángulo rectángulo para ángulos agudos o en términos de un
punto ( x, y ) de su lado terminal, esta última forma es su definición como
funciones circulares.
Funciones trigonométricas
igonométricas en un triá
triángulo rectángulo
Consideremos un triángulo
ngulo rectángulo
Por el teorema de Pitágoras se tiene que h =
x2 + y 2
El ángulo θ es un ángulo agudo. Las funciones trigonométricas para este
ángulo se definen como:
159
y
h
x
cos (θ ) =
h
y
tan (θ ) =
x
sen (θ ) =
h
y
h
sec (θ ) =
x
x
cot (θ ) =
y
csc (θ ) =
Funciones trigonométricas como funciones circulares
Consideremos un ángulo θ en posición normal. Para definir las funciones
trigonométricas del ángulo θ usamos un punto ( x, y ) de su lado terminal, así:
x2 + y2
Las funciones trigonométricas se definen como:
Se observa que r =
y
r
x
cos θ =
r
y
tan θ =
x
sen θ =
r
y
r
sec θ =
x
x
cot θ =
y
csc θ =
En estas definiciones se debe tener en cuenta el signo que tienen x e y . Por lo
tanto, en el primer cuadrante todas las funciones s
son positivas, en el segundo
cuadrante seno y cosecante son positivas, en el tercero, tangente y cotangente
son positivos y en el cuarto son positivas el coseno y la secante.
Ejemplo 2
Si cos α = −
3
y α tiene un lado terminal en el tercer cuadrante, encuentre las
4
restantes funciones trigonométricas.
160
Solución:
x
, se tiene que x = −3 y r = 4 , además por el teorema de
r
Pitágoras, x 2 + y 2 = r 2 → y = ± 7 . Como el lado terminal está en el tercer
Como cos α =
cuadrante entonces y = − 7 , por tanto
sen α = −
tan α =
7
4
7
3
cot α =
−3
3 7
3 7
=
=
7
− 7
7 7
sec α = −
csc α = −
4
4 7
4 7
=
=−
7
7
7 7
4
3
Evaluación de las funciones trigonométricas
Funciones trigonométricas de 300 y 600
Consideremos un triángulo
ngulo equilátero de lado x y con ángulos de 600 cada uno
Y así se forma el triángulo
ngulo rectángulo
Luego
sen 300 =
cos 300 =
161
1
2
3
2
csc 300 =
sec 300 =
2
=2
1
2 2 3
=
3
3
3
2
1
cos 600 =
2
sen 600 =
2 2 3
=
3
3
2
sec 600 = = 2
1
csc 600 =
tan 300 =
1
3
=
3 3
cot 30 0 =
3
= 3
1
tan 600 =
3
= 3
1
cot 600 =
1
3
=
3
3
Funciones trigonométricas del ángulo de 450
Consideremos un triángulo
ngulo rectángulo con un ángulo de 450 ; por ser rectángulo
se obtiene que el otro
ro ángulo agudo mide también 450 y así el triángulo
triá
es
isósceles que significa que los catetos tienen igual medida. Esto es,
sen 45 0 =
1
2
=
2
2
csc 4455 0 =
1
2
=
2 2
2
tan 45° = 2 =1
2
2
cos 450 =
Funciones de 0,
sec 450 =
2
= 2
1
2
cot 45 = 2 =1
2
2
0
π
2
,π y
3π
2
Consideremos un círculo unidad
162
2
=
1
2
Para todos los puntos en la circunferencia unitaria r = 1 . Entonces:
sen ( 0 ) = 0
csc ( 0 ) = ¬∃
cos ( 0 ) = 1
sec ( 0 ) = 1
tan ( 0 ) = 0
cot ( 0 ) = ¬∃
π 
sen   = 1
 2 
π 
cos   = 0
2
π 
tan   = ¬∃
2
π 
csc   = 1
2
π 
sec   = ¬∃
2
π 
cot   = 0
2
sen (π
csc (π ) = ¬∃
)= 0
cos ( π ) = −1
sec (π ) = 1
tan (π ) = 0
cot (π ) = ¬∃
 3π 
sen 
 = −1
 2 
 3π 
cos   = 0
 2 
 3π 
tan   = ¬∃
 2 
 3π 
csc 
 = −1
 2 
 3π 
sec   = ¬∃
 2 
 3π 
cot   = 0
 2 
Para evaluar funciones trigonométricas en otros cuadrantes usamos los
ángulos de referencia. Los valores de las funciones trigonométricas en otros
163
cuadrantes son los valor
valores de estas funciones evaluadas en el ángulo de
referencia teniendo en cuenta el signo de la función en el cuadrante.
Los ángulos de referencia en los diferentes cuadrantes son los siguientes
Ejemplo 3
Evaluar
a) sen (135° )
b) cos ( 225
225° )
c) tan ( 315° )
Otra forma de evaluar las funciones trigonométricas es usando la calculadora
en modo grados (deg) o modo radianes (rad).
Solución:
a) Como 135° está en el segundo cuadrante, entonces el ángulo de referencia
está dado por θ R = 180° − 135° = 45° , así sen (135° ) = sen ( 45° ) =
2
2
b) El ángulo de 225° está en el tercer cuadrante, entonces el ángulo de
referencia θ R = 225° − 180° = 45° . Pero el coseno es negativo en éste cuadrante,
entonces cos ( 225° ) = − cos ( 45° ) = −
164
2
2
c) 315° está en el cuarto cuadrante, entonces θ R = 360° − 315° = 45° y tangente
es negativa en el cuarto cuadrante, así, tan ( 315° ) = − tan ( 45° ) = −1
Gráficas de las funciones trigonométricas
Todas las funciones trigonométricas son periódicas, esto significa que
f ( x + p ) = f ( x ) con p ≠ 0 , para todo valor de x en el dominio de la
función. P debe ser el valor más pequeño que cumple esta propiedad.
