Ecuaciones Diferenciales

Ecuaciones Diferenciales
Laboratorio Final
Maestro Eduardo Uresti, Verano 2010
Grupo:
Matrı́cula:
Nombre:
Tipo:1
1. Utilizando la sustitución y = u x2 resuelva la EDO:
y 0 = 7 x3 + 2
A
y = C + 7 x3
B
y = C x2 + 7 x4
C
y = 7 x2 + C x4
D
y = C + 7 x2
E
y = C x2 +
7
2
y
x
x4
2. Indique cuál de las opciones siguientes es la ecuación subsidiaria del problema con condiciones iniciales y(0) = 0 y y 0 (0) = 5
con ecuación:
10 y − 7 y 0 + y 00 = 5 e2 t
A
Y (s) =
5+5 s
(−2+s) (10−7 s+s2 )
B
Y (s) =
−5+5 s
(−2+s) (10+7 s+s2 )
C
Y (s) =
5+5 s
10−7 s+s2
D
Y (s) =
−5+5 s
(−2+s) (10−7 s+s2 )
3. Sabemos que un material radioactivo se desintegra proporcionalmente a la cantidad existente. En una prueba realizada con
60mg de ese material se observó que después de 11 años solamente permanecı́a el 80 por ciento de la sustancia. Indique la
opción que contiene la vida media de tal material.
A
tmedia = 6.875años.
B
tmedia = 34.1691años.
C
tmedia = 17.0846años.
D
tmedia = 68.3382años.
4. En un circuito serie RC con C =
1
120 H,
R = 300Ω, y

 3
E(t) =
−3

0
para
para
para
0≤t<3
3≤t<6
6≤t
donde E(t) está en voltios. Encuentre la carga en coulumbs en el condensador en el tiempo t = 9 segundos. Tome q(0) = 0.0 C
Respuesta:
5. Se estima que la población de la tierra en el 1500 fue de 100 millones de personas. En 1990 la población mundial se estimó en
2600 millones. Asumiendo que la tasa de crecimiento es proporcional a la población en cada momento, estime el año en el
que la población sea de 2800 millones.
Respuesta:
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 1
2
6. Indique cuál de las opciones es la solución general a :
16 y + y 00 = 5 cos(5 x) + 6 sen(5 x)
1
9
A
y = C1 cos(4 x) + C2 sen(4 x) +
B
y = C1 cos(4 x) +
C
y = C1 cos(4 x) + C2 sen(4 x) +
1
9
(5 cos(5 x) + 6 sen(5 x))
D
y = C1 cos(4 x) + C2 sen(4 x) +
1
9
(−5 cos(5 x) − 6 sen(5 x))
1
9
(−5 cos(5 x) + 6 sen(5 x))
(−5 cos(4 x) − 6 sen(4 x)) + C2 sen(4 x)
7. Indique la opción que contiene la solución general a:
8 e(9+6 x) + 2 y dx + 9 e(6+3 y) + 2 x dy = 0
A
4
3
e(9+6 x) + 3 e(6+3 y) + 2 x y = C
B
4
3
e(9+6 x) + 3 e(6+3 y) + x + 2 y = C
C
4
3
e(9+6 x) + 6 e(6+3 y) x y = C
D
3 e(6+3 y) +
8
3
e(9+6 x) x y = C
8. Un cuerpo con peso de 10 libras cuelga de un resorte con constante 45 lb/ft. El medio donde se mueve el cuerpo ofrece una
fuerza de resistencia al movimiento que es numéricamente igual a su velocidad instantánea. Si el peso es liberado 53 pies
por encima de su posición de equilibrio con una velocidad hacia abajo de 21 pies por segundo. Determine la velocidad en el
momento en el cual pasa por la posición de equilibrio.
Respuesta:
9. Determine A, B, C y D para que
f (t) = eA t (B cos(C t) + D sen(C t))
sea la transformada inversa de la función:
F (s) =
s
10 + 2 s + s2
Respuesta:
10. Cuando un rayo de luz pasa através de una sustancia transparente, el grado con que la intensidad, I(h), disminuye es
proporcional a la misma intensidad I(h) donde h representa el espesor del medio. En el agua de mar, la intensidad a 1.4
metros bajo la superficie es de 40 por ciento de la intesidad inicial Io del rayo incidente. Cuál es la intensidad del rayo de
luz a 2.4 metros respecto a Io ? Reporta tu respuesta entre 0 y 1.
Respuesta:
11. El número de individuos infectados A(t) en un tiempo t debe crecer a una razón que es aproximadamente proporcional al
producto A(t)(N − A(t)) donde N es el tamaño de la población. Si el tamaño de la población es de 700 individuos y si
inicialmente existen 20 individuos infectados y al cabo de 1 meses existen 40 individuos infectados. Cuántos habrá infectados
al cabo de 2 meses?
Respuesta:
12. Determine los valores de A, B, C y D para que la función
y = A + B eC x
2
+D x
sea la solución particular que cumple y(0) = 7 a la ecuación diferencial:
dy
= 12 − 6 x − 2 y + x y
dx
Respuesta:
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 1
3
13. Indique cuál de las siguientes opciones es la transformada de Laplace de
f (t) =
1
t sen(8 t)
16
A
F (s) =
1
(64+s2 )2
C
F (s) =
s
(64+s2 )2
B
F (s) =
1
(−64+s2 )2
D
F (s) =
s
(−64+s2 )2
14. Un tanque inicialmente tiene 300 galones de agua limpia, pero una solución de sal de concentración desconocida se vierte a
un ritmo de 5 galones por minuto. Si a la vez que se vierte se extrae solución a la misma velocidad y si al cabo de 20 minutos
la concentración en el tanque fue de 0.3 libras de sal por galón, determine la concentración de la solución vertida (en libras
por galón).
Respuesta:
13
15. Se ha descubierto que una bola de naftalina que tenı́a originalmente un radio de 15
2 de pulgada, tiene una radio de 8 de
pulgada al cabo de un mes. Suponiendo que se evapore a un ı́ndice proporcional a su superficie, determine el tiempo necesario
en meses para que la bola desaparezca.
A
2.55319
B
7.65957
C
3.82979
D
1.2766
16. Una cadena de 7 pies de largo yace extendida en una mesa. La cadena pesa en total 14 pounds y se supone que su peso
está uniformemente distribuido. Un extremo de un pie de longitud de cadena cuelga de la mesa y estira toda la cadena hacia
abajo. Despreciando la fricción, indique cuánto tiempo tardará en caer de la mesa. Sugerencia. Elija como variable incógnita
la longitud de la cadena que está fuera de la mesa, y = y(t). Para construir la ED use la segunda ley de Newton. La fuerza
aplicada a la cadena es 2 y. La aceleración es y 00 . Tome como condiciones iniciales y(0) = 1 y y 0 (0) = 0.
Respuesta:
17. José Luis se va a someter a una cirugı́a por una lesión de futbol y debe ser anestesiado. El anestesiólogo sabe que para que
un paciente sea anestesiado, mediante Pentobarbital sódico, debe tener en su sangre dicha sustancia en una concentración
de al menos 50 miligramos por cada kilogramo de peso. Suponga que las sustancias quı́micas disminuyen su concentración
en la sangre en forma proporcional a la concentración de la sustancia y que en particular el Pentobarbital disminuye su
concentración a la mitad cada 10 horas. Si José Luis pesa 75 kilogramos y será anestesiado mediante una sola dósis, cuántos
miligramos de Pentobarbital se le deberá suministrar si se desea que el efecto dure 3 horas? Nota: Los datos del problema
son ficticios.
Respuesta:
18. Encuentre la máxima carga en el capacitor en un circuito serie LRC cuando L = 5/3h, R = 10Ω, C = 1/30f , E(t) = 300V ,
q(0) = 0C, y i(0) = 0A.
Respuesta:
19. Cuál de las siguientes opciones representa la transformada de Laplace de la función: (Sugerencia: use las definiciones de
las funciones de las funciones hiperbólicas mediante exponenciales)
f (t) = t cosh(4 t)
A
F (s) =
16+s2
−16+s2
B
F (s) =
8s
(−16+s2 )2
C
F (s) =
16+s2
(−16+s2 )2
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 1
D
4
−1
F (s) = (16 + s2 )
20. Dado que y1 = e−5x y y2 = xe−5x son soluciones a la ED homogénea auxiliar asociada encuentre la solución general de
25 y + 10 y 0 + y 00 =
A
y = −x + C1 e−5 x + x C2 e−5 x + ln(x)
B
y = x e−5 x + C1 e−5 x + x C2 e−5 x − x ln(x) e−5 x
C
y = x + C1 e−5 x + x C2 e−5 x − ln(x)
D
y = −x e−5 x + C1 e−5 x + x C2 e−5 x + x ln(x) e−5 x
1 −5 x
e
x
21. Cuál de las siguientes opciones contiene la solución general a:
4
2 x y + 1 + x2 y 0 = 9 x (1 + x2 )
−4
A
9
y = − 10
(1 + x2 )
B
y=
C
y = C 1 + x2 −
9
10
(1 + x2 )
6
D
y = C 1 + x2 +
9
10
(1 + x2 )
6
C
1+x2
+
9
10
+ C 1 + x2
4
(1 + x2 )
22. En la investigación de un asesinato, un cuerpo sin vida fue encontrado por el inspector Núñez exactamente a las 8:00 PM,
estando alerta, él midió la temperatura del cuerpo registrándola en los 31o C. Dos horas mas tarde, el inspector anotó que
la temperatura del cuerpo era de 27o C. Sabiendo que la temperatura de la habitación fue de 20o C, determine la hora a la
cual el asesinato ocurrió. Reporte la hora en decimales, por ejemplo 1 hora 30 nimutos en decimales quedarı́a 1.5 horas.
Respuesta:
23. Un recipiente cilı́ndrico se está vaciando por un orificio en la parte inferior. Si inicialmente el lı́quido estaba a una profundidad
de 8 metros y al cabo de 6 horas se vacı́a. A qué horas pasó por la mitad de la profundidad?
Respuesta:
24. Resuelva la siguiente ED con condiciones iniciales y(0) = 4 y y 0 (0) = 1 reduciéndola en orden
2
(y 0 ) = 4 y y 00
A
y 5 = 1024 +
B
y = 4 e4 x
C
y4 = 2
D
5x
√
2
1
3
√
3
√
y4 = 2
2+
3
4
2+
3 √
x
4
2
x
25. Use la transformada de Laplace para resolver la ecuación diferencial
100 y + y 00 = f (t)
con condiciones iniciales y(0) = 5 y y 0 (0) = 0 y donde
f (t)
A
y(t) =
1
2
sen(10 t) +
1
100
(1 − cos(10 t)) Uπ (t) −

 0
=
1

0
1
100
si 0 ≤ t < π
si π ≤ t < 2π
si 2π ≤ t
(1 − cos(10 t)) U2 π (t)
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 1
5
B
y(t) = 5 cos(10 t) +
1
50
C
y(t) = 5 cos(10 t) +
1
100
(1 + cos(10 t)) Uπ (t) −
1
100
(1 + cos(10 t)) U2 π (t)
D
y(t) = 5 cos(10 t) +
1
100
(1 − cos(20 t)) Uπ (t) −
1
100
(1 − cos(20 t)) U2 π (t)
E
y(t) = 5 cos(10 t) +
1
100
(1 − cos(10 t)) Uπ (t) −
1
100
(1 − cos(10 t)) U2 π (t)
(1 − cos(10 t)) Uπ (t) −
1
50
(1 − cos(10 t)) U2 π (t)
Ecuaciones Diferenciales
Laboratorio Final
Maestro Eduardo Uresti, Verano 2010
Grupo:
Matrı́cula:
Nombre:
Tipo:2
1. Determine los valores de A, B, C y D para que
y 00 + A y 0 + B y = C x + D
tenga como solución general:
y = −2 + x + C1 e2 x + C2 e5 x
Respuesta:
2. Se ha descubierto que un cubo de naftalina que tenı́a originalmente un lado de 56 de pulgada, tiene un lado de 14 de pulgada
al cabo de un mes. Suponiendo que se evapore a un ı́ndice proporcional a su superficie, determine el tiempo necesario en
meses para que el cubo desaparezca.
A
8.57143
B
4.28571
C
0.714286
D
1.42857
3. Cuál de las siguientes opciones contiene la solución general a:
4
9 x y + 16 + x2 y 0 = 4 x (16 + x2 )
9
A
y = C (16 + x2 ) 2 −
B
y=
C
4
(16 + x2 )
y = − 17
D
y = C (16 + x2 ) 2 +
C
9
(16+x2 ) 2
+
4
17
4
17
13
(16 + x2 )
(16 + x2 )
−4
9
4
9
+ C (16 + x2 ) 2
4
17
13
(16 + x2 )
4. En la investigación de un asesinato, un cuerpo sin vida fue encontrado por Gil Grissom exactamente a las 8:00 PM, estando
alerta, él midió la temperatura del cuerpo registrándola en los 33o C. Dos horas mas tarde, él anotó que la temperatura del
cuerpo era de 27o C. Sabiendo que la temperatura de la habitación fue de 22o C, determine la hora a la cual el asesinato
ocurrió. Considere que la temperatura corporal normal es de 37o C. Reporte la hora en decimales. Por ejemplo, 1 hora 30
nimutos en decimales quedarı́a 1.5 horas.
Respuesta:
5. Use la transformada de Laplace para resolver la ecuación diferencial
16 y + y 00 = f (t)
con condiciones iniciales y(0) = 4 y y 0 (0) = 0 y donde
f (t)
A
y(t) = 4 cos(4 t) +
1
8
(1 − cos(4 t)) Uπ (t) −
1
8

 0
=
1

0
si 0 ≤ t < π
si π ≤ t < 2π
si 2π ≤ t
(1 − cos(4 t)) U2 π (t)
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 2
1
16
2
(1 + cos(4 t)) Uπ (t) −
1
16
B
y(t) = 4 cos(4 t) +
C
y(t) = sen(4 t) +
D
y(t) = 4 cos(4 t) +
1
16
(1 − cos(4 t)) Uπ (t) −
1
16
(1 − cos(4 t)) U2 π (t)
E
y(t) = 4 cos(4 t) +
1
16
(1 − cos(8 t)) Uπ (t) −
1
16
(1 − cos(8 t)) U2 π (t)
1
16
(1 − cos(4 t)) Uπ (t) −
1
16
(1 + cos(4 t)) U2 π (t)
(1 − cos(4 t)) U2 π (t)
6. Un recipiente contiene 40 galones de agua limpia inicialmente. Una solución es vertida en el interior del recipiente a un ritmo
de 3 galones por minuto. Esta solución tiene una concentración de 0.4 libras de sal por galón. A la vez que se vierte se extrae
solución del tanque a la misma velocidad. La solución extraida es entonces vertida en un nuevo recipiente que contiene
40 galones de agua limpia. Del cual a su vez también serán extraı́dos 3 galones de solución por minuto. Cuáles será la
concentración de sal (en libras por galón) en el segundo tanque 50 minutos despuúes de iniciado el proceso? Sugerencia.
Primero determine la fórmula que da la contidad de sal en el primer tanque función de t. A partir de ella obtenga la fórmula
que da la concentración de sal en el primer tanque. De ella determine la fórmula que da cantidad de sal que el primer tanque
vierte al segundo tanque en libras por minuto.
Respuesta:
7. En un circuito serie RC con C =
1
400 H,
R = 600Ω, y

 2
E(t) =
−2

0
0≤t<2
2≤t<4
4≤t
para
para
para
donde E(t) está en voltios. Encuentre la carga en coulumbs en el condensador en el tiempo t = 6 segundos. Tome q(0) = 0.0 C
Respuesta:
8. Una cadena de 6 pies de largo yace extendida en una mesa. La cadena pesa en total 5 pounds y se supone que su peso
está uniformemente distribuido. Un extremo de un pie de longitud de cadena cuelga de la mesa y estira toda la cadena hacia
abajo. Despreciando la fricción, indique a qué velocidad cae cuando deja de estar en la mesa. Sugerencia. Elija como variable
incógnita la longitud de la cadena que está fuera de la mesa, y = y(t). Para construir la ED use la segunda ley de Newton.
La fuerza aplicada a la cadena es 65 y. La aceleración es y 00 . Utiliza que la aceleración también puede ser expresada como
a = v dv/dy. de manera que quede una ecuación diferencial de primer orden en con variable dependiente v e independiente
y. Tome como condición inicial v(y = 1) = 0.
Respuesta:
9. Seleccionar la opción que contiene la transformada de Laplace de
f (t) =
A
F (s) =
s
4+s2
B
F (s) =
1
2
+
cos(2 t) − cos(5 t)
t
s
25+s2
2
ln( 25+s
4+s2 )
C
2+s
F (s) = ln( 5+s
)
D
F (s) =
10. Indicar la opción que contiene la solución a la ecuación diferencial:
y0 =
2
A
− xy2 = C + 4 ln(x)
B
1
− y2
= C − 4 ln(x)
C
y 2 = x2 (C − 8 ln(x))
D
x2
y2
= C + 4 ln(x)
x2 y + 4 y 3
x3
s
4+s2
−
s
25+s2
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 2
E
x2
y2
3
= C − 8 ln(x)
11. Cuando un rayo de luz pasa através de una sustancia transparente, el grado con que la intensidad, I(h), disminuye es
proporcional a la misma intensidad I(h) donde h representa el espesor del medio. En el agua de mar, la intensidad a 1.1
metros bajo la superficie es de 30 por ciento de la intesidad inicial Io del rayo incidente. Cuál es la intensidad del rayo de
luz a 2.1 metros respecto a Io ? Reporta tu respuesta entre 0 y 1.
Respuesta:
12. Un cuerpo con peso de 3 libras cuelga de un resorte con constante 38 lb/ft. El medio donde se mueve el cuerpo ofrece una
fuerza de resistencia al movimiento que es numéricamente igual a su velocidad instantánea. Si el peso es liberado 12 pies
por encima de su posición de equilibrio con una velocidad hacia abajo de 21 pies por segundo. Determine la velocidad en el
momento en el cual pasa por la posición de equilibrio.
Respuesta:
13. Un cultivo de Escherichia coli crece a una velocidad proporcional a su tamaño. Un investigador ha determinado que cada
hora el cultivo crece en un 1 por ciento y que hay 250 organismos inicialmente. Cuántos organismos habrá al cabo de 4
horas?
Respuesta:
14. Indique la opción que contiene la solución a la ecuación diferencial:
dy
= −e6 y + e(3 x+6 y)
dx
A
e6 y = C + 2 e3 x − 6 x
B
y = C + 3 e3 x
C
y =C+
D
e6 y = −6 + C + 2 e3 x
E
e−6 y = C − 2 e3 x + 6 x
F
e−6 y = C −
1
3
e3 x
1
2
e3 x +
1
6
x
15. Dado que y1 = e−5x y y2 = xe−5x son soluciones a la ED homogénea auxiliar asociada encuentre la solución general de
25 y + 10 y 0 + y 00 =
A
y = x e−5 x + C1 e−5 x + x C2 e−5 x − x ln(x) e−5 x
B
y = −x e−5 x + C1 e−5 x + x C2 e−5 x + x ln(x) e−5 x
C
y = −x + C1 e−5 x + x C2 e−5 x + ln(x)
D
y = x + C1 e−5 x + x C2 e−5 x − ln(x)
1 −5 x
e
x
16. Un recipiente cilı́ndrico se está vaciando por un orificio en la parte inferior. Si inicialmente el lı́quido estaba a una profundidad
de 4 metros y al cabo de 4 horas se vacı́a. A qué horas pasó por la mitad de la profundidad?
Respuesta:
17. Indique la opción que contiene la solución que satisface y(0) = 0 para la ecuación:
2 x + 3 y + (3 x + 2 y) y 0 = 0
A
x3 + 2 x y + y 3 = 0
B
x2 + 2 x y + y 2 = 0
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 2
C
x2 + y 2 = 0
D
x3 + 3 x y + y 3 = 0
E
x2 + 3 x y + y 2 = 0
F
x2 + x y + y 2 = 0
G
x3 + x y + y 3 = 0
H
x3 + y 3 = 0
4
18. El número de individuos infectados A(t) en un tiempo t debe crecer a una razón que es aproximadamente proporcional al
producto A(t)(N − A(t)) donde N es el tamaño de la población. Si el tamaño de la población es de 600 individuos y si
inicialmente existen 30 individuos infectados y al cabo de 1 meses existen 60 individuos infectados. Cuántos habrá infectados
al cabo de 2 meses?
Respuesta:
19. Un trozo de madera de una viga de una casa construida en Babilonia durante el reinado de Hamurabi contenı́a el 58 por
ciento del carbono 14 radiactivo que contiene un fragmento del mismo tipo de madera en un árbol vivo. Estime la antiguedad
de la construcción, sabiendo que la vida media del carbono 14 es de aproximadamente 5600 años.
Respuesta:
20. Calcule el valor en x = 1 para la solución particular y(x) que cumple las condiciones iniciales y( 41 ) = 1 y y 0 ( 41 ) = 8 a la ED:
4 y0
y 00 = √
y
Respuesta:
21. En muchos estados de USA es ilegal manejar con un nivel de alcohol mayor que 0.10 por ciento (una parte de alcohol por 1000
partes de sangre). Suponga que alguien es detenido en alguno de esos estados y que se detecta que tiene un porcentaje de
alcohol en la sangre de 0.7 %. Si se asume que el porcentaje de alcohol en el torrente sanguı́neo decrece en forma proporcional
al porcentaje de alcohol, y que además la concentración de alcohol decrece 10 por ciento cada hora, determine cuánto tiempo
en horas debe pasar para que esa persona pueda conducir legalmente de nuevo. Nota: Los datos de este problema son
ficticios.
Respuesta:
22. Encuentre la máxima carga en el capacitor en un circuito serie LRC cuando L = 5/3h, R = 10Ω, C = 1/30f , E(t) = 300V ,
q(0) = 0C, y i(0) = 0A.
Respuesta:
23. Determine A, B, C, D y E (B > D) para que
f (t) = A eB t + C eD t + E
sea la transformada inversa de la función:
F (s) =
−1 + 3 s
−s + s3
Respuesta:
24. Indique cuál de las opciones siguientes es la ecuación subsidiaria del problema con condición inicial y(0) = 7 y ED:
2 y + y 0 = t cos(5 t) + sen(5 t) e3 t
7+
A
Y (s) =
B
Y (s) =
2 s2
(25+s2 )2
−(25+s2 )
−1
2+s
7+
10 s
(25+s2 )2
+ 34−65s+s2
2+s
−3+s
+ 34−6
s+s2
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 2
7+
C
Y (s) =
D
Y (s) =
2 s2
(25+s2 )2
−(25+s2 )
−1
+ 34+65s+s2
−1
+ 34−65s+s2
5
2+s
7+
2 s2
(25+s2 )2
−(25+s2 )
2+s
25. Cuál de las siguientes opciones representa la transformada de Laplace de la función: (Sugerencia: use las definiciones de
las funciones de las funciones hiperbólicas mediante exponenciales)
f (t) = t cosh(6 t)
A
F (s) =
36+s2
(−36+s2 )2
B
F (s) =
12 s
(−36+s2 )2
C
F (s) =
36+s2
−36+s2
D
F (s) = (36 + s2 )
−1
Ecuaciones Diferenciales
Laboratorio Final
Maestro Eduardo Uresti, Verano 2010
Grupo:
Matrı́cula:
Nombre:
Tipo:3
1. Un tanque inicialmente tiene 120 galones de agua limpia, pero una solución de sal de concentración desconocida se vierte a
un ritmo de 3 galones por minuto. Si a la vez que se vierte se extrae solución a la misma velocidad y si al cabo de 25 minutos
la concentración en el tanque fue de 0.3 libras de sal por galón, determine la concentración de la solución vertida (en libras
por galón).
Respuesta:
2. En un circuito serie RC con C =
3
800 H,
R = 400Ω, y

 4
E(t) =
−4

0
para
para
para
0≤t<4
4≤t<8
8≤t
donde E(t) está en voltios. Encuentre la carga en coulumbs en el condensador en el tiempo t = 12 segundos. Tome q(0) = 0.0 C
Respuesta:
3. Indique cuál de las opciones siguientes es la ecuación subsidiaria del problema con condición inicial y(0) = 7 y ED:
2 y + y 0 = t cos(4 t) + sen(4 t) e6 t
7+
A
Y (s) =
B
Y (s) =
C
Y (s) =
D
Y (s) =
2 s2
(16+s2 )2
−(16+s2 )
−1
−6+s
+ 52−12
s+s2
−1
+ 52+124 s+s2
2+s
7+
2 s2
(16+s2 )2
−(16+s2 )
2+s
7+
8s
(16+s2 )2
+ 52−124 s+s2
2+s
7+
2 s2
(16+s2 )2
−(16+s2 )
−1
+ 52−124 s+s2
2+s
4. Cuando un rayo de luz pasa através de una sustancia transparente, el grado con que la intensidad, I(h), disminuye es
proporcional a la misma intensidad I(h) donde h representa el espesor del medio. En el agua de mar, la intensidad a 1.5
metros bajo la superficie es de 50 por ciento de la intesidad inicial Io del rayo incidente. A qué profundidad en metros la
intensidad es 60 por ciento de Io ?
Respuesta:
5. Una cadena de 4 pies de largo yace extendida en una mesa. La cadena pesa en total 9 pounds y se supone que su peso
está uniformemente distribuido. Un extremo de un pie de longitud de cadena cuelga de la mesa y estira toda la cadena hacia
abajo. Despreciando la fricción, indique a qué velocidad cae cuando deja de estar en la mesa. Sugerencia. Elija como variable
incógnita la longitud de la cadena que está fuera de la mesa, y = y(t). Para construir la ED use la segunda ley de Newton.
La fuerza aplicada a la cadena es 49 y. La aceleración es y 00 . Utiliza que la aceleración también puede ser expresada como
a = v dv/dy. de manera que quede una ecuación diferencial de primer orden en con variable dependiente v e independiente
y. Tome como condición inicial v(y = 1) = 0.
Respuesta:
6. Determine el valor de y(1) siendo y(x) la función solución que satisface y(0) = 1 a la ecuación diferencial:
r
dy
x
= 6
dx
y
Respuesta:
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 3
2
7. Seleccionar la opción que contiene un paso intermedio para obtener la solución general de la ED:
cos(x)
y
+ y0 =
x
x
A
y=e
R
1
x
dx
C+
R
B
y=e
R
1
x
dx
C+
R
C
y=
D
y=
R
C+
R
C+
e
R 1
dx
x
e
cos(x)
R 1x
dx
e x
cos(x)
x
R
1
x
dx
cos(x)
e
R
1 dx
x
x
cos(x) dx
dx
dx
dx
x
8. En muchos estados de USA es ilegal manejar con un nivel de alcohol mayor que 0.10 por ciento (una parte de alcohol por 1000
partes de sangre). Suponga que alguien es detenido en alguno de esos estados y que se detecta que tiene un porcentaje de
alcohol en la sangre de 0.4 %. Si se asume que el porcentaje de alcohol en el torrente sanguı́neo decrece en forma proporcional
al porcentaje de alcohol, y que además la concentración de alcohol decrece 10 por ciento cada hora, determine cuánto tiempo
en horas debe pasar para que esa persona pueda conducir legalmente de nuevo. Nota: Los datos de este problema son
ficticios.
Respuesta:
9. Un cuerpo con peso de 7 libras cuelga de un resorte con constante 78 lb/ft. El medio donde se mueve el cuerpo ofrece una
fuerza de resistencia al movimiento que es numéricamente igual a su velocidad instantánea. Si el peso es liberado 76 pies
por encima de su posición de equilibrio con una velocidad hacia abajo de 12 pies por segundo. Determine la velocidad en el
momento en el cual pasa por la posición de equilibrio.
Respuesta:
10. Un cultivo de Escherichia coli crece a una velocidad proporcional a su tamaño. Un investigador ha determinado que cada
hora el cultivo crece en un 5 por ciento y que hay 200 organismos inicialmente. Cuántos organismos habrá al cabo de 4
horas?
Respuesta:
11. Un recipiente cilı́ndrico se está vaciando por un orificio en la parte inferior. Si inicialmente el lı́quido estaba a una profundidad
de 4 metros y al cabo de 6 horas se vacı́a. A qué horas pasó por la mitad de la profundidad?
Respuesta:
12. Indicar la opción que contiene la solución a la ecuación diferencial:
y0 =
A
1
− y2
= C − 6 ln(x)
B
− xy2 = C + 6 ln(x)
C
x2
y2
D
y 2 = x2 (C − 12 ln(x))
E
x2
y2
x2 y + 6 y 3
x3
2
= C − 12 ln(x)
= C + 6 ln(x)
13. El número de individuos infectados A(t) en un tiempo t debe crecer a una razón que es aproximadamente proporcional al
producto A(t)(N − A(t)) donde N es el tamaño de la población. Si el tamaño de la población es de 600 individuos y si
inicialmente existen 60 individuos infectados y al cabo de 1 meses existen 120 individuos infectados. Cuántos habrá infectados
al cabo de 2 meses?
Respuesta:
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 3
3
14. Determine los valores de A, B y C para que
y = (C1 + C2 x) eA x + B eC x
sea la solución general a :
16 y − 8 y 0 + y 00 = ex
Respuesta:
15. Indique cuál de las siguientes opciones es la transformada de Laplace de
f (t) =
1
t sen(2 t)
4
A
F (s) =
1
(4+s2 )2
C
F (s) =
s
(4+s2 )2
B
F (s) =
1
(−4+s2 )2
D
F (s) =
s
(−4+s2 )2
16. En 1964, cientı́ficos soviéticos hicieron un nuevo elemento, mediante el bombardeo de átomos de plutonio, el cual tenı́a
número atómico 104. La vida media de este elemento llamado E104 es de 0.15 segundos. Si es producido a un ritmo de
52 × 10−5 microgramos por segundo y bajo el supuesto que no habı́a presente tal material , Cuántos microgramos habrı́a al
cabo de 50 segundos?
Respuesta:
17. Resuelva la siguiente ED con condiciones iniciales y(0) = 5 y y 0 (0) = 1 reduciéndola en orden
2
(y 0 ) = 5 y y 00
4
4
4
5
A
y 5 = 55 +
B
y = 5 e5 x
C
y 6 = 15625 +
D
y 5 = 55 +
x
1
4
4
6x
1
55
4 x
5 5 15
13
18. Se ha descubierto que una bola de naftalina que tenı́a originalmente un radio de 19
6 de pulgada, tiene una radio de 12 de
pulgada al cabo de un mes. Suponiendo que se evapore a un ı́ndice proporcional a su superficie, determine el tiempo necesario
en meses para que la bola desaparezca.
A
3.04
B
1.52
C
9.12
D
4.56
19. Cuál de las siguientes opciones representa la transformada de Laplace de la función: (Sugerencia: use las definiciones de
las funciones de las funciones hiperbólicas mediante exponenciales)
f (t) = t cosh(6 t)
A
F (s) =
12 s
(−36+s2 )2
B
F (s) =
36+s2
−36+s2
C
F (s) = (36 + s2 )
D
F (s) =
−1
36+s2
(−36+s2 )2
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 3
4
20. Indique cuál de las siguientes opciones representa la transformada inversa de la función:
F (s) =
s
50 + 2 s + s2
A
f (t) = (cos(7 t) − sen(7 t)) e−t
C
f (t) = (cos(7 t) −
B
f (t) = cos(7 t) − sen(7 t)
D
f (t) = cos(7 t) −
1
7
1
7
sen(7 t)) e−t
sen(7 t)
21. Sabiendo que la solución a la correspondiente ecuación homogénea auxiliar es yh = c1 + c2 sec (5 x) determine una solución
particular por el método de variación de parámetros a la ED:
−5 (csc(5 x) sec(5 x) + tan(5 x)) y 0 + y 00 = tan(5 x)
1
5
yp =
B
yp = x + tan(5 x)
C
yp = − 15 x −
1
5
tan(5 x)
D
yp = − 15 x +
1
5
tan(5 x)
E
yp = − 15 x +
1
25
F
yp =
1
5
x+
1
25
A
x+
1
5
tan(5 x)
tan(5 x)
tan(5 x)
22. Encuentre la máxima carga en el capacitor en un circuito serie LRC cuando L = 5/3h, R = 10Ω, C = 1/30f , E(t) = 300V ,
q(0) = 0C, y i(0) = 0A.
Respuesta:
23. Use la transformada de Laplace para resolver la ecuación diferencial
4 y + y 00 = f (t)
con condiciones iniciales y(0) = 5 y y 0 (0) = 0 y donde
f (t)

 0
=
1

0
si 0 ≤ t < π
si π ≤ t < 2π
si 2π ≤ t
A
y(t) = 5 cos(2 t) +
1
4
(1 − cos(2 t)) Uπ (t) −
1
4
(1 − cos(2 t)) U2 π (t)
B
y(t) = 5 cos(2 t) +
1
4
(1 + cos(2 t)) Uπ (t) −
1
4
(1 + cos(2 t)) U2 π (t)
C
y(t) = 5 cos(2 t) +
1
4
(1 − cos(4 t)) Uπ (t) −
1
4
(1 − cos(4 t)) U2 π (t)
D
y(t) = 5 cos(2 t) +
1
2
(1 − cos(2 t)) Uπ (t) −
1
2
(1 − cos(2 t)) U2 π (t)
E
y(t) =
1
4
(1 − cos(2 t)) Uπ (t) −
1
4
(1 − cos(2 t)) U2 π (t)
5
2
sen(2 t) +
24. Todos los dı́as la maestra Salinas toma una taza de café antes de su clase de 9:00 AM. Suponga que la temperatura del
café es de 200o F cuando lo sirve en su taza a las 8:30AM, quince minutos después el café se enfria hasta 130o F en un cuarto
que está a 75o F. Sin embargo, la maestra Salinas nunca beberá su café si no hasta que este se enfrie justo a 97o F. Cuántos
minutos después de servido tomará su café?
Respuesta:
25. Indique la opción que contiene la solución general a:
8 e(3+8 x) + 6 y dx + 9 e(4+9 y) + 6 x dy = 0
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 3
A
e(4+9 y) + 6 e(3+8 x) x y = C
B
e(3+8 x) + e(4+9 y) + x + 6 y = C
C
e(3+8 x) + 6 e(4+9 y) x y = C
D
e(3+8 x) + e(4+9 y) + 6 x y = C
5
Ecuaciones Diferenciales
Laboratorio Final
Maestro Eduardo Uresti, Verano 2010
Grupo:
Matrı́cula:
Nombre:
Tipo:4
1. Una cadena de 5 pies de largo yace extendida en una mesa. La cadena pesa en total 5 pounds y se supone que su peso
está uniformemente distribuido. Un extremo de un pie de longitud de cadena cuelga de la mesa y estira toda la cadena hacia
abajo. Despreciando la fricción, indique cuánto tiempo tardará en caer de la mesa. Sugerencia. Elija como variable incógnita
la longitud de la cadena que está fuera de la mesa, y = y(t). Para construir la ED use la segunda ley de Newton. La fuerza
aplicada a la cadena es y. La aceleración es y 00 . Tome como condiciones iniciales y(0) = 1 y y 0 (0) = 0.
Respuesta:
2. Todos los dı́as el maestro Flores toma una taza de café antes de su clase de 9:00 AM. Suponga que la temperatura del
café es de 200o F cuando lo sirve en su taza a las 8:30AM, quince minutos después el café se enfria hasta 120o F en un cuarto
que está a 67o F. Sin embargo, el maestro Flores nunca beberá su café si no hasta que este se enfrie justo a 95o F. Cuántos
minutos después de servido tomará su café?
Respuesta:
3. Determine los valores de A, B, C y D para que
y 00 + A y 0 + B y = C x + D
tenga como solución general:
y = 2 + x + C1 e4 x + C2 e5 x
Respuesta:
4. José Luis se va a someter a una cirugı́a por una lesión de futbol y debe ser anestesiado. El anestesiólogo sabe que para que
un paciente sea anestesiado, mediante Pentobarbital sódico, debe tener en su sangre dicha sustancia en una concentración
de al menos 50 miligramos por cada kilogramo de peso. Suponga que las sustancias quı́micas disminuyen su concentración
en la sangre en forma proporcional a la concentración de la sustancia y que en particular el Pentobarbital disminuye su
concentración a la mitad cada 10 horas. Si José Luis pesa 100 kilogramos y será anestesiado mediante una sola dósis, cuántos
miligramos de Pentobarbital se le deberá suministrar si se desea que el efecto dure 3 horas? Nota: Los datos del problema
son ficticios.
Respuesta:
5. Encuentre la máxima carga en el capacitor en un circuito serie LRC cuando L = 5/3h, R = 10Ω, C = 1/30f , E(t) = 300V ,
q(0) = 0C, y i(0) = 0A.
Respuesta:
6. Un recipiente contiene 70 galones de una solución de sal a una concentración de 0.04 libras por galón. Un proceso se inicia
poniendo agua limpia en el recipiente a un ritmo de 2 galones por minuto. A la vez que se vierte agua, se extrae solución
del tanque a la misma velocidad. La solución extraı́da es entonces vertida en un nuevo recipiente que contiene 70 galones de
agua limpia. Del cual a su vez también serán extraı́dos 2 galones de solución por minuto. Cuál será la concentración máxima
que alcanzará la solución en el segundo tanque? (en libras por galón) Sugerencia. Primero determine la fórmula que da la
contidad de sal en el primer tanque en función de t. A partir de ella obtenga la fórmula que da la concentración de sal en el
primer tanque. De ella determine la fórmula de la velocidad de entrada de sal al segundo tanque en libras por minuto.
Respuesta:
7. En un circuito serie RC con C =
3
500 H,
R = 500Ω, y

 4
E(t) =
−4

0
para
para
para
0≤t<3
3≤t<6
6≤t
donde E(t) está en voltios. Encuentre la carga en coulumbs en el condensador en el tiempo t = 9 segundos. Tome q(0) = 0.0 C
Respuesta:
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 4
2
8. Resuelva la siguiente ED con condiciones iniciales y(0) = 3 y y 0 (0) = 1 reduciéndola en orden
2
(y 0 ) = 3 y y 00
1
A
y = 3 e3 x
B
y 3 = 33 +
C
y 3 = 33 +
D
y 4 = 81 +
2
2
2 x
3 3 13
2
2
2
3
x
4x
1
33
9. Cuál de las siguientes opciones contiene la solución general a:
6
5 x y + 25 + x2 y 0 = x (25 + x2 )
C
1
17
(25 + x2 )
A
y=
B
y = C (25 + x2 ) 2 −
C
y = C (25 + x2 ) 2 +
D
1
y = − 17
(25 + x2 )
5
(25+x2 ) 2
+
5
5
6
11
1
17
(25 + x2 )
1
17
(25 + x2 )
−6
11
5
+ C (25 + x2 ) 2
10. Dado que y1 = e−3x y y2 = xe−3x son soluciones a la ED homogénea auxiliar asociada encuentre la solución general de
9 y + 6 y 0 + y 00 =
A
y = x + C1 e−3 x + x C2 e−3 x − ln(x)
B
y = x e−3 x + C1 e−3 x + x C2 e−3 x − x ln(x) e−3 x
C
y = −x + C1 e−3 x + x C2 e−3 x + ln(x)
D
y = −x e−3 x + C1 e−3 x + x C2 e−3 x + x ln(x) e−3 x
1 −3 x
e
x
11. Use la transformada de Laplace para resolver la ecuación diferencial
64 y + y 00 = f (t)
con condiciones iniciales y(0) = 3 y y 0 (0) = 0 y donde

 0
=
1

0
f (t)
3
8
si 0 ≤ t < π
si π ≤ t < 2π
si 2π ≤ t
A
y(t) =
sen(8 t) +
1
64
(1 − cos(8 t)) Uπ (t) −
1
64
(1 − cos(8 t)) U2 π (t)
B
y(t) = 3 cos(8 t) +
1
64
(1 + cos(8 t)) Uπ (t) −
1
64
(1 + cos(8 t)) U2 π (t)
C
y(t) = 3 cos(8 t) +
1
64
(1 − cos(8 t)) Uπ (t) −
1
64
(1 − cos(8 t)) U2 π (t)
D
y(t) = 3 cos(8 t) +
1
32
(1 − cos(8 t)) Uπ (t) −
1
32
(1 − cos(8 t)) U2 π (t)
E
y(t) = 3 cos(8 t) +
1
64
(1 − cos(16 t)) Uπ (t) −
1
64
(1 − cos(16 t)) U2 π (t)
12. Un cuerpo con peso de 10 libras cuelga de un resorte con constante 45 lb/ft. El medio donde se mueve el cuerpo ofrece una
fuerza de resistencia al movimiento que es numéricamente igual a su velocidad instantánea. Si el peso es liberado 53 pies
por encima de su posición de equilibrio con una velocidad hacia abajo de 18 pies por segundo. Determine la velocidad en el
momento en el cual pasa por la posición de equilibrio.
Respuesta:
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 4
3
13. Se sabe que la población de cierta comunidad aumenta, en un instante t cualquiera, con una rapidez proporcional al número
de personas presentes en dicho instante. Si la población se sextuplica en 3 años, cuántos años demorará en septuplicarse?
A
3.5
B
5.25
C
3.2581
D
6.79412
14. Indique la opción que contiene la solución general a:
6 e(6+2 x) + 7 y dx + 3 e(4+9 y) + 7 x dy = 0
A
1
3
B
3 e(6+2 x) +
7
3
e(4+9 y) x y = C
C
3 e(6+2 x) +
1
3
e(4+9 y) + x + 7 y = C
D
3 e(6+2 x) +
1
3
e(4+9 y) + 7 x y = C
e(4+9 y) + 21 e(6+2 x) x y = C
15. Cuál de las siguientes opciones representa la transformada de Laplace de la función: (Sugerencia: use las definiciones de
las funciones de las funciones hiperbólicas mediante exponenciales)
f (t) = t cosh(7 t)
A
F (s) =
49+s2
(−49+s2 )2
B
F (s) =
49+s2
−49+s2
C
F (s) =
14 s
(−49+s2 )2
D
F (s) = (49 + s2 )
−1
16. Indicar la opción que contiene la solución a la ecuación diferencial:
y0 =
A
x2
y2
B
1
− y2
= C − 3 ln(x)
C
− xy2 = C + 3 ln(x)
D
x2
y2
E
y 2 = x2 (C − 6 ln(x))
x2 y + 3 y 3
x3
= C − 6 ln(x)
2
= C + 3 ln(x)
17. En 1964, cientı́ficos soviéticos hicieron un nuevo elemento, mediante el bombardeo de átomos de plutonio, el cual tenı́a
número atómico 104. La vida media de este elemento llamado E104 es de 0.15 segundos. Si es producido a un ritmo de
55 × 10−5 microgramos por segundo y bajo el supuesto que no habı́a presente tal material , Cuántos microgramos habrı́a al
cabo de 60 segundos?
Respuesta:
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 4
4
18. Indique cuál de las siguientes opciones es la transformada de Laplace de
f (t) =
1
t sen(8 t)
16
A
F (s) =
s
(−64+s2 )2
C
F (s) =
1
(64+s2 )2
B
F (s) =
1
(−64+s2 )2
D
F (s) =
s
(64+s2 )2
19. Determine A, B, C y D para que
f (t) = eA t (B cos(C t) + D sen(C t))
sea la transformada inversa de la función:
F (s) =
s
65 + 2 s + s2
Respuesta:
20. Cuando un rayo de luz pasa através de una sustancia transparente, el grado con que la intensidad, I(h), disminuye es
proporcional a la misma intensidad I(h) donde h representa el espesor del medio. En el agua de mar, la intensidad a 1.9
metros bajo la superficie es de 50 por ciento de la intesidad inicial Io del rayo incidente. A qué profundidad en metros la
intensidad es 60 por ciento de Io ?
Respuesta:
21. El número de individuos infectados A(t) en un tiempo t debe crecer a una razón que es aproximadamente proporcional al
producto A(t)(N − A(t)) donde N es el tamaño de la población. Si el tamaño de la población es de 900 individuos y si
inicialmente existen 50 individuos infectados y al cabo de 1 meses existen 100 individuos infectados. Cuántos habrá infectados
al cabo de 2 meses?
Respuesta:
22. Un recipiente cilı́ndrico se está vaciando por un orificio en la parte inferior. Si inicialmente el lı́quido estaba a una profundidad
de 4 metros y al cabo de 6 horas se vacı́a. A qué horas pasó por la mitad de la profundidad?
Respuesta:
23. Indique cuál de las opciones siguientes es la ecuación subsidiaria del problema con condiciones iniciales y(0) = 0 y y 0 (0) = 8
con ecuación:
24 y − 11 y 0 + y 00 = 8 e3 t
A
Y (s) =
−16+8 s
(−3+s) (24−11 s+s2 )
B
Y (s) =
16+8 s
(−3+s) (24−11 s+s2 )
C
Y (s) =
−16+8 s
(−3+s) (24+11 s+s2 )
D
Y (s) =
16+8 s
24−11 s+s2
24. Determine el valor de y(1) siendo y(x) la función solución que satisface y(0) = 1 a la ecuación diferencial:
r
dy
x
= 6
dx
y
Respuesta:
5
25. Se ha descubierto que un cubo de naftalina que tenı́a originalmente un lado de 43 de pulgada, tiene un lado de 12
de pulgada
al cabo de un mes. Suponiendo que se evapore a un ı́ndice proporcional a su superficie, determine el tiempo necesario en
meses para que el cubo desaparezca.
A
6.75
B
13.5
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 4
C
2.25
D
1.125
5
Ecuaciones Diferenciales
Laboratorio Final
Maestro Eduardo Uresti, Verano 2010
Grupo:
Matrı́cula:
Nombre:
Tipo:5
1. Determine A, B, C, D y E (B > D) para que
f (t) = A eB t + C eD t + E
sea la transformada inversa de la función:
F (s) =
−27 − 21 s
−9 s + s3
Respuesta:
2. Use la transformada de Laplace para resolver la ecuación diferencial
64 y + y 00 = f (t)
con condiciones iniciales y(0) = 3 y y 0 (0) = 0 y donde

 0
=
1

0
f (t)
si 0 ≤ t < π
si π ≤ t < 2π
si 2π ≤ t
A
y(t) = 3 cos(8 t) +
1
64
(1 − cos(8 t)) Uπ (t) −
1
64
(1 − cos(8 t)) U2 π (t)
B
y(t) = 3 cos(8 t) +
1
32
(1 − cos(8 t)) Uπ (t) −
1
32
(1 − cos(8 t)) U2 π (t)
C
y(t) =
sen(8 t) +
1
64
(1 − cos(8 t)) Uπ (t) −
1
64
(1 − cos(8 t)) U2 π (t)
D
y(t) = 3 cos(8 t) +
1
64
(1 − cos(16 t)) Uπ (t) −
E
y(t) = 3 cos(8 t) +
1
64
(1 + cos(8 t)) Uπ (t) −
3
8
1
64
1
64
(1 − cos(16 t)) U2 π (t)
(1 + cos(8 t)) U2 π (t)
3. Indique cuál de las opciones siguientes es la ecuación subsidiaria del problema con condición inicial y(0) = 6 y ED:
4 y + y 0 = t cos(4 t) + sen(4 t) e6 t
6+
A
B
C
D
Y (s) =
Y (s) =
Y (s) =
Y (s) =
2 s2
(16+s2 )2
−(16+s2 )
−1
+ 52+124 s+s2
−1
−6+s
+ 52−12
s+s2
−1
+ 52−124 s+s2
4+s
2
6+ 2 s 2 2
(16+s )
−(16+s2 )
4+s
2
6+ 2 s 2 2
(16+s )
−(16+s2 )
4+s
8s
6+
(16+s2 )2
+ 52−124 s+s2
4+s
4. Cuando un rayo de luz pasa através de una sustancia transparente, el grado con que la intensidad, I(h), disminuye es
proporcional a la misma intensidad I(h) donde h representa el espesor del medio. En el agua de mar, la intensidad a 1.8
metros bajo la superficie es de 60 por ciento de la intesidad inicial Io del rayo incidente. A qué profundidad en metros la
intensidad es 70 por ciento de Io ?
Respuesta:
5. En un circuito serie RC con C =
1
400 H,
R = 400Ω, y

 2
E(t) =
−2

0
para
para
para
0≤t<5
5 ≤ t < 10
10 ≤ t
donde E(t) está en voltios. Encuentre la carga en coulumbs en el condensador en el tiempo t = 15 segundos. Tome q(0) = 0.0 C
Respuesta:
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 5
2
6. Un recipiente contiene 40 galones de una solución de sal a una concentración de 0.04 libras por galón. Un proceso se inicia
poniendo agua limpia en el recipiente a un ritmo de 6 galones por minuto. A la vez que se vierte agua, se extrae solución
del tanque a la misma velocidad. La solución extraı́da es entonces vertida en un nuevo recipiente que contiene 40 galones de
agua limpia. Del cual a su vez también serán extraı́dos 6 galones de solución por minuto. Cuál será la concentración máxima
que alcanzará la solución en el segundo tanque? (en libras por galón) Sugerencia. Primero determine la fórmula que da la
contidad de sal en el primer tanque en función de t. A partir de ella obtenga la fórmula que da la concentración de sal en el
primer tanque. De ella determine la fórmula de la velocidad de entrada de sal al segundo tanque en libras por minuto.
Respuesta:
7. Indique la opción que contiene la solución que satisface y(0) = 0 para la ecuación:
2 x + 3 y + (3 x + 2 y) y 0 = 0
A
x3 + 3 x y + y 3 = 0
B
x3 + x y + y 3 = 0
C
x2 + 2 x y + y 2 = 0
D
x2 + 3 x y + y 2 = 0
E
x2 + x y + y 2 = 0
F
x3 + y 3 = 0
G
x2 + y 2 = 0
H
x3 + 2 x y + y 3 = 0
8. Indique cuál de las opciones es la solución general a :
25 y + y 00 = 6 cos(4 x) + 8 sen(4 x)
A
y = C1 cos(5 x) +
1
9
(6 cos(4 x) − 8 sen(4 x)) + C2 sen(5 x)
B
y = C1 cos(5 x) +
1
9
(−6 cos(4 x) − 8 sen(4 x)) + C2 sen(5 x)
C
y = C1 cos(5 x) +
1
9
(6 cos(4 x) + 8 sen(4 x)) + C2 sen(5 x)
D
y = C1 cos(5 x) + C2 sen(5 x) +
1
9
(6 cos(5 x) + 8 sen(5 x))
9. Una cadena de 3 pies de largo yace extendida en una mesa. La cadena pesa en total 19 pounds y se supone que su peso
está uniformemente distribuido. Un extremo de un pie de longitud de cadena cuelga de la mesa y estira toda la cadena hacia
abajo. Despreciando la fricción, indique cuánto tiempo tardará en caer de la mesa. Sugerencia. Elija como variable incógnita
la longitud de la cadena que está fuera de la mesa, y = y(t). Para construir la ED use la segunda ley de Newton. La fuerza
00
0
aplicada a la cadena es 19
3 y. La aceleración es y . Tome como condiciones iniciales y(0) = 1 y y (0) = 0.
Respuesta:
10. Seleccionar la opción que contiene la transformada de Laplace de
f (t) =
A
F (s) =
s
4+s2
B
F (s) =
1
2
−
s
25+s2
2
ln( 25+s
4+s2 )
cos(2 t) − cos(5 t)
t
C
2+s
F (s) = ln( 5+s
)
D
F (s) =
s
4+s2
+
s
25+s2
11. La población de una ciudad crece, en un instante cualquiera, con una rapidez proporcional al número de habitantes en dicho
instante. Si su poblacion inicial de 900 aumenta 15 % en 9 años. Cuál será el número de personas aproximado en la población
dentro de 54 años?
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 5
A
6210.
B
12420.
C
12054.7
D
2081.75
3
12. Sabiendo que la solución a la correspondiente ecuación homogénea auxiliar es yh = c1 + c2 sec (4 x) determine una solución
particular por el método de variación de parámetros a la ED:
−4 (csc(4 x) sec(4 x) + tan(4 x)) y 0 + y 00 = tan(4 x)
A
yp = − 14 x −
1
4
tan(4 x)
B
yp = − 14 x +
1
4
tan(4 x)
C
yp =
D
yp = − 14 x +
E
yp = x + tan(4 x)
F
yp =
1
4
1
4
x+
x+
1
16
1
4
tan(4 x)
1
16
tan(4 x)
tan(4 x)
13. El número de individuos infectados A(t) en un tiempo t debe crecer a una razón que es aproximadamente proporcional al
producto A(t)(N − A(t)) donde N es el tamaño de la población. Si el tamaño de la población es de 300 individuos y si
inicialmente existen 30 individuos infectados y al cabo de 1 meses existen 60 individuos infectados. Cuántos habrá infectados
al cabo de 2 meses?
Respuesta:
14. Todos los dı́as la maestra Salinas toma una taza de café antes de su clase de 9:00 AM. Suponga que la temperatura del
café es de 200o F cuando lo sirve en su taza a las 8:30AM, quince minutos después el café se enfria hasta 110o F en un cuarto
que está a 69o F. Sin embargo, la maestra Salinas nunca beberá su café si no hasta que este se enfrie justo a 96o F. Cuántos
minutos después de servido tomará su café?
Respuesta:
15. Un cuerpo con peso de 5 libras cuelga de un resorte con constante 58 lb/ft. El medio donde se mueve el cuerpo ofrece una
fuerza de resistencia al movimiento que es numéricamente igual a su velocidad instantánea. Si el peso es liberado 56 pies
por encima de su posición de equilibrio con una velocidad hacia abajo de 12 pies por segundo. Determine la velocidad en el
momento en el cual pasa por la posición de equilibrio.
Respuesta:
16. Cuál de las siguientes opciones representa la transformada de Laplace de la función: (Sugerencia: use las definiciones de
las funciones de las funciones hiperbólicas mediante exponenciales)
f (t) = t cosh(8 t)
−1
A
F (s) = (64 + s2 )
B
F (s) =
16 s
(−64+s2 )2
C
F (s) =
64+s2
−64+s2
D
F (s) =
64+s2
(−64+s2 )2
17. Seleccionar la opción que contiene un paso intermedio para obtener la solución general de la ED:
y
cos(x)
+ y0 =
x
x
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 5
R
C+
A
y=
B
y=e
R
1
x
R
C+
C
y=
D
y=e
R 1
dx
x
e
cos(x)
R 1x
dx
e x
dx
C+
cos(x)
x
4
dx
cos(x)
R
R
1 dx
x
R
1
x
e
x
dx
dx
x
R
1
x
dx
C+
R
e
dx
cos(x) dx
5
18. Se ha descubierto que una bola de naftalina que tenı́a originalmente un radio de 11
4 de pulgada, tiene una radio de 6 de
pulgada al cabo de un mes. Suponiendo que se evapore a un ı́ndice proporcional a su superficie, determine el tiempo necesario
en meses para que la bola desaparezca.
A
2.86957
B
1.43478
C
4.30435
D
8.6087
19. Determine el valor de y(1) siendo y(x) la función solución que satisface y(0) = 1 a la ecuación diferencial:
r
x
dy
= 7
dx
y
Respuesta:
20. Encuentre la máxima carga en el capacitor en un circuito serie LRC cuando L = 5/3h, R = 10Ω, C = 1/30f , E(t) = 300V ,
q(0) = 0C, y i(0) = 0A.
Respuesta:
21. Indicar la opción que contiene la solución a la ecuación diferencial:
y0 =
A
− xy = C + ln(4 x)
B
y
x
= C − 4 ln(x)
C
x
y
= C + 4 ln(x)
D
− y1 = C + 4 ln(x)
E
− u1 = C + 4 ln(x)
F
− xy = C + ln(x4 )
x y + 4 y2
x2
22. José Luis se va a someter a una cirugı́a por una lesión de futbol y debe ser anestesiado. El anestesiólogo sabe que para que
un paciente sea anestesiado, mediante Pentobarbital sódico, debe tener en su sangre dicha sustancia en una concentración
de al menos 50 miligramos por cada kilogramo de peso. Suponga que las sustancias quı́micas disminuyen su concentración
en la sangre en forma proporcional a la concentración de la sustancia y que en particular el Pentobarbital disminuye su
concentración a la mitad cada 10 horas. Si José Luis pesa 95 kilogramos y será anestesiado mediante una sola dósis, cuántos
miligramos de Pentobarbital se le deberá suministrar si se desea que el efecto dure 2 horas? Nota: Los datos del problema
son ficticios.
Respuesta:
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 5
5
23. Un recipiente cilı́ndrico se está vaciando por un orificio en la parte inferior. Si inicialmente el lı́quido estaba a una profundidad
de 16 metros y al cabo de 4 horas tenı́a una profundidad de 8 metros. Cuánto tiempo tardará en vaciarse?
A
13.6569 horas
B
20.4853 horas
C
4 horas adicionales
D
6. horas
24. En 1960 un artı́culo de New York Times anunció que Arqueólogos afirman que la civilización Sumeria ocupó el valle del
Tigris hace 5900 años . Asumiendo que los arqueólogos usaron la técnica del C-14. Determine el porcentaje del carbono
catorce encontrado en las muestras (con respecto al inicial). Use como dato que la vida media de C-14 es de 5600 años.
A
0.526786
B
0.361331
C
0.790179
D
0.481774
25. usando el caso I, Iindique la opción que contiene un paso intermedio en la solución a:
3
ln((y 0 ) ) y 00 = 7
A
3 z (−1 + ln(z)) = 7 x + C1
B
R
C
ln(z) = ( 23 ) 2 (7 x + C1 ) 2
D
3 (−z + z ln(z)) = 7 y + C1
z ln(z) dz =
1
7
3
y
1
Ecuaciones Diferenciales
Laboratorio Final
Maestro Eduardo Uresti, Verano 2010
Grupo:
Matrı́cula:
Nombre:
Tipo:6
1. Un cultivo tiene inicialmente una cantidad N0 de bacterias. Para t = 4 hrs el número de bacterias estimado es 67 N0 . Si la
rapidez de multiplicación de las bacterias es proporcional al número de bacterias presente, determine el tiempo en horas
(expresado en decimales) para que el número de bacterias se triplique.
A
28.5075
B
10.2857
C
14.2537
D
48.
2. Encuentre la máxima carga en el capacitor en un circuito serie LRC cuando L = 5/3h, R = 10Ω, C = 1/30f , E(t) = 300V ,
q(0) = 0C, y i(0) = 0A.
Respuesta:
3. Indique cuál de las siguientes opciones es la transformada de Laplace de
f (t) =
1
t sen(2 t)
4
A
F (s) =
s
(4+s2 )2
C
F (s) =
1
(4+s2 )2
B
F (s) =
1
(−4+s2 )2
D
F (s) =
s
(−4+s2 )2
4. Todos los dı́as la maestra Salinas toma una taza de café antes de su clase de 9:00 AM. Suponga que la temperatura del
café es de 200o F cuando lo sirve en su taza a las 8:30AM, quince minutos después el café se enfria hasta 110o F en un cuarto
que está a 66o F. Sin embargo, la maestra Salinas nunca beberá su café si no hasta que este se enfrie justo a 97o F. Cuántos
minutos después de servido tomará su café?
Respuesta:
5. En muchos estados de USA es ilegal manejar con un nivel de alcohol mayor que 0.10 por ciento (una parte de alcohol por 1000
partes de sangre). Suponga que alguien es detenido en alguno de esos estados y que se detecta que tiene un porcentaje de
alcohol en la sangre de 0.5 %. Si se asume que el porcentaje de alcohol en el torrente sanguı́neo decrece en forma proporcional
al porcentaje de alcohol, y que además la concentración de alcohol decrece 10 por ciento cada hora, determine cuánto tiempo
en horas debe pasar para que esa persona pueda conducir legalmente de nuevo. Nota: Los datos de este problema son
ficticios.
Respuesta:
6. Un recipiente contiene 70 galones de agua limpia inicialmente. Una solución es vertida en el interior del recipiente a un ritmo
de 6 galones por minuto. Esta solución tiene una concentración de 0.3 libras de sal por galón. A la vez que se vierte se extrae
solución del tanque a la misma velocidad. La solución extraida es entonces vertida en un nuevo recipiente que contiene
70 galones de agua limpia. Del cual a su vez también serán extraı́dos 6 galones de solución por minuto. Cuáles será la
concentración de sal (en libras por galón) en el segundo tanque 20 minutos despuúes de iniciado el proceso? Sugerencia.
Primero determine la fórmula que da la contidad de sal en el primer tanque función de t. A partir de ella obtenga la fórmula
que da la concentración de sal en el primer tanque. De ella determine la fórmula que da cantidad de sal que el primer tanque
vierte al segundo tanque en libras por minuto.
Respuesta:
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 6
2
7. Indicar la opción que contiene la solución a la ecuación diferencial:
y0 =
A
− y1 = C + 2 ln(x)
B
− xy = C + ln(x2 )
C
− u1 = C + 2 ln(x)
D
x
y
= C + 2 ln(x)
E
y
x
= C − 2 ln(x)
F
− xy = C + ln(2 x)
x y + 2 y2
x2
8. Use la transformada de Laplace para resolver la ecuación diferencial
36 y + y 00 = f (t)
con condiciones iniciales y(0) = 5 y y 0 (0) = 0 y donde

 0
=
1

0
f (t)
A
y(t) = 5 cos(6 t) +
1
36
(1 − cos(12 t)) Uπ (t) −
B
y(t) = 5 cos(6 t) +
1
18
(1 − cos(6 t)) Uπ (t) −
1
18
(1 − cos(6 t)) U2 π (t)
C
y(t) = 5 cos(6 t) +
1
36
(1 + cos(6 t)) Uπ (t) −
1
36
(1 + cos(6 t)) U2 π (t)
D
y(t) = 5 cos(6 t) +
1
36
(1 − cos(6 t)) Uπ (t) −
1
36
(1 − cos(6 t)) U2 π (t)
E
y(t) =
1
36
(1 − cos(6 t)) Uπ (t) −
1
36
(1 − cos(6 t)) U2 π (t)
5
6
sen(6 t) +
1
36
si 0 ≤ t < π
si π ≤ t < 2π
si 2π ≤ t
(1 − cos(12 t)) U2 π (t)
9. Indique cuál de las opciones es la solución general a :
49 y + y 00 = 2 cos(8 x) + 5 sen(8 x)
A
y = C1 cos(7 x) + C2 sen(7 x) +
1
15
(2 cos(8 x) + 5 sen(8 x))
B
y = C1 cos(7 x) + C2 sen(7 x) +
1
15
(−2 cos(8 x) + 5 sen(8 x))
C
y = C1 cos(7 x) +
D
y = C1 cos(7 x) + C2 sen(7 x) +
1
15
(−2 cos(7 x) − 5 sen(7 x)) + C2 sen(7 x)
1
15
(−2 cos(8 x) − 5 sen(8 x))
10. Un recipiente cilı́ndrico se está vaciando por un orificio en la parte inferior. Si inicialmente el lı́quido estaba a una profundidad
de 12 metros y al cabo de 10 horas se vacı́a. A qué horas pasó por la mitad de la profundidad?
Respuesta:
11. En 1960 un artı́culo de New York Times anunció que Arqueólogos afirman que la civilización Sumeria ocupó el valle del
Tigris hace 5800 años . Asumiendo que los arqueólogos usaron la técnica del C-14. Determine el porcentaje del carbono
catorce encontrado en las muestras (con respecto al inicial). Use como dato que la vida media de C-14 es de 5600 años.
A
0.365831
B
0.487774
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 6
C
0.776786
D
0.517857
3
12. Determine A, B, C y D para que
f (t) = eA t (B cos(C t) + D sen(C t))
sea la transformada inversa de la función:
F (s) =
s
82 + 2 s + s2
Respuesta:
13. Indique cuál de las opciones siguientes es la ecuación subsidiaria del problema con condiciones iniciales y(0) = 0 y y 0 (0) = 6
con ecuación:
42 y − 13 y 0 + y 00 = 6 e7 t
A
Y (s) =
36+6 s
(−7+s) (42−13 s+s2 )
B
Y (s) =
−36+6 s
(−7+s) (42+13 s+s2 )
C
Y (s) =
−36+6 s
(−7+s) (42−13 s+s2 )
D
Y (s) =
36+6 s
42−13 s+s2
14. Indique la opción que contiene la solución a la ecuación diferencial:
dy
= −e8 y + e(2 x+8 y)
dx
A
e8 y = C + 4 e2 x − 8 x
B
e−8 y = C − 4 e2 x + 8 x
C
y = C + 2 e2 x
D
e−8 y = C −
E
y =C+
F
e8 y = −8 + C + 4 e2 x
1
2
1
4
e2 x +
1
8
x
e2 x
15. Cuál de las siguientes opciones representa la transformada de Laplace de la función: (Sugerencia: use las definiciones de
las funciones de las funciones hiperbólicas mediante exponenciales)
f (t) = t cosh(7 t)
A
F (s) =
49+s2
(−49+s2 )2
B
F (s) =
49+s2
−49+s2
C
F (s) =
14 s
(−49+s2 )2
D
F (s) = (49 + s2 )
−1
16. Dado que y1 = e−4x y y2 = xe−4x son soluciones a la ED homogénea auxiliar asociada encuentre la solución general de
16 y + 8 y 0 + y 00 =
A
y = −x e−4 x + C1 e−4 x + x C2 e−4 x + x ln(x) e−4 x
1 −4 x
e
x
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 6
B
y = x e−4 x + C1 e−4 x + x C2 e−4 x − x ln(x) e−4 x
C
y = x + C1 e−4 x + x C2 e−4 x − ln(x)
D
y = −x + C1 e−4 x + x C2 e−4 x + ln(x)
4
17. Una cadena de 9 pies de largo yace extendida en una mesa. La cadena pesa en total 7 pounds y se supone que su peso
está uniformemente distribuido. Un extremo de un pie de longitud de cadena cuelga de la mesa y estira toda la cadena hacia
abajo. Despreciando la fricción, indique cuánto tiempo tardará en caer de la mesa. Sugerencia. Elija como variable incógnita
la longitud de la cadena que está fuera de la mesa, y = y(t). Para construir la ED use la segunda ley de Newton. La fuerza
aplicada a la cadena es 79 y. La aceleración es y 00 . Tome como condiciones iniciales y(0) = 1 y y 0 (0) = 0.
Respuesta:
18. Cuál de las siguientes opciones contiene la solución general a:
5
3 x y + 25 + x2 y 0 = x (25 + x2 )
3
A
y = C (25 + x2 ) 2 +
B
y = C (25 + x2 ) 2 −
C
1
y = − 13
(25 + x2 )
D
y=
3
C
3
(25+x2 ) 2
+
1
13
8
1
13
(25 + x2 )
1
13
(25 + x2 )
−5
8
3
+ C (25 + x2 ) 2
(25 + x2 )
5
19. Cuando un rayo de luz pasa através de una sustancia transparente, el grado con que la intensidad, I(h), disminuye es
proporcional a la misma intensidad I(h) donde h representa el espesor del medio. En el agua de mar, la intensidad a 1.6
metros bajo la superficie es de 60 por ciento de la intesidad inicial Io del rayo incidente. Cuál es la intensidad del rayo de
luz a 2.6 metros respecto a Io ? Reporta tu respuesta entre 0 y 1.
Respuesta:
20. Indique la opción que contiene la solución general a:
4 e(8+7 x) + 9 y dx + 5 e(3+6 y) + 9 x dy = 0
A
4
7
e(8+7 x) +
5
6
B
5
6
e(3+6 y) +
36
7
e(8+7 x) x y = C
C
4
7
e(8+7 x) +
15
2
e(3+6 y) x y = C
D
4
7
e(8+7 x) +
5
6
e(3+6 y) + 9 x y = C
e(3+6 y) + x + 9 y = C
21. En un circuito serie RC con C =
1
600 H,
R = 600Ω, y

 2
E(t) =
−2

0
para
para
para
0≤t<3
3≤t<6
6≤t
donde E(t) está en voltios. Encuentre la carga en coulumbs en el condensador en el tiempo t = 9 segundos. Tome q(0) = 0.0 C
Respuesta:
22. usando el caso I, Iindique la opción que contiene un paso intermedio en la solución a:
6
ln((y 0 ) ) y 00 = 3
A
R
z ln(z) dz =
1
2
y
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 6
B
6 (−z + z ln(z)) = 3 y + C1
C
ln(z) =
D
6 z (−1 + ln(z)) = 3 x + C1
5
1
(3 x+C1 ) 2
√
3
23. Un cuerpo con peso de 8 libras cuelga de un resorte con constante 1 lb/ft. El medio donde se mueve el cuerpo ofrece una
fuerza de resistencia al movimiento que es numéricamente igual a su velocidad instantánea. Si el peso es liberado 43 pies
por encima de su posición de equilibrio con una velocidad hacia abajo de 15 pies por segundo. Determine la velocidad en el
momento en el cual pasa por la posición de equilibrio.
Respuesta:
17
24. Se ha descubierto que una bola de naftalina que tenı́a originalmente un radio de 13
4 de pulgada, tiene una radio de 10 de
pulgada al cabo de un mes. Suponiendo que se evapore a un ı́ndice proporcional a su superficie, determine el tiempo necesario
en meses para que la bola desaparezca.
A
4.19355
B
2.09677
C
6.29032
D
12.5806
25. El número de individuos infectados A(t) en un tiempo t debe crecer a una razón que es aproximadamente proporcional al
producto A(t)(N − A(t)) donde N es el tamaño de la población. Si el tamaño de la población es de 800 individuos y si
inicialmente existen 60 individuos infectados y al cabo de 1 meses existen 120 individuos infectados. Cuántos habrá infectados
al cabo de 2 meses?
Respuesta:
Ecuaciones Diferenciales
Laboratorio Final
Maestro Eduardo Uresti, Verano 2010
Grupo:
Matrı́cula:
Nombre:
Tipo:7
1. Sabiendo que la solución a la correspondiente ecuación homogénea auxiliar es yh = c1 + c2 sec (3 x) determine una solución
particular por el método de variación de parámetros a la ED:
−3 (csc(3 x) sec(3 x) + tan(3 x)) y 0 + y 00 = tan(3 x)
1
3
x+
1
3
tan(3 x)
A
yp =
B
yp = − 13 x +
C
yp =
D
yp = − 13 x −
1
3
tan(3 x)
E
yp = − 13 x +
1
3
tan(3 x)
F
yp = x + tan(3 x)
1
3
x+
1
9
1
9
tan(3 x)
tan(3 x)
2. Un cuerpo con peso de 7 libras cuelga de un resorte con constante 78 lb/ft. El medio donde se mueve el cuerpo ofrece una
fuerza de resistencia al movimiento que es numéricamente igual a su velocidad instantánea. Si el peso es liberado 76 pies
por encima de su posición de equilibrio con una velocidad hacia abajo de 15 pies por segundo. Determine la velocidad en el
momento en el cual pasa por la posición de equilibrio.
Respuesta:
3. Seleccionar la opción que contiene la transformada de Laplace de
f (t) =
A
6+s
F (s) = ln( 3+s
)
B
s
F (s) = − 9+s
2 +
s
36+s2
− cos(3 t) + cos(6 t)
t
C
F (s) =
s
9+s2
D
F (s) =
1
2
+
s
36+s2
2
9+s
ln( 36+s
2)
4. Seleccionar la opción que contiene un paso intermedio para obtener la solución general de la ED:
cos(x)
y
+ y0 =
x
x
R
C+
A
y=
B
y=e
cos(x)
x
dx
x
R
1
x
R
C+
C
y=
D
y=e
R
1
x
dx
C+
R
e
R 1
dx
x
e
cos(x)
R 1x
dx
e x
dx
C+
R
1
x
dx
cos(x) dx
dx
cos(x)
R
e
R
1 dx
x
x
dx
5. Todos los dı́as la maestra Salinas toma una taza de café antes de su clase de 9:00 AM. Suponga que la temperatura del
café es de 200o F cuando lo sirve en su taza a las 8:30AM, quince minutos después el café se enfria hasta 120o F en un cuarto
que está a 72o F. Sin embargo, la maestra Salinas nunca beberá su café si no hasta que este se enfrie justo a 94o F. Cuántos
minutos después de servido tomará su café?
Respuesta:
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 7
2
6. Indique cuál de las opciones es la solución general a :
4 y + y 00 = 7 cos(8 x) + 2 sen(8 x)
A
y = C1 cos(2 x) + C2 sen(2 x) +
1
60
(−7 cos(8 x) − 2 sen(8 x))
B
y = C1 cos(2 x) + C2 sen(2 x) +
1
60
(7 cos(8 x) + 2 sen(8 x))
C
y = C1 cos(2 x) + C2 sen(2 x) +
1
60
(−7 cos(8 x) + 2 sen(8 x))
D
y = C1 cos(2 x) +
1
60
(−7 cos(2 x) − 2 sen(2 x)) + C2 sen(2 x)
7. Calcule el valor en x = 1 para la solución particular y(x) que cumple las condiciones iniciales y( 41 ) = 1 y y 0 ( 41 ) = 8 a la ED:
4 y0
y 00 = √
y
Respuesta:
8. Un recipiente cilı́ndrico se está vaciando por un orificio en la parte inferior. Si inicialmente el lı́quido estaba a una profundidad
de 16 metros y al cabo de 8 horas se vacı́a. A qué horas pasó por la mitad de la profundidad?
Respuesta:
9. Use la transformada de Laplace para resolver la ecuación diferencial
36 y + y 00 = f (t)
con condiciones iniciales y(0) = 7 y y 0 (0) = 0 y donde

 0
=
1

0
f (t)
A
y(t) =
sen(6 t) +
1
36
(1 − cos(6 t)) Uπ (t) −
B
y(t) = 7 cos(6 t) +
1
36
(1 − cos(12 t)) Uπ (t) −
C
y(t) = 7 cos(6 t) +
1
36
(1 + cos(6 t)) Uπ (t) −
1
36
(1 + cos(6 t)) U2 π (t)
D
y(t) = 7 cos(6 t) +
1
18
(1 − cos(6 t)) Uπ (t) −
1
18
(1 − cos(6 t)) U2 π (t)
E
y(t) = 7 cos(6 t) +
1
36
(1 − cos(6 t)) Uπ (t) −
1
36
(1 − cos(6 t)) U2 π (t)
7
6
1
36
si 0 ≤ t < π
si π ≤ t < 2π
si 2π ≤ t
(1 − cos(6 t)) U2 π (t)
1
36
(1 − cos(12 t)) U2 π (t)
10. Un recipiente contiene 60 galones de agua limpia inicialmente. Una solución es vertida en el interior del recipiente a un ritmo
de 4 galones por minuto. Esta solución tiene una concentración de 0.5 libras de sal por galón. A la vez que se vierte se extrae
solución del tanque a la misma velocidad. La solución extraida es entonces vertida en un nuevo recipiente que contiene
60 galones de agua limpia. Del cual a su vez también serán extraı́dos 4 galones de solución por minuto. Cuáles será la
concentración de sal (en libras por galón) en el segundo tanque 40 minutos despuúes de iniciado el proceso? Sugerencia.
Primero determine la fórmula que da la contidad de sal en el primer tanque función de t. A partir de ella obtenga la fórmula
que da la concentración de sal en el primer tanque. De ella determine la fórmula que da cantidad de sal que el primer tanque
vierte al segundo tanque en libras por minuto.
Respuesta:
11. Indique cuál de las opciones siguientes es la ecuación subsidiaria del problema con condiciones iniciales y(0) = 0 y y 0 (0) = 8
con ecuación:
56 y − 15 y 0 + y 00 = 8 e7 t
A
Y (s) =
−48+8 s
(−7+s) (56−15 s+s2 )
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 7
B
Y (s) =
−48+8 s
(−7+s) (56+15 s+s2 )
C
Y (s) =
48+8 s
56−15 s+s2
D
Y (s) =
48+8 s
(−7+s) (56−15 s+s2 )
3
12. Cuál de las siguientes opciones representa la transformada de Laplace de la función: (Sugerencia: use las definiciones de
las funciones de las funciones hiperbólicas mediante exponenciales)
f (t) = t cosh(9 t)
−1
A
F (s) = (81 + s2 )
B
F (s) =
81+s2
−81+s2
C
F (s) =
81+s2
(−81+s2 )2
D
F (s) =
18 s
(−81+s2 )2
13. Indique cuál de las siguientes opciones representa la transformada inversa de la función:
F (s) =
1
2
sen(2 t)) e−t
A
f (t) = (cos(2 t) −
B
f (t) = cos(2 t) − sen(2 t)
s
5 + 2 s + s2
C
f (t) = (cos(2 t) − sen(2 t)) e−t
D
f (t) = cos(2 t) −
1
2
sen(2 t)
14. En 1960 un artı́culo de New York Times anunció que Arqueólogos afirman que la civilización Sumeria ocupó el valle del
Tigris hace 5350 años . Asumiendo que los arqueólogos usaron la técnica del C-14. Determine el porcentaje del carbono
catorce encontrado en las muestras (con respecto al inicial). Use como dato que la vida media de C-14 es de 5600 años.
A
0.386785
B
0.515714
C
0.716518
D
0.477679
15. El número de individuos infectados A(t) en un tiempo t debe crecer a una razón que es aproximadamente proporcional al
producto A(t)(N − A(t)) donde N es el tamaño de la población. Si el tamaño de la población es de 600 individuos y si
inicialmente existen 60 individuos infectados y al cabo de 1 meses existen 120 individuos infectados. Cuántos habrá infectados
al cabo de 2 meses?
Respuesta:
16. Indique la opción que contiene la solución que satisface y(0) = 0 para la ecuación:
2 x + 3 y + (3 x + 2 y) y 0 = 0
A
x3 + x y + y 3 = 0
B
x2 + 2 x y + y 2 = 0
C
x3 + y 3 = 0
D
x3 + 3 x y + y 3 = 0
E
x2 + x y + y 2 = 0
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 7
F
x2 + y 2 = 0
G
x2 + 3 x y + y 2 = 0
H
x3 + 2 x y + y 3 = 0
4
19
17. Se ha descubierto que una bola de naftalina que tenı́a originalmente un radio de 15
14 de pulgada, tiene una radio de 20 de
pulgada al cabo de un mes. Suponiendo que se evapore a un ı́ndice proporcional a su superficie, determine el tiempo necesario
en meses para que la bola desaparezca.
A
26.4706
B
8.82353
C
17.6471
D
52.9412
18. Encuentre la máxima carga en el capacitor en un circuito serie LRC cuando L = 5/3h, R = 10Ω, C = 1/30f , E(t) = 300V ,
q(0) = 0C, y i(0) = 0A.
Respuesta:
19. En muchos estados de USA es ilegal manejar con un nivel de alcohol mayor que 0.10 por ciento (una parte de alcohol por 1000
partes de sangre). Suponga que alguien es detenido en alguno de esos estados y que se detecta que tiene un porcentaje de
alcohol en la sangre de 0.9 %. Si se asume que el porcentaje de alcohol en el torrente sanguı́neo decrece en forma proporcional
al porcentaje de alcohol, y que además la concentración de alcohol decrece 10 por ciento cada hora, determine cuánto tiempo
en horas debe pasar para que esa persona pueda conducir legalmente de nuevo. Nota: Los datos de este problema son
ficticios.
Respuesta:
20. Utilizando la sustitución y = u x2 resuelva la EDO:
y 0 = 5 x3 + 2
A
y = C + 5 x2
B
y = C x2 + 5 x4
C
y = 5 x2 + C x4
D
y = C + 5 x3
E
y = C x2 +
5
2
y
x
x4
21. En un circuito serie RC con C =
1
500 H,
R = 500Ω, y

 2
E(t) =
−2

0
para
para
para
0≤t<4
4≤t<8
8≤t
donde E(t) está en voltios. Encuentre la carga en coulumbs en el condensador en el tiempo t = 12 segundos. Tome q(0) = 0.0 C
Respuesta:
22. Una cadena de 9 pies de largo yace extendida en una mesa. La cadena pesa en total 18 pounds y se supone que su peso
está uniformemente distribuido. Un extremo de un pie de longitud de cadena cuelga de la mesa y estira toda la cadena hacia
abajo. Despreciando la fricción, indique cuánto tiempo tardará en caer de la mesa. Sugerencia. Elija como variable incógnita
la longitud de la cadena que está fuera de la mesa, y = y(t). Para construir la ED use la segunda ley de Newton. La fuerza
aplicada a la cadena es 2 y. La aceleración es y 00 . Tome como condiciones iniciales y(0) = 1 y y 0 (0) = 0.
Respuesta:
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 7
5
23. Cuando un rayo de luz pasa através de una sustancia transparente, el grado con que la intensidad, I(h), disminuye es
proporcional a la misma intensidad I(h) donde h representa el espesor del medio. En el agua de mar, la intensidad a 1.1
metros bajo la superficie es de 30 por ciento de la intesidad inicial Io del rayo incidente. A qué profundidad en metros la
intensidad es 40 por ciento de Io ?
Respuesta:
24. Determine el valor de y(1) siendo y(x) la función solución que satisface y(0) = 1 a la ecuación diferencial:
r
dy
x
= 8
dx
y
Respuesta:
25. Un cultivo tiene inicialmente una cantidad N0 de bacterias. Para t = 1 hr el número de bacterias estimado es 32 N0 . Si la
rapidez de multiplicación de las bacterias es proporcional al número de bacterias presente, determine el tiempo en horas
(expresado en decimales) para que el número de bacterias se sextuplique.
A
10.
B
4.41902
C
2.20951
D
4.
Ecuaciones Diferenciales
Laboratorio Final
Maestro Eduardo Uresti, Verano 2010
Grupo:
Matrı́cula:
Nombre:
Tipo:8
1. Indique cuál de las opciones siguientes es la ecuación subsidiaria del problema con condición inicial y(0) = 7 y ED:
7 y + y 0 = t cos(8 t) + sen(8 t) e6 t
7+
A
Y (s) =
B
Y (s) =
C
Y (s) =
D
Y (s) =
2 s2
(64+s2 )2
−(64+s2 )
−1
8
+ 100−12
s+s2
−1
−6+s
+ 100−12
s+s2
7+s
7+
2 s2
(64+s2 )2
−(64+s2 )
7+s
7+
16 s
(64+s2 )2
8
+ 100−12
s+s2
7+s
7+
2 s2
(64+s2 )2
−(64+s2 )
−1
8
+ 100+12
s+s2
7+s
2. Indique la opción que contiene la solución que satisface y(0) = 0 para la ecuación:
2 x + 3 y + (3 x + 2 y) y 0 = 0
A
x3 + 3 x y + y 3 = 0
B
x2 + x y + y 2 = 0
C
x3 + 2 x y + y 3 = 0
D
x3 + y 3 = 0
E
x2 + 2 x y + y 2 = 0
F
x2 + 3 x y + y 2 = 0
G
x3 + x y + y 3 = 0
H
x2 + y 2 = 0
11
3. Se ha descubierto que una bola de naftalina que tenı́a originalmente un radio de 14
de pulgada, tiene una radio de 12 de
pulgada al cabo de un mes. Suponiendo que se evapore a un ı́ndice proporcional a su superficie, determine el tiempo necesario
en meses para que la bola desaparezca.
A
5.5
B
2.75
C
16.5
D
8.25
4. Un trozo de madera de una viga de una casa construida en Babilonia durante el reinado de Hamurabi contenı́a el 66 por
ciento del carbono 14 radiactivo que contiene un fragmento del mismo tipo de madera en un árbol vivo. Estime la antiguedad
de la construcción, sabiendo que la vida media del carbono 14 es de aproximadamente 5600 años.
Respuesta:
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 8
2
5. Una cadena de 4 pies de largo yace extendida en una mesa. La cadena pesa en total 2 pounds y se supone que su peso
está uniformemente distribuido. Un extremo de un pie de longitud de cadena cuelga de la mesa y estira toda la cadena hacia
abajo. Despreciando la fricción, indique cuánto tiempo tardará en caer de la mesa. Sugerencia. Elija como variable incógnita
la longitud de la cadena que está fuera de la mesa, y = y(t). Para construir la ED use la segunda ley de Newton. La fuerza
aplicada a la cadena es 21 y. La aceleración es y 00 . Tome como condiciones iniciales y(0) = 1 y y 0 (0) = 0.
Respuesta:
6. En muchos estados de USA es ilegal manejar con un nivel de alcohol mayor que 0.10 por ciento (una parte de alcohol por 1000
partes de sangre). Suponga que alguien es detenido en alguno de esos estados y que se detecta que tiene un porcentaje de
alcohol en la sangre de 0.9 %. Si se asume que el porcentaje de alcohol en el torrente sanguı́neo decrece en forma proporcional
al porcentaje de alcohol, y que además la concentración de alcohol decrece 10 por ciento cada hora, determine cuánto tiempo
en horas debe pasar para que esa persona pueda conducir legalmente de nuevo. Nota: Los datos de este problema son
ficticios.
Respuesta:
7. Sabiendo que la solución a la correspondiente ecuación homogénea auxiliar es yh = c1 x + c2 e6 x determine una solución
particular a la ED:
36 y
36 x y 0
−
+
+ y 00 = 1 − 6 x
1 − 6x 1 − 6x
1
36
1
6
x + x2
A
yp =
B
yp = 1 + 6 x + 36 x2
C
yp = 1 − 6 x + x2
D
yp = 1 + 6 x − x2
E
1
yp = − 36
−
F
yp = 36 + 6 x + x2
+
1
6
x + x2
8. La cantidad de ratones en cierta zona de Asia crece con una rapidez proporcional a la raı́z cuarta de la cantidad de ratones
en cada momento. Si inicialmente se cuentan 400 ratones y al cabo de un año son 1200 . Cuántos habrá al cabo de 2 años?
A
3600
B
1925.84
C
2400
D
2173.53
9. Seleccionar la opción que contiene la transformada de Laplace de
f (t) =
A
F (s) =
s
9+s2
B
F (s) =
1
2
+
s
16+s2
2
9+s
ln( 16+s
2)
− cos(3 t) + cos(4 t)
t
C
s
F (s) = − 9+s
2 +
D
4+s
F (s) = ln( 3+s
)
s
16+s2
10. El número de individuos infectados A(t) en un tiempo t debe crecer a una razón que es aproximadamente proporcional al
producto A(t)(N − A(t)) donde N es el tamaño de la población. Si el tamaño de la población es de 400 individuos y si
inicialmente existen 20 individuos infectados y al cabo de 1 meses existen 40 individuos infectados. Cuántos habrá infectados
al cabo de 2 meses?
Respuesta:
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 8
3
11. Un recipiente cilı́ndrico se está vaciando por un orificio en la parte inferior. Si inicialmente el lı́quido estaba a una profundidad
de 4 metros y al cabo de 4 horas se vacı́a. A qué horas pasó por la mitad de la profundidad?
Respuesta:
12. Seleccionar la opción que contiene un paso intermedio para obtener la solución general de la ED:
y
cos(x)
+ y0 =
x
x
A
y=
R
C+
cos(x)
x
dx
x
R
C+
R 1
dx
x
e
cos(x)
R 1x
dx
e x
B
y=
C
y=e
R
1
x
dx
C+
R
D
y=e
R
1
x
dx
C+
R
dx
e
1
x
R
dx
cos(x)
e
R
1 dx
x
x
cos(x) dx
dx
13. Encuentre la máxima carga en el capacitor en un circuito serie LRC cuando L = 5/3h, R = 10Ω, C = 1/30f , E(t) = 300V ,
q(0) = 0C, y i(0) = 0A.
Respuesta:
14. Indique la opción que contiene la solución a la ecuación diferencial:
dy
= −e6 y + e(3 x+6 y)
dx
A
e6 y = −6 + C + 2 e3 x
B
e−6 y = C −
C
e−6 y = C − 2 e3 x + 6 x
D
y =C+
E
e6 y = C + 2 e3 x − 6 x
F
y = C + 3 e3 x
1
3
1
2
e3 x +
1
6
x
e3 x
15. Cuál de las siguientes opciones representa la transformada de Laplace de la función: (Sugerencia: use las definiciones de
las funciones de las funciones hiperbólicas mediante exponenciales)
f (t) = t cosh(4 t)
A
F (s) =
16+s2
(−16+s2 )2
B
F (s) =
16+s2
−16+s2
C
F (s) =
8s
(−16+s2 )2
D
F (s) = (16 + s2 )
−1
16. Use la transformada de Laplace para resolver la ecuación diferencial
36 y + y 00 = f (t)
con condiciones iniciales y(0) = 4 y y 0 (0) = 0 y donde
f (t)

 0
=
1

0
si 0 ≤ t < π
si π ≤ t < 2π
si 2π ≤ t
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 8
4
A
y(t) = 4 cos(6 t) +
1
36
(1 − cos(6 t)) Uπ (t) −
1
36
(1 − cos(6 t)) U2 π (t)
B
y(t) = 4 cos(6 t) +
1
36
(1 + cos(6 t)) Uπ (t) −
1
36
(1 + cos(6 t)) U2 π (t)
C
y(t) =
sen(6 t) +
1
36
(1 − cos(6 t)) Uπ (t) −
1
36
(1 − cos(6 t)) U2 π (t)
D
y(t) = 4 cos(6 t) +
1
36
(1 − cos(12 t)) Uπ (t) −
E
y(t) = 4 cos(6 t) +
1
18
(1 − cos(6 t)) Uπ (t) −
2
3
1
36
1
18
(1 − cos(12 t)) U2 π (t)
(1 − cos(6 t)) U2 π (t)
17. Determine los valores de A, B y C para que
y = (C1 + C2 x) eA x + B eC x
sea la solución general a :
4 y − 4 y 0 + y 00 = ex
Respuesta:
18. Indique cuál de las siguientes opciones representa la transformada inversa de la función:
F (s) =
1
6
s
37 + 2 s + s2
sen(6 t)) e−t
A
f (t) = (cos(6 t) −
B
f (t) = (cos(6 t) − sen(6 t)) e−t
1
6
C
f (t) = cos(6 t) −
D
f (t) = cos(6 t) − sen(6 t)
sen(6 t)
19. Un termómero se saca de una habitación donde la temperatura del aire es 60o F , al exterior en donde la temperatura del
aire es 14o F. Después de 76 partes de minuto el termómetro marca 53o F cuántos minutos tiempo demorará el termómetro
en alcanzar los 20o F?. Suponga que la rapidez con la que la temperatura T (t) cambia es proporcional a la diferencia entre
la temperatura del termómetro y la temperatura constante To del medio que lo rodea.
A
10.5761
B
2.93446
C
20.5412
D
74.0327
20. Resuelva la siguiente ED con condiciones iniciales y(0) = 3 y y 0 (0) = 1 reduciéndola en orden
2
(y 0 ) = 3 y y 00
1
A
y = 3 e3 x
B
y 4 = 81 +
C
y 3 = 33 +
D
y 3 = 33 +
4x
1
33
2
2
2
3
2
2
2 x
3 3 13
x
21. Un cuerpo con peso de 5 libras cuelga de un resorte con constante 85 lb/ft. El medio donde se mueve el cuerpo ofrece una
fuerza de resistencia al movimiento que es numéricamente igual a su velocidad instantánea. Si el peso es liberado 56 pies
por encima de su posición de equilibrio con una velocidad hacia abajo de 12 pies por segundo. Determine la velocidad en el
momento en el cual pasa por la posición de equilibrio.
Respuesta:
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 8
5
22. Inicialmente 3 kilogramos de sal están disueltos en un tanque de 150 litros de agua, y entonces una solución, también de sal
y con una concentración de 0.01 kilogramos por litro, es vertida al interior del tanque a un ritmo de 3 litros por minuto. La
solución dentro del tanque se mantiene homogénea y se drena a la misma velocidad a la cual se vierte manteniendo constante
el volumen total del lı́quido. Determine la concentración de sal en el interior del recipiente al cabo de 20 minutos.
Respuesta:
23. Cuando un rayo de luz pasa através de una sustancia transparente, el grado con que la intensidad, I(h), disminuye es
proporcional a la misma intensidad I(h) donde h representa el espesor del medio. En el agua de mar, la intensidad a 1.8
metros bajo la superficie es de 40 por ciento de la intesidad inicial Io del rayo incidente. Cuál es la intensidad del rayo de
luz a 2.8 metros respecto a Io ? Reporta tu respuesta entre 0 y 1.
Respuesta:
24. Indicar la opción que contiene la solución a la ecuación diferencial:
y0 =
A
1
− y2
= C − 6 ln(x)
B
x2
y2
= C − 12 ln(x)
C
x2
y2
= C + 6 ln(x)
D
− xy2 = C + 6 ln(x)
E
y 2 = x2 (C − 12 ln(x))
x2 y + 6 y 3
x3
2
25. En un circuito serie RC con C =
3
200 H,
R = 100Ω, y

 3
E(t) =
−3

0
para
para
para
0≤t<2
2≤t<4
4≤t
donde E(t) está en voltios. Encuentre la carga en coulumbs en el condensador en el tiempo t = 6 segundos. Tome q(0) = 0.0 C
Respuesta:
Ecuaciones Diferenciales
Laboratorio Final
Maestro Eduardo Uresti, Verano 2010
Grupo:
Matrı́cula:
Nombre:
Tipo:9
1. Un cultivo de Escherichia coli crece a una velocidad proporcional a su tamaño. Un investigador ha determinado que cada
hora el cultivo crece en un 2 por ciento y que hay 150 organismos inicialmente. Cuántos organismos habrá al cabo de 3
horas?
Respuesta:
2. Indique cuál de las opciones siguientes es la ecuación subsidiaria del problema con condiciones iniciales y(0) = 0 y y 0 (0) = 5
con ecuación:
30 y − 11 y 0 + y 00 = 5 e6 t
A
Y (s) =
−25+5 s
(−6+s) (30−11 s+s2 )
B
Y (s) =
25+5 s
30−11 s+s2
C
Y (s) =
25+5 s
(−6+s) (30−11 s+s2 )
D
Y (s) =
−25+5 s
(−6+s) (30+11 s+s2 )
3. Encuentre la máxima carga en el capacitor en un circuito serie LRC cuando L = 5/3h, R = 10Ω, C = 1/30f , E(t) = 300V ,
q(0) = 0C, y i(0) = 0A.
Respuesta:
4. usando el caso I, Iindique la opción que contiene un paso intermedio en la solución a:
2
ln((y 0 ) ) y 00 = 5
A
2 z (−1 + ln(z)) = 5 x + C1
B
R
C
ln(z) = (5 x + C1 ) 2
D
2 (−z + z ln(z)) = 5 y + C1
z ln(z) dz =
5
2
y
1
5. José Luis se va a someter a una cirugı́a por una lesión de futbol y debe ser anestesiado. El anestesiólogo sabe que para que
un paciente sea anestesiado, mediante Pentobarbital sódico, debe tener en su sangre dicha sustancia en una concentración
de al menos 50 miligramos por cada kilogramo de peso. Suponga que las sustancias quı́micas disminuyen su concentración
en la sangre en forma proporcional a la concentración de la sustancia y que en particular el Pentobarbital disminuye su
concentración a la mitad cada 10 horas. Si José Luis pesa 80 kilogramos y será anestesiado mediante una sola dósis, cuántos
miligramos de Pentobarbital se le deberá suministrar si se desea que el efecto dure 4 horas? Nota: Los datos del problema
son ficticios.
Respuesta:
6. Indicar la opción que contiene la solución a la ecuación diferencial:
y0 =
A
− xy = C + ln(2 x)
B
− y1 = C + 2 ln(x)
C
− u1 = C + 2 ln(x)
x y + 2 y2
x2
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 9
D
x
y
E
− xy = C + ln(x2 )
F
y
x
2
= C + 2 ln(x)
= C − 2 ln(x)
7. Cuando un rayo de luz pasa através de una sustancia transparente, el grado con que la intensidad, I(h), disminuye es
proporcional a la misma intensidad I(h) donde h representa el espesor del medio. En el agua de mar, la intensidad a 1.4
metros bajo la superficie es de 30 por ciento de la intesidad inicial Io del rayo incidente. A qué profundidad en metros la
intensidad es 40 por ciento de Io ?
Respuesta:
8. En un circuito serie RC con C =
1
80 H,
R = 200Ω, y

 2
E(t) =
−2

0
para
para
para
0≤t<4
4≤t<8
8≤t
donde E(t) está en voltios. Encuentre la carga en coulumbs en el condensador en el tiempo t = 12 segundos. Tome q(0) = 0.0 C
Respuesta:
9. Determine A, B, C, D y E (B > D) para que
f (t) = A eB t + C eD t + E
sea la transformada inversa de la función:
F (s) =
−8
−4 s + s3
Respuesta:
10. Indique cuál de las opciones es la solución general a :
81 y + y 00 = 6 cos(8 x) + 9 sen(8 x)
1
17
A
y = C1 cos(9 x) + C2 sen(9 x) +
(6 cos(9 x) + 9 sen(9 x))
B
y = C1 cos(9 x) +
1
17
(6 cos(8 x) + 9 sen(8 x)) + C2 sen(9 x)
C
y = C1 cos(9 x) +
1
17
(−6 cos(8 x) − 9 sen(8 x)) + C2 sen(9 x)
D
y = C1 cos(9 x) +
1
17
(6 cos(8 x) − 9 sen(8 x)) + C2 sen(9 x)
11. Un cuerpo con peso de 5 libras cuelga de un resorte con constante 85 lb/ft. El medio donde se mueve el cuerpo ofrece una
fuerza de resistencia al movimiento que es numéricamente igual a su velocidad instantánea. Si el peso es liberado 56 pies
por encima de su posición de equilibrio con una velocidad hacia abajo de 12 pies por segundo. Determine la velocidad en el
momento en el cual pasa por la posición de equilibrio.
Respuesta:
12. Cuál de las siguientes opciones representa la transformada de Laplace de la función: (Sugerencia: use las definiciones de
las funciones de las funciones hiperbólicas mediante exponenciales)
f (t) = t cosh(3 t)
−1
A
F (s) = (9 + s2 )
B
F (s) =
9+s2
(−9+s2 )2
C
F (s) =
9+s2
−9+s2
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 9
D
F (s) =
3
6s
(−9+s2 )2
13. El profesor Uresti siempre toma una taza de café antes de su clase de 9:00 AM. Suponga que la temperatura del café es de
200o F cuando lo sirve en su taza a las 8:30AM, quince minutos después el café se enfria hasta 130o F en un cuarto que está a
75o F. Sin embargo, el profesor Uresti nunca beberá su café si no hasta que este se enfrie justo a 97o F. Cuándo el profesor
tomará su café? Reporte la hora en decimales, por ejemplo 1 hora 30 nimutos en decimales quedarı́a 1.5 horas.
Respuesta:
14. En 1964, cientı́ficos soviéticos hicieron un nuevo elemento, mediante el bombardeo de átomos de plutonio, el cual tenı́a
número atómico 104. La vida media de este elemento llamado E104 es de 0.15 segundos. Si es producido a un ritmo de
55 × 10−5 microgramos por segundo y bajo el supuesto que no habı́a presente tal material , Cuántos microgramos habrı́a al
cabo de 30 segundos?
Respuesta:
15. Una cadena de 5 pies de largo yace extendida en una mesa. La cadena pesa en total 10 pounds y se supone que su peso
está uniformemente distribuido. Un extremo de un pie de longitud de cadena cuelga de la mesa y estira toda la cadena hacia
abajo. Despreciando la fricción, indique a qué velocidad cae cuando deja de estar en la mesa. Sugerencia. Elija como variable
incógnita la longitud de la cadena que está fuera de la mesa, y = y(t). Para construir la ED use la segunda ley de Newton.
La fuerza aplicada a la cadena es 2 y. La aceleración es y 00 . Utiliza que la aceleración también puede ser expresada como
a = v dv/dy. de manera que quede una ecuación diferencial de primer orden en con variable dependiente v e independiente
y. Tome como condición inicial v(y = 1) = 0.
Respuesta:
1
16. Se ha descubierto que un cubo de naftalina que tenı́a originalmente un lado de 34 de pulgada, tiene un lado de 10
de pulgada
al cabo de un mes. Suponiendo que se evapore a un ı́ndice proporcional a su superficie, determine el tiempo necesario en
meses para que el cubo desaparezca.
A
6.92308
B
1.15385
C
3.46154
D
0.576923
17. El número de individuos infectados A(t) en un tiempo t debe crecer a una razón que es aproximadamente proporcional al
producto A(t)(N − A(t)) donde N es el tamaño de la población. Si el tamaño de la población es de 700 individuos y si
inicialmente existen 20 individuos infectados y al cabo de 1 meses existen 40 individuos infectados. Cuántos habrá infectados
al cabo de 2 meses?
Respuesta:
18. Inicialmente, un gran tanque con una capacidad de 150 galones contiene 75 galones de agua limpia. Una solución de sal con
una concentración de 2 lb/gal fluye hacia el tanque a una razón de 30 gal/min. La solución es perfectamente bien mezclada
mientras se extrae solución a un ritmo de 15gal/min. Encuentre: 1) la cantidad de sal en el tanque en el momento que se
llena (en libras). 2) La velocidad a la cual está saliendo sal en ese instante (en libras por minuto). 3) La cantidad de sal
que ha salido del tanque desde el inicio y hasta ese momento (en libras).
Respuesta:
19. Indique la opción que contiene la solución general a:
5 e(6+2 x) + 4 y dx + 7 e(3+9 y) + 4 x dy = 0
A
5
2
e(6+2 x) +
7
9
B
7
9
e(3+9 y) + 10 e(6+2 x) x y = C
C
5
2
e(6+2 x) +
7
9
e(3+9 y) + x + 4 y = C
e(3+9 y) + 4 x y = C
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 9
D
5
2
28
9
e(6+2 x) +
4
e(3+9 y) x y = C
20. Use la transformada de Laplace para resolver la ecuación diferencial
16 y + y 00 = f (t)
con condiciones iniciales y(0) = 2 y y 0 (0) = 0 y donde