El seno, el coseno, la secante y la cosecante tienen periodo 2π esto es:
f ( x + 2π ) = f ( x )
Para estas funciones trigonométricas, entonces
sen ( x + 2π ) = sen x
cos ( x + 2π ) = cos x
sec ( x + 2π ) = sec x
csc ( x + 2π ) = csc x
La tangente y la cotangente tienen periodo π , esto es:
f ( x + π ) = f ( x)
Para estas dos funciones tenemos
tan ( x + π ) = tan x
cot ( x + π ) = cot x
Gráfica de la función Seno
165
Gráfica de la función Coseno
Gráfica de la función Tangente
166
Gráfica de la función Cotangente
Gráfica de la función Secante
167
Gráfica de la función Cosecante
5. Identidades trigonométricas
Las relaciones entre funciones trigonométricas que se cumplen para todo θ se
llaman identidades trigonométricas. Las identidades más frecuente son las
siguientes:
De acuerdo con la definición de las funciones trigonométricas se tiene que:
csc θ =
1
sen θ
cot θ =
1
tan θ
sec θ =
1
cos θ
tan θ =
sen θ
cos θ
Identidades pitagóricas
Sabemos que en un triángulo rectángulo h =
como funciones circulares se cumple que r =
sen 2 θ + cos 2θ = 1
1+tan 2θ = sec 2 θ
1 + cot 2 θ = csc 2 θ
168
x 2 + y 2 y que para la definición
x 2 + y 2 . Por lo tanto,
Identidades de suma y diferencia de ángulos
sen (α ± θ ) = sen α cos θ ± cos α sen θ
cos (α ± β ) = cos α cos β ∓ sen α sen β
tan(α ± β ) =
tan α ± tan β
1 ∓ tan α .tan β
Identidades de ángulo doble
sen ( 2α ) = 2sen α cos α
cos(2α ) = cos 2 α − sen 2 α = 1 − 2sen 2 α = 2 cos 2 α − 1
Identidades de función par-impar
sen ( −θ ) = − sen θ
cos( −θ ) = cos θ
tan( −θ ) = − tan θ
Otras identidades
1 + cos 2α
2
1
−
cos
2α
sen 2 α =
2
cos 2 α =
Ejemplo 4
Verificar la identidad sen x ( csc x − sen x ) = cos 2 x
Solución:
 1

− sen x  = cos 2 x
sen x 
 sen x

2
 1 − sen x 
2
sen x 
 = cos x
 sen x 
1 − sen 2 x = cos 2 x
1 − (1- cos2 x ) = cos 2 x
1 − 1 + cos 2 x = cos 2 x
cos 2 x = cos 2 x
6. Ecuaciones trigonométricas
Resolver una ecuación trigonométrica es encontrar todos los valores de θ que
satisfacen la ecuación. En la solución de las ecuaciones trigonométricas
tendremos en cuenta que las funciones trigonométricas son periódicas.
169
Una función f ( x ) es periódica de periodo p > 0 si f ( x + p ) = f ( x ) ∀ x ∈ D f .
Las funciones seno, coseno, secante y cosecante son periódicas de periodo 2 π
y tangente y cotangente son periódicas de periodo π
Ejemplo 5
Resolver para 0 ≤ θ ≤ 2π la ecuación 2 sen 2 θ = 1
Solución:
2 sen 2 θ = 1 ⇔ sen θ = ±
2
.
2
2
π
significa que θ ∈ I y II cuadrante, en el primero θ =
y en el
2
4
π 3π
2
entonces θ ∈ III y IV el tercer
segundo θ = π − =
; ahora, si senθ = −
4
4
2
π
π 7π
cuadrante θ = π + ; en el cuarto cuadrante θ =2π − =
. Entonces
4
4
4
π 3π 5π 7π
θ= , , , .
4 4 4 4
Si sen θ =
Ejemplo 6
Resolver la ecuación sen 2 x + cos x = 1 para 0 ≤ x < 2π
Solución:
Usando la identidad pitagórica sen 2 x + cos 2 x = 1 se sigue que
1 − cos 2 x + cos x = 1
(
)
2
1 − cos x + cos x = 1
1 − cos 2 x + cos x − 1 = 0
− cos 2 x + cos x = 0
cos x ( − cos x + 1) = 0
cos x = 0
π 3π
x= ,
2 2
− cos x + 1 = 0
− cos x = −1
cos x = 1
x=0
 π 3π 
CS = 0, , 
 2 2 
170
Referencia
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administración y economía. Pearson – Prentice Hall. Décima segunda
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Matemáticas Aplicadas a la
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- Prentice-Hall. Cuarta
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Demana, Franklin D., Waits Bert K., Foley Gregory D., Kennedy Daniel.
Precálculo. Gráfico, numérico y algebraico. Peason – Addison Wesley.
Séptima Edición, 2007.
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Simons, Geroge, F. Cálculo y Geometría Analítica. Mc Graw - Hill.
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Stewart, James. Cálculo Conceptos y contextos. Editorial Thomson.
Tercera edición, 2006.
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Sydsaeter, Knut. Hammond, Peter. J. Matemáticas para el análisis
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171