 0
=
1

0
f (t)
si 0 ≤ t < π
si π ≤ t < 2π
si 2π ≤ t
A
y(t) = 2 cos(4 t) +
1
16
(1 + cos(4 t)) Uπ (t) −
1
16
(1 + cos(4 t)) U2 π (t)
B
y(t) = 2 cos(4 t) +
1
16
(1 − cos(8 t)) Uπ (t) −
1
16
(1 − cos(8 t)) U2 π (t)
C
y(t) = 2 cos(4 t) +
1
8
D
y(t) =
sen(4 t) +
1
16
(1 − cos(4 t)) Uπ (t) −
1
16
(1 − cos(4 t)) U2 π (t)
E
y(t) = 2 cos(4 t) +
1
16
(1 − cos(4 t)) Uπ (t) −
1
16
(1 − cos(4 t)) U2 π (t)
1
2
(1 − cos(4 t)) Uπ (t) −
1
8
(1 − cos(4 t)) U2 π (t)
21. Seleccionar la opción que contiene un paso intermedio para obtener la solución general de la ED:
y
cos(x)
+ y0 =
x
x
A
y=
R
C+
cos(x)
x
dx
x
R
C+
R 1
dx
x
e
cos(x)
R 1x
dx
x
e
B
y=
C
y=e
R
1
x
dx
C+
R
D
y=e
R
1
x
dx
C+
R
22. Dado que y1 = e
−5x
dx
e
1
x
R
dx
cos(x)
e
R
1 dx
x
y y2 = xe
x
cos(x) dx
dx
−5x
son soluciones a la ED homogénea auxiliar asociada encuentre la solución general de
25 y + 10 y 0 + y 00 =
A
y = x + C1 e−5 x + x C2 e−5 x − ln(x)
B
y = −x e−5 x + C1 e−5 x + x C2 e−5 x + x ln(x) e−5 x
C
y = x e−5 x + C1 e−5 x + x C2 e−5 x − x ln(x) e−5 x
D
y = −x + C1 e−5 x + x C2 e−5 x + ln(x)
1 −5 x
e
x
23. Indique la opción que contiene la solución a la ecuación diferencial:
dy
= −e9 y + e(3 x+9 y)
dx
A
e9 y = C + 3 e3 x − 9 x
B
e−9 y = C − 3 e3 x + 9 x
C
y = C + 3 e3 x
D
e−9 y = C −
1
3
e3 x +
1
9
x
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 9
E
e9 y = −9 + C + 3 e3 x
F
y =C+
1
3
5
e3 x
24. Seleccionar la opción que contiene la transformada de Laplace de
f (t) =
A
4+s
F (s) = ln( 7+s
)
B
F (s) =
s
16+s2
+
s
49+s2
cos(4 t) − cos(7 t)
t
C
F (s) =
s
16+s2
D
F (s) =
1
2
−
s
49+s2
2
ln( 49+s
16+s2 )
25. Un recipiente cilı́ndrico se está vaciando por un orificio en la parte inferior. Si inicialmente el lı́quido estaba a una profundidad
de 16 metros y al cabo de 2 horas se vacı́a. A qué horas pasó por la mitad de la profundidad?
Respuesta:
Ecuaciones Diferenciales
Laboratorio Final
Maestro Eduardo Uresti, Verano 2010
Grupo:
Matrı́cula:
Nombre:
Tipo:10
1. El profesor Uresti siempre toma una taza de café antes de su clase de 9:00 AM. Suponga que la temperatura del café es de
200o F cuando lo sirve en su taza a las 8:30AM, quince minutos después el café se enfria hasta 110o F en un cuarto que está a
71o F. Sin embargo, el profesor Uresti nunca beberá su café si no hasta que este se enfrie justo a 94o F. Cuándo el profesor
tomará su café? Reporte la hora en decimales, por ejemplo 1 hora 30 nimutos en decimales quedarı́a 1.5 horas.
Respuesta:
2. Una cadena de 4 pies de largo yace extendida en una mesa. La cadena pesa en total 14 pounds y se supone que su peso
está uniformemente distribuido. Un extremo de un pie de longitud de cadena cuelga de la mesa y estira toda la cadena hacia
abajo. Despreciando la fricción, indique a qué velocidad cae cuando deja de estar en la mesa. Sugerencia. Elija como variable
incógnita la longitud de la cadena que está fuera de la mesa, y = y(t). Para construir la ED use la segunda ley de Newton.
La fuerza aplicada a la cadena es 27 y. La aceleración es y 00 . Utiliza que la aceleración también puede ser expresada como
a = v dv/dy. de manera que quede una ecuación diferencial de primer orden en con variable dependiente v e independiente
y. Tome como condición inicial v(y = 1) = 0.
Respuesta:
3. Un recipiente cilı́ndrico se está vaciando por un orificio en la parte inferior. Si inicialmente el lı́quido estaba a una profundidad
de 16 metros y al cabo de 8 horas se vacı́a. A qué horas pasó por la mitad de la profundidad?
Respuesta:
4. Use la transformada de Laplace para resolver la ecuación diferencial
36 y + y 00 = f (t)
con condiciones iniciales y(0) = 8 y y 0 (0) = 0 y donde

 0
=
1

0
f (t)
si 0 ≤ t < π
si π ≤ t < 2π
si 2π ≤ t
1
18
(1 − cos(6 t)) Uπ (t) −
1
18
(1 − cos(6 t)) U2 π (t)
sen(6 t) +
1
36
(1 − cos(6 t)) Uπ (t) −
1
36
(1 − cos(6 t)) U2 π (t)
C
y(t) = 8 cos(6 t) +
1
36
(1 − cos(12 t)) Uπ (t) −
D
y(t) = 8 cos(6 t) +
1
36
(1 + cos(6 t)) Uπ (t) −
1
36
(1 + cos(6 t)) U2 π (t)
E
y(t) = 8 cos(6 t) +
1
36
(1 − cos(6 t)) Uπ (t) −
1
36
(1 − cos(6 t)) U2 π (t)
A
y(t) = 8 cos(6 t) +
B
y(t) =
4
3
1
36
(1 − cos(12 t)) U2 π (t)
5. Cuál de las siguientes opciones representa la transformada de Laplace de la función: (Sugerencia: use las definiciones de
las funciones de las funciones hiperbólicas mediante exponenciales)
f (t) = t cosh(8 t)
64+s2
−64+s2
A
F (s) =
B
F (s) = (64 + s2 )
C
F (s) =
64+s2
(−64+s2 )2
D
F (s) =
16 s
(−64+s2 )2
−1
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 10
2
6. Indique cuál de las opciones siguientes es la ecuación subsidiaria del problema con condición inicial y(0) = 7 y ED:
7 y + y 0 = t cos(8 t) + sen(8 t) e5 t
7+
A
B
Y (s) =
Y (s) =
C
Y (s) =
D
Y (s) =
2 s2
(64+s2 )2
−(64+s2 )
−1
−5+s
+ 89−10
s+s2
−1
+ 89−108 s+s2
−1
+ 89+108 s+s2
7+s
2
7+ 2 s 2 2
(64+s )
−(64+s2 )
7+s
2
7+ 2 s 2 2
(64+s )
−(64+s2 )
7+s
7+
16 s
(64+s2 )2
+ 89−108 s+s2
7+s
7. Determine los valores de A, B y C para que
y = (C1 + C2 x) eA x + B eC x
sea la solución general a :
49 y − 14 y 0 + y 00 = ex
Respuesta:
8. Indique cuál de las siguientes opciones es la transformada de Laplace de
f (t) =
1
t sen(5 t)
10
A
F (s) =
s
(−25+s2 )2
C
F (s) =
s
(25+s2 )2
B
F (s) =
1
(25+s2 )2
D
F (s) =
1
(−25+s2 )2
9. Un cuerpo con peso de 4 libras cuelga de un resorte con constante 2 lb/ft. El medio donde se mueve el cuerpo ofrece una
fuerza de resistencia al movimiento que es numéricamente igual a su velocidad instantánea. Si el peso es liberado 23 pies
por encima de su posición de equilibrio con una velocidad hacia abajo de 15 pies por segundo. Determine la velocidad en el
momento en el cual pasa por la posición de equilibrio.
Respuesta:
10. José Luis se va a someter a una cirugı́a por una lesión de futbol y debe ser anestesiado. El anestesiólogo sabe que para que
un paciente sea anestesiado, mediante Pentobarbital sódico, debe tener en su sangre dicha sustancia en una concentración
de al menos 50 miligramos por cada kilogramo de peso. Suponga que las sustancias quı́micas disminuyen su concentración
en la sangre en forma proporcional a la concentración de la sustancia y que en particular el Pentobarbital disminuye su
concentración a la mitad cada 10 horas. Si José Luis pesa 85 kilogramos y será anestesiado mediante una sola dósis, cuántos
miligramos de Pentobarbital se le deberá suministrar si se desea que el efecto dure 2 horas? Nota: Los datos del problema
son ficticios.
Respuesta:
11. En un circuito serie RC con C =
1
120 H,
R = 300Ω, y

 2
E(t) =
−2

0
para
para
para
0≤t<5
5 ≤ t < 10
10 ≤ t
donde E(t) está en voltios. Encuentre la carga en coulumbs en el condensador en el tiempo t = 15 segundos. Tome q(0) = 0.0 C
Respuesta:
12. La cantidad de zebras en cierta zona de Africa crece con una rapidez proporcional a la raı́z cúbica de la cantidad de zebras
en cada momento. Si inicialmente se cuentan 100 zebras y al cabo de un año son 300 . Cuántos habrá al cabo de 2 años?
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 10
A
900
B
497.35
C
600
D
561.779
3
17
13. Se ha descubierto que un cubo de naftalina que tenı́a originalmente un lado de 15
4 de pulgada, tiene un lado de 16 de pulgada
al cabo de un mes. Suponiendo que se evapore a un ı́ndice proporcional a su superficie, determine el tiempo necesario en
meses para que el cubo desaparezca.
A
1.39535
B
8.37209
C
0.697674
D
4.18605
14. usando el caso I, Iindique la opción que contiene un paso intermedio en la solución a:
3
ln((y 0 ) ) y 00 = 2
1
1
A
ln(z) = ( 23 ) 2 (2 x + C1 ) 2
B
3 (−z + z ln(z)) = 2 y + C1
C
3 z (−1 + ln(z)) = 2 x + C1
D
R
z ln(z) dz =
2
3
y
15. Determine A, B, C y D para que
f (t) = eA t (B cos(C t) + D sen(C t))
sea la transformada inversa de la función:
F (s) =
s
10 + 2 s + s2
Respuesta:
16. Seleccionar la opción que contiene un paso intermedio para obtener la solución general de la ED:
cos(x)
y
+ y0 =
x
x
A
y=e
y=
C
y=e
y=
1
x
R
C+
B
D
R
R
1
x
R
C+
dx
C+
R
e
R 1
dx
x
e
cos(x)
R 1x
dx
e x
dx
C+
cos(x)
x
R
1
x
dx
cos(x) dx
dx
cos(x)
R
e
R
1 dx
x
x
dx
dx
x
17. Cuando un rayo de luz pasa através de una sustancia transparente, el grado con que la intensidad, I(h), disminuye es
proporcional a la misma intensidad I(h) donde h representa el espesor del medio. En el agua de mar, la intensidad a 1.3
metros bajo la superficie es de 50 por ciento de la intesidad inicial Io del rayo incidente. A qué profundidad en metros la
intensidad es 60 por ciento de Io ?
Respuesta:
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 10
4
18. Indique la opción que contiene la solución general a:
5 e(6+6 x) + 8 y dx + 3 e(5+5 y) + 8 x dy = 0
A
5
6
e(6+6 x) +
24
5
B
5
6
e(6+6 x) +
3
5
C
3
5
e(5+5 y) +
20
3
D
5
6
e(6+6 x) +
3
5
e(5+5 y) x y = C
e(5+5 y) + 8 x y = C
e(6+6 x) x y = C
e(5+5 y) + x + 8 y = C
19. El número de individuos infectados A(t) en un tiempo t debe crecer a una razón que es aproximadamente proporcional al
producto A(t)(N − A(t)) donde N es el tamaño de la población. Si el tamaño de la población es de 500 individuos y si
inicialmente existen 40 individuos infectados y al cabo de 1 meses existen 80 individuos infectados. Cuántos habrá infectados
al cabo de 2 meses?
Respuesta:
20. En 1960 un artı́culo de New York Times anunció que Arqueólogos afirman que la civilización Sumeria ocupó el valle del
Tigris hace 5900 años . Asumiendo que los arqueólogos usaron la técnica del C-14. Determine el porcentaje del carbono
catorce encontrado en las muestras (con respecto al inicial). Use como dato que la vida media de C-14 es de 5600 años.
A
0.481774
B
0.361331
C
0.526786
D
0.790179
21. Sabiendo que la solución a la correspondiente ecuación homogénea auxiliar es yh = c1 + c2 sec (2 x) determine una solución
particular por el método de variación de parámetros a la ED:
−2 (csc(2 x) sec(2 x) + tan(2 x)) y 0 + y 00 = tan(2 x)
A
yp =
1
2
x+
1
2
tan(2 x)
B
yp =
1
2
x+
1
4
tan(2 x)
C
yp = − 12 x +
D
yp = x + tan(2 x)
E
yp = − 12 x −
1
2
tan(2 x)
F
yp = − 12 x +
1
2
tan(2 x)
1
4
tan(2 x)
22. Encuentre la máxima carga en el capacitor en un circuito serie LRC cuando L = 5/3h, R = 10Ω, C = 1/30f , E(t) = 300V ,
q(0) = 0C, y i(0) = 0A.
Respuesta:
23. Indicar la opción que contiene la solución a la ecuación diferencial:
y0 =
A
x2
y2
B
− xy2 = C + 6 ln(x)
= C − 12 ln(x)
2
x2 y + 6 y 3
x3
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 10
C
x2
y2
D
y 2 = x2 (C − 12 ln(x))
E
1
− y2
= C − 6 ln(x)
5
= C + 6 ln(x)
24. Determine el valor de y(1) siendo y(x) la función solución que satisface y(0) = 1 a la ecuación diferencial:
r
dy
x
= 4
dx
y
Respuesta:
25. Un tanque inicialmente tiene 120 galones de agua limpia, pero una solución de sal de concentración desconocida se vierte a
un ritmo de 5 galones por minuto. Si a la vez que se vierte se extrae solución a la misma velocidad y si al cabo de 20 minutos
la concentración en el tanque fue de 0.4 libras de sal por galón, determine la concentración de la solución vertida (en libras
por galón).
Respuesta:
Ecuaciones Diferenciales
Laboratorio Final
Maestro Eduardo Uresti, Verano 2010
Grupo:
Matrı́cula:
Nombre:
Tipo:11
11
1. Se ha descubierto que una bola de naftalina que tenı́a originalmente un radio de 13
18 de pulgada, tiene una radio de 20 de
pulgada al cabo de un mes. Suponiendo que se evapore a un ı́ndice proporcional a su superficie, determine el tiempo necesario
en meses para que la bola desaparezca.
A
25.1613
B
8.3871
C
12.5806
D
4.19355
2. Determine A, B, C y D para que
f (t) = eA t (B cos(C t) + D sen(C t))
sea la transformada inversa de la función:
F (s) =
s
5 + 2 s + s2
Respuesta:
3. Cuál de las siguientes opciones representa la transformada de Laplace de la función: (Sugerencia: use las definiciones de
las funciones de las funciones hiperbólicas mediante exponenciales)
f (t) = t cosh(6 t)
A
F (s) =
12 s
(−36+s2 )2
B
F (s) =
36+s2
−36+s2
C
F (s) = (36 + s2 )
D
F (s) =
−1
36+s2
(−36+s2 )2
4. Al sacar un pastel del horno su temperatura es 303o F, 5 minutos después su temperatura es de 200o F. Si la rapidez con
que la temperatura T (t) cambia es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y la temperatura constante
To = 67o F del medio que lo rodea, cuántos minutos demorará el pastel en enfriarse hasta una temperatura de 96o F?
A
18.279
B
10.0485
C
3.4428
D
20.0971
5. Un cuerpo con peso de 7 libras cuelga de un resorte con constante 78 lb/ft. El medio donde se mueve el cuerpo ofrece una
fuerza de resistencia al movimiento que es numéricamente igual a su velocidad instantánea. Si el peso es liberado 76 pies
por encima de su posición de equilibrio con una velocidad hacia abajo de 12 pies por segundo. Determine la velocidad en el
momento en el cual pasa por la posición de equilibrio.
Respuesta:
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 11
2
6. Indique cuál de las siguientes opciones es la transformada de Laplace de
f (t) =
1
t sen(2 t)
4
A
F (s) =
s
(−4+s2 )2
C
F (s) =
1
(−4+s2 )2
B
F (s) =
1
(4+s2 )2
D
F (s) =
s
(4+s2 )2
7. Encuentre la máxima carga en el capacitor en un circuito serie LRC cuando L = 5/3h, R = 10Ω, C = 1/30f , E(t) = 300V ,
q(0) = 0C, y i(0) = 0A.
Respuesta:
8. Un recipiente cilı́ndrico se está vaciando por un orificio en la parte inferior. Si inicialmente el lı́quido estaba a una profundidad
de 16 metros y al cabo de 2 horas tenı́a una profundidad de 8 metros. Cuánto tiempo tardará en vaciarse?
A
2 horas adicionales
B
6.82843 horas
C
10.2426 horas
D
3. horas
9. Indique la opción que contiene la solución que satisface y(0) = 0 para la ecuación:
2 x + 3 y + (3 x + 2 y) y 0 = 0
A
x3 + x y + y 3 = 0
B
x2 + 2 x y + y 2 = 0
C
x3 + 2 x y + y 3 = 0
D
x2 + y 2 = 0
E
x3 + 3 x y + y 3 = 0
F
x2 + x y + y 2 = 0
G
x3 + y 3 = 0
H
x2 + 3 x y + y 2 = 0
10. Use la transformada de Laplace para resolver la ecuación diferencial
36 y + y 00 = f (t)
con condiciones iniciales y(0) = 7 y y 0 (0) = 0 y donde

 0
=
1

0
f (t)
A
y(t) = 7 cos(6 t) +
1
36
(1 − cos(12 t)) Uπ (t) −
B
y(t) = 7 cos(6 t) +
1
36
(1 − cos(6 t)) Uπ (t) −
1
36
(1 − cos(6 t)) U2 π (t)
C
y(t) =
1
36
(1 − cos(6 t)) Uπ (t) −
1
36
(1 − cos(6 t)) U2 π (t)
7
6
sen(6 t) +
1
36
si 0 ≤ t < π
si π ≤ t < 2π
si 2π ≤ t
(1 − cos(12 t)) U2 π (t)
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 11
3
D
y(t) = 7 cos(6 t) +
1
18
(1 − cos(6 t)) Uπ (t) −
1
18
(1 − cos(6 t)) U2 π (t)
E
y(t) = 7 cos(6 t) +
1
36
(1 + cos(6 t)) Uπ (t) −
1
36
(1 + cos(6 t)) U2 π (t)
11. Indique cuál de las opciones siguientes es la ecuación subsidiaria del problema con condición inicial y(0) = 8 y ED:
7 y + y 0 = t cos(4 t) + sen(4 t) e5 t
8+
A
Y (s) =
B
Y (s) =
C
Y (s) =
D
Y (s) =
2 s2
(16+s2 )2
−(16+s2 )
−1
−5+s
+ 41−10
s+s2
7+s
8+
+ 41−104 s+s2
8s
(16+s2 )2
7+s
8+
2 s2
(16+s2 )2
−(16+s2 )
−1
+ 41+104 s+s2
−1
+ 41−104 s+s2
7+s
8+
2 s2
(16+s2 )2
−(16+s2 )
7+s
12. Sabiendo que la solución a la correspondiente ecuación homogénea auxiliar es yh = c1 x + c2 e2 x determine una solución
particular a la ED:
4y
4 x y0
−
+
+ y 00 = 1 − 2 x
1 − 2x 1 − 2x
A
yp = 4 + 2 x + x2
B
yp = − 14 −
C
yp =
D
yp = 1 − 2 x + x2
E
yp = 1 + 2 x − x2
F
yp = 1 + 2 x + 4 x2
1
4
+
1
2
1
2
x + x2
x + x2
13. El número de individuos infectados A(t) en un tiempo t debe crecer a una razón que es aproximadamente proporcional al
producto A(t)(N − A(t)) donde N es el tamaño de la población. Si el tamaño de la población es de 500 individuos y si
inicialmente existen 40 individuos infectados y al cabo de 1 meses existen 80 individuos infectados. Cuántos habrá infectados
al cabo de 2 meses?
Respuesta:
14. Cuando un rayo de luz pasa através de una sustancia transparente, el grado con que la intensidad, I(h), disminuye es
proporcional a la misma intensidad I(h) donde h representa el espesor del medio. En el agua de mar, la intensidad a 1.6
metros bajo la superficie es de 20 por ciento de la intesidad inicial Io del rayo incidente. A qué profundidad en metros la
intensidad es 30 por ciento de Io ?
Respuesta:
15. Cuál de las siguientes opciones contiene la solución general a:
6
6 x y + 64 + x2 y 0 = 6 x (64 + x2 )
3
A
y = C (64 + x2 ) +
B
y=
C
y = C (64 + x2 ) −
D
y = − 13 (64 + x2 )
C
(64+x2 )3
+
1
3
1
3
12
(64 + x2 )
(64 + x2 )
3
−6
1
3
6
12
(64 + x2 )
+ C (64 + x2 )
3
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 11
4
16. En muchos estados de USA es ilegal manejar con un nivel de alcohol mayor que 0.10 por ciento (una parte de alcohol por 1000
partes de sangre). Suponga que alguien es detenido en alguno de esos estados y que se detecta que tiene un porcentaje de
alcohol en la sangre de 0.5 %. Si se asume que el porcentaje de alcohol en el torrente sanguı́neo decrece en forma proporcional
al porcentaje de alcohol, y que además la concentración de alcohol decrece 10 por ciento cada hora, determine cuánto tiempo
en horas debe pasar para que esa persona pueda conducir legalmente de nuevo. Nota: Los datos de este problema son
ficticios.
Respuesta:
17. Inicialmente, un gran tanque con una capacidad de 150 galones contiene 75 galones de agua limpia. Una solución de sal con
una concentración de 2 lb/gal fluye hacia el tanque a una razón de 20 gal/min. La solución es perfectamente bien mezclada
mientras se extrae solución a un ritmo de 10gal/min. Encuentre: 1) la cantidad de sal en el tanque en el momento que se
llena (en libras). 2) La velocidad a la cual está saliendo sal en ese instante (en libras por minuto). 3) La cantidad de sal
que ha salido del tanque desde el inicio y hasta ese momento (en libras).
Respuesta:
18. En un circuito serie RC con C =
1
200 H,
R = 300Ω, y

 4
E(t) =
−4

0
para
para
para
0≤t<2
2≤t<4
4≤t
donde E(t) está en voltios. Encuentre la carga en coulumbs en el condensador en el tiempo t = 6 segundos. Tome q(0) = 0.0 C
Respuesta:
19. Se sabe que la población de cierta comunidad aumenta, en un instante t cualquiera, con una rapidez proporcional al número
de personas presentes en dicho instante. Si la población se duplica en 3 años, cuántos años demorará en septuplicarse?
A
20.3824
B
8.42206
C
15.75
D
10.5
20. Una cadena de 6 pies de largo yace extendida en una mesa. La cadena pesa en total 8 pounds y se supone que su peso
está uniformemente distribuido. Un extremo de un pie de longitud de cadena cuelga de la mesa y estira toda la cadena hacia
abajo. Despreciando la fricción, indique a qué velocidad cae cuando deja de estar en la mesa. Sugerencia. Elija como variable
incógnita la longitud de la cadena que está fuera de la mesa, y = y(t). Para construir la ED use la segunda ley de Newton.
La fuerza aplicada a la cadena es 34 y. La aceleración es y 00 . Utiliza que la aceleración también puede ser expresada como
a = v dv/dy. de manera que quede una ecuación diferencial de primer orden en con variable dependiente v e independiente
y. Tome como condición inicial v(y = 1) = 0.
Respuesta:
21. Calcule el valor en x = 1 para la solución particular y(x) que cumple las condiciones iniciales y( 15 ) = 1 y y 0 ( 15 ) = 10 a la ED:
5 y0
y 00 = √
y
Respuesta:
22. Una fragmento de la pata de la silla de la tumba Tutankhamón contenı́a el 69 por ciento del carbono 14 radiactivo que
contiene un fragmento del mismo tipo de madera en un árbol vivo. Estime la edad de la tumba en años, sabiendo que la
vida media del carbono 14 es de aproximadamente 5600 años.
Respuesta:
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 11
5
23. Indique la opción que contiene la solución a la ecuación diferencial:
dy
= −e2 y + e(6 x+2 y)
dx
1
3
A
e2 y = C +
B
y =C+
C
e2 y = −2 + C +
D
y = C + 6 e6 x
E
e−2 y = C −
F
e−2 y = C − 3 e6 x +
1
6
e6 x − 2 x
e6 x
1
3
1
3
e6 x
e6 x + 2 x
1
2
x
24. Indicar la opción que contiene la solución a la ecuación diferencial:
y0 =
A
y
x
B
− u1 = C + 4 ln(x)
C
− xy = C + ln(4 x)
D
− xy = C + ln(x4 )
E
− y1 = C + 4 ln(x)
F
x
y
x y + 4 y2
x2
= C − 4 ln(x)
= C + 4 ln(x)
25. Determine los valores de A, B, C y D para que
y 00 + A y 0 + B y = C x + D
tenga como solución general:
y = −2 + x + C1 e4 x + C2 e−x
Respuesta:
Ecuaciones Diferenciales
Laboratorio Final
Maestro Eduardo Uresti, Verano 2010
Grupo:
Matrı́cula:
Nombre:
Tipo:12
1. En muchos estados de USA es ilegal manejar con un nivel de alcohol mayor que 0.10 por ciento (una parte de alcohol por 1000
partes de sangre). Suponga que alguien es detenido en alguno de esos estados y que se detecta que tiene un porcentaje de
alcohol en la sangre de 0.9 %. Si se asume que el porcentaje de alcohol en el torrente sanguı́neo decrece en forma proporcional
al porcentaje de alcohol, y que además la concentración de alcohol decrece 10 por ciento cada hora, determine cuánto tiempo
en horas debe pasar para que esa persona pueda conducir legalmente de nuevo. Nota: Los datos de este problema son
ficticios.
Respuesta:
2. Indique cuál de las opciones siguientes es la ecuación subsidiaria del problema con condiciones iniciales y(0) = 0 y y 0 (0) = 5
con ecuación:
30 y − 11 y 0 + y 00 = 5 e6 t
A
Y (s) =
25+5 s
(−6+s) (30−11 s+s2 )
B
Y (s) =
25+5 s
30−11 s+s2
C
Y (s) =
−25+5 s
(−6+s) (30+11 s+s2 )
D
Y (s) =
−25+5 s
(−6+s) (30−11 s+s2 )
3. Determine A, B, C y D para que
f (t) = eA t (B cos(C t) + D sen(C t))
sea la transformada inversa de la función:
F (s) =
s
10 + 2 s + s2
Respuesta:
4. En la investigación de un asesinato, un cuerpo sin vida fue encontrado por Gil Grissom exactamente a las 8:00 PM, estando
alerta, él midió la temperatura del cuerpo registrándola en los 31o C. Dos horas mas tarde, él anotó que la temperatura del
cuerpo era de 24o C. Sabiendo que la temperatura de la habitación fue de 17o C, determine la hora a la cual el asesinato
ocurrió. Considere que la temperatura corporal normal es de 37o C. Reporte la hora en decimales. Por ejemplo, 1 hora 30
nimutos en decimales quedarı́a 1.5 horas.
Respuesta:
5. Indicar la opción que contiene la solución a la ecuación diferencial:
y0 =
2
A
− xy2 = C + 3 ln(x)
B
x2
y2
C
y 2 = x2 (C − 6 ln(x))
D
x2
y2
E
1
− y2
= C − 3 ln(x)
= C + 3 ln(x)
= C − 6 ln(x)
x2 y + 3 y 3
x3
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 12
2
6. Cuál de las siguientes opciones representa la transformada de Laplace de la función: (Sugerencia: use las definiciones de
las funciones de las funciones hiperbólicas mediante exponenciales)
f (t) = t cosh(2 t)
−1
A
F (s) = (4 + s2 )
B
F (s) =
4s
(−4+s2 )2
C
F (s) =
4+s2
−4+s2
D
F (s) =
4+s2
(−4+s2 )2
7. Un trozo de madera de una viga de una casa construida en Babilonia durante el reinado de Hamurabi contenı́a el 54 por
ciento del carbono 14 radiactivo que contiene un fragmento del mismo tipo de madera en un árbol vivo. Estime la antiguedad
de la construcción, sabiendo que la vida media del carbono 14 es de aproximadamente 5600 años.
Respuesta:
8. Un cuerpo con peso de 10 libras cuelga de un resorte con constante 45 lb/ft. El medio donde se mueve el cuerpo ofrece una
fuerza de resistencia al movimiento que es numéricamente igual a su velocidad instantánea. Si el peso es liberado 53 pies
por encima de su posición de equilibrio con una velocidad hacia abajo de 18 pies por segundo. Determine la velocidad en el
momento en el cual pasa por la posición de equilibrio.
Respuesta:
9. Resuelva la siguiente ED con condiciones iniciales y(0) = 4 y y 0 (0) = 1 reduciéndola en orden
2
(y 0 ) = 4 y y 00
√
3
A
y4 = 2
B
y 5 = 1024 +
C
y4 = 2
D
y = 4 e4 x
√
3
2+
3 √
x
4
2
5x
√
2
2+
3
4
x
1
10. Cuando un rayo de luz pasa através de una sustancia transparente, el grado con que la intensidad, I(h), disminuye es
proporcional a la misma intensidad I(h) donde h representa el espesor del medio. En el agua de mar, la intensidad a 1.6
metros bajo la superficie es de 40 por ciento de la intesidad inicial Io del rayo incidente. Cuál es la intensidad del rayo de
luz a 2.6 metros respecto a Io ? Reporta tu respuesta entre 0 y 1.
Respuesta:
11. Indique la opción que contiene la solución a la ecuación diferencial:
dy
= −e7 y + e(9 x+7 y)
dx
A
y = C + 9 e9 x
B
y =C+
C
e−7 y = C −
D
e7 y = −7 + C +
E
e−7 y = C −
F
e7 y = C +
1
9
e9 x
7
9
9
7
7
9
e9 x +
7
9
1
7
x
e9 x
e9 x + 7 x
e9 x − 7 x
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 12
3
12. Seleccionar la opción que contiene la transformada de Laplace de
f (t) =
s
4+s2
−
A
F (s) =
B
2+s
F (s) = ln( 7+s
)
cos(2 t) − cos(7 t)
t
s
49+s2
C
F (s) =
1
2
D
F (s) =
s
4+s2
2
ln( 49+s
4+s2 )
+
s
49+s2
13. Use la transformada de Laplace para resolver la ecuación diferencial
16 y + y 00 = f (t)
con condiciones iniciales y(0) = 6 y y 0 (0) = 0 y donde

 0
=
1

0
f (t)
A
y(t) = 6 cos(4 t) +
1
8
B
y(t) = 6 cos(4 t) +
1
16
(1 − cos(4 t)) Uπ (t) −
1
16
(1 − cos(4 t)) U2 π (t)
C
y(t) =
sen(4 t) +
1
16
(1 − cos(4 t)) Uπ (t) −
1
16
(1 − cos(4 t)) U2 π (t)
D
y(t) = 6 cos(4 t) +
1
16
(1 − cos(8 t)) Uπ (t) −
1
16
(1 − cos(8 t)) U2 π (t)
E
y(t) = 6 cos(4 t) +
1
16
(1 + cos(4 t)) Uπ (t) −
1
16
(1 + cos(4 t)) U2 π (t)
3
2
(1 − cos(4 t)) Uπ (t) −
1
8
si 0 ≤ t < π
si π ≤ t < 2π
si 2π ≤ t
(1 − cos(4 t)) U2 π (t)
14. Un recipiente cilı́ndrico se está vaciando por un orificio en la parte inferior. Si inicialmente el lı́quido estaba a una profundidad
de 12 metros y al cabo de 10 horas tenı́a una profundidad de 6 metros. Cuánto tiempo tardará en vaciarse?
A
15. horas
B
51.2132 horas
C
10 horas adicionales
D
34.1421 horas
15. En un circuito serie RC con C =
1
300 H,
R = 300Ω, y

 4
E(t) =
−4

0
para
para
para
0≤t<2
2≤t<4
4≤t
donde E(t) está en voltios. Encuentre la carga en coulumbs en el condensador en el tiempo t = 6 segundos. Tome q(0) = 0.0 C
Respuesta:
16. Un recipiente contiene 50 galones de agua limpia inicialmente. Una solución es vertida en el interior del recipiente a un ritmo
de 4 galones por minuto. Esta solución tiene una concentración de 0.5 libras de sal por galón. A la vez que se vierte se extrae
solución del tanque a la misma velocidad. La solución extraida es entonces vertida en un nuevo recipiente que contiene
50 galones de agua limpia. Del cual a su vez también serán extraı́dos 4 galones de solución por minuto. Cuáles será la
concentración de sal (en libras por galón) en el segundo tanque 50 minutos despuúes de iniciado el proceso? Sugerencia.
Primero determine la fórmula que da la contidad de sal en el primer tanque función de t. A partir de ella obtenga la fórmula
que da la concentración de sal en el primer tanque. De ella determine la fórmula que da cantidad de sal que el primer tanque
vierte al segundo tanque en libras por minuto.
Respuesta:
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 12
4
17. El número de individuos infectados A(t) en un tiempo t debe crecer a una razón que es aproximadamente proporcional al
producto A(t)(N − A(t)) donde N es el tamaño de la población. Si el tamaño de la población es de 900 individuos y si
inicialmente existen 50 individuos infectados y al cabo de 1 meses existen 100 individuos infectados. Cuántos habrá infectados
al cabo de 2 meses?
Respuesta:
18. Un cultivo de Escherichia coli crece a una velocidad proporcional a su tamaño. Un investigador ha determinado que cada
hora el cultivo crece en un 2 por ciento y que hay 150 organismos inicialmente. Cuántos organismos habrá al cabo de 4
horas?
Respuesta:
19. Determine los valores de A, B y C para que
y = (C1 + C2 x) eA x + B eC x
sea la solución general a :
36 y − 12 y 0 + y 00 = ex
Respuesta:
20. Sabiendo que la solución a la correspondiente ecuación homogénea auxiliar es yh = c1 x + c2 e4 x determine una solución
particular a la ED:
16 y
16 x y 0
−
+
+ y 00 = 1 − 4 x
1 − 4x 1 − 4x
A
yp = 1 + 4 x − x2
B
1
yp = − 16
−
C
yp = 1 − 4 x + x2
D
yp =
E
yp = 1 + 4 x + 16 x2
F
yp = 16 + 4 x + x2
1
16
+
1
4
1
4
x + x2
x + x2
21. Una cadena de 6 pies de largo yace extendida en una mesa. La cadena pesa en total 7 pounds y se supone que su peso
está uniformemente distribuido. Un extremo de un pie de longitud de cadena cuelga de la mesa y estira toda la cadena hacia
abajo. Despreciando la fricción, indique a qué velocidad cae cuando deja de estar en la mesa. Sugerencia. Elija como variable
incógnita la longitud de la cadena que está fuera de la mesa, y = y(t). Para construir la ED use la segunda ley de Newton.
La fuerza aplicada a la cadena es 67 y. La aceleración es y 00 . Utiliza que la aceleración también puede ser expresada como
a = v dv/dy. de manera que quede una ecuación diferencial de primer orden en con variable dependiente v e independiente
y. Tome como condición inicial v(y = 1) = 0.
Respuesta:
22. Indique la opción que contiene la solución que satisface y(0) = 0 para la ecuación:
2 x + 3 y + (3 x + 2 y) y 0 = 0
A
x2 + 3 x y + y 2 = 0
B
x2 + y 2 = 0
C
x2 + x y + y 2 = 0
D
x3 + 3 x y + y 3 = 0
E
x3 + 2 x y + y 3 = 0
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 12
F
x3 + y 3 = 0
G
x2 + 2 x y + y 2 = 0
H
x3 + x y + y 3 = 0
5
7
23. Se ha descubierto que una bola de naftalina que tenı́a originalmente un radio de 13
4 de pulgada, tiene una radio de 12 de
pulgada al cabo de un mes. Suponiendo que se evapore a un ı́ndice proporcional a su superficie, determine el tiempo necesario
en meses para que la bola desaparezca.
A
1.21875
B
7.3125
C
2.4375
D
3.65625
24. Cuál de las siguientes opciones contiene la solución general a:
7
8 x y + 25 + x2 y 0 = 8 x (25 + x2 )
−7
A
4
y = − 11
(25 + x2 )
B
y = C (25 + x2 ) +
C
y = C (25 + x2 ) −
D
y=
C
(25+x2 )4
+
4
+ C (25 + x2 )
4
4
11
(25 + x2 )
15
4
4
11
(25 + x2 )
15
4
11
(25 + x2 )
7
25. Encuentre la máxima carga en el capacitor en un circuito serie LRC cuando L = 5/3h, R = 10Ω, C = 1/30f , E(t) = 300V ,
q(0) = 0C, y i(0) = 0A.
Respuesta:
Ecuaciones Diferenciales
Laboratorio Final
Maestro Eduardo Uresti, Verano 2010
Grupo:
Matrı́cula:
Nombre:
Tipo:13
1. Una rama de ciprés que se encontró en la tumba de un Faraón Egipcio contenı́a el 70 por ciento del carbono 14 radiactivo
que contiene una rama de ciprés vivo. Estime la edad de la tumba en años, sabiendo que la vida media del carbono 14 es de
aproximadamente 5600 años.
Respuesta:
2. Cuando un rayo de luz pasa através de una sustancia transparente, el grado con que la intensidad, I(h), disminuye es
proporcional a la misma intensidad I(h) donde h representa el espesor del medio. En el agua de mar, la intensidad a 1.6
metros bajo la superficie es de 50 por ciento de la intesidad inicial Io del rayo incidente. Cuál es la intensidad del rayo de
luz a 2.6 metros respecto a Io ? Reporta tu respuesta entre 0 y 1.
Respuesta:
3. Un termómero se saca de una habitación, en donde la temperatura del aire es de 61o F, al exterior en donde la temperatura
es 18o F. Después de 13 segundos, el termómetro marca 45o F. Cuánto marca el termómetro 33 segundos de haber salido?
Suponga que la rapidez con la que la temperatura T (t) cambia es proporcional a la diferencia entre la temperatura del
termómetro y la temperatura constante To del medio que lo rodea.
Respuesta:
4. La cantidad de bacterias de un cultivo crece, en un instante cualquiera, con una rapidez proporcional al número de ellas en
dicho instante. Si después de 3 horas se observa que se tienen 100 bacterias, y que al cabo de 7 horas hay 800. Cúal es el
número inicial aproximado de bacterias?
A
5.2556
B
21.0224
C
42.0448
D
10.5112
5. Un cuerpo con peso de 4 libras cuelga de un resorte con constante 2 lb/ft. El medio donde se mueve el cuerpo ofrece una
fuerza de resistencia al movimiento que es numéricamente igual a su velocidad instantánea. Si el peso es liberado 23 pies
por encima de su posición de equilibrio con una velocidad hacia abajo de 9 pies por segundo. Determine la velocidad en el
momento en el cual pasa por la posición de equilibrio.
Respuesta:
6. En un circuito serie RC con C =
1
200 H,
R = 400Ω, y

 2
E(t) =
−2

0
para
para
para
0≤t<4
4≤t<8
8≤t
donde E(t) está en voltios. Encuentre la carga en coulumbs en el condensador en el tiempo t = 12 segundos. Tome q(0) = 0.0 C
Respuesta:
13
7. Se ha descubierto que una bola de naftalina que tenı́a originalmente un radio de 19
4 de pulgada, tiene una radio de 16 de
pulgada al cabo de un mes. Suponiendo que se evapore a un ı́ndice proporcional a su superficie, determine el tiempo necesario
en meses para que la bola desaparezca.
A
7.2381
B
1.20635
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 13
C
2.4127
D
3.61905
2
8. Resuelva la siguiente ED con condiciones iniciales y(0) = 3 y y 0 (0) = 1 reduciéndola en orden
2
(y 0 ) = 3 y y 00
2
2
2
3
2
2
2 x
3 3 13
A
y 3 = 33 +
B
y 3 = 33 +
C
y 4 = 81 +
D
y = 3 e3 x
x
4x
1
33
1
9. Cuál de las siguientes opciones contiene la solución general a:
8
2 x y + 36 + x2 y 0 = x (36 + x2 )
A
y = C 36 + x2 +
B
y=
C
1
y = − 18
(36 + x2 )
D
y = C 36 + x2 −
C
36+x2
+
1
18
1
18
10
(36 + x2 )
(36 + x2 )
−8
8
+ C 36 + x2
1
18
10
(36 + x2 )
10. Encuentre la máxima carga en el capacitor en un circuito serie LRC cuando L = 5/3h, R = 10Ω, C = 1/30f , E(t) = 300V ,
q(0) = 0C, y i(0) = 0A.
Respuesta:
11. Cuál de las siguientes opciones representa la transformada de Laplace de la función: (Sugerencia: use las definiciones de
las funciones de las funciones hiperbólicas mediante exponenciales)
f (t) = t cosh(7 t)
A
F (s) =
49+s2
−49+s2
B
F (s) =
14 s
(−49+s2 )2
C
F (s) =
49+s2
(−49+s2 )2
D
F (s) = (49 + s2 )
−1
12. Use la transformada de Laplace para resolver la ecuación diferencial
100 y + y 00 = f (t)
con condiciones iniciales y(0) = 2 y y 0 (0) = 0 y donde

 0
=
1

0
f (t)
A
y(t) = 2 cos(10 t) +
1
50
B
y(t) = 2 cos(10 t) +
1
100
(1 + cos(10 t)) Uπ (t) −
1
100
(1 + cos(10 t)) U2 π (t)
C
y(t) =
1
100
(1 − cos(10 t)) Uπ (t) −
1
100
(1 − cos(10 t)) U2 π (t)
1
5
sen(10 t) +
(1 − cos(10 t)) Uπ (t) −
1
50
si 0 ≤ t < π
si π ≤ t < 2π
si 2π ≤ t
(1 − cos(10 t)) U2 π (t)
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 13
3
D
y(t) = 2 cos(10 t) +
1
100
(1 − cos(20 t)) Uπ (t) −
1
100
(1 − cos(20 t)) U2 π (t)
E
y(t) = 2 cos(10 t) +
1
100
(1 − cos(10 t)) Uπ (t) −
1
100
(1 − cos(10 t)) U2 π (t)
13. Indique cuál de las opciones siguientes es la ecuación subsidiaria del problema con condiciones iniciales y(0) = 0 y y 0 (0) = 5
con ecuación:
30 y − 11 y 0 + y 00 = 5 e6 t
A
Y (s) =
25+5 s
(−6+s) (30−11 s+s2 )
B
Y (s) =
−25+5 s
(−6+s) (30+11 s+s2 )
C
Y (s) =
25+5 s
30−11 s+s2
D
Y (s) =
−25+5 s
(−6+s) (30−11 s+s2 )
14. Un recipiente cilı́ndrico se está vaciando por un orificio en la parte inferior. Si inicialmente el lı́quido estaba a una profundidad
de 16 metros y al cabo de 8 horas se vacı́a. A qué horas pasó por la mitad de la profundidad?
Respuesta:
15. Indique cuál de las opciones es la solución general a :
4 y + y 00 = 8 cos(9 x) + 4 sen(9 x)
1
77
(−8 cos(2 x) − 4 sen(2 x)) + C2 sen(2 x)
A
y = C1 cos(2 x) +
B
y = C1 cos(2 x) + C2 sen(2 x) +
1
77
(−8 cos(9 x) + 4 sen(9 x))
C
y = C1 cos(2 x) + C2 sen(2 x) +
1
77
(8 cos(9 x) + 4 sen(9 x))
D
y = C1 cos(2 x) + C2 sen(2 x) +
1
77
(−8 cos(9 x) − 4 sen(9 x))
16. Un tanque inicialmente tiene 280 galones de agua limpia, pero una solución de sal de concentración desconocida se vierte a
un ritmo de 2 galones por minuto. Si a la vez que se vierte se extrae solución a la misma velocidad y si al cabo de 20 minutos
la concentración en el tanque fue de 0.5 libras de sal por galón, determine la concentración de la solución vertida (en libras
por galón).
Respuesta:
17. Indique cuál de las siguientes opciones representa la transformada inversa de la función:
F (s) =
1
4
sen(4 t)) e−t
A
f (t) = (cos(4 t) −
B
f (t) = (cos(4 t) − sen(4 t)) e−t
s
17 + 2 s + s2
C
f (t) = cos(4 t) − sen(4 t)
D
f (t) = cos(4 t) −
1
4
sen(4 t)
18. Una cadena de 8 pies de largo yace extendida en una mesa. La cadena pesa en total 18 pounds y se supone que su peso
está uniformemente distribuido. Un extremo de un pie de longitud de cadena cuelga de la mesa y estira toda la cadena hacia
abajo. Despreciando la fricción, indique a qué velocidad cae cuando deja de estar en la mesa. Sugerencia. Elija como variable
incógnita la longitud de la cadena que está fuera de la mesa, y = y(t). Para construir la ED use la segunda ley de Newton.
La fuerza aplicada a la cadena es 49 y. La aceleración es y 00 . Utiliza que la aceleración también puede ser expresada como
a = v dv/dy. de manera que quede una ecuación diferencial de primer orden en con variable dependiente v e independiente
y. Tome como condición inicial v(y = 1) = 0.
Respuesta:
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 13
4
19. Seleccionar la opción que contiene la transformada de Laplace de
f (t) =
A
F (s) =
s
4+s2
B
F (s) =
1
2
+
s
49+s2
2
ln( 49+s
4+s2 )
cos(2 t) − cos(7 t)
t
s
4+s2
−
C
F (s) =
D
2+s
F (s) = ln( 7+s
)
s
49+s2
20. Determine el valor de y(1) siendo y(x) la función solución que satisface y(0) = 1 a la ecuación diferencial:
r
dy
x
= 4
dx
y
Respuesta:
21. Utilizando la sustitución y = u x2 resuelva la EDO:
y 0 = 9 x3 + 2
A
y = C + 9 x3
B
y = C x2 +
C
y = C + 9 x2
D
y = 9 x2 + C x4
E
y = C x2 + 9 x4
9
2
y
x
x4
22. Indique la opción que contiene la solución que satisface y(0) = 0 para la ecuación:
2 x + 3 y + (3 x + 2 y) y 0 = 0
A
x2 + y 2 = 0
B
x3 + x y + y 3 = 0
C
x2 + x y + y 2 = 0
D
x2 + 3 x y + y 2 = 0
E
x3 + 2 x y + y 3 = 0
F
x3 + y 3 = 0
G
x2 + 2 x y + y 2 = 0
H
x3 + 3 x y + y 3 = 0
23. José Luis se va a someter a una cirugı́a por una lesión de futbol y debe ser anestesiado. El anestesiólogo sabe que para que
un paciente sea anestesiado, mediante Pentobarbital sódico, debe tener en su sangre dicha sustancia en una concentración
de al menos 50 miligramos por cada kilogramo de peso. Suponga que las sustancias quı́micas disminuyen su concentración
en la sangre en forma proporcional a la concentración de la sustancia y que en particular el Pentobarbital disminuye su
concentración a la mitad cada 10 horas. Si José Luis pesa 85 kilogramos y será anestesiado mediante una sola dósis, cuántos
miligramos de Pentobarbital se le deberá suministrar si se desea que el efecto dure 3 horas? Nota: Los datos del problema
son ficticios.
Respuesta:
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 13
5
24. Dado que y1 = e−8x y y2 = xe−8x son soluciones a la ED homogénea auxiliar asociada encuentre la solución general de
64 y + 16 y 0 + y 00 =
A
y = x e−8 x + C1 e−8 x + x C2 e−8 x − x ln(x) e−8 x
B
y = x + C1 e−8 x + x C2 e−8 x − ln(x)
C
y = −x e−8 x + C1 e−8 x + x C2 e−8 x + x ln(x) e−8 x
D
y = −x + C1 e−8 x + x C2 e−8 x + ln(x)
1 −8 x
e
x
25. El número de individuos infectados A(t) en un tiempo t debe crecer a una razón que es aproximadamente proporcional al
producto A(t)(N − A(t)) donde N es el tamaño de la población. Si el tamaño de la población es de 400 individuos y si
inicialmente existen 20 individuos infectados y al cabo de 1 meses existen 40 individuos infectados. Cuántos habrá infectados
al cabo de 2 meses?
Respuesta:
Ecuaciones Diferenciales
Laboratorio Final
Maestro Eduardo Uresti, Verano 2010
Grupo:
Matrı́cula:
Nombre:
Tipo:14
19
7
1. Se ha descubierto que un cubo de naftalina que tenı́a originalmente un lado de 18
de pulgada, tiene un lado de 12
de pulgada
al cabo de un mes. Suponiendo que se evapore a un ı́ndice proporcional a su superficie, determine el tiempo necesario en
meses para que el cubo desaparezca.
A
2.23529
B
6.70588
C
1.11765
D
13.4118
2. Determine los valores de A, B, C y D para que la función
y = A + B eC x
2
+D x
sea la solución particular que cumple y(0) = 4 a la ecuación diferencial:
dy
= 15 − 3 x − 5 y + x y
dx
Respuesta:
3. Un cuerpo con peso de 10 libras cuelga de un resorte con constante 54 lb/ft. El medio donde se mueve el cuerpo ofrece una
fuerza de resistencia al movimiento que es numéricamente igual a su velocidad instantánea. Si el peso es liberado 53 pies
por encima de su posición de equilibrio con una velocidad hacia abajo de 6 pies por segundo. Determine la velocidad en el
momento en el cual pasa por la posición de equilibrio.
Respuesta:
4. Una rama de ciprés que se encontró en la tumba de un Faraón Egipcio contenı́a el 66 por ciento del carbono 14 radiactivo
que contiene una rama de ciprés vivo. Estime la edad de la tumba en años, sabiendo que la vida media del carbono 14 es de
aproximadamente 5600 años.
Respuesta:
5. Use la transformada de Laplace para resolver la ecuación diferencial
4 y + y 00 = f (t)
con condiciones iniciales y(0) = 7 y y 0 (0) = 0 y donde
f (t)

 0
=
1

0
si 0 ≤ t < π
si π ≤ t < 2π
si 2π ≤ t
A
y(t) = 7 cos(2 t) +
1
4
(1 + cos(2 t)) Uπ (t) −
1
4
(1 + cos(2 t)) U2 π (t)
B
y(t) = 7 cos(2 t) +
1
4
(1 − cos(4 t)) Uπ (t) −
1
4
(1 − cos(4 t)) U2 π (t)
C
y(t) = 7 cos(2 t) +
1
2
(1 − cos(2 t)) Uπ (t) −
1
2
(1 − cos(2 t)) U2 π (t)
D
y(t) = 7 cos(2 t) +
1
4
(1 − cos(2 t)) Uπ (t) −
1
4
(1 − cos(2 t)) U2 π (t)
E
y(t) =
1
4
(1 − cos(2 t)) Uπ (t) −
1
4
(1 − cos(2 t)) U2 π (t)
7
2
sen(2 t) +
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 14
2
6. Sabiendo que la solución a la correspondiente ecuación homogénea auxiliar es yh = c1 x + c2 e2 x determine una solución
particular a la ED:
4y
4 x y0
−
+
+ y 00 = 1 − 2 x
1 − 2x 1 − 2x
1
4
+
1
2
x + x2
A
yp =
B
yp = 1 − 2 x + x2
C
yp = − 14 −
D
yp = 4 + 2 x + x2
E
yp = 1 + 2 x − x2
F
yp = 1 + 2 x + 4 x2
1
2
x + x2
7. En un circuito serie RC con C =
1
200 H,
R = 300Ω, y

 4
E(t) =
−4

0
para
para
para
0≤t<4
4≤t<8
8≤t
donde E(t) está en voltios. Encuentre la carga en coulumbs en el condensador en el tiempo t = 12 segundos. Tome q(0) = 0.0 C
Respuesta:
8. En muchos estados de USA es ilegal manejar con un nivel de alcohol mayor que 0.10 por ciento (una parte de alcohol por 1000
partes de sangre). Suponga que alguien es detenido en alguno de esos estados y que se detecta que tiene un porcentaje de
alcohol en la sangre de 0.5 %. Si se asume que el porcentaje de alcohol en el torrente sanguı́neo decrece en forma proporcional
al porcentaje de alcohol, y que además la concentración de alcohol decrece 10 por ciento cada hora, determine cuánto tiempo
en horas debe pasar para que esa persona pueda conducir legalmente de nuevo. Nota: Los datos de este problema son
ficticios.
Respuesta:
9. Una cadena de 9 pies de largo yace extendida en una mesa. La cadena pesa en total 17 pounds y se supone que su peso
está uniformemente distribuido. Un extremo de un pie de longitud de cadena cuelga de la mesa y estira toda la cadena hacia
abajo. Despreciando la fricción, indique cuánto tiempo tardará en caer de la mesa. Sugerencia. Elija como variable incógnita
la longitud de la cadena que está fuera de la mesa, y = y(t). Para construir la ED use la segunda ley de Newton. La fuerza
00
0
aplicada a la cadena es 17
9 y. La aceleración es y . Tome como condiciones iniciales y(0) = 1 y y (0) = 0.
Respuesta:
10. Determine los valores de A, B y C para que
y = (C1 + C2 x) eA x + B eC x
sea la solución general a :
25 y − 10 y 0 + y 00 = ex
Respuesta:
11. Un recipiente cilı́ndrico se está vaciando por un orificio en la parte inferior. Si inicialmente el lı́quido estaba a una profundidad
de 8 metros y al cabo de 6 horas tenı́a una profundidad de 4 metros. Cuánto tiempo tardará en vaciarse?
A
30.7279 horas
B
6 horas adicionales
C
20.4853 horas
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 14
D
3
9. horas
12. Se estima que la población de la tierra en el 1500 fue de 100 millones de personas. En 1990 la población mundial se estimó en
2600 millones. Asumiendo que la tasa de crecimiento es proporcional a la población en cada momento, estime el año en el
que la población sea de 3200 millones.
Respuesta:
13. Indique la opción que contiene la solución que satisface y(0) = 0 para la ecuación:
2 x + 3 y + (3 x + 2 y) y 0 = 0
A
x3 + y 3 = 0
B
x3 + 3 x y + y 3 = 0
C
x2 + x y + y 2 = 0
D
x2 + y 2 = 0
E
x2 + 3 x y + y 2 = 0
F
x2 + 2 x y + y 2 = 0
G
x3 + x y + y 3 = 0
H
x3 + 2 x y + y 3 = 0
14. Indique cuál de las opciones siguientes es la ecuación subsidiaria del problema con condición inicial y(0) = 5 y ED:
3 y + y 0 = t cos(6 t) + sen(6 t) e2 t
5+
A
Y (s) =
B
Y (s) =
Y (s) =
D
Y (s) =
−(36+s2 )
−1
+ 40−46s+s2
−1
−2+s
+ 40−4
s+s2
3+s
5+
C
2 s2
(36+s2 )2
2 s2
(36+s2 )2
−(36+s2 )
3+s
5+ 12 s2 2
(36+s )
+ 40−46s+s2
3+s
5+
2 s2
(36+s2 )2
−(36+s2 )
−1
+ 40+46s+s2
3+s
15. Un recipiente contiene 40 galones de agua limpia inicialmente. Una solución es vertida en el interior del recipiente a un ritmo
de 4 galones por minuto. Esta solución tiene una concentración de 0.4 libras de sal por galón. A la vez que se vierte se extrae
solución del tanque a la misma velocidad. La solución extraida es entonces vertida en un nuevo recipiente que contiene
40 galones de agua limpia. Del cual a su vez también serán extraı́dos 4 galones de solución por minuto. Cuáles será la
concentración de sal (en libras por galón) en el segundo tanque 40 minutos despuúes de iniciado el proceso? Sugerencia.
Primero determine la fórmula que da la contidad de sal en el primer tanque función de t. A partir de ella obtenga la fórmula
que da la concentración de sal en el primer tanque. De ella determine la fórmula que da cantidad de sal que el primer tanque
vierte al segundo tanque en libras por minuto.
Respuesta:
16. Cuál de las siguientes opciones representa la transformada de Laplace de la función: (Sugerencia: use las definiciones de
las funciones de las funciones hiperbólicas mediante exponenciales)
f (t) = t cosh(5 t)
A
F (s) =
25+s2
−25+s2
B
F (s) =
10 s
(−25+s2 )2
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 14
4
−1
C
F (s) = (25 + s2 )
D
F (s) =
25+s2
(−25+s2 )2
17. Seleccionar la opción que contiene un paso intermedio para obtener la solución general de la ED:
y
cos(x)
+ y0 =
x
x
A
y=e
R
1
x
R
C+
B
y=
C
y=
D
y=e
R
C+
dx
C+
cos(x)
R
e
R 1
dx
x
e
cos(x)
R 1x
dx
e x
cos(x)
x
R
1 dx
x
x
dx
dx
dx
x
R
1
x
dx
C+
R
e
R
1
x
dx
cos(x) dx
18. Indicar la opción que contiene la solución a la ecuación diferencial:
y0 =
A
− u1 = C + 2 ln(x)
B
− y1 = C + 2 ln(x)
C
x
y
= C + 2 ln(x)
D
y
x
= C − 2 ln(x)
E
− xy = C + ln(2 x)
F
− xy = C + ln(x2 )
x y + 2 y2
x2
19. Indique cuál de las siguientes opciones es la transformada de Laplace de
f (t) =
1
t sen(7 t)
14
A
F (s) =
1
(−49+s2 )2
C
F (s) =
s
(49+s2 )2
B
F (s) =
1
(49+s2 )2
D
F (s) =
s
(−49+s2 )2
20. Encuentre la máxima carga en el capacitor en un circuito serie LRC cuando L = 5/3h, R = 10Ω, C = 1/30f , E(t) = 300V ,
q(0) = 0C, y i(0) = 0A.
Respuesta:
21. En la investigación de un asesinato, un cuerpo sin vida fue encontrado por el inspector Núñez exactamente a las 8:00 PM,
estando alerta, él midió la temperatura del cuerpo registrándola en los 31o C. Dos horas mas tarde, el inspector anotó que
la temperatura del cuerpo era de 25o C. Sabiendo que la temperatura de la habitación fue de 21o C, determine la hora a la
cual el asesinato ocurrió. Reporte la hora en decimales, por ejemplo 1 hora 30 nimutos en decimales quedarı́a 1.5 horas.
Respuesta:
22. Resuelva la siguiente ED con condiciones iniciales y(0) = 6 y y 0 (0) = 1 reduciéndola en orden
2
(y 0 ) = 6 y y 00
A
5
5
y 6 = 66 +
5 x
6 6 16
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 14
5
5
5
6
B
y 6 = 66 +
C
y = 6 e6 x
D
y 7 = 279936 +
5
x
1
7x
1
66
23. Cuando un rayo de luz pasa através de una sustancia transparente, el grado con que la intensidad, I(h), disminuye es
proporcional a la misma intensidad I(h) donde h representa el espesor del medio. En el agua de mar, la intensidad a 1.1
metros bajo la superficie es de 20 por ciento de la intesidad inicial Io del rayo incidente. A qué profundidad en metros la
intensidad es 30 por ciento de Io ?
Respuesta:
24. Determine A, B, C y D para que
f (t) = eA t (B cos(C t) + D sen(C t))
sea la transformada inversa de la función:
F (s) =
s
50 + 2 s + s2
Respuesta:
25. El número de individuos infectados A(t) en un tiempo t debe crecer a una razón que es aproximadamente proporcional al
producto A(t)(N − A(t)) donde N es el tamaño de la población. Si el tamaño de la población es de 700 individuos y si
inicialmente existen 60 individuos infectados y al cabo de 1 meses existen 120 individuos infectados. Cuántos habrá infectados
al cabo de 2 meses?
Respuesta:
Ecuaciones Diferenciales
Laboratorio Final
Maestro Eduardo Uresti, Verano 2010
Grupo:
Matrı́cula:
Nombre:
Tipo:15
1. Indique cuál de las opciones siguientes es la ecuación subsidiaria del problema con condición inicial y(0) = 7 y ED:
5 y + y 0 = t cos(6 t) + sen(6 t) e3 t
7+
A
B
Y (s) =
Y (s) =
C
Y (s) =
D
Y (s) =
12 s
(36+s2 )2
+ 45−66s+s2
5+s
2
7+ 2 s 2 2
(36+s )
−(36+s2 )
−1
−3+s
+ 45−6
s+s2
−1
+ 45+66s+s2
−1
+ 45−66s+s2
5+s
2
7+ 2 s 2 2
(36+s )
−(36+s2 )
5+s
7+
2 s2
(36+s2 )2
−(36+s2 )
5+s
2. Una rama de ciprés que se encontró en la tumba de un Faraón Egipcio contenı́a el 70 por ciento del carbono 14 radiactivo
que contiene una rama de ciprés vivo. Estime la edad de la tumba en años, sabiendo que la vida media del carbono 14 es de
aproximadamente 5600 años.
Respuesta:
3. Un recipiente contiene 80 galones de una solución de sal a una concentración de 0.04 libras por galón. Un proceso se inicia
poniendo agua limpia en el recipiente a un ritmo de 2 galones por minuto. A la vez que se vierte agua, se extrae solución
del tanque a la misma velocidad. La solución extraı́da es entonces vertida en un nuevo recipiente que contiene 80 galones de
agua limpia. Del cual a su vez también serán extraı́dos 2 galones de solución por minuto. Cuál será la concentración máxima
que alcanzará la solución en el segundo tanque? (en libras por galón) Sugerencia. Primero determine la fórmula que da la
contidad de sal en el primer tanque en función de t. A partir de ella obtenga la fórmula que da la concentración de sal en el
primer tanque. De ella determine la fórmula de la velocidad de entrada de sal al segundo tanque en libras por minuto.
Respuesta:
4. Indique cuál de las siguientes opciones es la transformada de Laplace de
f (t) =
1
t sen(8 t)
16
A
F (s) =
1
(−64+s2 )2
C
F (s) =
s
(−64+s2 )2
B
F (s) =
1
(64+s2 )2
D
F (s) =
s
(64+s2 )2
5. Indique la opción que contiene la solución que satisface y(0) = 0 para la ecuación:
2 x + 3 y + (3 x + 2 y) y 0 = 0
A
x2 + x y + y 2 = 0
B
x2 + 2 x y + y 2 = 0
C
x3 + x y + y 3 = 0
D
x3 + 2 x y + y 3 = 0
E
x3 + 3 x y + y 3 = 0
F
x2 + y 2 = 0
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 15
G
x3 + y 3 = 0
H
x2 + 3 x y + y 2 = 0
2
6. Un recipiente cilı́ndrico se está vaciando por un orificio en la parte inferior. Si inicialmente el lı́quido estaba a una profundidad
de 12 metros y al cabo de 2 horas se vacı́a. A qué horas pasó por la mitad de la profundidad?
Respuesta:
7. Sabiendo que la solución a la correspondiente ecuación homogénea auxiliar es yh = c1 x + c2 e4 x determine una solución
particular a la ED:
16 y
16 x y 0
−
+
+ y 00 = 1 − 4 x
1 − 4x 1 − 4x
A
1
yp = − 16
−
B
yp = 1 + 4 x − x2
C
yp = 16 + 4 x + x2
D
yp = 1 + 4 x + 16 x2
E
yp =
F
yp = 1 − 4 x + x2
1
16
+
1
4
1
4
x + x2
x + x2
8. Cuando un rayo de luz pasa através de una sustancia transparente, el grado con que la intensidad, I(h), disminuye es
proporcional a la misma intensidad I(h) donde h representa el espesor del medio. En el agua de mar, la intensidad a 1.3
metros bajo la superficie es de 50 por ciento de la intesidad inicial Io del rayo incidente. Cuál es la intensidad del rayo de
luz a 2.3 metros respecto a Io ? Reporta tu respuesta entre 0 y 1.
Respuesta:
9. Cuál de las siguientes opciones representa la transformada de Laplace de la función: (Sugerencia: use las definiciones de
las funciones de las funciones hiperbólicas mediante exponenciales)
f (t) = t cosh(5 t)
−1
A
F (s) = (25 + s2 )
B
F (s) =
25+s2
(−25+s2 )2
C
F (s) =
10 s
(−25+s2 )2
D
F (s) =
25+s2
−25+s2
10. Al sacar un pastel del horno su temperatura es 298o F, 5 minutos después su temperatura es de 206o F. Si la rapidez con
que la temperatura T (t) cambia es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y la temperatura constante
To = 67o F del medio que lo rodea, cuántos minutos demorará el pastel en enfriarse hasta una temperatura de 100o F?
A
3.54294
B
19.1548
C
10.7609
D
21.5217
11. Encuentre la máxima carga en el capacitor en un circuito serie LRC cuando L = 5/3h, R = 10Ω, C = 1/30f , E(t) = 300V ,
q(0) = 0C, y i(0) = 0A.
Respuesta:
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 15
3
19
12. Se ha descubierto que una bola de naftalina que tenı́a originalmente un radio de 17
2 de pulgada, tiene una radio de 16 de
pulgada al cabo de un mes. Suponiendo que se evapore a un ı́ndice proporcional a su superficie, determine el tiempo necesario
en meses para que la bola desaparezca.
A
1.16239
B
2.32479
C
3.48718
D
6.97436
13. Calcule el valor en x = 1 para la solución particular y(x) que cumple las condiciones iniciales y( 51 ) = 1 y y 0 ( 15 ) = 10 a la ED:
5 y0
y 00 = √
y
Respuesta:
14. Una cadena de 8 pies de largo yace extendida en una mesa. La cadena pesa en total 15 pounds y se supone que su peso
está uniformemente distribuido. Un extremo de un pie de longitud de cadena cuelga de la mesa y estira toda la cadena hacia
abajo. Despreciando la fricción, indique cuánto tiempo tardará en caer de la mesa. Sugerencia. Elija como variable incógnita
la longitud de la cadena que está fuera de la mesa, y = y(t). Para construir la ED use la segunda ley de Newton. La fuerza
00
0
aplicada a la cadena es 15
8 y. La aceleración es y . Tome como condiciones iniciales y(0) = 1 y y (0) = 0.
Respuesta:
15. Un cuerpo con peso de 6 libras cuelga de un resorte con constante 43 lb/ft. El medio donde se mueve el cuerpo ofrece una
fuerza de resistencia al movimiento que es numéricamente igual a su velocidad instantánea. Si el peso es liberado 1 pies
por encima de su posición de equilibrio con una velocidad hacia abajo de 9 pies por segundo. Determine la velocidad en el
momento en el cual pasa por la posición de equilibrio.
Respuesta:
16. Seleccionar la opción que contiene un paso intermedio para obtener la solución general de la ED:
cos(x)
y
+ y0 =
x
x
R
C+
A
y=
B
y=e
C
y=
D
y=e
R
1
x
R
C+
R 1
dx
x
e
cos(x)
R 1x
e x dx
dx
C+
cos(x)
x
R
dx
e
R
1
x
dx
cos(x) dx
dx
x
R
1
x
dx
C+
cos(x)
R
e
R
1 dx
x
x
dx
17. Indicar la opción que contiene la solución a la ecuación diferencial:
y0 =
2
A
− xy2 = C + 6 ln(x)
B
x2
y2
C
1
− y2
= C − 6 ln(x)
D
x2
y2
= C + 6 ln(x)
= C − 12 ln(x)
x2 y + 6 y 3
x3
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 15
E
4
y 2 = x2 (C − 12 ln(x))
18. Use la transformada de Laplace para resolver la ecuación diferencial
16 y + y 00 = f (t)
con condiciones iniciales y(0) = 7 y y 0 (0) = 0 y donde

 0
=
1

0
f (t)
si 0 ≤ t < π
si π ≤ t < 2π
si 2π ≤ t
1
16
(1 − cos(8 t)) Uπ (t) −
1
16
(1 − cos(8 t)) U2 π (t)
sen(4 t) +
1
16
(1 − cos(4 t)) Uπ (t) −
1
16
(1 − cos(4 t)) U2 π (t)
C
y(t) = 7 cos(4 t) +
1
16
(1 − cos(4 t)) Uπ (t) −
1
16
(1 − cos(4 t)) U2 π (t)
D
y(t) = 7 cos(4 t) +
1
8
E
y(t) = 7 cos(4 t) +
1
16
A
y(t) = 7 cos(4 t) +
B
y(t) =
7
4
(1 − cos(4 t)) Uπ (t) −
1
8
(1 + cos(4 t)) Uπ (t) −
(1 − cos(4 t)) U2 π (t)
1
16
(1 + cos(4 t)) U2 π (t)
19. José Luis se va a someter a una cirugı́a por una lesión de futbol y debe ser anestesiado. El anestesiólogo sabe que para que
un paciente sea anestesiado, mediante Pentobarbital sódico, debe tener en su sangre dicha sustancia en una concentración
de al menos 50 miligramos por cada kilogramo de peso. Suponga que las sustancias quı́micas disminuyen su concentración
en la sangre en forma proporcional a la concentración de la sustancia y que en particular el Pentobarbital disminuye su
concentración a la mitad cada 10 horas. Si José Luis pesa 100 kilogramos y será anestesiado mediante una sola dósis, cuántos
miligramos de Pentobarbital se le deberá suministrar si se desea que el efecto dure 3 horas? Nota: Los datos del problema
son ficticios.
Respuesta:
20. En un circuito serie RC con C =
1
100 H,
R = 100Ω, y

 4
E(t) =
−4

0
0≤t<6
6 ≤ t < 12
12 ≤ t
para
para
para
donde E(t) está en voltios. Encuentre la carga en coulumbs en el condensador en el tiempo t = 18 segundos. Tome q(0) = 0.0 C
Respuesta:
21. El número de individuos infectados A(t) en un tiempo t debe crecer a una razón que es aproximadamente proporcional al
producto A(t)(N − A(t)) donde N es el tamaño de la población. Si el tamaño de la población es de 900 individuos y si
inicialmente existen 40 individuos infectados y al cabo de 1 meses existen 80 individuos infectados. Cuántos habrá infectados
al cabo de 2 meses?
Respuesta:
22. Indique cuál de las siguientes opciones representa la transformada inversa de la función:
F (s) =
1
6
sen(6 t)) e−t
A
f (t) = (cos(6 t) −
B
f (t) = (cos(6 t) − sen(6 t)) e−t
s
37 + 2 s + s2
C
f (t) = cos(6 t) − sen(6 t)
D
f (t) = cos(6 t) −
23. Determine los valores de A, B, C y D para que la función
y = A + B eC x
2
+D x
1
6
sen(6 t)
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 15
5
sea la solución particular que cumple y(0) = 7 a la ecuación diferencial:
dy
= 12 − 6 x − 2 y + x y
dx
Respuesta:
24. Se estima que la población de la tierra en el 1500 fue de 100 millones de personas. En 1990 la población mundial se estimó en
2600 millones. Asumiendo que la tasa de crecimiento es proporcional a la población en cada momento, estime el año en el
que la población sea de 3000 millones.
Respuesta:
25. Indique cuál de las opciones es la solución general a :
16 y + y 00 = 4 cos(7 x) + 4 sen(7 x)
A
y = C1 cos(4 x) + C2 sen(4 x) +
1
33
(4 cos(7 x) + 4 sen(7 x))
B
y = C1 cos(4 x) + C2 sen(4 x) +
1
33
(−4 cos(7 x) + 4 sen(7 x))
C
y = C1 cos(4 x) +
D
y = C1 cos(4 x) + C2 sen(4 x) +
1
33
(−4 cos(4 x) − 4 sen(4 x)) + C2 sen(4 x)
1
33
(−4 cos(7 x) − 4 sen(7 x))
Ecuaciones Diferenciales
Laboratorio Final
Maestro Eduardo Uresti, Verano 2010
Grupo:
Matrı́cula:
Nombre:
Tipo:16
1. Un trozo de madera de una viga de una casa construida en Babilonia durante el reinado de Hamurabi contenı́a el 60 por
ciento del carbono 14 radiactivo que contiene un fragmento del mismo tipo de madera en un árbol vivo. Estime la antiguedad
de la construcción, sabiendo que la vida media del carbono 14 es de aproximadamente 5600 años.
Respuesta:
2. Indicar la opción que contiene la solución a la ecuación diferencial:
y0 =
A
x2
y2
= C − 12 ln(x)
B
x2
y2
= C + 6 ln(x)
C
1
− y2
= C − 6 ln(x)
D
− xy2 = C + 6 ln(x)
E
y 2 = x2 (C − 12 ln(x))
x2 y + 6 y 3
x3
2
3. Encuentre la máxima carga en el capacitor en un circuito serie LRC cuando L = 5/3h, R = 10Ω, C = 1/30f , E(t) = 300V ,
q(0) = 0C, y i(0) = 0A.
Respuesta:
4. El número de individuos infectados A(t) en un tiempo t debe crecer a una razón que es aproximadamente proporcional al
producto A(t)(N − A(t)) donde N es el tamaño de la población. Si el tamaño de la población es de 800 individuos y si
inicialmente existen 60 individuos infectados y al cabo de 1 meses existen 120 individuos infectados. Cuántos habrá infectados
al cabo de 2 meses?
Respuesta:
5. Seleccionar la opción que contiene la transformada de Laplace de
f (t) =
A
8+s
F (s) = ln( 5+s
)
B
F (s) =
1
2
2
ln( 25+s
64+s2 )
− cos(5 t) + cos(8 t)
t
D
s
F (s) = − 25+s
2 +
dy
= −e4 y + e(8 x+4 y)
dx
e−4 y = C − 2 e8 x +
B
e4 y = −4 + C +
C
y =C+
D
e−4 y = C −
1
8
1
2
1
4
x
e8 x
e8 x
1
2
e8 x + 4 x
+
s
64+s2
F (s) =
6. Indique la opción que contiene la solución a la ecuación diferencial:
A
s
25+s2
C
s
64+s2
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 16
1
2
E
e4 y = C +
F
y = C + 8 e8 x
2
e8 x − 4 x
7. Seleccionar la opción que contiene un paso intermedio para obtener la solución general de la ED:
y
cos(x)
+ y0 =
x
x
A
y=
R
C+
cos(x)
x
dx
x
R
C+
R 1
dx
x
e
cos(x)
R 1x
dx
e x
B
y=
C
y=e
R
1
x
dx
C+
R
D
y=e
R
1
x
dx
C+
R
dx
e
R
1
x
dx
cos(x)
e
R
1 dx
x
x
cos(x) dx
dx
17
8. Se ha descubierto que un cubo de naftalina que tenı́a originalmente un lado de 10
de pulgada, tiene un lado de 15
16 de pulgada
al cabo de un mes. Suponiendo que se evapore a un ı́ndice proporcional a su superficie, determine el tiempo necesario en
meses para que el cubo desaparezca.
A
2.22951
B
1.11475
C
13.377
D
6.68852
9. Un cuerpo con peso de 9 libras cuelga de un resorte con constante 98 lb/ft. El medio donde se mueve el cuerpo ofrece una
fuerza de resistencia al movimiento que es numéricamente igual a su velocidad instantánea. Si el peso es liberado 32 pies
por encima de su posición de equilibrio con una velocidad hacia abajo de 6 pies por segundo. Determine la velocidad en el
momento en el cual pasa por la posición de equilibrio.
Respuesta:
10. Un recipiente contiene 100 galones de una solución de sal a una concentración de 0.04 libras por galón. Un proceso se inicia
poniendo agua limpia en el recipiente a un ritmo de 2 galones por minuto. A la vez que se vierte agua, se extrae solución del
tanque a la misma velocidad. La solución extraı́da es entonces vertida en un nuevo recipiente que contiene 100 galones de
agua limpia. Del cual a su vez también serán extraı́dos 2 galones de solución por minuto. Cuál será la concentración máxima
que alcanzará la solución en el segundo tanque? (en libras por galón) Sugerencia. Primero determine la fórmula que da la
contidad de sal en el primer tanque en función de t. A partir de ella obtenga la fórmula que da la concentración de sal en el
primer tanque. De ella determine la fórmula de la velocidad de entrada de sal al segundo tanque en libras por minuto.
Respuesta:
11. Una cadena de 7 pies de largo yace extendida en una mesa. La cadena pesa en total 9 pounds y se supone que su peso
está uniformemente distribuido. Un extremo de un pie de longitud de cadena cuelga de la mesa y estira toda la cadena hacia
abajo. Despreciando la fricción, indique a qué velocidad cae cuando deja de estar en la mesa. Sugerencia. Elija como variable
incógnita la longitud de la cadena que está fuera de la mesa, y = y(t). Para construir la ED use la segunda ley de Newton.
La fuerza aplicada a la cadena es 79 y. La aceleración es y 00 . Utiliza que la aceleración también puede ser expresada como
a = v dv/dy. de manera que quede una ecuación diferencial de primer orden en con variable dependiente v e independiente
y. Tome como condición inicial v(y = 1) = 0.
Respuesta:
12. Determine A, B, C, D y E (B > D) para que
f (t) = A eB t + C eD t + E
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 16
3
sea la transformada inversa de la función:
F (s) =
−1 + 3 s
−s + s3
Respuesta:
13. En un circuito serie RC con C =
3
400 H,
R = 400Ω, y

 2
E(t) =
−2

0
para
para
para
0≤t<6
6 ≤ t < 12
12 ≤ t
donde E(t) está en voltios. Encuentre la carga en coulumbs en el condensador en el tiempo t = 18 segundos. Tome q(0) = 0.0 C
Respuesta:
14. Cuál de las siguientes opciones representa la transformada de Laplace de la función: (Sugerencia: use las definiciones de
las funciones de las funciones hiperbólicas mediante exponenciales)
f (t) = t cosh(3 t)
−1
A
F (s) = (9 + s2 )
B
F (s) =
6s
(−9+s2 )2
C
F (s) =
9+s2
−9+s2
D
F (s) =
9+s2
(−9+s2 )2
15. Determine los valores de A, B y C para que
y = (C1 + C2 x) eA x + B eC x
sea la solución general a :
9 y − 6 y 0 + y 00 = ex
Respuesta:
16. José Luis se va a someter a una cirugı́a por una lesión de futbol y debe ser anestesiado. El anestesiólogo sabe que para que
un paciente sea anestesiado, mediante Pentobarbital sódico, debe tener en su sangre dicha sustancia en una concentración
de al menos 50 miligramos por cada kilogramo de peso. Suponga que las sustancias quı́micas disminuyen su concentración
en la sangre en forma proporcional a la concentración de la sustancia y que en particular el Pentobarbital disminuye su
concentración a la mitad cada 10 horas. Si José Luis pesa 100 kilogramos y será anestesiado mediante una sola dósis, cuántos
miligramos de Pentobarbital se le deberá suministrar si se desea que el efecto dure 3 horas? Nota: Los datos del problema
son ficticios.
Respuesta:
17. Indique la opción que contiene la solución que satisface y(0) = 0 para la ecuación:
2 x + 3 y + (3 x + 2 y) y 0 = 0
A
x2 + x y + y 2 = 0
B
x2 + 3 x y + y 2 = 0
C
x3 + 3 x y + y 3 = 0
D
x3 + x y + y 3 = 0
E
x3 + 2 x y + y 3 = 0
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 16
F
x3 + y 3 = 0
G
x2 + y 2 = 0
H
x2 + 2 x y + y 2 = 0
4
18. Dado que y1 = e−7x y y2 = xe−7x son soluciones a la ED homogénea auxiliar asociada encuentre la solución general de
49 y + 14 y 0 + y 00 =
A
y = x e−7 x + C1 e−7 x + x C2 e−7 x − x ln(x) e−7 x
B
y = −x e−7 x + C1 e−7 x + x C2 e−7 x + x ln(x) e−7 x
C
y = x + C1 e−7 x + x C2 e−7 x − ln(x)
D
y = −x + C1 e−7 x + x C2 e−7 x + ln(x)
1 −7 x
e
x
19. Cuando un rayo de luz pasa através de una sustancia transparente, el grado con que la intensidad, I(h), disminuye es
proporcional a la misma intensidad I(h) donde h representa el espesor del medio. En el agua de mar, la intensidad a 1.7
metros bajo la superficie es de 30 por ciento de la intesidad inicial Io del rayo incidente. A qué profundidad en metros la
intensidad es 40 por ciento de Io ?
Respuesta:
20. En la investigación de un asesinato, un cuerpo sin vida fue encontrado por el inspector Núñez exactamente a las 8:00 PM,
estando alerta, él midió la temperatura del cuerpo registrándola en los 33o C. Dos horas mas tarde, el inspector anotó que
la temperatura del cuerpo era de 29o C. Sabiendo que la temperatura de la habitación fue de 25o C, determine la hora a la
cual el asesinato ocurrió. Reporte la hora en decimales, por ejemplo 1 hora 30 nimutos en decimales quedarı́a 1.5 horas.
Respuesta:
21. usando el caso I, Iindique la opción que contiene un paso intermedio en la solución a:
ln(y 0 ) y 00 = 6
A
R
B
z (−1 + ln(z)) = 6 x + C1
C
−z + z ln(z) = 6 y + C1
D
ln(z) =
z ln(z) dz = 6 y
√
1
2 (6 x + C1 ) 2
22. Un recipiente cilı́ndrico se está vaciando por un orificio en la parte inferior. Si inicialmente el lı́quido estaba a una profundidad
de 4 metros y al cabo de 8 horas se vacı́a. A qué horas pasó por la mitad de la profundidad?
Respuesta:
23. Se sabe que la población de cierta comunidad aumenta, en un instante t cualquiera, con una rapidez proporcional al número
de personas presentes en dicho instante. Si la población se cuatriplica en 2 años, cuántos años demorará en septuplicarse?
A
2.80735
B
3.5
C
5.25
D
6.79412
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 16
5
24. Use la transformada de Laplace para resolver la ecuación diferencial
4 y + y 00 = f (t)
con condiciones iniciales y(0) = 8 y y 0 (0) = 0 y donde
f (t)

 0
=
1

0
si 0 ≤ t < π
si π ≤ t < 2π
si 2π ≤ t
A
y(t) = 8 cos(2 t) +
1
4
(1 + cos(2 t)) Uπ (t) −
1
4
(1 + cos(2 t)) U2 π (t)
B
y(t) = 8 cos(2 t) +
1
4
(1 − cos(4 t)) Uπ (t) −
1
4
(1 − cos(4 t)) U2 π (t)
C
y(t) = 8 cos(2 t) +
1
2
(1 − cos(2 t)) Uπ (t) −
1
2
(1 − cos(2 t)) U2 π (t)
D
y(t) = 4 sen(2 t) +
1
4
(1 − cos(2 t)) Uπ (t) −
1
4
(1 − cos(2 t)) U2 π (t)
E
y(t) = 8 cos(2 t) +
1
4
(1 − cos(2 t)) Uπ (t) −
1
4
(1 − cos(2 t)) U2 π (t)
25. Indique cuál de las opciones siguientes es la ecuación subsidiaria del problema con condición inicial y(0) = 8 y ED:
8 y + y 0 = t cos(8 t) + sen(8 t) e7 t
8+
A
Y (s) =
B
Y (s) =
C
Y (s) =
2 s2
(64+s2 )2
−(64+s2 )
−1
8
+ 113+14
s+s2
−1
−7+s
+ 113−14
s+s2
−1
8
+ 113−14
s+s2
8+s
8+
Y (s) =
8
+ 113−14
s+s2
8+s
8+
D
16 s
(64+s2 )2
2 s2
(64+s2 )2
−(64+s2 )
8+s
2
8+ 2 s 2 2
(64+s )
−(64+s2 )
8+s
Ecuaciones Diferenciales
Laboratorio Final
Maestro Eduardo Uresti, Verano 2010
Grupo:
Matrı́cula:
Nombre:
Tipo:17
1. Una cadena de 6 pies de largo yace extendida en una mesa. La cadena pesa en total 7 pounds y se supone que su peso
está uniformemente distribuido. Un extremo de un pie de longitud de cadena cuelga de la mesa y estira toda la cadena hacia
abajo. Despreciando la fricción, indique cuánto tiempo tardará en caer de la mesa. Sugerencia. Elija como variable incógnita
la longitud de la cadena que está fuera de la mesa, y = y(t). Para construir la ED use la segunda ley de Newton. La fuerza
aplicada a la cadena es 67 y. La aceleración es y 00 . Tome como condiciones iniciales y(0) = 1 y y 0 (0) = 0.
Respuesta:
2. Calcule el valor en x = 1 para la solución particular y(x) que cumple las condiciones iniciales y( 61 ) = 1 y y 0 ( 16 ) = 12 a la ED:
6 y0
y 00 = √
y
Respuesta:
3. Un recipiente contiene 90 galones de agua limpia inicialmente. Una solución es vertida en el interior del recipiente a un ritmo
de 3 galones por minuto. Esta solución tiene una concentración de 0.2 libras de sal por galón. A la vez que se vierte se extrae
solución del tanque a la misma velocidad. La solución extraida es entonces vertida en un nuevo recipiente que contiene
90 galones de agua limpia. Del cual a su vez también serán extraı́dos 3 galones de solución por minuto. Cuáles será la
concentración de sal (en libras por galón) en el segundo tanque 50 minutos despuúes de iniciado el proceso? Sugerencia.
Primero determine la fórmula que da la contidad de sal en el primer tanque función de t. A partir de ella obtenga la fórmula
que da la concentración de sal en el primer tanque. De ella determine la fórmula que da cantidad de sal que el primer tanque
vierte al segundo tanque en libras por minuto.
Respuesta:
4. La población de una ciudad crece, en un instante cualquiera, con una rapidez proporcional al número de habitantes en
dicho instante. Si su poblacion inicial de 1100 aumenta 13 % en 6 años. Cuál será el número de personas aproximado en la
población dentro de 36 años?
A
14477.3
B
7458.
C
14916.
D
2290.15
5. En un circuito serie RC con C =
1
200 H,
R = 500Ω, y

 2
E(t) =
−2

0
para
para
para
0≤t<2
2≤t<4
4≤t
donde E(t) está en voltios. Encuentre la carga en coulumbs en el condensador en el tiempo t = 6 segundos. Tome q(0) = 0.0 C
Respuesta:
6. Use la transformada de Laplace para resolver la ecuación diferencial
100 y + y 00 = f (t)
con condiciones iniciales y(0) = 7 y y 0 (0) = 0 y donde
f (t)

 0
=
1

0
si 0 ≤ t < π
si π ≤ t < 2π
si 2π ≤ t
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 17
1
100
2
(1 − cos(20 t)) Uπ (t) −
1
100
(1 − cos(20 t)) U2 π (t)
A
y(t) = 7 cos(10 t) +
B
y(t) =
C
y(t) = 7 cos(10 t) +
1
100
(1 − cos(10 t)) Uπ (t) −
1
100
(1 − cos(10 t)) U2 π (t)
D
y(t) = 7 cos(10 t) +
1
100
(1 + cos(10 t)) Uπ (t) −
1
100
(1 + cos(10 t)) U2 π (t)
E
y(t) = 7 cos(10 t) +
1
50
7
10
sen(10 t) +
1
100
(1 − cos(10 t)) Uπ (t) −
(1 − cos(10 t)) Uπ (t) −
1
50
1
100
(1 − cos(10 t)) U2 π (t)
(1 − cos(10 t)) U2 π (t)
7. Una rama de ciprés que se encontró en la tumba de un Faraón Egipcio contenı́a el 54 por ciento del carbono 14 radiactivo
que contiene una rama de ciprés vivo. Estime la edad de la tumba en años, sabiendo que la vida media del carbono 14 es de
aproximadamente 5600 años.
Respuesta:
8. Un recipiente cilı́ndrico se está vaciando por un orificio en la parte inferior. Si inicialmente el lı́quido estaba a una profundidad
de 8 metros y al cabo de 6 horas se vacı́a. A qué horas pasó por la mitad de la profundidad?
Respuesta:
9. Cuando un rayo de luz pasa através de una sustancia transparente, el grado con que la intensidad, I(h), disminuye es
proporcional a la misma intensidad I(h) donde h representa el espesor del medio. En el agua de mar, la intensidad a 1.3
metros bajo la superficie es de 60 por ciento de la intesidad inicial Io del rayo incidente. A qué profundidad en metros la
intensidad es 70 por ciento de Io ?
Respuesta:
10. Al sacar un pastel del horno su temperatura es 295o F, 9 minutos después su temperatura es de 202o F. Si la rapidez con
que la temperatura T (t) cambia es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y la temperatura constante
To = 71o F del medio que lo rodea, cuántos minutos demorará el pastel en enfriarse hasta una temperatura de 92o F?
A
39.7132
B
19.6452
C
39.2903
D
5.62043
11. Determine los valores de A, B y C para que
y = (C1 + C2 x) eA x + B eC x
sea la solución general a :
36 y − 12 y 0 + y 00 = ex
Respuesta:
12. Indique la opción que contiene la solución que satisface y(0) = 0 para la ecuación:
2 x + 3 y + (3 x + 2 y) y 0 = 0
A
x3 + 2 x y + y 3 = 0
B
x3 + x y + y 3 = 0
C
x3 + y 3 = 0
D
x2 + x y + y 2 = 0
E
x2 + 2 x y + y 2 = 0
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 17
F
x2 + y 2 = 0
G
x3 + 3 x y + y 3 = 0
H
x2 + 3 x y + y 2 = 0
3
13. Seleccionar la opción que contiene la transformada de Laplace de
f (t) =
A
4+s
F (s) = ln( 9+s
)
B
F (s) =
s
16+s2
+
cos(4 t) − cos(9 t)
t
s
81+s2
C
F (s) =
1
2
D
F (s) =
s
16+s2
2
ln( 81+s
16+s2 )
−
s
81+s2
14. Encuentre la máxima carga en el capacitor en un circuito serie LRC cuando L = 5/3h, R = 10Ω, C = 1/30f , E(t) = 300V ,
q(0) = 0C, y i(0) = 0A.
Respuesta:
15. Un cuerpo con peso de 4 libras cuelga de un resorte con constante 2 lb/ft. El medio donde se mueve el cuerpo ofrece una
fuerza de resistencia al movimiento que es numéricamente igual a su velocidad instantánea. Si el peso es liberado 23 pies
por encima de su posición de equilibrio con una velocidad hacia abajo de 21 pies por segundo. Determine la velocidad en el
momento en el cual pasa por la posición de equilibrio.
Respuesta:
16. Dado que y1 = e−7x y y2 = xe−7x son soluciones a la ED homogénea auxiliar asociada encuentre la solución general de
49 y + 14 y 0 + y 00 =
A
y = −x + C1 e−7 x + x C2 e−7 x + ln(x)
B
y = −x e−7 x + C1 e−7 x + x C2 e−7 x + x ln(x) e−7 x
C
y = x + C1 e−7 x + x C2 e−7 x − ln(x)
D
y = x e−7 x + C1 e−7 x + x C2 e−7 x − x ln(x) e−7 x
1 −7 x
e
x
17. Determine los valores de A, B, C y D para que la función
y = A + B eC x
2
+D x
sea la solución particular que cumple y(0) = 6 a la ecuación diferencial:
dy
= 10 − 5 x − 2 y + x y
dx
Respuesta:
18. Indique cuál de las opciones siguientes es la ecuación subsidiaria del problema con condición inicial y(0) = 7 y ED:
4 y + y 0 = t cos(3 t) + sen(3 t) e7 t
7+
A
Y (s) =
B
Y (s) =
Y (s) =
−1
−(9+s2 )
+ 58−143 s+s2
4+s
7+
C
2 s2
(9+s2 )2
6s
(9+s2 )2
+ 58−143 s+s2
4+s
2
7+ 2 s2 2
(9+s )
−1
−(9+s2 )
4+s
−7+s
+ 58−14
s+s2
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 17
7+
D
Y (s) =
2 s2
(9+s2 )2
−1
−(9+s2 )
4
+ 58+143 s+s2
4+s
19. Cuál de las siguientes opciones representa la transformada de Laplace de la función: (Sugerencia: use las definiciones de
las funciones de las funciones hiperbólicas mediante exponenciales)
f (t) = t cosh(8 t)
A
F (s) =
16 s
(−64+s2 )2
B
F (s) =
64+s2
(−64+s2 )2
C
F (s) =
64+s2
−64+s2
D
F (s) = (64 + s2 )
−1
17
20. Se ha descubierto que un cubo de naftalina que tenı́a originalmente un lado de 13
10 de pulgada, tiene un lado de 18 de pulgada
al cabo de un mes. Suponiendo que se evapore a un ı́ndice proporcional a su superficie, determine el tiempo necesario en
meses para que el cubo desaparezca.
A
1.82812
B
10.9688
C
21.9375
D
3.65625
21. El número de individuos infectados A(t) en un tiempo t debe crecer a una razón que es aproximadamente proporcional al
producto A(t)(N − A(t)) donde N es el tamaño de la población. Si el tamaño de la población es de 800 individuos y si
inicialmente existen 50 individuos infectados y al cabo de 1 meses existen 100 individuos infectados. Cuántos habrá infectados
al cabo de 2 meses?
Respuesta:
22. Indicar la opción que contiene la solución a la ecuación diferencial:
y0 =
A
y 2 = x2 (C − 6 ln(x))
B
x2
y2
C
− xy2 = C + 3 ln(x)
D
x2
y2
E
1
− y2
= C − 3 ln(x)
x2 y + 3 y 3
x3
= C + 3 ln(x)
2
= C − 6 ln(x)
23. José Luis se va a someter a una cirugı́a por una lesión de futbol y debe ser anestesiado. El anestesiólogo sabe que para que
un paciente sea anestesiado, mediante Pentobarbital sódico, debe tener en su sangre dicha sustancia en una concentración
de al menos 50 miligramos por cada kilogramo de peso. Suponga que las sustancias quı́micas disminuyen su concentración
en la sangre en forma proporcional a la concentración de la sustancia y que en particular el Pentobarbital disminuye su
concentración a la mitad cada 10 horas. Si José Luis pesa 90 kilogramos y será anestesiado mediante una sola dósis, cuántos
miligramos de Pentobarbital se le deberá suministrar si se desea que el efecto dure 2 horas? Nota: Los datos del problema
son ficticios.
Respuesta:
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 17
5
24. Indique cuál de las siguientes opciones representa la transformada inversa de la función:
F (s) =
s
10 + 2 s + s2
A
f (t) = (cos(3 t) − sen(3 t)) e−t
C
f (t) = cos(3 t) −
B
f (t) = cos(3 t) − sen(3 t)
D
f (t) = (cos(3 t) −
25. Cuál de las siguientes opciones contiene la solución general a:
5
6 x y + 1 + x2 y 0 = 2 x (1 + x2 )
3
A
y = C (1 + x2 ) −
B
y=
C
y = C (1 + x2 ) +
D
y = − 18 (1 + x2 )
C
(1+x2 )3
+
1
8
(1 + x2 )
11
5
1
8
(1 + x2 )
3
−5
1
8
(1 + x2 )
11
3
+ C (1 + x2 )
1
3
sen(3 t)
1
3
sen(3 t)) e−t
Ecuaciones Diferenciales
Laboratorio Final
Maestro Eduardo Uresti, Verano 2010
Matrı́cula:
Grupo:
Nombre:
Tipo:18
1. Indique cuál de las siguientes opciones representa la transformada inversa de la función:
s
F (s) =
5 + 2 s + s2
A
f (t) = (cos(2 t) −
B
f (t) = cos(2 t) −
sen(2 t)) e−t
1
2
1
2
sen(2 t)
C
f (t) = cos(2 t) − sen(2 t)
D
f (t) = (cos(2 t) − sen(2 t)) e−t
2. Indique cuál de las siguientes opciones es la transformada de Laplace de
f (t) =
1
t sen(8 t)
16
A
F (s) =
s
(64+s2 )2
C
F (s) =
s
(−64+s2 )2
B
F (s) =
1
(−64+s2 )2
D
F (s) =
1
(64+s2 )2
3. Determine los valores de A, B y C para que
y = (C1 + C2 x) eA x + B eC x
sea la solución general a :
4 y − 4 y 0 + y 00 = ex
Respuesta:
4. Seleccionar la opción que contiene un paso intermedio para obtener la solución general de la ED:
cos(x)
y
+ y0 =
x
x
A
y=e
B
y=
R
1
x
R
C+
dx
C+
cos(x)
x
R
e
R
1
x
dx
cos(x) dx
dx
x
R
C+
C
y=
D
y=e
R
1
x
R 1
dx
x
cos(x)
e
R 1x
dx
e x
dx
C+
dx
cos(x)
R
e
R
1 dx
x
x
dx
5. Una cadena de 7 pies de largo yace extendida en una mesa. La cadena pesa en total 14 pounds y se supone que su peso
está uniformemente distribuido. Un extremo de un pie de longitud de cadena cuelga de la mesa y estira toda la cadena hacia
abajo. Despreciando la fricción, indique cuánto tiempo tardará en caer de la mesa. Sugerencia. Elija como variable incógnita
la longitud de la cadena que está fuera de la mesa, y = y(t). Para construir la ED use la segunda ley de Newton. La fuerza
aplicada a la cadena es 2 y. La aceleración es y 00 . Tome como condiciones iniciales y(0) = 1 y y 0 (0) = 0.
Respuesta:
6. Use la transformada de Laplace para resolver la ecuación diferencial
4 y + y 00 = f (t)
con condiciones iniciales y(0) = 7 y y 0 (0) = 0 y donde
f (t)

 0
=
1

0
si 0 ≤ t < π
si π ≤ t < 2π
si 2π ≤ t
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 18
2
1
4
(1 − cos(4 t)) Uπ (t) −
1
4
(1 − cos(4 t)) U2 π (t)
sen(2 t) +
1
4
(1 − cos(2 t)) Uπ (t) −
1
4
(1 − cos(2 t)) U2 π (t)
C
y(t) = 7 cos(2 t) +
1
2
(1 − cos(2 t)) Uπ (t) −
1
2
(1 − cos(2 t)) U2 π (t)
D
y(t) = 7 cos(2 t) +
1
4
(1 + cos(2 t)) Uπ (t) −
1
4
(1 + cos(2 t)) U2 π (t)
E
y(t) = 7 cos(2 t) +
1
4
(1 − cos(2 t)) Uπ (t) −
1
4
(1 − cos(2 t)) U2 π (t)
A
y(t) = 7 cos(2 t) +
B
y(t) =
7
2
7. Encuentre la máxima carga en el capacitor en un circuito serie LRC cuando L = 5/3h, R = 10Ω, C = 1/30f , E(t) = 300V ,
q(0) = 0C, y i(0) = 0A.
Respuesta:
8. Inicialmente, un gran tanque con una capacidad de 250 galones contiene 125 galones de agua limpia. Una solución de sal con
una concentración de 6 lb/gal fluye hacia el tanque a una razón de 20 gal/min. La solución es perfectamente bien mezclada
mientras se extrae solución a un ritmo de 19gal/min. Encuentre la cantidad de sal en el tanque en el instante en que se llena.
Respuesta:
9. Sabiendo que la solución a la correspondiente ecuación homogénea auxiliar es yh = c1 x + c2 e5 x determine una solución
particular a la ED:
25 y
25 x y 0
−
+
+ y 00 = 1 − 5 x
1 − 5x 1 − 5x
A
yp = 25 + 5 x + x2
B
yp =
C
yp = 1 − 5 x + x2
D
yp = 1 + 5 x + 25 x2
E
yp = 1 + 5 x − x2
F
1
yp = − 25
−
1
25
+
1
5
x + x2
1
5
x + x2
3
de
10. Se ha descubierto que una bola de naftalina que tenı́a originalmente un radio de 52 de pulgada, tiene una radio de 10
pulgada al cabo de un mes. Suponiendo que se evapore a un ı́ndice proporcional a su superficie, determine el tiempo necesario
en meses para que la bola desaparezca.
A
6.81818
B
2.27273
C
3.40909
D
1.13636
11. En un circuito serie RC con C =
1
160 H,
R = 400Ω, y

 2
E(t) =
−2

0
para
para
para
0≤t<3
3≤t<6
6≤t
donde E(t) está en voltios. Encuentre la carga en coulumbs en el condensador en el tiempo t = 9 segundos. Tome q(0) = 0.0 C
Respuesta:
12. Indique la opción que contiene la solución a la ecuación diferencial:
dy
= −e5 y + e(8 x+5 y)
dx
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 18
1
8
3
e8 x
A
y =C+
B
e5 y = −5 + C +
C
e5 y = C +
D
y = C + 8 e8 x
E
e−5 y = C −
8
5
e8 x +
F
e−5 y = C −
5
8
e8 x + 5 x
5
8
5
8
e8 x
e8 x − 5 x
1
5
x
13. Se estima que la población de la tierra en el 1500 fue de 100 millones de personas. En 1990 la población mundial se estimó en
2600 millones. Asumiendo que la tasa de crecimiento es proporcional a la población en cada momento, estime el año en el
que la población sea de 3100 millones.
Respuesta:
14. Cuando un rayo de luz pasa através de una sustancia transparente, el grado con que la intensidad, I(h), disminuye es
proporcional a la misma intensidad I(h) donde h representa el espesor del medio. En el agua de mar, la intensidad a 1.3
metros bajo la superficie es de 20 por ciento de la intesidad inicial Io del rayo incidente. Cuál es la intensidad del rayo de
luz a 2.3 metros respecto a Io ? Reporta tu respuesta entre 0 y 1.
Respuesta:
15. Resuelva la siguiente ED con condiciones iniciales y(0) = 3 y y 0 (0) = 1 reduciéndola en orden
2
(y 0 ) = 3 y y 00
2
2
A
y 3 = 33 +
B
y 4 = 81 +
C
y 3 = 33 +
D
y = 3 e3 x
2
2
2 x
3 3 13
4x
1
33
2
3
x
1
16. Indique cuál de las opciones siguientes es la ecuación subsidiaria del problema con condiciones iniciales y(0) = 0 y y 0 (0) = 4
con ecuación:
12 y − 7 y 0 + y 00 = 4 e3 t
A
Y (s) =
−8+4 s
(−3+s) (12−7 s+s2 )
B
Y (s) =
8+4 s
(−3+s) (12−7 s+s2 )
C
Y (s) =
−8+4 s
(−3+s) (12+7 s+s2 )
D
Y (s) =
8+4 s
12−7 s+s2
17. Un recipiente cilı́ndrico se está vaciando por un orificio en la parte inferior. Si inicialmente el lı́quido estaba a una profundidad
de 16 metros y al cabo de 10 horas se vacı́a. A qué horas pasó por la mitad de la profundidad?
Respuesta:
18. En la investigación de un asesinato, un cuerpo sin vida fue encontrado por Gil Grissom exactamente a las 8:00 PM, estando
alerta, él midió la temperatura del cuerpo registrándola en los 30o C. Dos horas mas tarde, él anotó que la temperatura del
cuerpo era de 26o C. Sabiendo que la temperatura de la habitación fue de 20o C, determine la hora a la cual el asesinato
ocurrió. Considere que la temperatura corporal normal es de 37o C. Reporte la hora en decimales. Por ejemplo, 1 hora 30
nimutos en decimales quedarı́a 1.5 horas.
Respuesta:
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 18
4
19. José Luis se va a someter a una cirugı́a por una lesión de futbol y debe ser anestesiado. El anestesiólogo sabe que para que
un paciente sea anestesiado, mediante Pentobarbital sódico, debe tener en su sangre dicha sustancia en una concentración
de al menos 50 miligramos por cada kilogramo de peso. Suponga que las sustancias quı́micas disminuyen su concentración
en la sangre en forma proporcional a la concentración de la sustancia y que en particular el Pentobarbital disminuye su
concentración a la mitad cada 10 horas. Si José Luis pesa 85 kilogramos y será anestesiado mediante una sola dósis, cuántos
miligramos de Pentobarbital se le deberá suministrar si se desea que el efecto dure 2 horas? Nota: Los datos del problema
son ficticios.
Respuesta:
20. Un cuerpo con peso de 9 libras cuelga de un resorte con constante 89 lb/ft. El medio donde se mueve el cuerpo ofrece una
fuerza de resistencia al movimiento que es numéricamente igual a su velocidad instantánea. Si el peso es liberado 32 pies
por encima de su posición de equilibrio con una velocidad hacia abajo de 24 pies por segundo. Determine la velocidad en el
momento en el cual pasa por la posición de equilibrio.
Respuesta:
21. Indique la opción que contiene la solución que satisface y(0) = 0 para la ecuación:
2 x + 3 y + (3 x + 2 y) y 0 = 0
A
x3 + 3 x y + y 3 = 0
B
x2 + x y + y 2 = 0
C
x2 + 3 x y + y 2 = 0
D
x3 + x y + y 3 = 0
E
x2 + y 2 = 0
F
x3 + 2 x y + y 3 = 0
G
x2 + 2 x y + y 2 = 0
H
x3 + y 3 = 0
22. Indicar la opción que contiene la solución a la ecuación diferencial:
y0 =
A
− xy = C + ln(2 x)
B
y
x
C
− y1 = C + 2 ln(x)
D
x
y
E
− u1 = C + 2 ln(x)
F
− xy = C + ln(x2 )
x y + 2 y2
x2
= C − 2 ln(x)
= C + 2 ln(x)
23. Una fragmento de la pata de la silla de la tumba Tutankhamón contenı́a el 68 por ciento del carbono 14 radiactivo que
contiene un fragmento del mismo tipo de madera en un árbol vivo. Estime la edad de la tumba en años, sabiendo que la
vida media del carbono 14 es de aproximadamente 5600 años.
Respuesta:
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 18
5
24. Cuál de las siguientes opciones representa la transformada de Laplace de la función: (Sugerencia: use las definiciones de
las funciones de las funciones hiperbólicas mediante exponenciales)
f (t) = t cosh(8 t)
−1
A
F (s) = (64 + s2 )
B
F (s) =
64+s2
−64+s2
C
F (s) =
64+s2
(−64+s2 )2
D
F (s) =
16 s
(−64+s2 )2
25. El número de individuos infectados A(t) en un tiempo t debe crecer a una razón que es aproximadamente proporcional al
producto A(t)(N − A(t)) donde N es el tamaño de la población. Si el tamaño de la población es de 700 individuos y si
inicialmente existen 20 individuos infectados y al cabo de 1 meses existen 40 individuos infectados. Cuántos habrá infectados
al cabo de 2 meses?
Respuesta:
Ecuaciones Diferenciales
Laboratorio Final
Maestro Eduardo Uresti, Verano 2010
Grupo:
Matrı́cula:
Nombre:
Tipo:19
1. Determine los valores de A, B, C y D para que la función
y = A + B eC x
2
+D x
sea la solución particular que cumple y(0) = 5 a la ecuación diferencial:
dy
= 8 − 4x − 2y + xy
dx
Respuesta:
2. Se estima que la población de la tierra en el 1500 fue de 100 millones de personas. En 1990 la población mundial se estimó en
2600 millones. Asumiendo que la tasa de crecimiento es proporcional a la población en cada momento, estime el año en el
que la población sea de 2800 millones.
Respuesta:
3. Un cuerpo con peso de 10 libras cuelga de un resorte con constante 45 lb/ft. El medio donde se mueve el cuerpo ofrece una
fuerza de resistencia al movimiento que es numéricamente igual a su velocidad instantánea. Si el peso es liberado 53 pies
por encima de su posición de equilibrio con una velocidad hacia abajo de 6 pies por segundo. Determine la velocidad en el
momento en el cual pasa por la posición de equilibrio.
Respuesta:
4. Determine los valores de A, B y C para que
y = (C1 + C2 x) eA x + B eC x
sea la solución general a :
64 y − 16 y 0 + y 00 = ex
Respuesta:
5. En la investigación de un asesinato, un cuerpo sin vida fue encontrado por Gil Grissom exactamente a las 8:00 PM, estando
alerta, él midió la temperatura del cuerpo registrándola en los 33o C. Dos horas mas tarde, él anotó que la temperatura del
cuerpo era de 26o C. Sabiendo que la temperatura de la habitación fue de 22o C, determine la hora a la cual el asesinato
ocurrió. Considere que la temperatura corporal normal es de 37o C. Reporte la hora en decimales. Por ejemplo, 1 hora 30
nimutos en decimales quedarı́a 1.5 horas.
Respuesta:
6. Use la transformada de Laplace para resolver la ecuación diferencial
4 y + y 00 = f (t)
con condiciones iniciales y(0) = 8 y y 0 (0) = 0 y donde
f (t)

 0
=
1

0
si 0 ≤ t < π
si π ≤ t < 2π
si 2π ≤ t
A
y(t) = 8 cos(2 t) +
1
4
(1 − cos(4 t)) Uπ (t) −
1
4
(1 − cos(4 t)) U2 π (t)
B
y(t) = 8 cos(2 t) +
1
4
(1 + cos(2 t)) Uπ (t) −
1
4
(1 + cos(2 t)) U2 π (t)
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 19
2
C
y(t) = 8 cos(2 t) +
1
2
(1 − cos(2 t)) Uπ (t) −
1
2
(1 − cos(2 t)) U2 π (t)
D
y(t) = 8 cos(2 t) +
1
4
(1 − cos(2 t)) Uπ (t) −
1
4
(1 − cos(2 t)) U2 π (t)
E
y(t) = 4 sen(2 t) +
1
4
(1 − cos(2 t)) Uπ (t) −
1
4
(1 − cos(2 t)) U2 π (t)
7. Una cadena de 8 pies de largo yace extendida en una mesa. La cadena pesa en total 13 pounds y se supone que su peso
está uniformemente distribuido. Un extremo de un pie de longitud de cadena cuelga de la mesa y estira toda la cadena hacia
abajo. Despreciando la fricción, indique cuánto tiempo tardará en caer de la mesa. Sugerencia. Elija como variable incógnita
la longitud de la cadena que está fuera de la mesa, y = y(t). Para construir la ED use la segunda ley de Newton. La fuerza
00
0
aplicada a la cadena es 13
8 y. La aceleración es y . Tome como condiciones iniciales y(0) = 1 y y (0) = 0.
Respuesta:
8. El número de individuos infectados A(t) en un tiempo t debe crecer a una razón que es aproximadamente proporcional al
producto A(t)(N − A(t)) donde N es el tamaño de la población. Si el tamaño de la población es de 400 individuos y si
inicialmente existen 30 individuos infectados y al cabo de 1 meses existen 60 individuos infectados. Cuántos habrá infectados
al cabo de 2 meses?
Respuesta:
9. Cuando un rayo de luz pasa através de una sustancia transparente, el grado con que la intensidad, I(h), disminuye es
proporcional a la misma intensidad I(h) donde h representa el espesor del medio. En el agua de mar, la intensidad a 1.5
metros bajo la superficie es de 30 por ciento de la intesidad inicial Io del rayo incidente. Cuál es la intensidad del rayo de
luz a 2.5 metros respecto a Io ? Reporta tu respuesta entre 0 y 1.
Respuesta:
10. Un recipiente cilı́ndrico se está vaciando por un orificio en la parte inferior. Si inicialmente el lı́quido estaba a una profundidad
de 8 metros y al cabo de 8 horas se vacı́a. A qué horas pasó por la mitad de la profundidad?
Respuesta:
11. Determine A, B, C y D para que
f (t) = eA t (B cos(C t) + D sen(C t))
sea la transformada inversa de la función:
F (s) =
s
65 + 2 s + s2
Respuesta:
12. Indique cuál de las opciones siguientes es la ecuación subsidiaria del problema con condición inicial y(0) = 4 y ED:
3 y + y 0 = t cos(3 t) + sen(3 t) e2 t
4+
A
Y (s) =
B
Y (s) =
Y (s) =
D
Y (s) =
+ 13−43s+s2
3+s
4+
C
6s
(9+s2 )2
2 s2
(9+s2 )2
−1
+ 13+43s+s2
−1
+ 13−43s+s2
−1
−2+s
+ 13−4
s+s2
−(9+s2 )
3+s
2
4+ 2 s2 2
(9+s )
−(9+s2 )
3+s
4+
2 s2
(9+s2 )2
−(9+s2 )
3+s
13. Indique la opción que contiene la solución que satisface y(0) = 0 para la ecuación:
2 x + 3 y + (3 x + 2 y) y 0 = 0
A
x3 + y 3 = 0
B
x3 + 2 x y + y 3 = 0
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 19
C
x3 + x y + y 3 = 0
D
x2 + 2 x y + y 2 = 0
E
x3 + 3 x y + y 3 = 0
F
x2 + x y + y 2 = 0
G
x2 + 3 x y + y 2 = 0
H
x2 + y 2 = 0
3
14. Indicar la opción que contiene la solución a la ecuación diferencial:
y0 =
A
y 2 = x2 (C − 4 ln(x))
B
x2
y2
= C − 4 ln(x)
C
x2
y2
= C + 2 ln(x)
D
− xy2 = C + 2 ln(x)
E
1
− y2
= C − 2 ln(x)
x2 y + 2 y 3
x3
2
15. En 1964, cientı́ficos soviéticos hicieron un nuevo elemento, mediante el bombardeo de átomos de plutonio, el cual tenı́a
número atómico 104. La vida media de este elemento llamado E104 es de 0.15 segundos. Si es producido a un ritmo de
55 × 10−5 microgramos por segundo y bajo el supuesto que no habı́a presente tal material , Cuántos microgramos habrı́a al
cabo de 70 segundos?
Respuesta:
16. Indique cuál de las siguientes opciones es la transformada de Laplace de
f (t) =
1
t sen(4 t)
8
A
F (s) =
s
(16+s2 )2
C
F (s) =
1
(−16+s2 )2
B
F (s) =
1
(16+s2 )2
D
F (s) =
s
(−16+s2 )2
9
de pulgada
17. Se ha descubierto que un cubo de naftalina que tenı́a originalmente un lado de 54 de pulgada, tiene un lado de 20
al cabo de un mes. Suponiendo que se evapore a un ı́ndice proporcional a su superficie, determine el tiempo necesario en
meses para que el cubo desaparezca.
A
0.78125
B
9.375
C
4.6875
D
1.5625
18. Cuál de las siguientes opciones contiene la solución general a:
9
5 x y + 1 + x2 y 0 = 5 x (1 + x2 )
5
A
y = C (1 + x2 ) 2 −
5
23
(1 + x2 )
14
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 19
5
B
y = C (1 + x2 ) 2 +
C
5
y = − 23
(1 + x2 )
D
y=
5
23
−9
C
5
(1+x2 ) 2
+
5
23
(1 + x2 )
4
14
5
+ C (1 + x2 ) 2
9
(1 + x2 )
19. Cuál de las siguientes opciones representa la transformada de Laplace de la función: (Sugerencia: use las definiciones de
las funciones de las funciones hiperbólicas mediante exponenciales)
f (t) = t cosh(5 t)
25+s2
(−25+s2 )2
A
F (s) =
B
F (s) = (25 + s2 )
C
F (s) =
25+s2
−25+s2
D
F (s) =
10 s
(−25+s2 )2
−1
20. En un circuito serie RC con C =
1
200 H,
R = 200Ω, y

 3
E(t) =
−3

0
para
para
para
0≤t<6
6 ≤ t < 12
12 ≤ t
donde E(t) está en voltios. Encuentre la carga en coulumbs en el condensador en el tiempo t = 18 segundos. Tome q(0) = 0.0 C
Respuesta:
21. En muchos estados de USA es ilegal manejar con un nivel de alcohol mayor que 0.10 por ciento (una parte de alcohol por 1000
partes de sangre). Suponga que alguien es detenido en alguno de esos estados y que se detecta que tiene un porcentaje de
alcohol en la sangre de 0.8 %. Si se asume que el porcentaje de alcohol en el torrente sanguı́neo decrece en forma proporcional
al porcentaje de alcohol, y que además la concentración de alcohol decrece 10 por ciento cada hora, determine cuánto tiempo
en horas debe pasar para que esa persona pueda conducir legalmente de nuevo. Nota: Los datos de este problema son
ficticios.
Respuesta:
22. Calcule el valor en x = 1 para la solución particular y(x) que cumple las condiciones iniciales y( 51 ) = 1 y y 0 ( 15 ) = 10 a la ED:
5 y0
y 00 = √
y
Respuesta:
23. Encuentre la máxima carga en el capacitor en un circuito serie LRC cuando L = 5/3h, R = 10Ω, C = 1/30f , E(t) = 300V ,
q(0) = 0C, y i(0) = 0A.
Respuesta:
24. Un recipiente contiene 80 galones de una solución de sal a una concentración de 0.1 libras por galón. Un proceso se inicia
poniendo agua limpia en el recipiente a un ritmo de 4 galones por minuto. A la vez que se vierte agua, se extrae solución
del tanque a la misma velocidad. La solución extraı́da es entonces vertida en un nuevo recipiente que contiene 80 galones de
agua limpia. Del cual a su vez también serán extraı́dos 4 galones de solución por minuto. Cuál será la concentración máxima
que alcanzará la solución en el segundo tanque? (en libras por galón) Sugerencia. Primero determine la fórmula que da la
contidad de sal en el primer tanque en función de t. A partir de ella obtenga la fórmula que da la concentración de sal en el
primer tanque. De ella determine la fórmula de la velocidad de entrada de sal al segundo tanque en libras por minuto.
Respuesta:
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 19
5
25. Sabiendo que la solución a la correspondiente ecuación homogénea auxiliar es yh = c1 x + c2 e4 x determine una solución
particular a la ED:
16 y
16 x y 0
−
+
+ y 00 = 1 − 4 x
1 − 4x 1 − 4x
A
yp = 1 + 4 x − x2
B
yp = 1 − 4 x + x2
C
yp =
D
yp = 1 + 4 x + 16 x2
E
1
yp = − 16
−
F
yp = 16 + 4 x + x2
1
16
+
1
4
x + x2
1
4
x + x2
Ecuaciones Diferenciales
Laboratorio Final
Maestro Eduardo Uresti, Verano 2010
Grupo:
Matrı́cula:
Nombre:
Tipo:20
1. Cuando un rayo de luz pasa através de una sustancia transparente, el grado con que la intensidad, I(h), disminuye es
proporcional a la misma intensidad I(h) donde h representa el espesor del medio. En el agua de mar, la intensidad a 1.8
metros bajo la superficie es de 30 por ciento de la intesidad inicial Io del rayo incidente. A qué profundidad en metros la
intensidad es 40 por ciento de Io ?
Respuesta:
2. Un termómero se saca de una habitación donde la temperatura del aire es 60o F , al exterior en donde la temperatura del
aire es 12o F. Después de 52 partes de minuto el termómetro marca 47o F cuántos minutos tiempo demorará el termómetro
en alcanzar los 14o F?. Suponga que la rapidez con la que la temperatura T (t) cambia es proporcional a la diferencia entre
la temperatura del termómetro y la temperatura constante To del medio que lo rodea.
A
0.779836
B
40.2473
C
4.02473
D
7.79836
3. En un circuito serie RC con C =
1
400 H,
R = 400Ω, y

 2
E(t) =
−2

0
0≤t<6
6 ≤ t < 12
12 ≤ t
para
para
para
donde E(t) está en voltios. Encuentre la carga en coulumbs en el condensador en el tiempo t = 18 segundos. Tome q(0) = 0.0 C
Respuesta:
4. Indicar la opción que contiene la solución a la ecuación diferencial:
y0 =
A
y 2 = x2 (C − 4 ln(x))
B
x2
y2
C
1
= C − 2 ln(x)
− y2
D
x2
y2
E
− xy2 = C + 2 ln(x)
x2 y + 2 y 3
x3
= C + 2 ln(x)
= C − 4 ln(x)
2
5. Indique cuál de las siguientes opciones representa la transformada inversa de la función:
F (s) =
s
26 + 2 s + s2
A
f (t) = cos(5 t) − sen(5 t)
C
f (t) = (cos(5 t) −
B
f (t) = (cos(5 t) − sen(5 t)) e−t
D
f (t) = cos(5 t) −
1
5
1
5
sen(5 t)) e−t
sen(5 t)
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 20
2
6. Seleccionar la opción que contiene la transformada de Laplace de
f (t) =
1
2
cos(6 t) − cos(7 t)
t
2
ln( 49+s
36+s2 )
A
F (s) =
B
6+s
F (s) = ln( 7+s
)
C
F (s) =
s
36+s2
+
s
49+s2
D
F (s) =
s
36+s2
−
s
49+s2
7. Determine los valores de A, B, C y D para que
y 00 + A y 0 + B y = C x + D
tenga como solución general:
y = −3 + x + C1 e5 x + C2 e3 x
Respuesta:
8. En 1960 un artı́culo de New York Times anunció que Arqueólogos afirman que la civilización Sumeria ocupó el valle del
Tigris hace 5850 años . Asumiendo que los arqueólogos usaron la técnica del C-14. Determine el porcentaje del carbono
catorce encontrado en las muestras (con respecto al inicial). Use como dato que la vida media de C-14 es de 5600 años.
A
0.484765
B
0.363574
C
0.783482
D
0.522321
9. Seleccionar la opción que contiene un paso intermedio para obtener la solución general de la ED:
y
cos(x)
+ y0 =
x
x
A
y=e
B
y=
R
1
x
R
C+
dx
C+
cos(x)
x
R
e
R
1
x
dx
cos(x) dx
dx
x
R
C+
C
y=
D
y=e
R
1
x
R 1
dx
x
e
cos(x)
R 1x
dx
e x
dx
C+
dx
cos(x)
R
e
R
1 dx
x
x
dx
10. Determine los valores de A, B, C y D para que la función
y = A + B eC x
2
+D x
sea la solución particular que cumple y(0) = 5 a la ecuación diferencial:
dy
= 8 − 4x − 2y + xy
dx
Respuesta:
11. Encuentre la máxima carga en el capacitor en un circuito serie LRC cuando L = 5/3h, R = 10Ω, C = 1/30f , E(t) = 300V ,
q(0) = 0C, y i(0) = 0A.
Respuesta:
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 20
3
12. José Luis se va a someter a una cirugı́a por una lesión de futbol y debe ser anestesiado. El anestesiólogo sabe que para que
un paciente sea anestesiado, mediante Pentobarbital sódico, debe tener en su sangre dicha sustancia en una concentración
de al menos 50 miligramos por cada kilogramo de peso. Suponga que las sustancias quı́micas disminuyen su concentración
en la sangre en forma proporcional a la concentración de la sustancia y que en particular el Pentobarbital disminuye su
concentración a la mitad cada 10 horas. Si José Luis pesa 95 kilogramos y será anestesiado mediante una sola dósis, cuántos
miligramos de Pentobarbital se le deberá suministrar si se desea que el efecto dure 2 horas? Nota: Los datos del problema
son ficticios.
Respuesta:
13. Un recipiente cilı́ndrico se está vaciando por un orificio en la parte inferior. Si inicialmente el lı́quido estaba a una profundidad
de 16 metros y al cabo de 2 horas se vacı́a. A qué horas pasó por la mitad de la profundidad?
Respuesta:
14. Sabiendo que la solución a la correspondiente ecuación homogénea auxiliar es yh = c1 + c2 sec (5 x) determine una solución
particular por el método de variación de parámetros a la ED:
−5 (csc(5 x) sec(5 x) + tan(5 x)) y 0 + y 00 = tan(5 x)
A
yp = − 15 x +
B
yp =
C
yp = − 15 x +
D
yp =
E
yp = − 15 x −
F
yp = x + tan(5 x)
1
5
1
5
x+
x+
1
5
1
5
tan(5 x)
tan(5 x)
1
25
1
25
1
5
tan(5 x)
tan(5 x)
tan(5 x)
15. usando el caso I, Iindique la opción que contiene un paso intermedio en la solución a:
3
ln((y 0 ) ) y 00 = 4
4
3
A
R
B
3 z (−1 + ln(z)) = 4 x + C1
C
3 (−z + z ln(z)) = 4 y + C1
D
ln(z) = ( 23 ) 2 (4 x + C1 ) 2
z ln(z) dz =
1
y
1
7
1
16. Se ha descubierto que un cubo de naftalina que tenı́a originalmente un lado de 16
de pulgada, tiene un lado de 18
de pulgada
al cabo de un mes. Suponiendo que se evapore a un ı́ndice proporcional a su superficie, determine el tiempo necesario en
meses para que el cubo desaparezca.
A
1.14545
B
0.572727
C
3.43636
D
6.87273
17. Una cadena de 8 pies de largo yace extendida en una mesa. La cadena pesa en total 4 pounds y se supone que su peso
está uniformemente distribuido. Un extremo de un pie de longitud de cadena cuelga de la mesa y estira toda la cadena hacia
abajo. Despreciando la fricción, indique a qué velocidad cae cuando deja de estar en la mesa. Sugerencia. Elija como variable
incógnita la longitud de la cadena que está fuera de la mesa, y = y(t). Para construir la ED use la segunda ley de Newton.
La fuerza aplicada a la cadena es 21 y. La aceleración es y 00 . Utiliza que la aceleración también puede ser expresada como
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 20
4
a = v dv/dy. de manera que quede una ecuación diferencial de primer orden en con variable dependiente v e independiente
y. Tome como condición inicial v(y = 1) = 0.
Respuesta:
18. Indique cuál de las opciones siguientes es la ecuación subsidiaria del problema con condiciones iniciales y(0) = 0 y y 0 (0) = 7
con ecuación:
28 y − 11 y 0 + y 00 = 7 e4 t
A
Y (s) =
21+7 s
28−11 s+s2
B
Y (s) =
−21+7 s
(−4+s) (28+11 s+s2 )
C
Y (s) =
−21+7 s
(−4+s) (28−11 s+s2 )
D
Y (s) =
21+7 s
(−4+s) (28−11 s+s2 )
19. Inicialmente, un gran tanque con una capacidad de 150 galones contiene 75 galones de agua limpia. Una solución de sal con
una concentración de 3 lb/gal fluye hacia el tanque a una razón de 15 gal/min. La solución es perfectamente bien mezclada
mientras se extrae solución a un ritmo de 14gal/min. Encuentre la cantidad de sal en el tanque en el instante en que se llena.
Respuesta:
20. Cuál de las siguientes opciones representa la transformada de Laplace de la función: (Sugerencia: use las definiciones de
las funciones de las funciones hiperbólicas mediante exponenciales)
f (t) = t cosh(4 t)
−1
A
F (s) = (16 + s2 )
B
F (s) =
8s
(−16+s2 )2
C
F (s) =
16+s2
−16+s2
D
F (s) =
16+s2
(−16+s2 )2
21. El número de individuos infectados A(t) en un tiempo t debe crecer a una razón que es aproximadamente proporcional al
producto A(t)(N − A(t)) donde N es el tamaño de la población. Si el tamaño de la población es de 300 individuos y si
inicialmente existen 60 individuos infectados y al cabo de 1 meses existen 120 individuos infectados. Cuántos habrá infectados
al cabo de 2 meses?
Respuesta:
22. Un cultivo de Escherichia coli crece a una velocidad proporcional a su tamaño. Un investigador ha determinado que cada
hora el cultivo crece en un 2 por ciento y que hay 200 organismos inicialmente. Cuántos organismos habrá al cabo de 5
horas?
Respuesta:
23. Use la transformada de Laplace para resolver la ecuación diferencial
36 y + y 00 = f (t)
con condiciones iniciales y(0) = 8 y y 0 (0) = 0 y donde

 0
=
1

0
f (t)
A
y(t) = 8 cos(6 t) +
1
36
(1 − cos(12 t)) Uπ (t) −
B
y(t) = 8 cos(6 t) +
1
18
(1 − cos(6 t)) Uπ (t) −
1
36
1
18
si 0 ≤ t < π
si π ≤ t < 2π
si 2π ≤ t
(1 − cos(12 t)) U2 π (t)
(1 − cos(6 t)) U2 π (t)
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 20
4
3
5
C
y(t) =
sen(6 t) +
1
36
(1 − cos(6 t)) Uπ (t) −
1
36
(1 − cos(6 t)) U2 π (t)
D
y(t) = 8 cos(6 t) +
1
36
(1 + cos(6 t)) Uπ (t) −
1
36
(1 + cos(6 t)) U2 π (t)
E
y(t) = 8 cos(6 t) +
1
36
(1 − cos(6 t)) Uπ (t) −
1
36
(1 − cos(6 t)) U2 π (t)
24. Indique la opción que contiene la solución que satisface y(0) = 0 para la ecuación:
2 x + 3 y + (3 x + 2 y) y 0 = 0
A
x3 + y 3 = 0
B
x3 + 2 x y + y 3 = 0
C
x2 + 3 x y + y 2 = 0
D
x2 + x y + y 2 = 0
E
x2 + 2 x y + y 2 = 0
F
x3 + 3 x y + y 3 = 0
G
x3 + x y + y 3 = 0
H
x2 + y 2 = 0
25. Un cuerpo con peso de 5 libras cuelga de un resorte con constante 85 lb/ft. El medio donde se mueve el cuerpo ofrece una
fuerza de resistencia al movimiento que es numéricamente igual a su velocidad instantánea. Si el peso es liberado 56 pies
por encima de su posición de equilibrio con una velocidad hacia abajo de 9 pies por segundo. Determine la velocidad en el
momento en el cual pasa por la posición de equilibrio.
Respuesta:
Ecuaciones Diferenciales
Laboratorio Final
Maestro Eduardo Uresti, Verano 2010
Grupo:
Matrı́cula:
Nombre:
Tipo:21
1. En la investigación de un asesinato, un cuerpo sin vida fue encontrado por Gil Grissom exactamente a las 8:00 PM, estando
alerta, él midió la temperatura del cuerpo registrándola en los 33o C. Dos horas mas tarde, él anotó que la temperatura del
cuerpo era de 28o C. Sabiendo que la temperatura de la habitación fue de 21o C, determine la hora a la cual el asesinato
ocurrió. Considere que la temperatura corporal normal es de 37o C. Reporte la hora en decimales. Por ejemplo, 1 hora 30
nimutos en decimales quedarı́a 1.5 horas.
Respuesta:
2. Indique cuál de las siguientes opciones es la transformada de Laplace de
f (t) =
1
t sen(8 t)
16
A
F (s) =
s
(64+s2 )2
C
F (s) =
1
(64+s2 )2
B
F (s) =
s
(−64+s2 )2
D
F (s) =
1
(−64+s2 )2
3. Un recipiente cilı́ndrico se está vaciando por un orificio en la parte inferior. Si inicialmente el lı́quido estaba a una profundidad
de 4 metros y al cabo de 8 horas tenı́a una profundidad de 2 metros. Cuánto tiempo tardará en vaciarse?
A
12. horas
B
8 horas adicionales
C
40.9706 horas
D
27.3137 horas
4. Encuentre la máxima carga en el capacitor en un circuito serie LRC cuando L = 5/3h, R = 10Ω, C = 1/30f , E(t) = 300V ,
q(0) = 0C, y i(0) = 0A.
Respuesta:
5. Calcule el valor en x = 1 para la solución particular y(x) que cumple las condiciones iniciales y( 51 ) = 1 y y 0 ( 15 ) = 10 a la ED:
5 y0
y 00 = √
y
Respuesta:
6. El número de individuos infectados A(t) en un tiempo t debe crecer a una razón que es aproximadamente proporcional al
producto A(t)(N − A(t)) donde N es el tamaño de la población. Si el tamaño de la población es de 300 individuos y si
inicialmente existen 50 individuos infectados y al cabo de 1 meses existen 100 individuos infectados. Cuántos habrá infectados
al cabo de 2 meses?
Respuesta:
7. Inicialmente 7 kilogramos de sal están disueltos en un tanque de 250 litros de agua, y entonces una solución, también de sal
y con una concentración de 0.02 kilogramos por litro, es vertida al interior del tanque a un ritmo de 3 litros por minuto. La
solución dentro del tanque se mantiene homogénea y se drena a la misma velocidad a la cual se vierte manteniendo constante
el volumen total del lı́quido. Determine la concentración de sal en el interior del recipiente al cabo de 5 minutos.
Respuesta:
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 21
2
8. Un cuerpo con peso de 10 libras cuelga de un resorte con constante 54 lb/ft. El medio donde se mueve el cuerpo ofrece una
fuerza de resistencia al movimiento que es numéricamente igual a su velocidad instantánea. Si el peso es liberado 53 pies
por encima de su posición de equilibrio con una velocidad hacia abajo de 18 pies por segundo. Determine la velocidad en el
momento en el cual pasa por la posición de equilibrio.
Respuesta:
9. Indique cuál de las opciones siguientes es la ecuación subsidiaria del problema con condición inicial y(0) = 6 y ED:
6 y + y 0 = t cos(3 t) + sen(3 t) e7 t
6+
A
Y (s) =
B
Y (s) =
C
Y (s) =
D
Y (s) =
2 s2
(9+s2 )2
−1
−7+s
+ 58−14
s+s2
−1
+ 58+143 s+s2
−(9+s2 )
6+s
6+
2 s2
(9+s2 )2
−(9+s2 )
6+s
6+
6s
(9+s2 )2
+ 58−143 s+s2
6+s
6+
2 s2
(9+s2 )2
−1
−(9+s2 )
+ 58−143 s+s2
6+s
10. Una cadena de 3 pies de largo yace extendida en una mesa. La cadena pesa en total 18 pounds y se supone que su peso
está uniformemente distribuido. Un extremo de un pie de longitud de cadena cuelga de la mesa y estira toda la cadena hacia
abajo. Despreciando la fricción, indique a qué velocidad cae cuando deja de estar en la mesa. Sugerencia. Elija como variable
incógnita la longitud de la cadena que está fuera de la mesa, y = y(t). Para construir la ED use la segunda ley de Newton.
La fuerza aplicada a la cadena es 6 y. La aceleración es y 00 . Utiliza que la aceleración también puede ser expresada como
a = v dv/dy. de manera que quede una ecuación diferencial de primer orden en con variable dependiente v e independiente
y. Tome como condición inicial v(y = 1) = 0.
Respuesta:
11. Indique la opción que contiene la solución general a:
4 e(7+3 x) + 4 y dx + 5 e(4+6 y) + 4 x dy = 0
A
4
3
e(7+3 x) +
10
3
B
4
3
e(7+3 x) +
5
6
C
5
6
e(4+6 y) +
16
3
D
4
3
e(7+3 x) +
5
6
e(4+6 y) x y = C
e(4+6 y) + x + 4 y = C
e(7+3 x) x y = C
e(4+6 y) + 4 x y = C
12. Indicar la opción que contiene la solución a la ecuación diferencial:
y0 =
A
− xy = C + ln(x2 )
B
− u1 = C + 2 ln(x)
C
− xy = C + ln(2 x)
D
y
x
= C − 2 ln(x)
E
x
y
= C + 2 ln(x)
F
− y1 = C + 2 ln(x)
x y + 2 y2
x2
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 21
3
13. Sabiendo que la solución a la correspondiente ecuación homogénea auxiliar es yh = c1 + c2 sec (2 x) determine una solución
particular por el método de variación de parámetros a la ED:
−2 (csc(2 x) sec(2 x) + tan(2 x)) y 0 + y 00 = tan(2 x)
A
yp = − 12 x −
1
2
tan(2 x)
B
yp = − 12 x +
1
2
tan(2 x)
C
yp =
D
yp = − 12 x +
E
yp =
F
yp = x + tan(2 x)
1
2
1
2
x+
x+
1
2
1
4
tan(2 x)
1
4
tan(2 x)
tan(2 x)
14. Cuál de las siguientes opciones contiene la solución general a:
6
5 x y + 4 + x2 y 0 = 4 x (4 + x2 )
−6
A
4
(4 + x2 )
y = − 17
B
y = C (4 + x2 ) 2 +
C
y=
D
y = C (4 + x2 ) 2 −
5
C
5
(4+x2 ) 2
+
4
17
5
+ C (4 + x2 ) 2
4
17
(4 + x2 )
11
6
(4 + x2 )
5
4
17
(4 + x2 )
11
15. Indique cuál de las opciones es la solución general a :
49 y + y 00 = 5 cos(8 x) + 3 sen(8 x)
A
y = C1 cos(7 x) + C2 sen(7 x) +
1
15
(5 cos(8 x) + 3 sen(8 x))
B
y = C1 cos(7 x) + C2 sen(7 x) +
1
15
(−5 cos(8 x) − 3 sen(8 x))
C
y = C1 cos(7 x) + C2 sen(7 x) +
1
15
(−5 cos(8 x) + 3 sen(8 x))
D
y = C1 cos(7 x) +
1
15
(−5 cos(7 x) − 3 sen(7 x)) + C2 sen(7 x)
16. Un cultivo de Escherichia coli crece a una velocidad proporcional a su tamaño. Un investigador ha determinado que cada
hora el cultivo crece en un 5 por ciento y que hay 100 organismos inicialmente. Cuántos organismos habrá al cabo de 5
horas?
Respuesta:
17. Cuál de las siguientes opciones representa la transformada de Laplace de la función: (Sugerencia: use las definiciones de
las funciones de las funciones hiperbólicas mediante exponenciales)
f (t) = t cosh(8 t)
16 s
(−64+s2 )2
A
F (s) =
B
F (s) = (64 + s2 )
C
F (s) =
64+s2
(−64+s2 )2
D
F (s) =
64+s2
−64+s2
−1
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 21
4
18. José Luis se va a someter a una cirugı́a por una lesión de futbol y debe ser anestesiado. El anestesiólogo sabe que para que
un paciente sea anestesiado, mediante Pentobarbital sódico, debe tener en su sangre dicha sustancia en una concentración
de al menos 50 miligramos por cada kilogramo de peso. Suponga que las sustancias quı́micas disminuyen su concentración
en la sangre en forma proporcional a la concentración de la sustancia y que en particular el Pentobarbital disminuye su
concentración a la mitad cada 10 horas. Si José Luis pesa 80 kilogramos y será anestesiado mediante una sola dósis, cuántos
miligramos de Pentobarbital se le deberá suministrar si se desea que el efecto dure 2 horas? Nota: Los datos del problema
son ficticios.
Respuesta:
19. Cuando un rayo de luz pasa através de una sustancia transparente, el grado con que la intensidad, I(h), disminuye es
proporcional a la misma intensidad I(h) donde h representa el espesor del medio. En el agua de mar, la intensidad a 1.9
metros bajo la superficie es de 50 por ciento de la intesidad inicial Io del rayo incidente. A qué profundidad en metros la
intensidad es 60 por ciento de Io ?
Respuesta:
20. Sabemos que un material radioactivo se desintegra proporcionalmente a la cantidad existente. En una prueba realizada con
60mg de ese material se observó que después de 15 años solamente permanecı́a el 90 por ciento de la sustancia. Indique la
opción que contiene la vida media de tal material.
A
tmedia = 49.3411años.
B
tmedia = 197.364años.
C
tmedia = 98.6822años.
D
tmedia = 8.33333años.
21. Determine los valores de A, B, C y D para que la función
y = A + B eC x
2
+D x
sea la solución particular que cumple y(0) = 4 a la ecuación diferencial:
dy
= 9 − 3x − 3y + xy
dx
Respuesta:
22. En un circuito serie RC con C =
1
100 H,
R = 300Ω, y

 3
E(t) =
−3

0
para
para
para
0≤t<3
3≤t<6
6≤t
donde E(t) está en voltios. Encuentre la carga en coulumbs en el condensador en el tiempo t = 9 segundos. Tome q(0) = 0.0 C
Respuesta:
23. Use la transformada de Laplace para resolver la ecuación diferencial
36 y + y 00 = f (t)
con condiciones iniciales y(0) = 2 y y 0 (0) = 0 y donde
f (t)
A
y(t) = 2 cos(6 t) +
1
36
(1 + cos(6 t)) Uπ (t) −
1
36

 0
=
1

0
si 0 ≤ t < π
si π ≤ t < 2π
si 2π ≤ t
(1 + cos(6 t)) U2 π (t)
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 21
5
1
36
(1 − cos(6 t)) Uπ (t) −
1
36
(1 − cos(6 t)) U2 π (t)
sen(6 t) +
1
36
(1 − cos(6 t)) Uπ (t) −
1
36
(1 − cos(6 t)) U2 π (t)
D
y(t) = 2 cos(6 t) +
1
18
(1 − cos(6 t)) Uπ (t) −
1
18
(1 − cos(6 t)) U2 π (t)
E
y(t) = 2 cos(6 t) +
1
36
(1 − cos(12 t)) Uπ (t) −
B
y(t) = 2 cos(6 t) +
C
y(t) =
1
3
1
36
(1 − cos(12 t)) U2 π (t)
24. Determine A, B, C y D para que
f (t) = eA t (B cos(C t) + D sen(C t))
sea la transformada inversa de la función:
F (s) =
s
65 + 2 s + s2
Respuesta:
3
25. Se ha descubierto que una bola de naftalina que tenı́a originalmente un radio de 23 de pulgada, tiene una radio de 16
de
pulgada al cabo de un mes. Suponiendo que se evapore a un ı́ndice proporcional a su superficie, determine el tiempo necesario
en meses para que la bola desaparezca.
A
1.14286
B
2.28571
C
3.42857
D
6.85714
Ecuaciones Diferenciales
Laboratorio Final
Maestro Eduardo Uresti, Verano 2010
Grupo:
Matrı́cula:
Nombre:
Tipo:22
1. Determine los valores de A, B y C para que
y = (C1 + C2 x) eA x + B eC x
sea la solución general a :
25 y − 10 y 0 + y 00 = ex
Respuesta:
2. Indicar la opción que contiene la solución a la ecuación diferencial:
y0 =
A
1
− y2
= C − 2 ln(x)
B
− xy2 = C + 2 ln(x)
C
y 2 = x2 (C − 4 ln(x))
D
x2
y2
= C + 2 ln(x)
E
x2
y2
= C − 4 ln(x)
x2 y + 2 y 3
x3
2
3. Un recipiente cilı́ndrico se está vaciando por un orificio en la parte inferior. Si inicialmente el lı́quido estaba a una profundidad
de 8 metros y al cabo de 4 horas se vacı́a. A qué horas pasó por la mitad de la profundidad?
Respuesta:
4. Indique la opción que contiene la solución que satisface y(0) = 0 para la ecuación:
2 x + 3 y + (3 x + 2 y) y 0 = 0
A
x2 + x y + y 2 = 0
B
x2 + y 2 = 0
C
x3 + y 3 = 0
D
x2 + 2 x y + y 2 = 0
E
x3 + 2 x y + y 3 = 0
F
x2 + 3 x y + y 2 = 0
G
x3 + x y + y 3 = 0
H
x3 + 3 x y + y 3 = 0
5. Seleccionar la opción que contiene la transformada de Laplace de
f (t) =
1
2
2
9+s
ln( 16+s
2)
A
F (s) =
B
s
F (s) = − 9+s
2 +
s
16+s2
− cos(3 t) + cos(4 t)
t
C
4+s
F (s) = ln( 3+s
)
D
F (s) =
s
9+s2
+
s
16+s2
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 22
2
6. Cuando un rayo de luz pasa através de una sustancia transparente, el grado con que la intensidad, I(h), disminuye es
proporcional a la misma intensidad I(h) donde h representa el espesor del medio. En el agua de mar, la intensidad a 1.9
metros bajo la superficie es de 30 por ciento de la intesidad inicial Io del rayo incidente. A qué profundidad en metros la
intensidad es 40 por ciento de Io ?
Respuesta:
7. Indique cuál de las opciones siguientes es la ecuación subsidiaria del problema con condiciones iniciales y(0) = 0 y y 0 (0) = 8
con ecuación:
24 y − 11 y 0 + y 00 = 8 e3 t
A
Y (s) =
−16+8 s
(−3+s) (24+11 s+s2 )
B
Y (s) =
16+8 s
(−3+s) (24−11 s+s2 )
C
Y (s) =
16+8 s
24−11 s+s2
D
Y (s) =
−16+8 s
(−3+s) (24−11 s+s2 )
8. Un cuerpo con peso de 3 libras cuelga de un resorte con constante 38 lb/ft. El medio donde se mueve el cuerpo ofrece una
fuerza de resistencia al movimiento que es numéricamente igual a su velocidad instantánea. Si el peso es liberado 12 pies
por encima de su posición de equilibrio con una velocidad hacia abajo de 24 pies por segundo. Determine la velocidad en el
momento en el cual pasa por la posición de equilibrio.
Respuesta:
9. El número de individuos infectados A(t) en un tiempo t debe crecer a una razón que es aproximadamente proporcional al
producto A(t)(N − A(t)) donde N es el tamaño de la población. Si el tamaño de la población es de 400 individuos y si
inicialmente existen 40 individuos infectados y al cabo de 1 meses existen 80 individuos infectados. Cuántos habrá infectados
al cabo de 2 meses?
Respuesta:
10. Un recipiente contiene 20 galones de agua limpia inicialmente. Una solución es vertida en el interior del recipiente a un ritmo
de 6 galones por minuto. Esta solución tiene una concentración de 0.5 libras de sal por galón. A la vez que se vierte se extrae
solución del tanque a la misma velocidad. La solución extraida es entonces vertida en un nuevo recipiente que contiene
20 galones de agua limpia. Del cual a su vez también serán extraı́dos 6 galones de solución por minuto. Cuáles será la
concentración de sal (en libras por galón) en el segundo tanque 30 minutos despuúes de iniciado el proceso? Sugerencia.
Primero determine la fórmula que da la contidad de sal en el primer tanque función de t. A partir de ella obtenga la fórmula
que da la concentración de sal en el primer tanque. De ella determine la fórmula que da cantidad de sal que el primer tanque
vierte al segundo tanque en libras por minuto.
Respuesta:
11. Use la transformada de Laplace para resolver la ecuación diferencial
64 y + y 00 = f (t)
con condiciones iniciales y(0) = 6 y y 0 (0) = 0 y donde

 0
=
1

0
f (t)
si 0 ≤ t < π
si π ≤ t < 2π
si 2π ≤ t
A
y(t) = 6 cos(8 t) +
1
64
(1 − cos(8 t)) Uπ (t) −
1
64
(1 − cos(8 t)) U2 π (t)
B
y(t) = 6 cos(8 t) +
1
32
(1 − cos(8 t)) Uπ (t) −
1
32
(1 − cos(8 t)) U2 π (t)
C
y(t) = 6 cos(8 t) +
1
64
(1 − cos(16 t)) Uπ (t) −
D
y(t) =
1
64
(1 − cos(8 t)) Uπ (t) −
3
4
sen(8 t) +
1
64
1
64
(1 − cos(16 t)) U2 π (t)
(1 − cos(8 t)) U2 π (t)
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 22
E
y(t) = 6 cos(8 t) +
1
64
(1 + cos(8 t)) Uπ (t) −
3
1
64
(1 + cos(8 t)) U2 π (t)
12. En 1964, cientı́ficos soviéticos hicieron un nuevo elemento, mediante el bombardeo de átomos de plutonio, el cual tenı́a
número atómico 104. La vida media de este elemento llamado E104 es de 0.15 segundos. Si es producido a un ritmo de
49 × 10−5 microgramos por segundo y bajo el supuesto que no habı́a presente tal material , Cuántos microgramos habrı́a al
cabo de 30 segundos?
Respuesta:
13. Una cadena de 7 pies de largo yace extendida en una mesa. La cadena pesa en total 14 pounds y se supone que su peso
está uniformemente distribuido. Un extremo de un pie de longitud de cadena cuelga de la mesa y estira toda la cadena hacia
abajo. Despreciando la fricción, indique a qué velocidad cae cuando deja de estar en la mesa. Sugerencia. Elija como variable
incógnita la longitud de la cadena que está fuera de la mesa, y = y(t). Para construir la ED use la segunda ley de Newton.
La fuerza aplicada a la cadena es 2 y. La aceleración es y 00 . Utiliza que la aceleración también puede ser expresada como
a = v dv/dy. de manera que quede una ecuación diferencial de primer orden en con variable dependiente v e independiente
y. Tome como condición inicial v(y = 1) = 0.
Respuesta:
14. Seleccionar la opción que contiene un paso intermedio para obtener la solución general de la ED:
y
cos(x)
+ y0 =
x
x
A
y=e
R
1
x
dx
C+
R
B
y=e
R
1
x
dx
C+
R
C
D
y=
y=
R
C+
cos(x)
x
e
R
1
x
dx
cos(x)
e
R
1 dx
x
x
cos(x) dx
dx
dx
x
R
C+
R 1
dx
x
e
cos(x)
R 1x
dx
e x
dx
15. Un cultivo de Escherichia coli crece a una velocidad proporcional a su tamaño. Un investigador ha determinado que cada
hora el cultivo crece en un 3 por ciento y que hay 300 organismos inicialmente. Cuántos organismos habrá al cabo de 5
horas?
Respuesta:
16. Resuelva la siguiente ED con condiciones iniciales y(0) = 4 y y 0 (0) = 1 reduciéndola en orden
2
(y 0 ) = 4 y y 00
A
y 5 = 1024 +
B
y = 4 e4 x
C
y4 = 2
D
y4 = 2
5x
√
2
1
3
√
3
√
2+
3
4
2+
3 √
x
4
2
x
17. Cuál de las siguientes opciones representa la transformada de Laplace de la función: (Sugerencia: use las definiciones de
las funciones de las funciones hiperbólicas mediante exponenciales)
f (t) = t cosh(6 t)
36+s2
(−36+s2 )2
A
F (s) =
B
F (s) = (36 + s2 )
C
F (s) =
−1
12 s
(−36+s2 )2
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 22
D
F (s) =
4
36+s2
−36+s2
18. En muchos estados de USA es ilegal manejar con un nivel de alcohol mayor que 0.10 por ciento (una parte de alcohol por 1000
partes de sangre). Suponga que alguien es detenido en alguno de esos estados y que se detecta que tiene un porcentaje de
alcohol en la sangre de 0.6 %. Si se asume que el porcentaje de alcohol en el torrente sanguı́neo decrece en forma proporcional
al porcentaje de alcohol, y que además la concentración de alcohol decrece 10 por ciento cada hora, determine cuánto tiempo
en horas debe pasar para que esa persona pueda conducir legalmente de nuevo. Nota: Los datos de este problema son
ficticios.
Respuesta:
19. En un circuito serie RC con C =
1
300 H,
R = 600Ω, y

 4
E(t) =
−4

0
0≤t<6
6 ≤ t < 12
12 ≤ t
para
para
para
donde E(t) está en voltios. Encuentre la carga en coulumbs en el condensador en el tiempo t = 18 segundos. Tome q(0) = 0.0 C
Respuesta:
20. Sabiendo que la solución a la correspondiente ecuación homogénea auxiliar es yh = c1 x + c2 e6 x determine una solución
particular a la ED:
36 y
36 x y 0
−
+
+ y 00 = 1 − 6 x
1 − 6x 1 − 6x
A
yp = 1 + 6 x + 36 x2
B
1
yp = − 36
−
C
yp = 1 − 6 x + x2
D
yp =
E
yp = 1 + 6 x − x2
F
yp = 36 + 6 x + x2
1
36
+
1
6
1
6
x + x2
x + x2
21. Al sacar un pastel del horno su temperatura es 297o F, 6 minutos después su temperatura es de 190o F. Si la rapidez con
que la temperatura T (t) cambia es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y la temperatura constante
To = 75o F del medio que lo rodea, cuántos minutos demorará el pastel en enfriarse hasta una temperatura de 91o F?
A
23.1028
B
23.9919
C
3.50596
D
11.5514
22. Determine los valores de A, B, C y D para que la función
y = A + B eC x
2
+D x
sea la solución particular que cumple y(0) = 3 a la ecuación diferencial:
dy
= 6 − 2x − 3y + xy
dx
Respuesta:
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 22
5
23. Indique cuál de las siguientes opciones representa la transformada inversa de la función:
F (s) =
A
f (t) = (cos(5 t) − sen(5 t)) e−t
B
f (t) = (cos(5 t) −
1
5
sen(5 t)) e−t
s
26 + 2 s + s2
C
f (t) = cos(5 t) − sen(5 t)
D
f (t) = cos(5 t) −
1
5
sen(5 t)
24. Encuentre la máxima carga en el capacitor en un circuito serie LRC cuando L = 5/3h, R = 10Ω, C = 1/30f , E(t) = 300V ,
q(0) = 0C, y i(0) = 0A.
Respuesta:
7
25. Se ha descubierto que un cubo de naftalina que tenı́a originalmente un lado de 15
2 de pulgada, tiene un lado de 4 de pulgada
al cabo de un mes. Suponiendo que se evapore a un ı́ndice proporcional a su superficie, determine el tiempo necesario en
meses para que el cubo desaparezca.
A
1.30435
B
0.652174
C
3.91304
D
7.82609
Ecuaciones Diferenciales
Laboratorio Final
Maestro Eduardo Uresti, Verano 2010
Grupo:
Matrı́cula:
Nombre:
Tipo:23
1. Sabemos que un material radioactivo se desintegra proporcionalmente a la cantidad existente. En una prueba realizada con
60mg de ese material se observó que después de 19 años solamente permanecı́a el 85 por ciento de la sustancia. Indique la
opción que contiene la vida media de tal material.
A
tmedia = 11.1765años.
B
tmedia = 81.0355años.
C
tmedia = 162.071años.
D
tmedia = 40.5177años.
19
2. Se ha descubierto que una bola de naftalina que tenı́a originalmente un radio de 13
4 de pulgada, tiene una radio de 8 de
pulgada al cabo de un mes. Suponiendo que se evapore a un ı́ndice proporcional a su superficie, determine el tiempo necesario
en meses para que la bola desaparezca.
A
7.42857
B
11.1429
C
22.2857
D
3.71429
3. Indique la opción que contiene la solución general a:
7 e(3+9 x) + 4 y dx + 6 e(8+5 y) + 4 x dy = 0
A
7
9
e(3+9 x) +
24
5
B
7
9
e(3+9 x) +
6
5
e(8+5 y) + x + 4 y = C
C
7
9
e(3+9 x) +
6
5
e(8+5 y) + 4 x y = C
D
6
5
e(8+5 y) +
28
9
e(8+5 y) x y = C
e(3+9 x) x y = C
4. Se sabe que la población de cierta comunidad aumenta, en un instante t cualquiera, con una rapidez proporcional al número
de personas presentes en dicho instante. Si la población se sextuplica en 4 años, cuántos años demorará en septuplicarse?
A
4.66667
B
7.
C
4.34413
D
9.05882
5. Determine los valores de A, B y C para que
y = (C1 + C2 x) eA x + B eC x
sea la solución general a :
9 y − 6 y 0 + y 00 = ex
Respuesta:
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 23
2
6. En muchos estados de USA es ilegal manejar con un nivel de alcohol mayor que 0.10 por ciento (una parte de alcohol por 1000
partes de sangre). Suponga que alguien es detenido en alguno de esos estados y que se detecta que tiene un porcentaje de
alcohol en la sangre de 0.8 %. Si se asume que el porcentaje de alcohol en el torrente sanguı́neo decrece en forma proporcional
al porcentaje de alcohol, y que además la concentración de alcohol decrece 10 por ciento cada hora, determine cuánto tiempo
en horas debe pasar para que esa persona pueda conducir legalmente de nuevo. Nota: Los datos de este problema son
ficticios.
Respuesta:
7. El número de individuos infectados A(t) en un tiempo t debe crecer a una razón que es aproximadamente proporcional al
producto A(t)(N − A(t)) donde N es el tamaño de la población. Si el tamaño de la población es de 700 individuos y si
inicialmente existen 60 individuos infectados y al cabo de 1 meses existen 120 individuos infectados. Cuántos habrá infectados
al cabo de 2 meses?
Respuesta:
8. Un cuerpo con peso de 10 libras cuelga de un resorte con constante 54 lb/ft. El medio donde se mueve el cuerpo ofrece una
fuerza de resistencia al movimiento que es numéricamente igual a su velocidad instantánea. Si el peso es liberado 53 pies
por encima de su posición de equilibrio con una velocidad hacia abajo de 12 pies por segundo. Determine la velocidad en el
momento en el cual pasa por la posición de equilibrio.
Respuesta:
9. Un recipiente contiene 100 galones de agua limpia inicialmente. Una solución es vertida en el interior del recipiente a un ritmo
de 4 galones por minuto. Esta solución tiene una concentración de 0.5 libras de sal por galón. A la vez que se vierte se extrae
solución del tanque a la misma velocidad. La solución extraida es entonces vertida en un nuevo recipiente que contiene
100 galones de agua limpia. Del cual a su vez también serán extraı́dos 4 galones de solución por minuto. Cuáles será la
concentración de sal (en libras por galón) en el segundo tanque 20 minutos despuúes de iniciado el proceso? Sugerencia.
Primero determine la fórmula que da la contidad de sal en el primer tanque función de t. A partir de ella obtenga la fórmula
que da la concentración de sal en el primer tanque. De ella determine la fórmula que da cantidad de sal que el primer tanque
vierte al segundo tanque en libras por minuto.
Respuesta:
10. Seleccionar la opción que contiene la transformada de Laplace de
f (t) =
1
2
− cos(5 t) + cos(8 t)
t
2
ln( 25+s
64+s2 )
A
F (s) =
B
s
F (s) = − 25+s
2 +
s
64+s2
s
25+s2
C
F (s) =
+
D
8+s
F (s) = ln( 5+s
)
s
64+s2
11. Un termómero se saca de una habitación, en donde la temperatura del aire es de 72o F, al exterior en donde la temperatura
es 11o F. Después de 8 segundos, el termómetro marca 42o F. Cuánto marca el termómetro 25 segundos de haber salido?
Suponga que la rapidez con la que la temperatura T (t) cambia es proporcional a la diferencia entre la temperatura del
termómetro y la temperatura constante To del medio que lo rodea.
Respuesta:
12. En un circuito serie RC con C =
1
400 H,
R = 400Ω, y

 2
E(t) =
−2

0
para
para
para
0≤t<5
5 ≤ t < 10
10 ≤ t
donde E(t) está en voltios. Encuentre la carga en coulumbs en el condensador en el tiempo t = 15 segundos. Tome q(0) = 0.0 C
Respuesta:
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 23
3
13. Una cadena de 7 pies de largo yace extendida en una mesa. La cadena pesa en total 9 pounds y se supone que su peso
está uniformemente distribuido. Un extremo de un pie de longitud de cadena cuelga de la mesa y estira toda la cadena hacia
abajo. Despreciando la fricción, indique cuánto tiempo tardará en caer de la mesa. Sugerencia. Elija como variable incógnita
la longitud de la cadena que está fuera de la mesa, y = y(t). Para construir la ED use la segunda ley de Newton. La fuerza
aplicada a la cadena es 79 y. La aceleración es y 00 . Tome como condiciones iniciales y(0) = 1 y y 0 (0) = 0.
Respuesta:
14. Cuál de las siguientes opciones contiene la solución general a:
4
9 x y + 25 + x2 y 0 = 6 x (25 + x2 )
−4
A
6
y = − 17
(25 + x2 )
B
y=
C
y = C (25 + x2 ) 2 +
D
y = C (25 + x2 ) 2 −
C
9
(25+x2 ) 2
+
6
17
9
+ C (25 + x2 ) 2
(25 + x2 )
9
9
4
13
6
17
(25 + x2 )
6
17
(25 + x2 )
13
15. Indique cuál de las opciones siguientes es la ecuación subsidiaria del problema con condiciones iniciales y(0) = 0 y y 0 (0) = 5
con ecuación:
15 y − 8 y 0 + y 00 = 5 e3 t
A
Y (s) =
−10+5 s
(−3+s) (15+8 s+s2 )
B
Y (s) =
10+5 s
15−8 s+s2
C
Y (s) =
−10+5 s
(−3+s) (15−8 s+s2 )
D
Y (s) =
10+5 s
(−3+s) (15−8 s+s2 )
16. Use la transformada de Laplace para resolver la ecuación diferencial
100 y + y 00 = f (t)
con condiciones iniciales y(0) = 6 y y 0 (0) = 0 y donde
f (t)

 0
1

0
=
si 0 ≤ t < π
si π ≤ t < 2π
si 2π ≤ t
A
y(t) = 6 cos(10 t) +
1
100
(1 + cos(10 t)) Uπ (t) −
1
100
(1 + cos(10 t)) U2 π (t)
B
y(t) = 6 cos(10 t) +
1
100
(1 − cos(20 t)) Uπ (t) −
1
100
(1 − cos(20 t)) U2 π (t)
C
y(t) = 6 cos(10 t) +
1
50
D
y(t) = 6 cos(10 t) +
1
100
(1 − cos(10 t)) Uπ (t) −
1
100
(1 − cos(10 t)) U2 π (t)
E
y(t) =
1
100
(1 − cos(10 t)) Uπ (t) −
1
100
(1 − cos(10 t)) U2 π (t)
3
5
sen(10 t) +
(1 − cos(10 t)) Uπ (t) −
1
50
(1 − cos(10 t)) U2 π (t)
17. Indicar la opción que contiene la solución a la ecuación diferencial:
y0 =
A
− xy = C + ln(4 x)
B
y
x
= C − 4 ln(x)
x y + 4 y2
x2
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 23
C
− u1 = C + 4 ln(x)
D
− y1 = C + 4 ln(x)
E
x
y
F
− xy = C + ln(x4 )
4
= C + 4 ln(x)
18. Un recipiente cilı́ndrico se está vaciando por un orificio en la parte inferior. Si inicialmente el lı́quido estaba a una profundidad
de 12 metros y al cabo de 6 horas se vacı́a. A qué horas pasó por la mitad de la profundidad?
Respuesta:
19. Cuál de las siguientes opciones representa la transformada de Laplace de la función: (Sugerencia: use las definiciones de
las funciones de las funciones hiperbólicas mediante exponenciales)
f (t) = t cosh(7 t)
−1
A
F (s) = (49 + s2 )
B
F (s) =
49+s2
(−49+s2 )2
C
F (s) =
49+s2
−49+s2
D
F (s) =
14 s
(−49+s2 )2
20. Determine A, B, C y D para que
f (t) = eA t (B cos(C t) + D sen(C t))
sea la transformada inversa de la función:
F (s) =
s
5 + 2 s + s2
Respuesta:
21. Cuando un rayo de luz pasa através de una sustancia transparente, el grado con que la intensidad, I(h), disminuye es
proporcional a la misma intensidad I(h) donde h representa el espesor del medio. En el agua de mar, la intensidad a 1.8
metros bajo la superficie es de 30 por ciento de la intesidad inicial Io del rayo incidente. Cuál es la intensidad del rayo de
luz a 2.8 metros respecto a Io ? Reporta tu respuesta entre 0 y 1.
Respuesta:
22. Indique la opción que contiene la solución a la ecuación diferencial:
dy
= −e7 y + e(9 x+7 y)
dx
A
y = C + 9 e9 x
B
e7 y = −7 + C +
C
y =C+
D
e7 y = C +
E
e−7 y = C −
9
7
e9 x +
F
e−7 y = C −
7
9
e9 x + 7 x
1
9
7
9
e9 x
e9 x
7
9
e9 x − 7 x
1
7
x
23. Calcule el valor en x = 1 para la solución particular y(x) que cumple las condiciones iniciales y( 61 ) = 1 y y 0 ( 16 ) = 12 a la ED:
6 y0
y 00 = √
y
Respuesta:
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 23
5
24. Encuentre la máxima carga en el capacitor en un circuito serie LRC cuando L = 5/3h, R = 10Ω, C = 1/30f , E(t) = 300V ,
q(0) = 0C, y i(0) = 0A.
Respuesta:
25. Sabiendo que la solución a la correspondiente ecuación homogénea auxiliar es yh = c1 + c2 sec (6 x) determine una solución
particular por el método de variación de parámetros a la ED:
−6 (csc(6 x) sec(6 x) + tan(6 x)) y 0 + y 00 = tan(6 x)
1
6
yp =
B
yp = − 16 x +
1
36
C
yp = − 16 x −
1
6
D
yp = x + tan(6 x)
E
yp = − 16 x +
F
yp =
1
6
x+
1
6
A
x+
tan(6 x)
1
6
1
36
tan(6 x)
tan(6 x)
tan(6 x)
tan(6 x)
Ecuaciones Diferenciales
Laboratorio Final
Maestro Eduardo Uresti, Verano 2010
Grupo:
Matrı́cula:
Nombre:
Tipo:24
1. Una cadena de 7 pies de largo yace extendida en una mesa. La cadena pesa en total 10 pounds y se supone que su peso
está uniformemente distribuido. Un extremo de un pie de longitud de cadena cuelga de la mesa y estira toda la cadena hacia
abajo. Despreciando la fricción, indique cuánto tiempo tardará en caer de la mesa. Sugerencia. Elija como variable incógnita
la longitud de la cadena que está fuera de la mesa, y = y(t). Para construir la ED use la segunda ley de Newton. La fuerza
00
0
aplicada a la cadena es 10
7 y. La aceleración es y . Tome como condiciones iniciales y(0) = 1 y y (0) = 0.
Respuesta:
2. Un recipiente cilı́ndrico se está vaciando por un orificio en la parte inferior. Si inicialmente el lı́quido estaba a una profundidad
de 4 metros y al cabo de 6 horas tenı́a una profundidad de 2 metros. Cuánto tiempo tardará en vaciarse?
A
9. horas
B
6 horas adicionales
C
30.7279 horas
D
20.4853 horas
3. Indique cuál de las opciones siguientes es la ecuación subsidiaria del problema con condiciones iniciales y(0) = 0 y y 0 (0) = 7
con ecuación:
56 y − 15 y 0 + y 00 = 7 e8 t
A
Y (s) =
−49+7 s
(−8+s) (56−15 s+s2 )
B
Y (s) =
−49+7 s
(−8+s) (56+15 s+s2 )
C
Y (s) =
49+7 s
56−15 s+s2
D
Y (s) =
49+7 s
(−8+s) (56−15 s+s2 )
4. usando el caso I, Iindique la opción que contiene un paso intermedio en la solución a:
5
ln((y 0 ) ) y 00 = 4
1
1
A
ln(z) = ( 25 ) 2 (4 x + C1 ) 2
B
R
C
5 z (−1 + ln(z)) = 4 x + C1
D
5 (−z + z ln(z)) = 4 y + C1
z ln(z) dz =
4
5
y
5. Seleccionar la opción que contiene un paso intermedio para obtener la solución general de la ED:
y
cos(x)
+ y0 =
x
x
y=e
R
B
y=e
R
C
y=
A
1
x
1
x
R
C+
dx
dx
C+
R
C+
R
cos(x)
x
x
dx
cos(x)
R
1 dx
x
R
1
x
e
e
x
dx
dx
cos(x) dx
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 24
D
y=
R
C+
R 1
dx
x
e
cos(x)
R 1x
dx
e x
2
dx
6. Indique la opción que contiene la solución a la ecuación diferencial:
dy
= −e5 y + e(6 x+5 y)
dx
5
6
A
e5 y = −5 + C +
B
y =C+
C
e5 y = C +
D
e−5 y = C −
6
5
e6 x +
E
e−5 y = C −
5
6
e6 x + 5 x
F
y = C + 6 e6 x
1
6
e6 x
e6 x
5
6
e6 x − 5 x
1
5
x
7. Indique la opción que contiene la solución general a:
8 e(7+5 x) + 8 y dx + 6 e(2+5 y) + 8 x dy = 0
A
8
5
e(7+5 x) +
6
5
e(2+5 y) + x + 8 y = C
B
8
5
e(7+5 x) +
6
5
e(2+5 y) + 8 x y = C
C
6
5
e(2+5 y) +
64
5
e(7+5 x) x y = C
D
8
5
e(7+5 x) +
48
5
e(2+5 y) x y = C
8. Sabiendo que la solución a la correspondiente ecuación homogénea auxiliar es yh = c1 x + c2 e6 x determine una solución
particular a la ED:
36 y
36 x y 0
−
+
+ y 00 = 1 − 6 x
1 − 6x 1 − 6x
1
36
+
1
6
x + x2
A
yp =
B
1
yp = − 36
−
C
yp = 36 + 6 x + x2
D
yp = 1 + 6 x − x2
E
yp = 1 + 6 x + 36 x2
F
yp = 1 − 6 x + x2
1
6
x + x2
9. Determine A, B, C y D para que
f (t) = eA t (B cos(C t) + D sen(C t))
sea la transformada inversa de la función:
F (s) =
s
65 + 2 s + s2
Respuesta:
10. La cantidad de zebras en cierta zona de Africa crece con una rapidez proporcional a la raı́z cúbica de la cantidad de zebras
en cada momento. Si inicialmente se cuentan 500 zebras y al cabo de un año son 1500 . Cuántos habrá al cabo de 2 años?
A
3000
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 24
B
2486.75
C
4500
D
2808.89
3
11. Un cuerpo con peso de 8 libras cuelga de un resorte con constante 1 lb/ft. El medio donde se mueve el cuerpo ofrece una
fuerza de resistencia al movimiento que es numéricamente igual a su velocidad instantánea. Si el peso es liberado 43 pies
por encima de su posición de equilibrio con una velocidad hacia abajo de 18 pies por segundo. Determine la velocidad en el
momento en el cual pasa por la posición de equilibrio.
Respuesta:
12. Determine los valores de A, B y C para que
y = (C1 + C2 x) eA x + B eC x
sea la solución general a :
9 y − 6 y 0 + y 00 = ex
Respuesta:
13. Seleccionar la opción que contiene la transformada de Laplace de
f (t) =
A
4+s
F (s) = ln( 5+s
)
B
F (s) =
1
2
cos(4 t) − cos(5 t)
t
2
ln( 25+s
16+s2 )
C
F (s) =
s
16+s2
−
s
25+s2
D
F (s) =
s
16+s2
+
s
25+s2
14. El número de individuos infectados A(t) en un tiempo t debe crecer a una razón que es aproximadamente proporcional al
producto A(t)(N − A(t)) donde N es el tamaño de la población. Si el tamaño de la población es de 600 individuos y si
inicialmente existen 30 individuos infectados y al cabo de 1 meses existen 60 individuos infectados. Cuántos habrá infectados
al cabo de 2 meses?
Respuesta:
15. Use la transformada de Laplace para resolver la ecuación diferencial
4 y + y 00 = f (t)
con condiciones iniciales y(0) = 6 y y 0 (0) = 0 y donde
f (t)

 0
=
1

0
si 0 ≤ t < π
si π ≤ t < 2π
si 2π ≤ t
A
y(t) = 6 cos(2 t) +
1
4
(1 + cos(2 t)) Uπ (t) −
1
4
(1 + cos(2 t)) U2 π (t)
B
y(t) = 6 cos(2 t) +
1
4
(1 − cos(2 t)) Uπ (t) −
1
4
(1 − cos(2 t)) U2 π (t)
C
y(t) = 3 sen(2 t) +
1
4
(1 − cos(2 t)) Uπ (t) −
1
4
(1 − cos(2 t)) U2 π (t)
D
y(t) = 6 cos(2 t) +
1
4
(1 − cos(4 t)) Uπ (t) −
1
4
(1 − cos(4 t)) U2 π (t)
E
y(t) = 6 cos(2 t) +
1
2
(1 − cos(2 t)) Uπ (t) −
1
2
(1 − cos(2 t)) U2 π (t)
16. Cuando un rayo de luz pasa através de una sustancia transparente, el grado con que la intensidad, I(h), disminuye es
proporcional a la misma intensidad I(h) donde h representa el espesor del medio. En el agua de mar, la intensidad a 1.3
metros bajo la superficie es de 40 por ciento de la intesidad inicial Io del rayo incidente. A qué profundidad en metros la
intensidad es 50 por ciento de Io ?
Respuesta:
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 24
4
17. Encuentre la máxima carga en el capacitor en un circuito serie LRC cuando L = 5/3h, R = 10Ω, C = 1/30f , E(t) = 300V ,
q(0) = 0C, y i(0) = 0A.
Respuesta:
18. Se ha descubierto que un cubo de naftalina que tenı́a originalmente un lado de 27 de pulgada, tiene un lado de 52 de pulgada
al cabo de un mes. Suponiendo que se evapore a un ı́ndice proporcional a su superficie, determine el tiempo necesario en
meses para que el cubo desaparezca.
A
10.5
B
3.5
C
21.
D
1.75
19. En un circuito serie RC con C =
1
100 H,
R = 200Ω, y

 2
E(t) =
−2

0
para
para
para
0≤t<3
3≤t<6
6≤t
donde E(t) está en voltios. Encuentre la carga en coulumbs en el condensador en el tiempo t = 9 segundos. Tome q(0) = 0.0 C
Respuesta:
20. Cuál de las siguientes opciones representa la transformada de Laplace de la función: (Sugerencia: use las definiciones de
las funciones de las funciones hiperbólicas mediante exponenciales)
f (t) = t cosh(4 t)
16+s2
−16+s2
A
F (s) =
B
F (s) = (16 + s2 )
C
F (s) =
16+s2
(−16+s2 )2
D
F (s) =
8s
(−16+s2 )2
−1
21. El profesor Uresti siempre toma una taza de café antes de su clase de 9:00 AM. Suponga que la temperatura del café es de
200o F cuando lo sirve en su taza a las 8:30AM, quince minutos después el café se enfria hasta 110o F en un cuarto que está a
67o F. Sin embargo, el profesor Uresti nunca beberá su café si no hasta que este se enfrie justo a 93o F. Cuándo el profesor
tomará su café? Reporte la hora en decimales, por ejemplo 1 hora 30 nimutos en decimales quedarı́a 1.5 horas.
Respuesta:
22. Un recipiente contiene 20 galones de una solución de sal a una concentración de 0.08 libras por galón. Un proceso se inicia
poniendo agua limpia en el recipiente a un ritmo de 6 galones por minuto. A la vez que se vierte agua, se extrae solución
del tanque a la misma velocidad. La solución extraı́da es entonces vertida en un nuevo recipiente que contiene 20 galones de
agua limpia. Del cual a su vez también serán extraı́dos 6 galones de solución por minuto. Cuál será la concentración máxima
que alcanzará la solución en el segundo tanque? (en libras por galón) Sugerencia. Primero determine la fórmula que da la
contidad de sal en el primer tanque en función de t. A partir de ella obtenga la fórmula que da la concentración de sal en el
primer tanque. De ella determine la fórmula de la velocidad de entrada de sal al segundo tanque en libras por minuto.
Respuesta:
23. Utilizando la sustitución y = u x2 resuelva la EDO:
y 0 = 5 x3 + 2
A
y = C + 5 x3
y
x
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 24
B
y = 5 x2 + C x4
C
y = C x2 +
D
y = C + 5 x2
E
y = C x2 + 5 x4
5
2
5
x4
24. En muchos estados de USA es ilegal manejar con un nivel de alcohol mayor que 0.10 por ciento (una parte de alcohol por 1000
partes de sangre). Suponga que alguien es detenido en alguno de esos estados y que se detecta que tiene un porcentaje de
alcohol en la sangre de 0.4 %. Si se asume que el porcentaje de alcohol en el torrente sanguı́neo decrece en forma proporcional
al porcentaje de alcohol, y que además la concentración de alcohol decrece 10 por ciento cada hora, determine cuánto tiempo
en horas debe pasar para que esa persona pueda conducir legalmente de nuevo. Nota: Los datos de este problema son
ficticios.
Respuesta:
25. Un trozo de madera de una viga de una casa construida en Babilonia durante el reinado de Hamurabi contenı́a el 54 por
ciento del carbono 14 radiactivo que contiene un fragmento del mismo tipo de madera en un árbol vivo. Estime la antiguedad
de la construcción, sabiendo que la vida media del carbono 14 es de aproximadamente 5600 años.
Respuesta:
Ecuaciones Diferenciales
Laboratorio Final
Maestro Eduardo Uresti, Verano 2010
Grupo:
Matrı́cula:
Nombre:
Tipo:25
1. Un tanque inicialmente tiene 240 galones de agua limpia, pero una solución de sal de concentración desconocida se vierte a
un ritmo de 6 galones por minuto. Si a la vez que se vierte se extrae solución a la misma velocidad y si al cabo de 30 minutos
la concentración en el tanque fue de 0.1 libras de sal por galón, determine la concentración de la solución vertida (en libras
por galón).
Respuesta:
2. Indique la opción que contiene la solución que satisface y(0) = 0 para la ecuación:
2 x + 3 y + (3 x + 2 y) y 0 = 0
A
x3 + y 3 = 0
B
x3 + 3 x y + y 3 = 0
C
x2 + 2 x y + y 2 = 0
D
x2 + y 2 = 0
E
x2 + 3 x y + y 2 = 0
F
x3 + x y + y 3 = 0
G
x3 + 2 x y + y 3 = 0
H
x2 + x y + y 2 = 0
3. Sabiendo que la solución a la correspondiente ecuación homogénea auxiliar es yh = c1 + c2 sec (6 x) determine una solución
particular por el método de variación de parámetros a la ED:
−6 (csc(6 x) sec(6 x) + tan(6 x)) y 0 + y 00 = tan(6 x)
A
yp = x + tan(6 x)
B
yp = − 16 x −
C
yp =
D
yp = − 16 x +
E
yp =
F
yp = − 16 x +
1
6
1
6
x+
x+
1
6
1
6
tan(6 x)
tan(6 x)
1
36
1
36
1
6
tan(6 x)
tan(6 x)
tan(6 x)
4. Una cadena de 6 pies de largo yace extendida en una mesa. La cadena pesa en total 4 pounds y se supone que su peso
está uniformemente distribuido. Un extremo de un pie de longitud de cadena cuelga de la mesa y estira toda la cadena hacia
abajo. Despreciando la fricción, indique a qué velocidad cae cuando deja de estar en la mesa. Sugerencia. Elija como variable
incógnita la longitud de la cadena que está fuera de la mesa, y = y(t). Para construir la ED use la segunda ley de Newton.
La fuerza aplicada a la cadena es 32 y. La aceleración es y 00 . Utiliza que la aceleración también puede ser expresada como
a = v dv/dy. de manera que quede una ecuación diferencial de primer orden en con variable dependiente v e independiente
y. Tome como condición inicial v(y = 1) = 0.
Respuesta:
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 25
2
5. El profesor Uresti siempre toma una taza de café antes de su clase de 9:00 AM. Suponga que la temperatura del café es de
200o F cuando lo sirve en su taza a las 8:30AM, quince minutos después el café se enfria hasta 120o F en un cuarto que está a
73o F. Sin embargo, el profesor Uresti nunca beberá su café si no hasta que este se enfrie justo a 98o F. Cuándo el profesor
tomará su café? Reporte la hora en decimales, por ejemplo 1 hora 30 nimutos en decimales quedarı́a 1.5 horas.
Respuesta:
6. Seleccionar la opción que contiene un paso intermedio para obtener la solución general de la ED:
y
cos(x)
+ y0 =
x
x
A
B
y=e
y=
R
1
x
R
C+
dx
C+
cos(x)
x
cos(x)
R
e
R
1 dx
x
x
dx
dx
x
R
C+
C
y=
D
y=e
R
1
x
R 1
dx
x
e
cos(x)
R 1x
dx
e x
dx
C+
R
dx
e
R
1
x
dx
cos(x) dx
7. Un cuerpo con peso de 4 libras cuelga de un resorte con constante 2 lb/ft. El medio donde se mueve el cuerpo ofrece una
fuerza de resistencia al movimiento que es numéricamente igual a su velocidad instantánea. Si el peso es liberado 23 pies
por encima de su posición de equilibrio con una velocidad hacia abajo de 24 pies por segundo. Determine la velocidad en el
momento en el cual pasa por la posición de equilibrio.
Respuesta:
8. Cuál de las siguientes opciones representa la transformada de Laplace de la función: (Sugerencia: use las definiciones de
las funciones de las funciones hiperbólicas mediante exponenciales)
f (t) = t cosh(7 t)
−1
A
F (s) = (49 + s2 )
B
F (s) =
49+s2
(−49+s2 )2
C
F (s) =
49+s2
−49+s2
D
F (s) =
14 s
(−49+s2 )2
9. Seleccionar la opción que contiene la transformada de Laplace de
f (t) =
1
2
cos(6 t) − cos(7 t)
t
2
ln( 49+s
36+s2 )
A
F (s) =
B
6+s
F (s) = ln( 7+s
)
C
F (s) =
s
36+s2
−
s
49+s2
D
F (s) =
s
36+s2
+
s
49+s2
10. Indicar la opción que contiene la solución a la ecuación diferencial:
y0 =
A
− y1 = C + 3 ln(x)
B
− xy = C + ln(x3 )
C
− xy = C + ln(3 x)
x y + 3 y2
x2
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 25
D
y
x
= C − 3 ln(x)
E
x
y
= C + 3 ln(x)
F
− u1 = C + 3 ln(x)
3
11. Sabemos que un material radioactivo se desintegra proporcionalmente a la cantidad existente. En una prueba realizada con
60mg de ese material se observó que después de 15 años solamente permanecı́a el 80 por ciento de la sustancia. Indique la
opción que contiene la vida media de tal material.
A
tmedia = 9.375años.
B
tmedia = 46.5943años.
C
tmedia = 23.2971años.
D
tmedia = 93.1885años.
12. El número de individuos infectados A(t) en un tiempo t debe crecer a una razón que es aproximadamente proporcional al
producto A(t)(N − A(t)) donde N es el tamaño de la población. Si el tamaño de la población es de 800 individuos y si
inicialmente existen 50 individuos infectados y al cabo de 1 meses existen 100 individuos infectados. Cuántos habrá infectados
al cabo de 2 meses?
Respuesta:
13. Un cultivo de Escherichia coli crece a una velocidad proporcional a su tamaño. Un investigador ha determinado que cada
hora el cultivo crece en un 1 por ciento y que hay 200 organismos inicialmente. Cuántos organismos habrá al cabo de 6
horas?
Respuesta:
14. Determine A, B, C, D y E (B > D) para que
f (t) = A eB t + C eD t + E
sea la transformada inversa de la función:
F (s) =
−64 + 8 s
−16 s + s3
Respuesta:
15. Determine los valores de A, B y C para que
y = (C1 + C2 x) eA x + B eC x
sea la solución general a :
9 y − 6 y 0 + y 00 = ex
Respuesta:
16. En muchos estados de USA es ilegal manejar con un nivel de alcohol mayor que 0.10 por ciento (una parte de alcohol por 1000
partes de sangre). Suponga que alguien es detenido en alguno de esos estados y que se detecta que tiene un porcentaje de
alcohol en la sangre de 0.9 %. Si se asume que el porcentaje de alcohol en el torrente sanguı́neo decrece en forma proporcional
al porcentaje de alcohol, y que además la concentración de alcohol decrece 10 por ciento cada hora, determine cuánto tiempo
en horas debe pasar para que esa persona pueda conducir legalmente de nuevo. Nota: Los datos de este problema son
ficticios.
Respuesta:
17. Resuelva la siguiente ED con condiciones iniciales y(0) = 3 y y 0 (0) = 1 reduciéndola en orden
2
(y 0 ) = 3 y y 00
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 25
2
2
A
y 3 = 33 +
B
y = 3 e3 x
C
y 4 = 81 +
D
y 3 = 33 +
2
3
4
x
1
2
2
4x
1
33
2 x
3 3 13
18. En un circuito serie RC con C =
1
200 H,
R = 200Ω, y

 3
E(t) =
−3

0
para
para
para
0≤t<4
4≤t<8
8≤t
donde E(t) está en voltios. Encuentre la carga en coulumbs en el condensador en el tiempo t = 12 segundos. Tome q(0) = 0.0 C
Respuesta:
19. Cuando un rayo de luz pasa através de una sustancia transparente, el grado con que la intensidad, I(h), disminuye es
proporcional a la misma intensidad I(h) donde h representa el espesor del medio. En el agua de mar, la intensidad a 1.1
metros bajo la superficie es de 40 por ciento de la intesidad inicial Io del rayo incidente. A qué profundidad en metros la
intensidad es 50 por ciento de Io ?
Respuesta:
20. Un recipiente cilı́ndrico se está vaciando por un orificio en la parte inferior. Si inicialmente el lı́quido estaba a una profundidad
de 8 metros y al cabo de 6 horas tenı́a una profundidad de 4 metros. Cuánto tiempo tardará en vaciarse?
A
20.4853 horas
B
9. horas
C
6 horas adicionales
D
30.7279 horas
13
21. Se ha descubierto que un cubo de naftalina que tenı́a originalmente un lado de 17
12 de pulgada, tiene un lado de 12 de pulgada
al cabo de un mes. Suponiendo que se evapore a un ı́ndice proporcional a su superficie, determine el tiempo necesario en
meses para que el cubo desaparezca.
A
2.125
B
25.5
C
4.25
D
12.75
22. Determine el valor de y(1) siendo y(x) la función solución que satisface y(0) = 1 a la ecuación diferencial:
r
dy
x
= 7
dx
y
Respuesta:
23. Encuentre la máxima carga en el capacitor en un circuito serie LRC cuando L = 5/3h, R = 10Ω, C = 1/30f , E(t) = 300V ,
q(0) = 0C, y i(0) = 0A.
Respuesta:
24. Indique cuál de las opciones siguientes es la ecuación subsidiaria del problema con condición inicial y(0) = 2 y ED:
6 y + y 0 = t cos(7 t) + sen(7 t) e7 t
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 25
2+
A
Y (s) =
B
Y (s) =
C
Y (s) =
D
Y (s) =
14 s
(49+s2 )2
5
+ 98−147 s+s2
6+s
2
2+ 2 s 2 2
(49+s )
−(49+s2 )
−1
−7+s
+ 98−14
s+s2
−1
+ 98+147 s+s2
−1
+ 98−147 s+s2
6+s
2+
2 s2
(49+s2 )2
−(49+s2 )
6+s
2+
2 s2
(49+s2 )2
−(49+s2 )
6+s
25. Use la transformada de Laplace para resolver la ecuación diferencial
16 y + y 00 = f (t)
con condiciones iniciales y(0) = 8 y y 0 (0) = 0 y donde

 0
=
1

0
f (t)
si 0 ≤ t < π
si π ≤ t < 2π
si 2π ≤ t
A
y(t) = 8 cos(4 t) +
1
16
(1 − cos(8 t)) Uπ (t) −
1
16
(1 − cos(8 t)) U2 π (t)
B
y(t) = 8 cos(4 t) +
1
16
(1 − cos(4 t)) Uπ (t) −
1
16
(1 − cos(4 t)) U2 π (t)
C
y(t) = 8 cos(4 t) +
1
16
(1 + cos(4 t)) Uπ (t) −
1
16
(1 + cos(4 t)) U2 π (t)
D
y(t) = 8 cos(4 t) +
1
8
E
y(t) = 2 sen(4 t) +
1
16
(1 − cos(4 t)) Uπ (t) −
(1 − cos(4 t)) Uπ (t) −
1
8
(1 − cos(4 t)) U2 π (t)
1
16
(1 − cos(4 t)) U2 π (t)
Ecuaciones Diferenciales
Laboratorio Final
Maestro Eduardo Uresti, Verano 2010
Grupo:
Matrı́cula:
Nombre:
Tipo:26
1. Indique la opción que contiene la solución general a:
8 e(9+6 x) + 6 y dx + 3 e(6+4 y) + 6 x dy = 0
A
4
3
e(9+6 x) +
9
2
e(6+4 y) x y = C
B
4
3
e(9+6 x) +
3
4
e(6+4 y) + x + 6 y = C
C
4
3
e(9+6 x) +
3
4
e(6+4 y) + 6 x y = C
D
3
4
e(6+4 y) + 8 e(9+6 x) x y = C
2. Sabiendo que la solución a la correspondiente ecuación homogénea auxiliar es yh = c1 + c2 sec (2 x) determine una solución
particular por el método de variación de parámetros a la ED:
−2 (csc(2 x) sec(2 x) + tan(2 x)) y 0 + y 00 = tan(2 x)
A
yp = − 12 x −
1
2
tan(2 x)
B
yp = − 12 x +
1
4
tan(2 x)
C
yp =
D
yp = − 12 x +
E
yp = x + tan(2 x)
F
yp =
1
2
1
2
x+
x+
1
2
1
4
tan(2 x)
1
2
tan(2 x)
tan(2 x)
3. Determine A, B, C y D para que
f (t) = eA t (B cos(C t) + D sen(C t))
sea la transformada inversa de la función:
F (s) =
s
17 + 2 s + s2
Respuesta:
4. Utilizando la sustitución y = u x2 resuelva la EDO:
y 0 = 3 x3 + 2
A
y = C x2 + 3 x4
B
y = C + 3 x3
C
y = C x2 +
D
y = C + 3 x2
E
y = 3 x2 + C x4
3
2
x4
y
x
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 26
2
5. Use la transformada de Laplace para resolver la ecuación diferencial
4 y + y 00 = f (t)
con condiciones iniciales y(0) = 8 y y 0 (0) = 0 y donde
f (t)

 0
=
1

0
si 0 ≤ t < π
si π ≤ t < 2π
si 2π ≤ t
A
y(t) = 8 cos(2 t) +
1
4
(1 − cos(2 t)) Uπ (t) −
1
4
(1 − cos(2 t)) U2 π (t)
B
y(t) = 8 cos(2 t) +
1
4
(1 − cos(4 t)) Uπ (t) −
1
4
(1 − cos(4 t)) U2 π (t)
C
y(t) = 8 cos(2 t) +
1
4
(1 + cos(2 t)) Uπ (t) −
1
4
(1 + cos(2 t)) U2 π (t)
D
y(t) = 4 sen(2 t) +
1
4
(1 − cos(2 t)) Uπ (t) −
1
4
(1 − cos(2 t)) U2 π (t)
E
y(t) = 8 cos(2 t) +
1
2
(1 − cos(2 t)) Uπ (t) −
1
2
(1 − cos(2 t)) U2 π (t)
6. Seleccionar la opción que contiene la transformada de Laplace de
f (t) =
A
8+s
F (s) = ln( 3+s
)
B
F (s) =
s
9+s2
+
s
64+s2
− cos(3 t) + cos(8 t)
t
C
s
F (s) = − 9+s
2 +
D
F (s) =
1
2
s
64+s2
2
9+s
ln( 64+s
2)
7. Cuando un rayo de luz pasa através de una sustancia transparente, el grado con que la intensidad, I(h), disminuye es
proporcional a la misma intensidad I(h) donde h representa el espesor del medio. En el agua de mar, la intensidad a 1.9
metros bajo la superficie es de 40 por ciento de la intesidad inicial Io del rayo incidente. Cuál es la intensidad del rayo de
luz a 2.9 metros respecto a Io ? Reporta tu respuesta entre 0 y 1.
Respuesta:
17
8. Se ha descubierto que una bola de naftalina que tenı́a originalmente un radio de 10
de pulgada, tiene una radio de 13
20 de
pulgada al cabo de un mes. Suponiendo que se evapore a un ı́ndice proporcional a su superficie, determine el tiempo necesario
en meses para que la bola desaparezca.
A
9.71429
B
3.2381
C
1.61905
D
4.85714
9. Indique cuál de las opciones siguientes es la ecuación subsidiaria del problema con condiciones iniciales y(0) = 0 y y 0 (0) = 7
con ecuación:
28 y − 11 y 0 + y 00 = 7 e4 t
A
Y (s) =
21+7 s
28−11 s+s2
B
Y (s) =
−21+7 s
(−4+s) (28−11 s+s2 )
C
Y (s) =
21+7 s
(−4+s) (28−11 s+s2 )
D
Y (s) =
−21+7 s
(−4+s) (28+11 s+s2 )
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 26
3
10. Cuál de las siguientes opciones contiene la solución general a:
8
7 x y + 36 + x2 y 0 = x (36 + x2 )
C
+
1
23
(36 + x2 )
A
y=
B
y = C (36 + x2 ) 2 −
C
y = C (36 + x2 ) 2 +
D
1
y = − 23
(36 + x2 )
7
(36+x2 ) 2
7
7
8
15
1
23
(36 + x2 )
1
23
(36 + x2 )
−8
15
7
+ C (36 + x2 ) 2
11. Un recipiente cilı́ndrico se está vaciando por un orificio en la parte inferior. Si inicialmente el lı́quido estaba a una profundidad
de 16 metros y al cabo de 10 horas se vacı́a. A qué horas pasó por la mitad de la profundidad?
Respuesta:
12. El número de individuos infectados A(t) en un tiempo t debe crecer a una razón que es aproximadamente proporcional al
producto A(t)(N − A(t)) donde N es el tamaño de la población. Si el tamaño de la población es de 800 individuos y si
inicialmente existen 30 individuos infectados y al cabo de 1 meses existen 60 individuos infectados. Cuántos habrá infectados
al cabo de 2 meses?
Respuesta:
13. Una fragmento de la pata de la silla de la tumba Tutankhamón contenı́a el 61 por ciento del carbono 14 radiactivo que
contiene un fragmento del mismo tipo de madera en un árbol vivo. Estime la edad de la tumba en años, sabiendo que la
vida media del carbono 14 es de aproximadamente 5600 años.
Respuesta:
14. Resuelva la siguiente ED con condiciones iniciales y(0) = 3 y y 0 (0) = 1 reduciéndola en orden
2
(y 0 ) = 3 y y 00
1
A
y = 3 e3 x
B
y 3 = 33 +
C
y 3 = 33 +
D
y 4 = 81 +
2
2
2
3
2
2
2 x
3 3 13
x
4x
1
33
15. José Luis se va a someter a una cirugı́a por una lesión de futbol y debe ser anestesiado. El anestesiólogo sabe que para que
un paciente sea anestesiado, mediante Pentobarbital sódico, debe tener en su sangre dicha sustancia en una concentración
de al menos 50 miligramos por cada kilogramo de peso. Suponga que las sustancias quı́micas disminuyen su concentración
en la sangre en forma proporcional a la concentración de la sustancia y que en particular el Pentobarbital disminuye su
concentración a la mitad cada 10 horas. Si José Luis pesa 80 kilogramos y será anestesiado mediante una sola dósis, cuántos
miligramos de Pentobarbital se le deberá suministrar si se desea que el efecto dure 3 horas? Nota: Los datos del problema
son ficticios.
Respuesta:
16. Cuál de las siguientes opciones representa la transformada de Laplace de la función: (Sugerencia: use las definiciones de
las funciones de las funciones hiperbólicas mediante exponenciales)
f (t) = t cosh(8 t)
A
F (s) =
16 s
(−64+s2 )2
B
F (s) =
64+s2
(−64+s2 )2
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 26
4
−1
C
F (s) = (64 + s2 )
D
F (s) =
64+s2
−64+s2
17. Una cadena de 3 pies de largo yace extendida en una mesa. La cadena pesa en total 9 pounds y se supone que su peso
está uniformemente distribuido. Un extremo de un pie de longitud de cadena cuelga de la mesa y estira toda la cadena hacia
abajo. Despreciando la fricción, indique a qué velocidad cae cuando deja de estar en la mesa. Sugerencia. Elija como variable
incógnita la longitud de la cadena que está fuera de la mesa, y = y(t). Para construir la ED use la segunda ley de Newton.
La fuerza aplicada a la cadena es 3 y. La aceleración es y 00 . Utiliza que la aceleración también puede ser expresada como
a = v dv/dy. de manera que quede una ecuación diferencial de primer orden en con variable dependiente v e independiente
y. Tome como condición inicial v(y = 1) = 0.
Respuesta:
18. Un recipiente contiene 50 galones de agua limpia inicialmente. Una solución es vertida en el interior del recipiente a un ritmo
de 3 galones por minuto. Esta solución tiene una concentración de 0.3 libras de sal por galón. A la vez que se vierte se extrae
solución del tanque a la misma velocidad. La solución extraida es entonces vertida en un nuevo recipiente que contiene
50 galones de agua limpia. Del cual a su vez también serán extraı́dos 3 galones de solución por minuto. Cuáles será la
concentración de sal (en libras por galón) en el segundo tanque 30 minutos despuúes de iniciado el proceso? Sugerencia.
Primero determine la fórmula que da la contidad de sal en el primer tanque función de t. A partir de ella obtenga la fórmula
que da la concentración de sal en el primer tanque. De ella determine la fórmula que da cantidad de sal que el primer tanque
vierte al segundo tanque en libras por minuto.
Respuesta:
19. Se estima que la población de la tierra en el 1500 fue de 100 millones de personas. En 1990 la población mundial se estimó en
2600 millones. Asumiendo que la tasa de crecimiento es proporcional a la población en cada momento, estime el año en el
que la población sea de 3200 millones.
Respuesta:
20. En un circuito serie RC con C =
1
300 H,
R = 600Ω, y

 4
E(t) =
−4

0
para
para
para
0≤t<6
6 ≤ t < 12
12 ≤ t
donde E(t) está en voltios. Encuentre la carga en coulumbs en el condensador en el tiempo t = 18 segundos. Tome q(0) = 0.0 C
Respuesta:
21. Determine los valores de A, B y C para que
y = (C1 + C2 x) eA x + B eC x
sea la solución general a :
64 y − 16 y 0 + y 00 = ex
Respuesta:
22. En la investigación de un asesinato, un cuerpo sin vida fue encontrado por Gil Grissom exactamente a las 8:00 PM, estando
alerta, él midió la temperatura del cuerpo registrándola en los 33o C. Dos horas mas tarde, él anotó que la temperatura del
cuerpo era de 27o C. Sabiendo que la temperatura de la habitación fue de 20o C, determine la hora a la cual el asesinato
ocurrió. Considere que la temperatura corporal normal es de 37o C. Reporte la hora en decimales. Por ejemplo, 1 hora 30
nimutos en decimales quedarı́a 1.5 horas.
Respuesta:
23. Indique la opción que contiene la solución a la ecuación diferencial:
dy
= −e4 y + e(2 x+4 y)
dx
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 26
A
y = C + 2 e2 x
B
e4 y = −4 + C + 2 e2 x
C
e−4 y = C − 2 e2 x + 4 x
D
e4 y = C + 2 e2 x − 4 x
E
y =C+
F
e−4 y = C −
1
2
5
e2 x
1
2
e2 x +
1
4
x
24. Encuentre la máxima carga en el capacitor en un circuito serie LRC cuando L = 5/3h, R = 10Ω, C = 1/30f , E(t) = 300V ,
q(0) = 0C, y i(0) = 0A.
Respuesta:
25. Un cuerpo con peso de 5 libras cuelga de un resorte con constante 58 lb/ft. El medio donde se mueve el cuerpo ofrece una
fuerza de resistencia al movimiento que es numéricamente igual a su velocidad instantánea. Si el peso es liberado 56 pies
por encima de su posición de equilibrio con una velocidad hacia abajo de 6 pies por segundo. Determine la velocidad en el
momento en el cual pasa por la posición de equilibrio.
Respuesta:
Ecuaciones Diferenciales
Laboratorio Final
Maestro Eduardo Uresti, Verano 2010
Grupo:
Matrı́cula:
Nombre:
Tipo:27
1. Calcule el valor en x = 1 para la solución particular y(x) que cumple las condiciones iniciales y( 61 ) = 1 y y 0 ( 16 ) = 12 a la ED:
6 y0
y 00 = √
y
Respuesta:
2. Use la transformada de Laplace para resolver la ecuación diferencial
4 y + y 00 = f (t)
con condiciones iniciales y(0) = 3 y y 0 (0) = 0 y donde
f (t)

 0
=
1

0
si 0 ≤ t < π
si π ≤ t < 2π
si 2π ≤ t
1
2
(1 − cos(2 t)) Uπ (t) −
1
2
(1 − cos(2 t)) U2 π (t)
sen(2 t) +
1
4
(1 − cos(2 t)) Uπ (t) −
1
4
(1 − cos(2 t)) U2 π (t)
C
y(t) = 3 cos(2 t) +
1
4
(1 + cos(2 t)) Uπ (t) −
1
4
(1 + cos(2 t)) U2 π (t)
D
y(t) = 3 cos(2 t) +
1
4
(1 − cos(2 t)) Uπ (t) −
1
4
(1 − cos(2 t)) U2 π (t)
E
y(t) = 3 cos(2 t) +
1
4
(1 − cos(4 t)) Uπ (t) −
1
4
(1 − cos(4 t)) U2 π (t)
A
y(t) = 3 cos(2 t) +
B
y(t) =
3
2
3. Indique cuál de las opciones siguientes es la ecuación subsidiaria del problema con condiciones iniciales y(0) = 0 y y 0 (0) = 2
con ecuación:
6 y − 5 y 0 + y 00 = 2 e3 t
A
Y (s) =
4+2 s
6−5 s+s2
B
Y (s) =
4+2 s
(−3+s) (6−5 s+s2 )
C
Y (s) =
−4+2 s
(−3+s) (6+5 s+s2 )
D
Y (s) =
−4+2 s
(−3+s) (6−5 s+s2 )
4. Determine A, B, C y D para que
f (t) = eA t (B cos(C t) + D sen(C t))
sea la transformada inversa de la función:
F (s) =
s
65 + 2 s + s2
Respuesta:
5. Determine el valor de y(1) siendo y(x) la función solución que satisface y(0) = 1 a la ecuación diferencial:
r
dy
x
= 5
dx
y
Respuesta:
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 27
2
6. Se ha descubierto que un cubo de naftalina que tenı́a originalmente un lado de 87 de pulgada, tiene un lado de 14 de pulgada
al cabo de un mes. Suponiendo que se evapore a un ı́ndice proporcional a su superficie, determine el tiempo necesario en
meses para que el cubo desaparezca.
A
1.4
B
8.4
C
0.7
D
4.2
7. En un circuito serie RC con C =
1
250 H,
R = 500Ω, y

 4
E(t) =
−4

0
para
para
para
0≤t<6
6 ≤ t < 12
12 ≤ t
donde E(t) está en voltios. Encuentre la carga en coulumbs en el condensador en el tiempo t = 18 segundos. Tome q(0) = 0.0 C
Respuesta:
8. Un cultivo tiene inicialmente una cantidad N0 de bacterias. Para t = 1 hr el número de bacterias estimado es 56 N0 . Si la
rapidez de multiplicación de las bacterias es proporcional al número de bacterias presente, determine el tiempo en horas
(expresado en decimales) para que el número de bacterias se cuatriplique.
A
15.
B
3.33333
C
3.80178
D
7.60357
9. En 1964, cientı́ficos soviéticos hicieron un nuevo elemento, mediante el bombardeo de átomos de plutonio, el cual tenı́a
número atómico 104. La vida media de este elemento llamado E104 es de 0.15 segundos. Si es producido a un ritmo de
43 × 10−5 microgramos por segundo y bajo el supuesto que no habı́a presente tal material , Cuántos microgramos habrı́a al
cabo de 60 segundos?
Respuesta:
10. José Luis se va a someter a una cirugı́a por una lesión de futbol y debe ser anestesiado. El anestesiólogo sabe que para que
un paciente sea anestesiado, mediante Pentobarbital sódico, debe tener en su sangre dicha sustancia en una concentración
de al menos 50 miligramos por cada kilogramo de peso. Suponga que las sustancias quı́micas disminuyen su concentración
en la sangre en forma proporcional a la concentración de la sustancia y que en particular el Pentobarbital disminuye su
concentración a la mitad cada 10 horas. Si José Luis pesa 75 kilogramos y será anestesiado mediante una sola dósis, cuántos
miligramos de Pentobarbital se le deberá suministrar si se desea que el efecto dure 3 horas? Nota: Los datos del problema
son ficticios.
Respuesta:
11. Inicialmente, un gran tanque con una capacidad de 100 galones contiene 50 galones de agua limpia. Una solución de sal con
una concentración de 6 lb/gal fluye hacia el tanque a una razón de 10 gal/min. La solución es perfectamente bien mezclada
mientras se extrae solución a un ritmo de 9gal/min. Encuentre la cantidad de sal en el tanque en el instante en que se llena.
Respuesta:
12. Encuentre la máxima carga en el capacitor en un circuito serie LRC cuando L = 5/3h, R = 10Ω, C = 1/30f , E(t) = 300V ,
q(0) = 0C, y i(0) = 0A.
Respuesta:
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 27
3
13. Seleccionar la opción que contiene la transformada de Laplace de
f (t) =
cos(8 t) − cos(9 t)
t
A
F (s) =
s
64+s2
+
s
81+s2
C
8+s
)
F (s) = ln( 9+s
B
F (s) =
s
64+s2
−
s
81+s2
D
F (s) =
1
2
2
ln( 81+s
64+s2 )
14. Un recipiente cilı́ndrico se está vaciando por un orificio en la parte inferior. Si inicialmente el lı́quido estaba a una profundidad
de 8 metros y al cabo de 4 horas se vacı́a. A qué horas pasó por la mitad de la profundidad?
Respuesta:
15. Cuando un rayo de luz pasa através de una sustancia transparente, el grado con que la intensidad, I(h), disminuye es
proporcional a la misma intensidad I(h) donde h representa el espesor del medio. En el agua de mar, la intensidad a 1.4
metros bajo la superficie es de 50 por ciento de la intesidad inicial Io del rayo incidente. Cuál es la intensidad del rayo de
luz a 2.4 metros respecto a Io ? Reporta tu respuesta entre 0 y 1.
Respuesta:
16. Determine los valores de A, B y C para que
y = (C1 + C2 x) eA x + B eC x
sea la solución general a :
49 y − 14 y 0 + y 00 = ex
Respuesta:
17. Un cuerpo con peso de 4 libras cuelga de un resorte con constante 2 lb/ft. El medio donde se mueve el cuerpo ofrece una
fuerza de resistencia al movimiento que es numéricamente igual a su velocidad instantánea. Si el peso es liberado 32 pies
por encima de su posición de equilibrio con una velocidad hacia abajo de 9 pies por segundo. Determine la velocidad en el
momento en el cual pasa por la posición de equilibrio.
Respuesta:
18. Una cadena de 3 pies de largo yace extendida en una mesa. La cadena pesa en total 12 pounds y se supone que su peso
está uniformemente distribuido. Un extremo de un pie de longitud de cadena cuelga de la mesa y estira toda la cadena hacia
abajo. Despreciando la fricción, indique cuánto tiempo tardará en caer de la mesa. Sugerencia. Elija como variable incógnita
la longitud de la cadena que está fuera de la mesa, y = y(t). Para construir la ED use la segunda ley de Newton. La fuerza
aplicada a la cadena es 4 y. La aceleración es y 00 . Tome como condiciones iniciales y(0) = 1 y y 0 (0) = 0.
Respuesta:
19. Seleccionar la opción que contiene un paso intermedio para obtener la solución general de la ED:
y
cos(x)
+ y0 =
x
x
A
y=e
R
1
x
R
C+
B
y=
C
y=e
D
y=
R
1
x
R
C+
dx
C+
cos(x)
R
e
R 1
dx
x
e
cos(x)
R 1x
dx
x
e
dx
C+
cos(x)
x
R
R
1 dx
x
x
dx
dx
e
R
1
x
dx
cos(x) dx
dx
x
20. Cuál de las siguientes opciones representa la transformada de Laplace de la función: (Sugerencia: use las definiciones de
las funciones de las funciones hiperbólicas mediante exponenciales)
f (t) = t cosh(5 t)
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 27
4
−1
A
F (s) = (25 + s2 )
B
F (s) =
25+s2
(−25+s2 )2
C
F (s) =
10 s
(−25+s2 )2
D
F (s) =
25+s2
−25+s2
21. Indicar la opción que contiene la solución a la ecuación diferencial:
y0 =
A
− xy = C + ln(x3 )
B
− y1 = C + 3 ln(x)
C
− u1 = C + 3 ln(x)
D
x
y
= C + 3 ln(x)
E
y
x
= C − 3 ln(x)
F
− xy = C + ln(3 x)
x y + 3 y2
x2
22. Al sacar un pastel del horno su temperatura es 291o F, 9 minutos después su temperatura es de 204o F. Si la rapidez con
que la temperatura T (t) cambia es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y la temperatura constante
To = 69o F del medio que lo rodea, cuántos minutos demorará el pastel en enfriarse hasta una temperatura de 92o F?
A
41.0224
B
20.5862
C
41.1724
D
5.75288
23. Sabiendo que la solución a la correspondiente ecuación homogénea auxiliar es yh = c1 + c2 sec (4 x) determine una solución
particular por el método de variación de parámetros a la ED:
−4 (csc(4 x) sec(4 x) + tan(4 x)) y 0 + y 00 = tan(4 x)
1
4
yp =
B
yp = − 14 x +
C
yp =
D
yp = − 14 x −
1
4
tan(4 x)
E
yp = − 14 x +
1
4
tan(4 x)
F
yp = x + tan(4 x)
1
4
x+
1
16
A
x+
1
4
tan(4 x)
1
16
tan(4 x)
tan(4 x)
24. Indique la opción que contiene la solución general a:
2 e(4+5 x) + 6 y dx + 2 e(6+7 y) + 6 x dy = 0
A
2
5
e(4+5 x) +
12
7
e(6+7 y) x y = C
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 27
B
2
5
e(4+5 x) +
2
7
e(6+7 y) + x + 6 y = C
C
2
5
e(4+5 x) +
2
7
e(6+7 y) + 6 x y = C
D
2
7
e(6+7 y) +
12
5
5
e(4+5 x) x y = C
25. El número de individuos infectados A(t) en un tiempo t debe crecer a una razón que es aproximadamente proporcional al
producto A(t)(N − A(t)) donde N es el tamaño de la población. Si el tamaño de la población es de 300 individuos y si
inicialmente existen 50 individuos infectados y al cabo de 1 meses existen 100 individuos infectados. Cuántos habrá infectados
al cabo de 2 meses?
Respuesta:
Ecuaciones Diferenciales
Laboratorio Final
Maestro Eduardo Uresti, Verano 2010
Grupo:
Matrı́cula:
Nombre:
Tipo:28
1. Al sacar un pastel del horno su temperatura es 299o F, 5 minutos después su temperatura es de 193o F. Si la rapidez con
que la temperatura T (t) cambia es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y la temperatura constante
To = 71o F del medio que lo rodea, cuántos minutos demorará el pastel en enfriarse hasta una temperatura de 91o F?
A
19.4588
B
19.6226
C
9.81132
D
3.11794
2. Use la transformada de Laplace para resolver la ecuación diferencial
100 y + y 00 = f (t)
con condiciones iniciales y(0) = 4 y y 0 (0) = 0 y donde

 0
=
1

0
f (t)
si 0 ≤ t < π
si π ≤ t < 2π
si 2π ≤ t
1
100
(1 + cos(10 t)) Uπ (t) −
1
100
(1 + cos(10 t)) U2 π (t)
1
100
(1 − cos(10 t)) Uπ (t) −
1
100
(1 − cos(10 t)) U2 π (t)
A
y(t) = 4 cos(10 t) +
B
y(t) =
C
y(t) = 4 cos(10 t) +
1
50
D
y(t) = 4 cos(10 t) +
1
100
(1 − cos(20 t)) Uπ (t) −
1
100
(1 − cos(20 t)) U2 π (t)
E
y(t) = 4 cos(10 t) +
1
100
(1 − cos(10 t)) Uπ (t) −
1
100
(1 − cos(10 t)) U2 π (t)
2
5
sen(10 t) +
(1 − cos(10 t)) Uπ (t) −
1
50
(1 − cos(10 t)) U2 π (t)
3. Cuál de las siguientes opciones representa la transformada de Laplace de la función: (Sugerencia: use las definiciones de
las funciones de las funciones hiperbólicas mediante exponenciales)
f (t) = t cosh(7 t)
−1
A
F (s) = (49 + s2 )
B
F (s) =
49+s2
−49+s2
C
F (s) =
49+s2
(−49+s2 )2
D
F (s) =
14 s
(−49+s2 )2
4. Utilizando la sustitución y = u x2 resuelva la EDO:
y 0 = 9 x3 + 2
9
2
A
y = C x2 +
B
y = C + 9 x3
x4
y
x
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 28
C
y = C + 9 x2
D
y = C x2 + 9 x4
E
y = 9 x2 + C x4
2
17
5. Se ha descubierto que un cubo de naftalina que tenı́a originalmente un lado de 14
de pulgada, tiene un lado de 17
16 de pulgada
al cabo de un mes. Suponiendo que se evapore a un ı́ndice proporcional a su superficie, determine el tiempo necesario en
meses para que el cubo desaparezca.
A
24.
B
8.
C
48.
D
4.
6. Dado que y1 = e−3x y y2 = xe−3x son soluciones a la ED homogénea auxiliar asociada encuentre la solución general de
9 y + 6 y 0 + y 00 =
A
y = −x e−3 x + C1 e−3 x + x C2 e−3 x + x ln(x) e−3 x
B
y = x + C1 e−3 x + x C2 e−3 x − ln(x)
C
y = x e−3 x + C1 e−3 x + x C2 e−3 x − x ln(x) e−3 x
D
y = −x + C1 e−3 x + x C2 e−3 x + ln(x)
1 −3 x
e
x
7. Cuál de las siguientes opciones contiene la solución general a:
9 x y + 1 + x2 y 0 = 5 x 1 + x2
9
A
y = C (1 + x2 ) 2 −
B
5
(1 + x2 )
y = − 11
C
y = C (1 + x2 ) 2 +
D
y=
5
11
−1
9
C
9
(1+x2 ) 2
+
5
11
(1 + x2 )
10
9
+ C (1 + x2 ) 2
5
11
(1 + x2 )
10
(1 + x2 )
8. La cantidad de ratones en cierta zona de Asia crece con una rapidez proporcional a la raı́z cuarta de la cantidad de ratones
en cada momento. Si inicialmente se cuentan 200 ratones y al cabo de un año son 600 . Cuántos habrá al cabo de 2 años?
A
1086.77
B
1800
C
962.921
D
1200
9. Seleccionar la opción que contiene la transformada de Laplace de
f (t) =
A
F (s) =
1
2
B
F (s) =
s
4+s2
2
ln( 9+s
4+s2 )
+
s
9+s2
cos(2 t) − cos(3 t)
t
C
2+s
F (s) = ln( 3+s
)
D
F (s) =
s
4+s2
−
s
9+s2
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 28
3
10. Calcule el valor en x = 1 para la solución particular y(x) que cumple las condiciones iniciales y( 51 ) = 1 y y 0 ( 15 ) = 10 a la ED:
5 y0
y 00 = √
y
Respuesta:
11. Un recipiente cilı́ndrico se está vaciando por un orificio en la parte inferior. Si inicialmente el lı́quido estaba a una profundidad
de 8 metros y al cabo de 10 horas se vacı́a. A qué horas pasó por la mitad de la profundidad?
Respuesta:
12. Indique cuál de las opciones siguientes es la ecuación subsidiaria del problema con condición inicial y(0) = 5 y ED:
6 y + y 0 = t cos(4 t) + sen(4 t) e2 t
5+
A
Y (s) =
B
Y (s) =
C
Y (s) =
D
Y (s) =
2 s2
(16+s2 )2
−(16+s2 )
−1
−2+s
+ 20−4
s+s2
6+s
5+
8s
(16+s2 )2
+ 20−44s+s2
6+s
5+
2 s2
(16+s2 )2
−(16+s2 )
−1
+ 20−44s+s2
−1
+ 20+44s+s2
6+s
5+
2 s2
(16+s2 )2
−(16+s2 )
6+s
13. José Luis se va a someter a una cirugı́a por una lesión de futbol y debe ser anestesiado. El anestesiólogo sabe que para que
un paciente sea anestesiado, mediante Pentobarbital sódico, debe tener en su sangre dicha sustancia en una concentración
de al menos 50 miligramos por cada kilogramo de peso. Suponga que las sustancias quı́micas disminuyen su concentración
en la sangre en forma proporcional a la concentración de la sustancia y que en particular el Pentobarbital disminuye su
concentración a la mitad cada 10 horas. Si José Luis pesa 90 kilogramos y será anestesiado mediante una sola dósis, cuántos
miligramos de Pentobarbital se le deberá suministrar si se desea que el efecto dure 4 horas? Nota: Los datos del problema
son ficticios.
Respuesta:
14. En un circuito serie RC con C =
1
200 H,
R = 500Ω, y

 2
E(t) =
−2

0
para
para
para
0≤t<2
2≤t<4
4≤t
donde E(t) está en voltios. Encuentre la carga en coulumbs en el condensador en el tiempo t = 6 segundos. Tome q(0) = 0.0 C
Respuesta:
15. El número de individuos infectados A(t) en un tiempo t debe crecer a una razón que es aproximadamente proporcional al
producto A(t)(N − A(t)) donde N es el tamaño de la población. Si el tamaño de la población es de 300 individuos y si
inicialmente existen 60 individuos infectados y al cabo de 1 meses existen 120 individuos infectados. Cuántos habrá infectados
al cabo de 2 meses?
Respuesta:
16. Determine A, B, C y D para que
f (t) = eA t (B cos(C t) + D sen(C t))
sea la transformada inversa de la función:
F (s) =
Respuesta:
s
50 + 2 s + s2
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 28
4
17. Determine los valores de A, B, C y D para que
y 00 + A y 0 + B y = C x + D
tenga como solución general:
y = 1 + x + C1 e3 x + C2 e−x
Respuesta:
18. Un cuerpo con peso de 5 libras cuelga de un resorte con constante 58 lb/ft. El medio donde se mueve el cuerpo ofrece una
fuerza de resistencia al movimiento que es numéricamente igual a su velocidad instantánea. Si el peso es liberado 56 pies
por encima de su posición de equilibrio con una velocidad hacia abajo de 18 pies por segundo. Determine la velocidad en el
momento en el cual pasa por la posición de equilibrio.
Respuesta:
19. Una fragmento de la pata de la silla de la tumba Tutankhamón contenı́a el 64 por ciento del carbono 14 radiactivo que
contiene un fragmento del mismo tipo de madera en un árbol vivo. Estime la edad de la tumba en años, sabiendo que la
vida media del carbono 14 es de aproximadamente 5600 años.
Respuesta:
20. Inicialmente, un gran tanque con una capacidad de 150 galones contiene 75 galones de agua limpia. Una solución de sal con
una concentración de 2 lb/gal fluye hacia el tanque a una razón de 40 gal/min. La solución es perfectamente bien mezclada
mientras se extrae solución a un ritmo de 20gal/min. Encuentre: 1) la cantidad de sal en el tanque en el momento que se
llena (en libras). 2) La velocidad a la cual está saliendo sal en ese instante (en libras por minuto). 3) La cantidad de sal
que ha salido del tanque desde el inicio y hasta ese momento (en libras).
Respuesta:
21. Una cadena de 3 pies de largo yace extendida en una mesa. La cadena pesa en total 12 pounds y se supone que su peso
está uniformemente distribuido. Un extremo de un pie de longitud de cadena cuelga de la mesa y estira toda la cadena hacia
abajo. Despreciando la fricción, indique a qué velocidad cae cuando deja de estar en la mesa. Sugerencia. Elija como variable
incógnita la longitud de la cadena que está fuera de la mesa, y = y(t). Para construir la ED use la segunda ley de Newton.
La fuerza aplicada a la cadena es 4 y. La aceleración es y 00 . Utiliza que la aceleración también puede ser expresada como
a = v dv/dy. de manera que quede una ecuación diferencial de primer orden en con variable dependiente v e independiente
y. Tome como condición inicial v(y = 1) = 0.
Respuesta:
22. Indique la opción que contiene la solución que satisface y(0) = 0 para la ecuación:
2 x + 3 y + (3 x + 2 y) y 0 = 0
A
x3 + y 3 = 0
B
x2 + 2 x y + y 2 = 0
C
x3 + 2 x y + y 3 = 0
D
x2 + 3 x y + y 2 = 0
E
x2 + y 2 = 0
F
x3 + x y + y 3 = 0
G
x3 + 3 x y + y 3 = 0
H
x2 + x y + y 2 = 0
23. Encuentre la máxima carga en el capacitor en un circuito serie LRC cuando L = 5/3h, R = 10Ω, C = 1/30f , E(t) = 300V ,
q(0) = 0C, y i(0) = 0A.
Respuesta:
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 28
5
24. Determine los valores de A, B, C y D para que la función
y = A + B eC x
2
+D x
sea la solución particular que cumple y(0) = 4 a la ecuación diferencial:
dy
= 6 − 3x − 2y + xy
dx
Respuesta:
25. Cuando un rayo de luz pasa através de una sustancia transparente, el grado con que la intensidad, I(h), disminuye es
proporcional a la misma intensidad I(h) donde h representa el espesor del medio. En el agua de mar, la intensidad a 1.7
metros bajo la superficie es de 30 por ciento de la intesidad inicial Io del rayo incidente. A qué profundidad en metros la
intensidad es 40 por ciento de Io ?
Respuesta:
Ecuaciones Diferenciales
Laboratorio Final
Maestro Eduardo Uresti, Verano 2010
Grupo:
Matrı́cula:
Nombre:
Tipo:29
1. Un cuerpo con peso de 9 libras cuelga de un resorte con constante 98 lb/ft. El medio donde se mueve el cuerpo ofrece una
fuerza de resistencia al movimiento que es numéricamente igual a su velocidad instantánea. Si el peso es liberado 32 pies
por encima de su posición de equilibrio con una velocidad hacia abajo de 21 pies por segundo. Determine la velocidad en el
momento en el cual pasa por la posición de equilibrio.
Respuesta:
2. Cuando un rayo de luz pasa através de una sustancia transparente, el grado con que la intensidad, I(h), disminuye es
proporcional a la misma intensidad I(h) donde h representa el espesor del medio. En el agua de mar, la intensidad a 1.8
metros bajo la superficie es de 50 por ciento de la intesidad inicial Io del rayo incidente. A qué profundidad en metros la
intensidad es 60 por ciento de Io ?
Respuesta:
3. Un recipiente cilı́ndrico se está vaciando por un orificio en la parte inferior. Si inicialmente el lı́quido estaba a una profundidad
de 16 metros y al cabo de 4 horas tenı́a una profundidad de 8 metros. Cuánto tiempo tardará en vaciarse?
A
13.6569 horas
B
20.4853 horas
C
6. horas
D
4 horas adicionales
4. Determine el valor de y(1) siendo y(x) la función solución que satisface y(0) = 1 a la ecuación diferencial:
r
x
dy
= 8
dx
y
Respuesta:
5. Una cadena de 7 pies de largo yace extendida en una mesa. La cadena pesa en total 8 pounds y se supone que su peso
está uniformemente distribuido. Un extremo de un pie de longitud de cadena cuelga de la mesa y estira toda la cadena hacia
abajo. Despreciando la fricción, indique a qué velocidad cae cuando deja de estar en la mesa. Sugerencia. Elija como variable
incógnita la longitud de la cadena que está fuera de la mesa, y = y(t). Para construir la ED use la segunda ley de Newton.
La fuerza aplicada a la cadena es 78 y. La aceleración es y 00 . Utiliza que la aceleración también puede ser expresada como
a = v dv/dy. de manera que quede una ecuación diferencial de primer orden en con variable dependiente v e independiente
y. Tome como condición inicial v(y = 1) = 0.
Respuesta:
6. Sabiendo que la solución a la correspondiente ecuación homogénea auxiliar es yh = c1 + c2 sec (3 x) determine una solución
particular por el método de variación de parámetros a la ED:
−3 (csc(3 x) sec(3 x) + tan(3 x)) y 0 + y 00 = tan(3 x)
A
yp = x + tan(3 x)
B
yp =
C
yp = − 13 x −
1
3
tan(3 x)
D
yp = − 13 x +
1
9
tan(3 x)
1
3
x+
1
3
tan(3 x)
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 29
E
yp = − 13 x +
F
yp =
1
3
x+
1
3
1
9
2
tan(3 x)
tan(3 x)
7. Todos los dı́as la maestra Treviño toma una taza de café antes de su clase de 9:00 AM. Suponga que la temperatura del
café es de 200o F cuando lo sirve en su taza a las 8:30AM, quince minutos después el café se enfria hasta 110o F en un cuarto
que está a 65o F. Sin embargo, la maestra Treviño nunca beberá su café si no hasta que este se enfrie justo a 95o F. Cuántos
minutos después de servido tomará su café?
Respuesta:
8. Cuál de las siguientes opciones contiene la solución general a:
8
6 x y + 64 + x2 y 0 = 5 x (64 + x2 )
−8
A
5
y = − 22
(64 + x2 )
B
y = C (64 + x2 ) −
C
y = C (64 + x2 ) +
D
y=
C
(64+x2 )3
+
3
+ C (64 + x2 )
3
5
22
(64 + x2 )
14
3
5
22
(64 + x2 )
14
5
22
(64 + x2 )
8
9. Un recipiente contiene 90 galones de una solución de sal a una concentración de 0.08 libras por galón. Un proceso se inicia
poniendo agua limpia en el recipiente a un ritmo de 5 galones por minuto. A la vez que se vierte agua, se extrae solución
del tanque a la misma velocidad. La solución extraı́da es entonces vertida en un nuevo recipiente que contiene 90 galones de
agua limpia. Del cual a su vez también serán extraı́dos 5 galones de solución por minuto. Cuál será la concentración máxima
que alcanzará la solución en el segundo tanque? (en libras por galón) Sugerencia. Primero determine la fórmula que da la
contidad de sal en el primer tanque en función de t. A partir de ella obtenga la fórmula que da la concentración de sal en el
primer tanque. De ella determine la fórmula de la velocidad de entrada de sal al segundo tanque en libras por minuto.
Respuesta:
10. En un circuito serie RC con C =
1
500 H,
R = 500Ω, y

 2
E(t) =
−2

0
para
para
para
0≤t<5
5 ≤ t < 10
10 ≤ t
donde E(t) está en voltios. Encuentre la carga en coulumbs en el condensador en el tiempo t = 15 segundos. Tome q(0) = 0.0 C
Respuesta:
11. Indique la opción que contiene la solución general a:
3 e(3+2 x) + 6 y dx + 8 e(2+7 y) + 6 x dy = 0
A
8
7
e(2+7 y) + 9 e(3+2 x) x y = C
B
3
2
e(3+2 x) +
8
7
e(2+7 y) + x + 6 y = C
C
3
2
e(3+2 x) +
8
7
e(2+7 y) + 6 x y = C
D
3
2
e(3+2 x) +
48
7
e(2+7 y) x y = C
12. Indique cuál de las opciones siguientes es la ecuación subsidiaria del problema con condiciones iniciales y(0) = 0 y y 0 (0) = 7
con ecuación:
21 y − 10 y 0 + y 00 = 7 e3 t
A
Y (s) =
−14+7 s
(−3+s) (21+10 s+s2 )
B
Y (s) =
14+7 s
21−10 s+s2
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 29
C
Y (s) =
14+7 s
(−3+s) (21−10 s+s2 )
D
Y (s) =
−14+7 s
(−3+s) (21−10 s+s2 )
3
13. Utilizando la sustitución y = u x2 resuelva la EDO:
y 0 = 3 x3 + 2
A
y = 3 x2 + C x4
B
y = C x2 +
C
y = C + 3 x3
D
y = C + 3 x2
E
y = C x2 + 3 x4
3
2
y
x
x4
14. Determine A, B, C y D para que
f (t) = eA t (B cos(C t) + D sen(C t))
sea la transformada inversa de la función:
F (s) =
s
5 + 2 s + s2
Respuesta:
15. José Luis se va a someter a una cirugı́a por una lesión de futbol y debe ser anestesiado. El anestesiólogo sabe que para que
un paciente sea anestesiado, mediante Pentobarbital sódico, debe tener en su sangre dicha sustancia en una concentración
de al menos 50 miligramos por cada kilogramo de peso. Suponga que las sustancias quı́micas disminuyen su concentración
en la sangre en forma proporcional a la concentración de la sustancia y que en particular el Pentobarbital disminuye su
concentración a la mitad cada 10 horas. Si José Luis pesa 95 kilogramos y será anestesiado mediante una sola dósis, cuántos
miligramos de Pentobarbital se le deberá suministrar si se desea que el efecto dure 3 horas? Nota: Los datos del problema
son ficticios.
Respuesta:
16. Se estima que la población de la tierra en el 1500 fue de 100 millones de personas. En 1990 la población mundial se estimó en
2600 millones. Asumiendo que la tasa de crecimiento es proporcional a la población en cada momento, estime el año en el
que la población sea de 2900 millones.
Respuesta:
17. Resuelva la siguiente ED con condiciones iniciales y(0) = 4 y y 0 (0) = 1 reduciéndola en orden
2
(y 0 ) = 4 y y 00
√
3
A
y4 = 2
2+
B
y 5 = 1024 +
C
y = 4 e4 x
D
y4 = 2
3
4
x
5x
√
2
1
3
√
2+
x
3 √
4
2
3
18. Se ha descubierto que una bola de naftalina que tenı́a originalmente un radio de 19
12 de pulgada, tiene una radio de 10 de
pulgada al cabo de un mes. Suponiendo que se evapore a un ı́ndice proporcional a su superficie, determine el tiempo necesario
en meses para que la bola desaparezca.
A
7.4026
B
2.46753
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 29
C
1.23377
D
3.7013
4
19. Determine los valores de A, B y C para que
y = (C1 + C2 x) eA x + B eC x
sea la solución general a :
49 y − 14 y 0 + y 00 = ex
Respuesta:
20. Cuál de las siguientes opciones representa la transformada de Laplace de la función: (Sugerencia: use las definiciones de
las funciones de las funciones hiperbólicas mediante exponenciales)
f (t) = t cosh(5 t)
−1
A
F (s) = (25 + s2 )
B
F (s) =
10 s
(−25+s2 )2
C
F (s) =
25+s2
−25+s2
D
F (s) =
25+s2
(−25+s2 )2
21. El número de individuos infectados A(t) en un tiempo t debe crecer a una razón que es aproximadamente proporcional al
producto A(t)(N − A(t)) donde N es el tamaño de la población. Si el tamaño de la población es de 400 individuos y si
inicialmente existen 60 individuos infectados y al cabo de 1 meses existen 120 individuos infectados. Cuántos habrá infectados
al cabo de 2 meses?
Respuesta:
22. En 1960 un artı́culo de New York Times anunció que Arqueólogos afirman que la civilización Sumeria ocupó el valle del
Tigris hace 5750 años . Asumiendo que los arqueólogos usaron la técnica del C-14. Determine el porcentaje del carbono
catorce encontrado en las muestras (con respecto al inicial). Use como dato que la vida media de C-14 es de 5600 años.
A
0.513393
B
0.770089
C
0.490802
D
0.368102
23. Seleccionar la opción que contiene la transformada de Laplace de
f (t) =
cos(2 t) − cos(5 t)
t
A
F (s) =
s
4+s2
+
s
25+s2
C
2+s
)
F (s) = ln( 5+s
B
F (s) =
s
4+s2
−
s
25+s2
D
F (s) =
1
2
2
ln( 25+s
4+s2 )
24. Encuentre la máxima carga en el capacitor en un circuito serie LRC cuando L = 5/3h, R = 10Ω, C = 1/30f , E(t) = 300V ,
q(0) = 0C, y i(0) = 0A.
Respuesta:
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 29
5
25. Use la transformada de Laplace para resolver la ecuación diferencial
64 y + y 00 = f (t)
con condiciones iniciales y(0) = 4 y y 0 (0) = 0 y donde

 0
=
1

0
f (t)
si 0 ≤ t < π
si π ≤ t < 2π
si 2π ≤ t
A
y(t) = 4 cos(8 t) +
1
64
(1 − cos(16 t)) Uπ (t) −
B
y(t) = 4 cos(8 t) +
1
32
(1 − cos(8 t)) Uπ (t) −
1
32
(1 − cos(8 t)) U2 π (t)
C
y(t) = 4 cos(8 t) +
1
64
(1 + cos(8 t)) Uπ (t) −
1
64
(1 + cos(8 t)) U2 π (t)
D
y(t) = 4 cos(8 t) +
1
64
(1 − cos(8 t)) Uπ (t) −
1
64
(1 − cos(8 t)) U2 π (t)
E
y(t) =
1
64
(1 − cos(8 t)) Uπ (t) −
1
64
(1 − cos(8 t)) U2 π (t)
1
2
sen(8 t) +
1
64
(1 − cos(16 t)) U2 π (t)
Ecuaciones Diferenciales
Laboratorio Final
Maestro Eduardo Uresti, Verano 2010
Grupo:
Matrı́cula:
Nombre:
Tipo:30
1. Determine los valores de A, B y C para que
y = (C1 + C2 x) eA x + B eC x
sea la solución general a :
25 y − 10 y 0 + y 00 = ex
Respuesta:
2. Indicar la opción que contiene la solución a la ecuación diferencial:
y0 =
A
x2
y2
B
− xy2 = C + 3 ln(x)
C
x2
y2
D
y 2 = x2 (C − 6 ln(x))
E
1
− y2
= C − 3 ln(x)
x2 y + 3 y 3
x3
= C + 3 ln(x)
2
= C − 6 ln(x)
3. Cuál de las siguientes opciones contiene la solución general a:
6
5 x y + 64 + x2 y 0 = 4 x (64 + x2 )
C
(64 + x2 )
y=
B
y = C (64 + x2 ) 2 −
C
y = C (64 + x2 ) 2 +
D
4
y = − 17
(64 + x2 )
5
(64+x2 ) 2
+
4
17
A
5
5
6
11
4
17
(64 + x2 )
4
17
(64 + x2 )
−6
11
5
+ C (64 + x2 ) 2
4. Una rama de ciprés que se encontró en la tumba de un Faraón Egipcio contenı́a el 53 por ciento del carbono 14 radiactivo
que contiene una rama de ciprés vivo. Estime la edad de la tumba en años, sabiendo que la vida media del carbono 14 es de
aproximadamente 5600 años.
Respuesta:
5. Encuentre la máxima carga en el capacitor en un circuito serie LRC cuando L = 5/3h, R = 10Ω, C = 1/30f , E(t) = 300V ,
q(0) = 0C, y i(0) = 0A.
Respuesta:
6. Calcule el valor en x = 1 para la solución particular y(x) que cumple las condiciones iniciales y( 61 ) = 1 y y 0 ( 16 ) = 12 a la ED:
6 y0
y 00 = √
y
Respuesta:
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 30
2
7. Un recipiente contiene 80 galones de una solución de sal a una concentración de 0.08 libras por galón. Un proceso se inicia
poniendo agua limpia en el recipiente a un ritmo de 2 galones por minuto. A la vez que se vierte agua, se extrae solución
del tanque a la misma velocidad. La solución extraı́da es entonces vertida en un nuevo recipiente que contiene 80 galones de
agua limpia. Del cual a su vez también serán extraı́dos 2 galones de solución por minuto. Cuál será la concentración máxima
que alcanzará la solución en el segundo tanque? (en libras por galón) Sugerencia. Primero determine la fórmula que da la
contidad de sal en el primer tanque en función de t. A partir de ella obtenga la fórmula que da la concentración de sal en el
primer tanque. De ella determine la fórmula de la velocidad de entrada de sal al segundo tanque en libras por minuto.
Respuesta:
8. José Luis se va a someter a una cirugı́a por una lesión de futbol y debe ser anestesiado. El anestesiólogo sabe que para que
un paciente sea anestesiado, mediante Pentobarbital sódico, debe tener en su sangre dicha sustancia en una concentración
de al menos 50 miligramos por cada kilogramo de peso. Suponga que las sustancias quı́micas disminuyen su concentración
en la sangre en forma proporcional a la concentración de la sustancia y que en particular el Pentobarbital disminuye su
concentración a la mitad cada 10 horas. Si José Luis pesa 85 kilogramos y será anestesiado mediante una sola dósis, cuántos
miligramos de Pentobarbital se le deberá suministrar si se desea que el efecto dure 4 horas? Nota: Los datos del problema
son ficticios.
Respuesta:
9. En un circuito serie RC con C =
3
800 H,
R = 400Ω, y

 4
E(t) =
−4

0
para
para
para
0≤t<2
2≤t<4
4≤t
donde E(t) está en voltios. Encuentre la carga en coulumbs en el condensador en el tiempo t = 6 segundos. Tome q(0) = 0.0 C
Respuesta:
10. Seleccionar la opción que contiene la transformada de Laplace de
f (t) =
A
2+s
)
F (s) = ln( 9+s
B
F (s) =
s
4+s2
+
cos(2 t) − cos(9 t)
t
s
81+s2
C
F (s) =
s
4+s2
D
F (s) =
1
2
−
s
81+s2
2
ln( 81+s
4+s2 )
11. Determine A, B, C, D y E (B > D) para que
f (t) = A eB t + C eD t + E
sea la transformada inversa de la función:
F (s) =
−27 − 3 s
−9 s + s3
Respuesta:
12. Un cuerpo con peso de 5 libras cuelga de un resorte con constante 58 lb/ft. El medio donde se mueve el cuerpo ofrece una
fuerza de resistencia al movimiento que es numéricamente igual a su velocidad instantánea. Si el peso es liberado 56 pies
por encima de su posición de equilibrio con una velocidad hacia abajo de 6 pies por segundo. Determine la velocidad en el
momento en el cual pasa por la posición de equilibrio.
Respuesta:
13. Se sabe que la población de cierta comunidad aumenta, en un instante t cualquiera, con una rapidez proporcional al número
de personas presentes en dicho instante. Si la población se cuatriplica en 6 años, cuántos años demorará en sextuplicarse?
A
13.5
B
17.4706
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 30
C
7.75489
D
9.
3
14. Una cadena de 6 pies de largo yace extendida en una mesa. La cadena pesa en total 20 pounds y se supone que su peso
está uniformemente distribuido. Un extremo de un pie de longitud de cadena cuelga de la mesa y estira toda la cadena hacia
abajo. Despreciando la fricción, indique cuánto tiempo tardará en caer de la mesa. Sugerencia. Elija como variable incógnita
la longitud de la cadena que está fuera de la mesa, y = y(t). Para construir la ED use la segunda ley de Newton. La fuerza
00
0
aplicada a la cadena es 10
3 y. La aceleración es y . Tome como condiciones iniciales y(0) = 1 y y (0) = 0.
Respuesta:
15. Use la transformada de Laplace para resolver la ecuación diferencial
100 y + y 00 = f (t)
con condiciones iniciales y(0) = 5 y y 0 (0) = 0 y donde

 0
=
1

0
f (t)
si 0 ≤ t < π
si π ≤ t < 2π
si 2π ≤ t
1
100
(1 − cos(20 t)) Uπ (t) −
1
100
(1 − cos(20 t)) U2 π (t)
sen(10 t) +
1
100
(1 − cos(10 t)) Uπ (t) −
1
100
(1 − cos(10 t)) U2 π (t)
C
y(t) = 5 cos(10 t) +
1
100
(1 + cos(10 t)) Uπ (t) −
1
100
(1 + cos(10 t)) U2 π (t)
D
y(t) = 5 cos(10 t) +
1
100
(1 − cos(10 t)) Uπ (t) −
1
100
(1 − cos(10 t)) U2 π (t)
E
y(t) = 5 cos(10 t) +
1
50
A
y(t) = 5 cos(10 t) +
B
y(t) =
1
2
(1 − cos(10 t)) Uπ (t) −
1
50
(1 − cos(10 t)) U2 π (t)
16. Un recipiente cilı́ndrico se está vaciando por un orificio en la parte inferior. Si inicialmente el lı́quido estaba a una profundidad
de 12 metros y al cabo de 2 horas se vacı́a. A qué horas pasó por la mitad de la profundidad?
Respuesta:
17. Indique la opción que contiene la solución que satisface y(0) = 0 para la ecuación:
2 x + 3 y + (3 x + 2 y) y 0 = 0
A
x3 + 3 x y + y 3 = 0
B
x2 + 3 x y + y 2 = 0
C
x2 + x y + y 2 = 0
D
x3 + y 3 = 0
E
x2 + 2 x y + y 2 = 0
F
x2 + y 2 = 0
G
x3 + 2 x y + y 3 = 0
H
x3 + x y + y 3 = 0
18. Sabiendo que la solución a la correspondiente ecuación homogénea auxiliar es yh = c1 + c2 sec (3 x) determine una solución
particular por el método de variación de parámetros a la ED:
−3 (csc(3 x) sec(3 x) + tan(3 x)) y 0 + y 00 = tan(3 x)
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 30
1
3
yp =
B
yp = − 13 x −
C
yp =
D
yp = − 13 x +
1
9
tan(3 x)
E
yp = − 13 x +
1
3
tan(3 x)
F
yp = x + tan(3 x)
1
3
x+
1
3
A
x+
1
9
4
tan(3 x)
1
3
tan(3 x)
tan(3 x)
19. Cuando un rayo de luz pasa através de una sustancia transparente, el grado con que la intensidad, I(h), disminuye es
proporcional a la misma intensidad I(h) donde h representa el espesor del medio. En el agua de mar, la intensidad a 1.1
metros bajo la superficie es de 50 por ciento de la intesidad inicial Io del rayo incidente. A qué profundidad en metros la
intensidad es 60 por ciento de Io ?
Respuesta:
20. Cuál de las siguientes opciones representa la transformada de Laplace de la función: (Sugerencia: use las definiciones de
las funciones de las funciones hiperbólicas mediante exponenciales)
f (t) = t cosh(6 t)
A
F (s) =
36+s2
−36+s2
B
F (s) =
36+s2
(−36+s2 )2
C
F (s) = (36 + s2 )
D
F (s) =
−1
12 s
(−36+s2 )2
21. El número de individuos infectados A(t) en un tiempo t debe crecer a una razón que es aproximadamente proporcional al
producto A(t)(N − A(t)) donde N es el tamaño de la población. Si el tamaño de la población es de 500 individuos y si
inicialmente existen 30 individuos infectados y al cabo de 1 meses existen 60 individuos infectados. Cuántos habrá infectados
al cabo de 2 meses?
Respuesta:
22. En la investigación de un asesinato, un cuerpo sin vida fue encontrado por Gil Grissom exactamente a las 8:00 PM, estando
alerta, él midió la temperatura del cuerpo registrándola en los 32o C. Dos horas mas tarde, él anotó que la temperatura del
cuerpo era de 25o C. Sabiendo que la temperatura de la habitación fue de 18o C, determine la hora a la cual el asesinato
ocurrió. Considere que la temperatura corporal normal es de 37o C. Reporte la hora en decimales. Por ejemplo, 1 hora 30
nimutos en decimales quedarı́a 1.5 horas.
Respuesta:
23. Determine los valores de A, B, C y D para que la función
y = A + B eC x
2
+D x
sea la solución particular que cumple y(0) = 3 a la ecuación diferencial:
dy
= 10 − 2 x − 5 y + x y
dx
Respuesta:
24. Se ha descubierto que un cubo de naftalina que tenı́a originalmente un lado de 25 de pulgada, tiene un lado de 17
20 de pulgada
al cabo de un mes. Suponiendo que se evapore a un ı́ndice proporcional a su superficie, determine el tiempo necesario en
meses para que el cubo desaparezca.
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 30
A
0.757576
B
1.51515
C
4.54545
D
9.09091
25. Indique cuál de las opciones siguientes es la ecuación subsidiaria del problema con condición inicial y(0) = 5 y ED:
5 y + y 0 = t cos(7 t) + sen(7 t) e8 t
5+
A
Y (s) =
B
Y (s) =
Y (s) =
D
Y (s) =
−(49+s2 )
−1
7
+ 113−16
s+s2
−1
−8+s
+ 113−16
s+s2
−1
7
+ 113+16
s+s2
5+s
5+
C
2 s2
(49+s2 )2
2 s2
(49+s2 )2
−(49+s2 )
5+s
2
5+ 2 s 2 2
(49+s )
−(49+s2 )
5+s
5+
14 s
(49+s2 )2
7
+ 113−16
s+s2
5+s
5
Ecuaciones Diferenciales
Laboratorio Final
Maestro Eduardo Uresti, Verano 2010
Grupo:
Matrı́cula:
Nombre:
Tipo:31
1. Determine los valores de A, B, C y D para que la función
y = A + B eC x
2
+D x
sea la solución particular que cumple y(0) = 5 a la ecuación diferencial:
dy
= 20 − 4 x − 5 y + x y
dx
Respuesta:
19
5
2. Se ha descubierto que un cubo de naftalina que tenı́a originalmente un lado de 12
de pulgada, tiene un lado de 12
de pulgada
al cabo de un mes. Suponiendo que se evapore a un ı́ndice proporcional a su superficie, determine el tiempo necesario en
meses para que el cubo desaparezca.
A
8.14286
B
1.35714
C
4.07143
D
0.678571
3. Cuando un rayo de luz pasa através de una sustancia transparente, el grado con que la intensidad, I(h), disminuye es
proporcional a la misma intensidad I(h) donde h representa el espesor del medio. En el agua de mar, la intensidad a 1.2
metros bajo la superficie es de 40 por ciento de la intesidad inicial Io del rayo incidente. A qué profundidad en metros la
intensidad es 50 por ciento de Io ?
Respuesta:
4. En la investigación de un asesinato, un cuerpo sin vida fue encontrado por el inspector Núñez exactamente a las 8:00 PM,
estando alerta, él midió la temperatura del cuerpo registrándola en los 31o C. Dos horas mas tarde, el inspector anotó que
la temperatura del cuerpo era de 26o C. Sabiendo que la temperatura de la habitación fue de 21o C, determine la hora a la
cual el asesinato ocurrió. Reporte la hora en decimales, por ejemplo 1 hora 30 nimutos en decimales quedarı́a 1.5 horas.
Respuesta:
5. Indique cuál de las siguientes opciones es la transformada de Laplace de
f (t) =
1
t sen(5 t)
10
A
F (s) =
1
(25+s2 )2
C
F (s) =
1
(−25+s2 )2
B
F (s) =
s
(−25+s2 )2
D
F (s) =
s
(25+s2 )2
6. Inicialmente 6 kilogramos de sal están disueltos en un tanque de 100 litros de agua, y entonces una solución, también de sal
y con una concentración de 0.02 kilogramos por litro, es vertida al interior del tanque a un ritmo de 6 litros por minuto. La
solución dentro del tanque se mantiene homogénea y se drena a la misma velocidad a la cual se vierte manteniendo constante
el volumen total del lı́quido. Determine la concentración de sal en el interior del recipiente al cabo de 15 minutos.
Respuesta:
7. Un recipiente cilı́ndrico se está vaciando por un orificio en la parte inferior. Si inicialmente el lı́quido estaba a una profundidad
de 12 metros y al cabo de 4 horas tenı́a una profundidad de 6 metros. Cuánto tiempo tardará en vaciarse?
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 31
A
13.6569 horas
B
6. horas
C
4 horas adicionales
D
20.4853 horas
2
8. Una cadena de 5 pies de largo yace extendida en una mesa. La cadena pesa en total 5 pounds y se supone que su peso
está uniformemente distribuido. Un extremo de un pie de longitud de cadena cuelga de la mesa y estira toda la cadena hacia
abajo. Despreciando la fricción, indique a qué velocidad cae cuando deja de estar en la mesa. Sugerencia. Elija como variable
incógnita la longitud de la cadena que está fuera de la mesa, y = y(t). Para construir la ED use la segunda ley de Newton.
La fuerza aplicada a la cadena es y. La aceleración es y 00 . Utiliza que la aceleración también puede ser expresada como
a = v dv/dy. de manera que quede una ecuación diferencial de primer orden en con variable dependiente v e independiente
y. Tome como condición inicial v(y = 1) = 0.
Respuesta:
9. Determine A, B, C, D y E (B > D) para que
f (t) = A eB t + C eD t + E
sea la transformada inversa de la función:
F (s) =
−8 + 8 s
−4 s + s3
Respuesta:
10. Seleccionar la opción que contiene un paso intermedio para obtener la solución general de la ED:
y
cos(x)
+ y0 =
x
x
R
C+
A
y=
B
y=e
R
1
x
R
C+
C
y=
D
y=e
R 1
dx
x
e
cos(x)
R 1x
dx
e x
dx
C+
cos(x)
x
dx
cos(x)
R
R
1 dx
x
R
1
x
e
x
dx
dx
x
R
1
x
dx
C+
R
e
dx
cos(x) dx
11. El número de individuos infectados A(t) en un tiempo t debe crecer a una razón que es aproximadamente proporcional al
producto A(t)(N − A(t)) donde N es el tamaño de la población. Si el tamaño de la población es de 300 individuos y si
inicialmente existen 50 individuos infectados y al cabo de 1 meses existen 100 individuos infectados. Cuántos habrá infectados
al cabo de 2 meses?
Respuesta:
12. Cuál de las siguientes opciones representa la transformada de Laplace de la función: (Sugerencia: use las definiciones de
las funciones de las funciones hiperbólicas mediante exponenciales)
f (t) = t cosh(4 t)
16+s2
(−16+s2 )2
A
F (s) =
B
F (s) = (16 + s2 )
C
F (s) =
8s
(−16+s2 )2
D
F (s) =
16+s2
−16+s2
−1
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 31
3
13. Indique cuál de las opciones siguientes es la ecuación subsidiaria del problema con condiciones iniciales y(0) = 0 y y 0 (0) = 3
con ecuación:
15 y − 8 y 0 + y 00 = 3 e5 t
A
Y (s) =
−12+3 s
(−5+s) (15−8 s+s2 )
B
Y (s) =
12+3 s
(−5+s) (15−8 s+s2 )
C
Y (s) =
12+3 s
15−8 s+s2
D
Y (s) =
−12+3 s
(−5+s) (15+8 s+s2 )
14. Indique la opción que contiene la solución general a:
8 e(8+7 x) + 8 y dx + 3 e(7+7 y) + 8 x dy = 0
A
3
7
e(7+7 y) +
64
7
B
8
7
e(8+7 x) +
3
7
C
8
7
e(8+7 x) +
24
7
D
8
7
e(8+7 x) +
3
7
e(8+7 x) x y = C
e(7+7 y) + x + 8 y = C
e(7+7 y) x y = C
e(7+7 y) + 8 x y = C
15. Use la transformada de Laplace para resolver la ecuación diferencial
4 y + y 00 = f (t)
con condiciones iniciales y(0) = 6 y y 0 (0) = 0 y donde
f (t)

 0
=
1

0
si 0 ≤ t < π
si π ≤ t < 2π
si 2π ≤ t
A
y(t) = 6 cos(2 t) +
1
4
(1 − cos(4 t)) Uπ (t) −
1
4
(1 − cos(4 t)) U2 π (t)
B
y(t) = 3 sen(2 t) +
1
4
(1 − cos(2 t)) Uπ (t) −
1
4
(1 − cos(2 t)) U2 π (t)
C
y(t) = 6 cos(2 t) +
1
4
(1 − cos(2 t)) Uπ (t) −
1
4
(1 − cos(2 t)) U2 π (t)
D
y(t) = 6 cos(2 t) +
1
4
(1 + cos(2 t)) Uπ (t) −
1
4
(1 + cos(2 t)) U2 π (t)
E
y(t) = 6 cos(2 t) +
1
2
(1 − cos(2 t)) Uπ (t) −
1
2
(1 − cos(2 t)) U2 π (t)
16. En un circuito serie RC con C =
1
200 H,
R = 200Ω, y

 3
E(t) =
−3

0
para
para
para
0≤t<6
6 ≤ t < 12
12 ≤ t
donde E(t) está en voltios. Encuentre la carga en coulumbs en el condensador en el tiempo t = 18 segundos. Tome q(0) = 0.0 C
Respuesta:
17. José Luis se va a someter a una cirugı́a por una lesión de futbol y debe ser anestesiado. El anestesiólogo sabe que para que
un paciente sea anestesiado, mediante Pentobarbital sódico, debe tener en su sangre dicha sustancia en una concentración
de al menos 50 miligramos por cada kilogramo de peso. Suponga que las sustancias quı́micas disminuyen su concentración
en la sangre en forma proporcional a la concentración de la sustancia y que en particular el Pentobarbital disminuye su
concentración a la mitad cada 10 horas. Si José Luis pesa 90 kilogramos y será anestesiado mediante una sola dósis, cuántos
miligramos de Pentobarbital se le deberá suministrar si se desea que el efecto dure 4 horas? Nota: Los datos del problema
son ficticios.
Respuesta:
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 31
4
18. usando el caso I, Iindique la opción que contiene un paso intermedio en la solución a:
5
ln((y 0 ) ) y 00 = 6
6
5
A
R
B
5 (−z + z ln(z)) = 6 y + C1
C
5 z (−1 + ln(z)) = 6 x + C1
D
ln(z) = ( 25 ) 2 (6 x + C1 ) 2
z ln(z) dz =
y
1
1
19. Utilizando la sustitución y = u x2 resuelva la EDO:
y 0 = 9 x3 + 2
A
y = C + 9 x3
B
y = C x2 +
C
y = C + 9 x2
D
y = C x2 + 9 x4
E
y = 9 x2 + C x4
9
2
y
x
x4
20. Indique cuál de las opciones es la solución general a :
9 y + y 00 = 8 cos(6 x) + 5 sen(6 x)
A
y = C1 cos(3 x) + C2 sen(3 x) +
1
27
(−8 cos(6 x) + 5 sen(6 x))
B
y = C1 cos(3 x) + C2 sen(3 x) +
1
27
(−8 cos(6 x) − 5 sen(6 x))
C
y = C1 cos(3 x) +
D
y = C1 cos(3 x) + C2 sen(3 x) +
1
27
(−8 cos(3 x) − 5 sen(3 x)) + C2 sen(3 x)
1
27
(8 cos(6 x) + 5 sen(6 x))
21. Encuentre la máxima carga en el capacitor en un circuito serie LRC cuando L = 5/3h, R = 10Ω, C = 1/30f , E(t) = 300V ,
q(0) = 0C, y i(0) = 0A.
Respuesta:
22. Un trozo de madera de una viga de una casa construida en Babilonia durante el reinado de Hamurabi contenı́a el 56 por
ciento del carbono 14 radiactivo que contiene un fragmento del mismo tipo de madera en un árbol vivo. Estime la antiguedad
de la construcción, sabiendo que la vida media del carbono 14 es de aproximadamente 5600 años.
Respuesta:
23. Un cuerpo con peso de 4 libras cuelga de un resorte con constante 2 lb/ft. El medio donde se mueve el cuerpo ofrece una
fuerza de resistencia al movimiento que es numéricamente igual a su velocidad instantánea. Si el peso es liberado 23 pies
por encima de su posición de equilibrio con una velocidad hacia abajo de 6 pies por segundo. Determine la velocidad en el
momento en el cual pasa por la posición de equilibrio.
Respuesta:
24. Sabiendo que la solución a la correspondiente ecuación homogénea auxiliar es yh = c1 x + c2 e5 x determine una solución
particular a la ED:
25 y
25 x y 0
−
+
+ y 00 = 1 − 5 x
1 − 5x 1 − 5x
A
yp = 25 + 5 x + x2
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 31
B
yp = 1 + 5 x + 25 x2
C
yp =
D
yp = 1 + 5 x − x2
E
yp = 1 − 5 x + x2
F
1
−
yp = − 25
1
25
+
1
5
5
x + x2
1
5
x + x2
25. Un cultivo de Escherichia coli crece a una velocidad proporcional a su tamaño. Un investigador ha determinado que cada
hora el cultivo crece en un 1 por ciento y que hay 300 organismos inicialmente. Cuántos organismos habrá al cabo de 3
horas?
Respuesta:
Ecuaciones Diferenciales
Laboratorio Final
Maestro Eduardo Uresti, Verano 2010
Grupo:
Matrı́cula:
Nombre:
Tipo:32
1. Cuál de las siguientes opciones contiene la solución general a:
5
x y + 4 + x2 y 0 = 3 x (4 + x2 )
1
A
y = C (4 + x2 ) 2 +
B
y = C (4 + x2 ) 2 −
C
3
y = − 11
(4 + x2 )
D
y=
1
3
11
(4 + x2 )
6
3
11
(4 + x2 )
6
−5
C
+
1
(4+x2 ) 2
1
+ C (4 + x2 ) 2
5
3
11
(4 + x2 )
2. Un recipiente cilı́ndrico se está vaciando por un orificio en la parte inferior. Si inicialmente el lı́quido estaba a una profundidad
de 4 metros y al cabo de 6 horas se vacı́a. A qué horas pasó por la mitad de la profundidad?
Respuesta:
3. Indique cuál de las siguientes opciones es la transformada de Laplace de
f (t) =
1
t sen(6 t)
12
A
F (s) =
s
(−36+s2 )2
C
F (s) =
1
(36+s2 )2
B
F (s) =
1
(−36+s2 )2
D
F (s) =
s
(36+s2 )2
4. Use la transformada de Laplace para resolver la ecuación diferencial
4 y + y 00 = f (t)
con condiciones iniciales y(0) = 2 y y 0 (0) = 0 y donde
f (t)
1
4
(1 − cos(2 t)) Uπ (t) −
1
4

 0
=
1

0
si 0 ≤ t < π
si π ≤ t < 2π
si 2π ≤ t
(1 − cos(2 t)) U2 π (t)
A
y(t) = sen(2 t) +
B
y(t) = 2 cos(2 t) +
1
4
(1 − cos(4 t)) Uπ (t) −
1
4
(1 − cos(4 t)) U2 π (t)
C
y(t) = 2 cos(2 t) +
1
4
(1 − cos(2 t)) Uπ (t) −
1
4
(1 − cos(2 t)) U2 π (t)
D
y(t) = 2 cos(2 t) +
1
4
(1 + cos(2 t)) Uπ (t) −
1
4
(1 + cos(2 t)) U2 π (t)
E
y(t) = 2 cos(2 t) +
1
2
(1 − cos(2 t)) Uπ (t) −
1
2
(1 − cos(2 t)) U2 π (t)
5. usando el caso I, Iindique la opción que contiene un paso intermedio en la solución a:
3
ln((y 0 ) ) y 00 = 2
1
1
A
ln(z) = ( 23 ) 2 (2 x + C1 ) 2
B
R
z ln(z) dz =
2
3
y
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 32
C
3 (−z + z ln(z)) = 2 y + C1
D
3 z (−1 + ln(z)) = 2 x + C1
2
6. Determine los valores de A, B, C y D para que
y 00 + A y 0 + B y = C x + D
tenga como solución general:
y = 3 + x + C1 e5 x + C2 e−x
Respuesta:
7. Encuentre la máxima carga en el capacitor en un circuito serie LRC cuando L = 5/3h, R = 10Ω, C = 1/30f , E(t) = 300V ,
q(0) = 0C, y i(0) = 0A.
Respuesta:
8. Una cadena de 6 pies de largo yace extendida en una mesa. La cadena pesa en total 4 pounds y se supone que su peso
está uniformemente distribuido. Un extremo de un pie de longitud de cadena cuelga de la mesa y estira toda la cadena hacia
abajo. Despreciando la fricción, indique cuánto tiempo tardará en caer de la mesa. Sugerencia. Elija como variable incógnita
la longitud de la cadena que está fuera de la mesa, y = y(t). Para construir la ED use la segunda ley de Newton. La fuerza
aplicada a la cadena es 32 y. La aceleración es y 00 . Tome como condiciones iniciales y(0) = 1 y y 0 (0) = 0.
Respuesta:
9. La población de una ciudad crece, en un instante cualquiera, con una rapidez proporcional al número de habitantes en
dicho instante. Si su poblacion inicial de 1200 aumenta 17 % en 6 años. Cuál será el número de personas aproximado en la
población dentro de 24 años?
A
5616.
B
11232.
C
2248.66
D
10901.6
10. Determine A, B, C, D y E (B > D) para que
f (t) = A eB t + C eD t + E
sea la transformada inversa de la función:
F (s) =
−64 + 8 s
−16 s + s3
Respuesta:
11. Sabiendo que la solución a la correspondiente ecuación homogénea auxiliar es yh = c1 x + c2 e4 x determine una solución
particular a la ED:
16 x y 0
16 y
+
+ y 00 = 1 − 4 x
−
1 − 4x 1 − 4x
A
yp = 1 + 4 x − x2
B
yp = 1 + 4 x + 16 x2
C
yp =
D
1
yp = − 16
−
E
yp = 16 + 4 x + x2
1
16
+
1
4
x + x2
1
4
x + x2
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 32
F
3
yp = 1 − 4 x + x2
12. José Luis se va a someter a una cirugı́a por una lesión de futbol y debe ser anestesiado. El anestesiólogo sabe que para que
un paciente sea anestesiado, mediante Pentobarbital sódico, debe tener en su sangre dicha sustancia en una concentración
de al menos 50 miligramos por cada kilogramo de peso. Suponga que las sustancias quı́micas disminuyen su concentración
en la sangre en forma proporcional a la concentración de la sustancia y que en particular el Pentobarbital disminuye su
concentración a la mitad cada 10 horas. Si José Luis pesa 80 kilogramos y será anestesiado mediante una sola dósis, cuántos
miligramos de Pentobarbital se le deberá suministrar si se desea que el efecto dure 2 horas? Nota: Los datos del problema
son ficticios.
Respuesta:
13. En la investigación de un asesinato, un cuerpo sin vida fue encontrado por Gil Grissom exactamente a las 8:00 PM, estando
alerta, él midió la temperatura del cuerpo registrándola en los 30o C. Dos horas mas tarde, él anotó que la temperatura del
cuerpo era de 26o C. Sabiendo que la temperatura de la habitación fue de 19o C, determine la hora a la cual el asesinato
ocurrió. Considere que la temperatura corporal normal es de 37o C. Reporte la hora en decimales. Por ejemplo, 1 hora 30
nimutos en decimales quedarı́a 1.5 horas.
Respuesta:
14. Indique la opción que contiene la solución que satisface y(0) = 0 para la ecuación:
2 x + 3 y + (3 x + 2 y) y 0 = 0
A
x3 + y 3 = 0
B
x2 + y 2 = 0
C
x3 + 2 x y + y 3 = 0
D
x2 + 2 x y + y 2 = 0
E
x3 + x y + y 3 = 0
F
x2 + x y + y 2 = 0
G
x3 + 3 x y + y 3 = 0
H
x2 + 3 x y + y 2 = 0
15. Un cuerpo con peso de 9 libras cuelga de un resorte con constante 98 lb/ft. El medio donde se mueve el cuerpo ofrece una
fuerza de resistencia al movimiento que es numéricamente igual a su velocidad instantánea. Si el peso es liberado 32 pies
por encima de su posición de equilibrio con una velocidad hacia abajo de 9 pies por segundo. Determine la velocidad en el
momento en el cual pasa por la posición de equilibrio.
Respuesta:
16. En un circuito serie RC con C =
1
600 H,
R = 600Ω, y

 4
E(t) =
−4

0
para
para
para
0≤t<5
5 ≤ t < 10
10 ≤ t
donde E(t) está en voltios. Encuentre la carga en coulumbs en el condensador en el tiempo t = 15 segundos. Tome q(0) = 0.0 C
Respuesta:
17. Indique cuál de las opciones siguientes es la ecuación subsidiaria del problema con condición inicial y(0) = 8 y ED:
4 y + y 0 = t cos(7 t) + sen(7 t) e2 t
8+
A
Y (s) =
2 s2
(49+s2 )2
−(49+s2 )
4+s
−1
+ 53−47s+s2
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 32
8+
B
Y (s) =
C
Y (s) =
Y (s) =
−(49+s2 )
−1
−2+s
+ 53−4
s+s2
−1
+ 53+47s+s2
4+s
8+
D
2 s2
(49+s2 )2
4
2 s2
(49+s2 )2
−(49+s2 )
4+s
8+ 14 s2 2
(49+s )
+ 53−47s+s2
4+s
9
7
18. Se ha descubierto que un cubo de naftalina que tenı́a originalmente un lado de 10
de pulgada, tiene un lado de 20
de pulgada
al cabo de un mes. Suponiendo que se evapore a un ı́ndice proporcional a su superficie, determine el tiempo necesario en
meses para que el cubo desaparezca.
A
1.63636
B
9.81818
C
0.818182
D
4.90909
19. Determine los valores de A, B, C y D para que la función
y = A + B eC x
2
+D x
sea la solución particular que cumple y(0) = 6 a la ecuación diferencial:
dy
= 20 − 5 x − 4 y + x y
dx
Respuesta:
20. Cuál de las siguientes opciones representa la transformada de Laplace de la función: (Sugerencia: use las definiciones de
las funciones de las funciones hiperbólicas mediante exponenciales)
f (t) = t cosh(2 t)
A
F (s) =
4+s2
−4+s2
B
F (s) =
4s
(−4+s2 )2
C
F (s) =
4+s2
(−4+s2 )2
D
F (s) = (4 + s2 )
−1
21. Indicar la opción que contiene la solución a la ecuación diferencial:
y0 =
A
y 2 = x2 (C − 6 ln(x))
B
x2
y2
= C + 3 ln(x)
C
x2
y2
= C − 6 ln(x)
D
− xy2 = C + 3 ln(x)
E
1
− y2
= C − 3 ln(x)
2
x2 y + 3 y 3
x3
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 32
5
22. El número de individuos infectados A(t) en un tiempo t debe crecer a una razón que es aproximadamente proporcional al
producto A(t)(N − A(t)) donde N es el tamaño de la población. Si el tamaño de la población es de 700 individuos y si
inicialmente existen 40 individuos infectados y al cabo de 1 meses existen 80 individuos infectados. Cuántos habrá infectados
al cabo de 2 meses?
Respuesta:
23. Una rama de ciprés que se encontró en la tumba de un Faraón Egipcio contenı́a el 56 por ciento del carbono 14 radiactivo
que contiene una rama de ciprés vivo. Estime la edad de la tumba en años, sabiendo que la vida media del carbono 14 es de
aproximadamente 5600 años.
Respuesta:
24. Cuando un rayo de luz pasa através de una sustancia transparente, el grado con que la intensidad, I(h), disminuye es
proporcional a la misma intensidad I(h) donde h representa el espesor del medio. En el agua de mar, la intensidad a 1.4
metros bajo la superficie es de 30 por ciento de la intesidad inicial Io del rayo incidente. Cuál es la intensidad del rayo de
luz a 2.4 metros respecto a Io ? Reporta tu respuesta entre 0 y 1.
Respuesta:
25. Un recipiente contiene 20 galones de agua limpia inicialmente. Una solución es vertida en el interior del recipiente a un ritmo
de 4 galones por minuto. Esta solución tiene una concentración de 0.4 libras de sal por galón. A la vez que se vierte se extrae
solución del tanque a la misma velocidad. La solución extraida es entonces vertida en un nuevo recipiente que contiene
20 galones de agua limpia. Del cual a su vez también serán extraı́dos 4 galones de solución por minuto. Cuáles será la
concentración de sal (en libras por galón) en el segundo tanque 50 minutos despuúes de iniciado el proceso? Sugerencia.
Primero determine la fórmula que da la contidad de sal en el primer tanque función de t. A partir de ella obtenga la fórmula
que da la concentración de sal en el primer tanque. De ella determine la fórmula que da cantidad de sal que el primer tanque
vierte al segundo tanque en libras por minuto.
Respuesta:
Ecuaciones Diferenciales
Laboratorio Final
Maestro Eduardo Uresti, Verano 2010
Grupo:
Matrı́cula:
Nombre:
Tipo:33
1. Indique la opción que contiene la solución que satisface y(0) = 0 para la ecuación:
2 x + 3 y + (3 x + 2 y) y 0 = 0
A
x3 + y 3 = 0
B
x2 + y 2 = 0
C
x2 + x y + y 2 = 0
D
x2 + 2 x y + y 2 = 0
E
x3 + x y + y 3 = 0
F
x3 + 2 x y + y 3 = 0
G
x3 + 3 x y + y 3 = 0
H
x2 + 3 x y + y 2 = 0
2. Indique cuál de las opciones es la solución general a :
16 y + y 00 = 7 cos(8 x) + 3 sen(8 x)
A
y = C1 cos(4 x) + C2 sen(4 x) +
1
48
(−7 cos(8 x) − 3 sen(8 x))
B
y = C1 cos(4 x) + C2 sen(4 x) +
1
48
(7 cos(8 x) + 3 sen(8 x))
C
y = C1 cos(4 x) + C2 sen(4 x) +
1
48
(−7 cos(8 x) + 3 sen(8 x))
D
y = C1 cos(4 x) +
1
48
(−7 cos(4 x) − 3 sen(4 x)) + C2 sen(4 x)
3. En un circuito serie RC con C =
1
80 H,
R = 200Ω, y

 2
E(t) =
−2

0
para
para
para
0≤t<2
2≤t<4
4≤t
donde E(t) está en voltios. Encuentre la carga en coulumbs en el condensador en el tiempo t = 6 segundos. Tome q(0) = 0.0 C
Respuesta:
17
4. Se ha descubierto que una bola de naftalina que tenı́a originalmente un radio de 18
de pulgada, tiene una radio de 11
18 de
pulgada al cabo de un mes. Suponiendo que se evapore a un ı́ndice proporcional a su superficie, determine el tiempo necesario
en meses para que la bola desaparezca.
A
17.
B
2.83333
C
8.5
D
5.66667
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 33
2
5. Cuál de las siguientes opciones contiene la solución general a:
8
8 x y + 9 + x2 y 0 = 6 x (9 + x2 )
−8
A
y = − 14 (9 + x2 )
B
y=
C
y = C (9 + x2 ) −
D
y = C (9 + x2 ) +
C
(9+x2 )4
+
1
4
4
+ C (9 + x2 )
8
(9 + x2 )
4
1
4
(9 + x2 )
16
4
1
4
(9 + x2 )
16
6. Use la transformada de Laplace para resolver la ecuación diferencial
16 y + y 00 = f (t)
con condiciones iniciales y(0) = 4 y y 0 (0) = 0 y donde

 0
=
1

0
f (t)
si 0 ≤ t < π
si π ≤ t < 2π
si 2π ≤ t
A
y(t) = 4 cos(4 t) +
1
16
(1 − cos(8 t)) Uπ (t) −
1
16
(1 − cos(8 t)) U2 π (t)
B
y(t) = 4 cos(4 t) +
1
16
(1 − cos(4 t)) Uπ (t) −
1
16
(1 − cos(4 t)) U2 π (t)
C
y(t) = 4 cos(4 t) +
1
8
D
y(t) = 4 cos(4 t) +
1
16
E
y(t) = sen(4 t) +
1
16
(1 − cos(4 t)) Uπ (t) −
1
8
(1 + cos(4 t)) Uπ (t) −
(1 − cos(4 t)) Uπ (t) −
(1 − cos(4 t)) U2 π (t)
1
16
1
16
(1 + cos(4 t)) U2 π (t)
(1 − cos(4 t)) U2 π (t)
7. Encuentre la máxima carga en el capacitor en un circuito serie LRC cuando L = 5/3h, R = 10Ω, C = 1/30f , E(t) = 300V ,
q(0) = 0C, y i(0) = 0A.
Respuesta:
8. Seleccionar la opción que contiene la transformada de Laplace de
f (t) =
A
F (s) =
1
2
B
F (s) =
s
4+s2
2
ln( 9+s
4+s2 )
+
s
9+s2
cos(2 t) − cos(3 t)
t
s
4+s2
−
C
F (s) =
D
2+s
F (s) = ln( 3+s
)
s
9+s2
9. En 1964, cientı́ficos soviéticos hicieron un nuevo elemento, mediante el bombardeo de átomos de plutonio, el cual tenı́a
número atómico 104. La vida media de este elemento llamado E104 es de 0.15 segundos. Si es producido a un ritmo de
58 × 10−5 microgramos por segundo y bajo el supuesto que no habı́a presente tal material , Cuántos microgramos habrı́a al
cabo de 20 segundos?
Respuesta:
10. Calcule el valor en x = 1 para la solución particular y(x) que cumple las condiciones iniciales y( 61 ) = 1 y y 0 ( 16 ) = 12 a la ED:
6 y0
y 00 = √
y
Respuesta:
11. Al sacar un pastel del horno su temperatura es 301o F, 5 minutos después su temperatura es de 192o F. Si la rapidez con
que la temperatura T (t) cambia es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y la temperatura constante
To = 68o F del medio que lo rodea, cuántos minutos demorará el pastel en enfriarse hasta una temperatura de 92o F?
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 33
A
9.58716
B
18.0179
C
19.1743
D
3.29654
3
12. Cuál de las siguientes opciones representa la transformada de Laplace de la función: (Sugerencia: use las definiciones de
las funciones de las funciones hiperbólicas mediante exponenciales)
f (t) = t cosh(4 t)
−1
A
F (s) = (16 + s2 )
B
F (s) =
16+s2
(−16+s2 )2
C
F (s) =
16+s2
−16+s2
D
F (s) =
8s
(−16+s2 )2
13. Un cultivo de Escherichia coli crece a una velocidad proporcional a su tamaño. Un investigador ha determinado que cada
hora el cultivo crece en un 2 por ciento y que hay 150 organismos inicialmente. Cuántos organismos habrá al cabo de 5
horas?
Respuesta:
14. Cuando un rayo de luz pasa através de una sustancia transparente, el grado con que la intensidad, I(h), disminuye es
proporcional a la misma intensidad I(h) donde h representa el espesor del medio. En el agua de mar, la intensidad a 1.8
metros bajo la superficie es de 30 por ciento de la intesidad inicial Io del rayo incidente. Cuál es la intensidad del rayo de
luz a 2.8 metros respecto a Io ? Reporta tu respuesta entre 0 y 1.
Respuesta:
15. Determine los valores de A, B, C y D para que la función
y = A + B eC x
2
+D x
sea la solución particular que cumple y(0) = 7 a la ecuación diferencial:
dy
= 24 − 6 x − 4 y + x y
dx
Respuesta:
16. Una cadena de 9 pies de largo yace extendida en una mesa. La cadena pesa en total 8 pounds y se supone que su peso
está uniformemente distribuido. Un extremo de un pie de longitud de cadena cuelga de la mesa y estira toda la cadena hacia
abajo. Despreciando la fricción, indique cuánto tiempo tardará en caer de la mesa. Sugerencia. Elija como variable incógnita
la longitud de la cadena que está fuera de la mesa, y = y(t). Para construir la ED use la segunda ley de Newton. La fuerza
aplicada a la cadena es 98 y. La aceleración es y 00 . Tome como condiciones iniciales y(0) = 1 y y 0 (0) = 0.
Respuesta:
17. En muchos estados de USA es ilegal manejar con un nivel de alcohol mayor que 0.10 por ciento (una parte de alcohol por 1000
partes de sangre). Suponga que alguien es detenido en alguno de esos estados y que se detecta que tiene un porcentaje de
alcohol en la sangre de 0.6 %. Si se asume que el porcentaje de alcohol en el torrente sanguı́neo decrece en forma proporcional
al porcentaje de alcohol, y que además la concentración de alcohol decrece 10 por ciento cada hora, determine cuánto tiempo
en horas debe pasar para que esa persona pueda conducir legalmente de nuevo. Nota: Los datos de este problema son
ficticios.
Respuesta:
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 33
4
18. Sabiendo que la solución a la correspondiente ecuación homogénea auxiliar es yh = c1 x + c2 e5 x determine una solución
particular a la ED:
25 y
25 x y 0
−
+
+ y 00 = 1 − 5 x
1 − 5x 1 − 5x
1
5
A
1
−
yp = − 25
B
yp = 25 + 5 x + x2
C
yp = 1 − 5 x + x2
D
yp =
E
yp = 1 + 5 x − x2
F
yp = 1 + 5 x + 25 x2
1
25
+
1
5
x + x2
x + x2
19. El número de individuos infectados A(t) en un tiempo t debe crecer a una razón que es aproximadamente proporcional al
producto A(t)(N − A(t)) donde N es el tamaño de la población. Si el tamaño de la población es de 700 individuos y si
inicialmente existen 20 individuos infectados y al cabo de 1 meses existen 40 individuos infectados. Cuántos habrá infectados
al cabo de 2 meses?
Respuesta:
20. Indique cuál de las opciones siguientes es la ecuación subsidiaria del problema con condición inicial y(0) = 8 y ED:
5 y + y 0 = t cos(6 t) + sen(6 t) e8 t
8+
A
Y (s) =
B
Y (s) =
C
Y (s) =
Y (s) =
6
+ 100−16
s+s2
5+s
2
8+ 2 s 2 2
(36+s )
−(36+s2 )
−1
6
+ 100−16
s+s2
−1
−8+s
+ 100−16
s+s2
−1
6
+ 100+16
s+s2
5+s
8+
D
12 s
(36+s2 )2
2 s2
(36+s2 )2
−(36+s2 )
5+s
2
8+ 2 s 2 2
(36+s )
−(36+s2 )
5+s
21. Inicialmente 1 kilogramos de sal están disueltos en un tanque de 200 litros de agua, y entonces una solución, también de sal
y con una concentración de 0.05 kilogramos por litro, es vertida al interior del tanque a un ritmo de 2 litros por minuto. La
solución dentro del tanque se mantiene homogénea y se drena a la misma velocidad a la cual se vierte manteniendo constante
el volumen total del lı́quido. Determine la concentración de sal en el interior del recipiente al cabo de 10 minutos.
Respuesta:
22. Un cuerpo con peso de 8 libras cuelga de un resorte con constante 1 lb/ft. El medio donde se mueve el cuerpo ofrece una
fuerza de resistencia al movimiento que es numéricamente igual a su velocidad instantánea. Si el peso es liberado 43 pies
por encima de su posición de equilibrio con una velocidad hacia abajo de 9 pies por segundo. Determine la velocidad en el
momento en el cual pasa por la posición de equilibrio.
Respuesta:
23. Indicar la opción que contiene la solución a la ecuación diferencial:
y0 =
A
y
x
= C − 6 ln(x)
B
x
y
= C + 6 ln(x)
C
− xy = C + ln(6 x)
x y + 6 y2
x2
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 33
D
− y1 = C + 6 ln(x)
E
− xy = C + ln(x6 )
F
− u1 = C + 6 ln(x)
5
24. Un recipiente cilı́ndrico se está vaciando por un orificio en la parte inferior. Si inicialmente el lı́quido estaba a una profundidad
de 8 metros y al cabo de 4 horas tenı́a una profundidad de 4 metros. Cuánto tiempo tardará en vaciarse?
A
20.4853 horas
B
13.6569 horas
C
6. horas
D
4 horas adicionales
25. Indique cuál de las siguientes opciones representa la transformada inversa de la función:
F (s) =
s
26 + 2 s + s2
A
f (t) = (cos(5 t) − sen(5 t)) e−t
C
f (t) = cos(5 t) −
B
f (t) = cos(5 t) − sen(5 t)
D
f (t) = (cos(5 t) −
1
5
sen(5 t)
1
5
sen(5 t)) e−t
Ecuaciones Diferenciales
Laboratorio Final
Maestro Eduardo Uresti, Verano 2010
Grupo:
Matrı́cula:
Nombre:
Tipo:34
1. Sabiendo que la solución a la correspondiente ecuación homogénea auxiliar es yh = c1 + c2 sec (5 x) determine una solución
particular por el método de variación de parámetros a la ED:
−5 (csc(5 x) sec(5 x) + tan(5 x)) y 0 + y 00 = tan(5 x)
A
yp = − 15 x +
B
yp =
C
yp = − 15 x −
D
yp = x + tan(5 x)
E
yp = − 15 x +
F
yp =
1
5
1
5
x+
x+
1
25
1
5
tan(5 x)
tan(5 x)
1
5
1
5
1
25
tan(5 x)
tan(5 x)
tan(5 x)
2. Un recipiente cilı́ndrico se está vaciando por un orificio en la parte inferior. Si inicialmente el lı́quido estaba a una profundidad
de 8 metros y al cabo de 4 horas se vacı́a. A qué horas pasó por la mitad de la profundidad?
Respuesta:
3. En un circuito serie RC con C =
1
100 H,
R = 300Ω, y

 4
E(t) =
−4

0
para
para
para
0≤t<4
4≤t<8
8≤t
donde E(t) está en voltios. Encuentre la carga en coulumbs en el condensador en el tiempo t = 12 segundos. Tome q(0) = 0.0 C
Respuesta:
4. Un recipiente contiene 40 galones de agua limpia inicialmente. Una solución es vertida en el interior del recipiente a un ritmo
de 2 galones por minuto. Esta solución tiene una concentración de 0.5 libras de sal por galón. A la vez que se vierte se extrae
solución del tanque a la misma velocidad. La solución extraida es entonces vertida en un nuevo recipiente que contiene
40 galones de agua limpia. Del cual a su vez también serán extraı́dos 2 galones de solución por minuto. Cuáles será la
concentración de sal (en libras por galón) en el segundo tanque 40 minutos despuúes de iniciado el proceso? Sugerencia.
Primero determine la fórmula que da la contidad de sal en el primer tanque función de t. A partir de ella obtenga la fórmula
que da la concentración de sal en el primer tanque. De ella determine la fórmula que da cantidad de sal que el primer tanque
vierte al segundo tanque en libras por minuto.
Respuesta:
5. Encuentre la máxima carga en el capacitor en un circuito serie LRC cuando L = 5/3h, R = 10Ω, C = 1/30f , E(t) = 300V ,
q(0) = 0C, y i(0) = 0A.
Respuesta:
6. Determine A, B, C y D para que
f (t) = eA t (B cos(C t) + D sen(C t))
sea la transformada inversa de la función:
F (s) =
Respuesta:
s
26 + 2 s + s2
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 34
2
7. Use la transformada de Laplace para resolver la ecuación diferencial
64 y + y 00 = f (t)
con condiciones iniciales y(0) = 2 y y 0 (0) = 0 y donde

 0
=
1

0
f (t)
si 0 ≤ t < π
si π ≤ t < 2π
si 2π ≤ t
A
y(t) = 2 cos(8 t) +
1
32
(1 − cos(8 t)) Uπ (t) −
1
32
(1 − cos(8 t)) U2 π (t)
B
y(t) = 2 cos(8 t) +
1
64
(1 + cos(8 t)) Uπ (t) −
1
64
(1 + cos(8 t)) U2 π (t)
C
y(t) = 2 cos(8 t) +
1
64
(1 − cos(16 t)) Uπ (t) −
D
y(t) =
sen(8 t) +
1
64
(1 − cos(8 t)) Uπ (t) −
1
64
(1 − cos(8 t)) U2 π (t)
E
y(t) = 2 cos(8 t) +
1
64
(1 − cos(8 t)) Uπ (t) −
1
64
(1 − cos(8 t)) U2 π (t)
1
4
1
64
(1 − cos(16 t)) U2 π (t)
8. Una cadena de 5 pies de largo yace extendida en una mesa. La cadena pesa en total 10 pounds y se supone que su peso
está uniformemente distribuido. Un extremo de un pie de longitud de cadena cuelga de la mesa y estira toda la cadena hacia
abajo. Despreciando la fricción, indique cuánto tiempo tardará en caer de la mesa. Sugerencia. Elija como variable incógnita
la longitud de la cadena que está fuera de la mesa, y = y(t). Para construir la ED use la segunda ley de Newton. La fuerza
aplicada a la cadena es 2 y. La aceleración es y 00 . Tome como condiciones iniciales y(0) = 1 y y 0 (0) = 0.
Respuesta:
9. Indique la opción que contiene la solución que satisface y(0) = 0 para la ecuación:
2 x + 3 y + (3 x + 2 y) y 0 = 0
A
x3 + x y + y 3 = 0
B
x2 + y 2 = 0
C
x2 + x y + y 2 = 0
D
x3 + 3 x y + y 3 = 0
E
x2 + 2 x y + y 2 = 0
F
x2 + 3 x y + y 2 = 0
G
x3 + 2 x y + y 3 = 0
H
x3 + y 3 = 0
10. Indique cuál de las opciones siguientes es la ecuación subsidiaria del problema con condición inicial y(0) = 6 y ED:
4 y + y 0 = t cos(2 t) + sen(2 t) e8 t
6+
A
B
Y (s) =
Y (s) =
C
Y (s) =
D
Y (s) =
2 s2
(4+s2 )2
−1
+ 68−162 s+s2
−1
+ 68+162 s+s2
−1
−8+s
+ 68−16
s+s2
−(4+s2 )
4+s
2
6+ 2 s2 2
(4+s )
−(4+s2 )
4+s
2
6+ 2 s2 2
(4+s )
−(4+s2 )
4+s
6+
4s
(4+s2 )2
+ 68−162 s+s2
4+s
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 34
3
19
11. Se ha descubierto que un cubo de naftalina que tenı́a originalmente un lado de 11
2 de pulgada, tiene un lado de 20 de pulgada
al cabo de un mes. Suponiendo que se evapore a un ı́ndice proporcional a su superficie, determine el tiempo necesario en
meses para que el cubo desaparezca.
A
3.62637
B
0.604396
C
1.20879
D
7.25275
12. Determine los valores de A, B, C y D para que
y 00 + A y 0 + B y = C x + D
tenga como solución general:
y = 1 + x + C1 e3 x + C2 e−2 x
Respuesta:
13. Cuál de las siguientes opciones representa la transformada de Laplace de la función: (Sugerencia: use las definiciones de
las funciones de las funciones hiperbólicas mediante exponenciales)
f (t) = t cosh(6 t)
A
F (s) =
12 s
(−36+s2 )2
B
F (s) =
36+s2
−36+s2
C
F (s) = (36 + s2 )
D
F (s) =
−1
36+s2
(−36+s2 )2
14. Cuál de las siguientes opciones contiene la solución general a:
4
4 x y + 1 + x2 y 0 = 3 x (1 + x2 )
C
(1+x2 )2
+
4
1
4
(1 + x2 )
A
y=
B
y = C (1 + x2 ) +
C
y = C (1 + x2 ) −
D
y = − 14 (1 + x2 )
2
1
4
(1 + x2 )
8
2
1
4
(1 + x2 )
8
−4
2
+ C (1 + x2 )
15. Indicar la opción que contiene la solución a la ecuación diferencial:
y0 =
A
y 2 = x2 (C − 8 ln(x))
B
x2
y2
C
− xy2 = C + 4 ln(x)
D
1
− y2
= C − 4 ln(x)
E
x2
y2
= C − 8 ln(x)
2
= C + 4 ln(x)
x2 y + 4 y 3
x3
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 34
4
16. Una fragmento de la pata de la silla de la tumba Tutankhamón contenı́a el 65 por ciento del carbono 14 radiactivo que
contiene un fragmento del mismo tipo de madera en un árbol vivo. Estime la edad de la tumba en años, sabiendo que la
vida media del carbono 14 es de aproximadamente 5600 años.
Respuesta:
17. Determine los valores de A, B, C y D para que la función
y = A + B eC x
2
+D x
sea la solución particular que cumple y(0) = 3 a la ecuación diferencial:
dy
= 10 − 2 x − 5 y + x y
dx
Respuesta:
18. usando el caso I, Iindique la opción que contiene un paso intermedio en la solución a:
6
ln((y 0 ) ) y 00 = 2
1
(2 x+C1 ) 2
√
3
A
ln(z) =
B
6 (−z + z ln(z)) = 2 y + C1
C
6 z (−1 + ln(z)) = 2 x + C1
D
R
z ln(z) dz =
1
3
y
19. En muchos estados de USA es ilegal manejar con un nivel de alcohol mayor que 0.10 por ciento (una parte de alcohol por 1000
partes de sangre). Suponga que alguien es detenido en alguno de esos estados y que se detecta que tiene un porcentaje de
alcohol en la sangre de 0.4 %. Si se asume que el porcentaje de alcohol en el torrente sanguı́neo decrece en forma proporcional
al porcentaje de alcohol, y que además la concentración de alcohol decrece 10 por ciento cada hora, determine cuánto tiempo
en horas debe pasar para que esa persona pueda conducir legalmente de nuevo. Nota: Los datos de este problema son
ficticios.
Respuesta:
20. Todos los dı́as la maestra Salinas toma una taza de café antes de su clase de 9:00 AM. Suponga que la temperatura del
café es de 200o F cuando lo sirve en su taza a las 8:30AM, quince minutos después el café se enfria hasta 130o F en un cuarto
que está a 70o F. Sin embargo, la maestra Salinas nunca beberá su café si no hasta que este se enfrie justo a 98o F. Cuántos
minutos después de servido tomará su café?
Respuesta:
21. Un cuerpo con peso de 9 libras cuelga de un resorte con constante 98 lb/ft. El medio donde se mueve el cuerpo ofrece una
fuerza de resistencia al movimiento que es numéricamente igual a su velocidad instantánea. Si el peso es liberado 32 pies
por encima de su posición de equilibrio con una velocidad hacia abajo de 24 pies por segundo. Determine la velocidad en el
momento en el cual pasa por la posición de equilibrio.
Respuesta:
22. El número de individuos infectados A(t) en un tiempo t debe crecer a una razón que es aproximadamente proporcional al
producto A(t)(N − A(t)) donde N es el tamaño de la población. Si el tamaño de la población es de 800 individuos y si
inicialmente existen 60 individuos infectados y al cabo de 1 meses existen 120 individuos infectados. Cuántos habrá infectados
al cabo de 2 meses?
Respuesta:
23. Seleccionar la opción que contiene la transformada de Laplace de
f (t) =
cos(4 t) − cos(5 t)
t
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 34
A
F (s) =
1
2
B
F (s) =
s
16+s2
2
ln( 25+s
16+s2 )
+
s
25+s2
5
s
16+s2
−
C
F (s) =
D
4+s
F (s) = ln( 5+s
)
s
25+s2
24. Se sabe que la población de cierta comunidad aumenta, en un instante t cualquiera, con una rapidez proporcional al número
de personas presentes en dicho instante. Si la población se quintuplica en 2 años, cuántos años demorará en sextuplicarse?
A
2.4
B
2.22657
C
3.6
D
4.65882
25. Cuando un rayo de luz pasa através de una sustancia transparente, el grado con que la intensidad, I(h), disminuye es
proporcional a la misma intensidad I(h) donde h representa el espesor del medio. En el agua de mar, la intensidad a 1.4
metros bajo la superficie es de 60 por ciento de la intesidad inicial Io del rayo incidente. A qué profundidad en metros la
intensidad es 70 por ciento de Io ?
Respuesta:
Ecuaciones Diferenciales
Laboratorio Final
Maestro Eduardo Uresti, Verano 2010
Grupo:
Matrı́cula:
Nombre:
Tipo:35
1. Indicar la opción que contiene la solución a la ecuación diferencial:
y0 =
A
x
y
B
− xy = C + ln(x4 )
C
y
x
D
− xy = C + ln(4 x)
E
− u1 = C + 4 ln(x)
F
− y1 = C + 4 ln(x)
x y + 4 y2
x2
= C + 4 ln(x)
= C − 4 ln(x)
2. Sabiendo que la solución a la correspondiente ecuación homogénea auxiliar es yh = c1 + c2 sec (3 x) determine una solución
particular por el método de variación de parámetros a la ED:
−3 (csc(3 x) sec(3 x) + tan(3 x)) y 0 + y 00 = tan(3 x)
1
3
A
yp = − 13 x +
B
yp = x + tan(3 x)
C
yp =
D
yp = − 13 x −
1
3
tan(3 x)
E
yp = − 13 x +
1
9
tan(3 x)
F
yp =
1
3
1
3
x+
x+
1
3
1
9
tan(3 x)
tan(3 x)
tan(3 x)
3. La cantidad de canguros en cierta zona de Australia crece con una rapidez proporcional a la raı́z cuadrada de la cantidad de
canguros en cada momento. Si inicialmente se cuentan 100 canguros y al cabo de un año son 300 . Cuántos habrá al cabo
de 2 años?
A
607.18
B
900
C
526.835
D
600
4. Determine A, B, C, D y E (B > D) para que
f (t) = A eB t + C eD t + E
sea la transformada inversa de la función:
F (s) =
Respuesta:
−64
−16 s + s3
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 35
2
5. Indique cuál de las opciones siguientes es la ecuación subsidiaria del problema con condición inicial y(0) = 4 y ED:
2 y + y 0 = t cos(8 t) + sen(8 t) e6 t
4+
A
Y (s) =
B
Y (s) =
C
Y (s) =
D
Y (s) =
2 s2
(64+s2 )2
−(64+s2 )
−1
8
+ 100−12
s+s2
2+s
4+
16 s
(64+s2 )2
8
+ 100−12
s+s2
2+s
4+
2 s2
(64+s2 )2
−(64+s2 )
−1
8
+ 100+12
s+s2
−1
−6+s
+ 100−12
s+s2
2+s
4+
2 s2
(64+s2 )2
−(64+s2 )
2+s
6. Seleccionar la opción que contiene la transformada de Laplace de
f (t) =
− cos(5 t) + cos(8 t)
t
2
A
F (s) =
1
2
ln( 25+s
64+s2 )
B
F (s) =
s
25+s2
+
s
64+s2
C
s
F (s) = − 25+s
2 +
D
8+s
F (s) = ln( 5+s
)
s
64+s2
7. El número de individuos infectados A(t) en un tiempo t debe crecer a una razón que es aproximadamente proporcional al
producto A(t)(N − A(t)) donde N es el tamaño de la población. Si el tamaño de la población es de 500 individuos y si
inicialmente existen 30 individuos infectados y al cabo de 1 meses existen 60 individuos infectados. Cuántos habrá infectados
al cabo de 2 meses?
Respuesta:
8. Encuentre la máxima carga en el capacitor en un circuito serie LRC cuando L = 5/3h, R = 10Ω, C = 1/30f , E(t) = 300V ,
q(0) = 0C, y i(0) = 0A.
Respuesta:
9. Use la transformada de Laplace para resolver la ecuación diferencial
100 y + y 00 = f (t)
con condiciones iniciales y(0) = 3 y y 0 (0) = 0 y donde

 0
=
1

0
f (t)
A
y(t) = 3 cos(10 t) +
1
100
B
y(t) = 3 cos(10 t) +
1
50
C
y(t) = 3 cos(10 t) +
1
100
D
y(t) =
E
y(t) = 3 cos(10 t) +
3
10
sen(10 t) +
(1 − cos(20 t)) Uπ (t) −
(1 − cos(10 t)) Uπ (t) −
1
100
1
100
1
100
1
50
(1 − cos(10 t)) Uπ (t) −
(1 + cos(10 t)) Uπ (t) −
(1 − cos(20 t)) U2 π (t)
(1 − cos(10 t)) U2 π (t)
1
100
(1 − cos(10 t)) Uπ (t) −
si 0 ≤ t < π
si π ≤ t < 2π
si 2π ≤ t
1
100
1
100
(1 − cos(10 t)) U2 π (t)
(1 − cos(10 t)) U2 π (t)
(1 + cos(10 t)) U2 π (t)
10. En 1960 un artı́culo de New York Times anunció que Arqueólogos afirman que la civilización Sumeria ocupó el valle del
Tigris hace 5750 años . Asumiendo que los arqueólogos usaron la técnica del C-14. Determine el porcentaje del carbono
catorce encontrado en las muestras (con respecto al inicial). Use como dato que la vida media de C-14 es de 5600 años.
A
0.513393
B
0.490802
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 35
C
0.368102
D
0.770089
3
11. Una cadena de 7 pies de largo yace extendida en una mesa. La cadena pesa en total 12 pounds y se supone que su peso
está uniformemente distribuido. Un extremo de un pie de longitud de cadena cuelga de la mesa y estira toda la cadena hacia
abajo. Despreciando la fricción, indique cuánto tiempo tardará en caer de la mesa. Sugerencia. Elija como variable incógnita
la longitud de la cadena que está fuera de la mesa, y = y(t). Para construir la ED use la segunda ley de Newton. La fuerza
00
0
aplicada a la cadena es 12
7 y. La aceleración es y . Tome como condiciones iniciales y(0) = 1 y y (0) = 0.
Respuesta:
12. Resuelva la siguiente ED con condiciones iniciales y(0) = 4 y y 0 (0) = 1 reduciéndola en orden
2
(y 0 ) = 4 y y 00
1
A
y = 4 e4 x
B
y 5 = 1024 +
C
y4 = 2
D
y4 = 2
3
√
3
√
5x
√
2
2+
3 √
x
4
2
2+
3
4
x
9
13. Se ha descubierto que un cubo de naftalina que tenı́a originalmente un lado de 10
de pulgada, tiene un lado de 43 de pulgada
al cabo de un mes. Suponiendo que se evapore a un ı́ndice proporcional a su superficie, determine el tiempo necesario en
meses para que el cubo desaparezca.
A
3.
B
18.
C
36.
D
6.
14. Un tanque inicialmente tiene 180 galones de agua limpia, pero una solución de sal de concentración desconocida se vierte a
un ritmo de 2 galones por minuto. Si a la vez que se vierte se extrae solución a la misma velocidad y si al cabo de 30 minutos
la concentración en el tanque fue de 0.2 libras de sal por galón, determine la concentración de la solución vertida (en libras
por galón).
Respuesta:
15. En muchos estados de USA es ilegal manejar con un nivel de alcohol mayor que 0.10 por ciento (una parte de alcohol por 1000
partes de sangre). Suponga que alguien es detenido en alguno de esos estados y que se detecta que tiene un porcentaje de
alcohol en la sangre de 0.7 %. Si se asume que el porcentaje de alcohol en el torrente sanguı́neo decrece en forma proporcional
al porcentaje de alcohol, y que además la concentración de alcohol decrece 10 por ciento cada hora, determine cuánto tiempo
en horas debe pasar para que esa persona pueda conducir legalmente de nuevo. Nota: Los datos de este problema son
ficticios.
Respuesta:
16. Indique la opción que contiene la solución general a:
9 e(6+3 x) + 4 y dx + 8 e(4+4 y) + 4 x dy = 0
A
3 e(6+3 x) + 2 e(4+4 y) + x + 4 y = C
B
3 e(6+3 x) + 2 e(4+4 y) + 4 x y = C
C
2 e(4+4 y) + 12 e(6+3 x) x y = C
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 35
D
4
3 e(6+3 x) + 8 e(4+4 y) x y = C
17. Determine el valor de y(1) siendo y(x) la función solución que satisface y(0) = 1 a la ecuación diferencial:
r
dy
x
= 6
dx
y
Respuesta:
18. Seleccionar la opción que contiene un paso intermedio para obtener la solución general de la ED:
y
cos(x)
+ y0 =
x
x
A
y=e
y=
C
y=e
y=
1
x
R
C+
B
D
R
dx
C+
cos(x)
x
cos(x)
R
R
1 dx
x
R
1
x
e
x
dx
dx
x
R
1
x
R
C+
dx
C+
R
e
R 1
dx
x
e
cos(x)
R 1x
dx
e x
dx
cos(x) dx
dx
19. En la investigación de un asesinato, un cuerpo sin vida fue encontrado por el inspector Núñez exactamente a las 8:00 PM,
estando alerta, él midió la temperatura del cuerpo registrándola en los 30o C. Dos horas mas tarde, el inspector anotó que
la temperatura del cuerpo era de 26o C. Sabiendo que la temperatura de la habitación fue de 21o C, determine la hora a la
cual el asesinato ocurrió. Reporte la hora en decimales, por ejemplo 1 hora 30 nimutos en decimales quedarı́a 1.5 horas.
Respuesta:
20. Un cuerpo con peso de 6 libras cuelga de un resorte con constante 34 lb/ft. El medio donde se mueve el cuerpo ofrece una
fuerza de resistencia al movimiento que es numéricamente igual a su velocidad instantánea. Si el peso es liberado 1 pies por
encima de su posición de equilibrio con una velocidad hacia abajo de 15 pies por segundo. Determine la velocidad en el
momento en el cual pasa por la posición de equilibrio.
Respuesta:
21. Un recipiente cilı́ndrico se está vaciando por un orificio en la parte inferior. Si inicialmente el lı́quido estaba a una profundidad
de 8 metros y al cabo de 6 horas tenı́a una profundidad de 4 metros. Cuánto tiempo tardará en vaciarse?
A
20.4853 horas
B
9. horas
C
6 horas adicionales
D
30.7279 horas
22. Cuál de las siguientes opciones representa la transformada de Laplace de la función: (Sugerencia: use las definiciones de
las funciones de las funciones hiperbólicas mediante exponenciales)
f (t) = t cosh(4 t)
−1
A
F (s) = (16 + s2 )
B
F (s) =
16+s2
−16+s2
C
F (s) =
16+s2
(−16+s2 )2
D
F (s) =
8s
(−16+s2 )2
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 35
5
23. Cuando un rayo de luz pasa através de una sustancia transparente, el grado con que la intensidad, I(h), disminuye es
proporcional a la misma intensidad I(h) donde h representa el espesor del medio. En el agua de mar, la intensidad a 1.3
metros bajo la superficie es de 20 por ciento de la intesidad inicial Io del rayo incidente. A qué profundidad en metros la
intensidad es 30 por ciento de Io ?
Respuesta:
24. Indique cuál de las opciones es la solución general a :
36 y + y 00 = 3 cos(5 x) + 2 sen(5 x)
A
y = C1 cos(6 x) +
1
11
(−3 cos(5 x) − 2 sen(5 x)) + C2 sen(6 x)
B
y = C1 cos(6 x) +
1
11
(3 cos(5 x) − 2 sen(5 x)) + C2 sen(6 x)
C
y = C1 cos(6 x) + C2 sen(6 x) +
D
y = C1 cos(6 x) +
1
11
1
11
(3 cos(6 x) + 2 sen(6 x))
(3 cos(5 x) + 2 sen(5 x)) + C2 sen(6 x)
25. En un circuito serie RC con C =
1
200 H,
R = 200Ω, y

 4
E(t) =
−4

0
para
para
para
0≤t<5
5 ≤ t < 10
10 ≤ t
donde E(t) está en voltios. Encuentre la carga en coulumbs en el condensador en el tiempo t = 15 segundos. Tome q(0) = 0.0 C
Respuesta:
Ecuaciones Diferenciales
Laboratorio Final
Maestro Eduardo Uresti, Verano 2010
Grupo:
Matrı́cula:
Nombre:
Tipo:36
1. Determine el valor de y(1) siendo y(x) la función solución que satisface y(0) = 1 a la ecuación diferencial:
r
dy
x
= 7
dx
y
Respuesta:
2. Indicar la opción que contiene la solución a la ecuación diferencial:
y0 =
A
− u1 = C + 2 ln(x)
B
− xy = C + ln(2 x)
C
− y1 = C + 2 ln(x)
D
y
x
E
− xy = C + ln(x2 )
F
x
y
x y + 2 y2
x2
= C − 2 ln(x)
= C + 2 ln(x)
3. Determine los valores de A, B, C y D para que
y 00 + A y 0 + B y = C x + D
tenga como solución general:
y = −3 + x + C1 e3 x + C2 e4 x
Respuesta:
4. Cuál de las siguientes opciones contiene la solución general a:
9
7 x y + 81 + x2 y 0 = 5 x (81 + x2 )
−9
A
y = − 15 (81 + x2 )
B
y=
C
y = C (81 + x2 ) 2 −
D
y = C (81 + x2 ) 2 +
C
7
(81+x2 ) 2
+
1
5
(81 + x2 )
7
7
7
+ C (81 + x2 ) 2
9
16
1
5
(81 + x2 )
1
5
(81 + x2 )
16
5. Un cuerpo con peso de 6 libras cuelga de un resorte con constante 34 lb/ft. El medio donde se mueve el cuerpo ofrece una
fuerza de resistencia al movimiento que es numéricamente igual a su velocidad instantánea. Si el peso es liberado 1 pies por
encima de su posición de equilibrio con una velocidad hacia abajo de 24 pies por segundo. Determine la velocidad en el
momento en el cual pasa por la posición de equilibrio.
Respuesta:
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 36
2
6. El número de individuos infectados A(t) en un tiempo t debe crecer a una razón que es aproximadamente proporcional al
producto A(t)(N − A(t)) donde N es el tamaño de la población. Si el tamaño de la población es de 800 individuos y si
inicialmente existen 40 individuos infectados y al cabo de 1 meses existen 80 individuos infectados. Cuántos habrá infectados
al cabo de 2 meses?
Respuesta:
7. La cantidad de ratones en cierta zona de Asia crece con una rapidez proporcional a la raı́z cuarta de la cantidad de ratones
en cada momento. Si inicialmente se cuentan 400 ratones y al cabo de un año son 1200 . Cuántos habrá al cabo de 2 años?
A
2173.53
B
3600
C
2400
D
1925.84
8. Al sacar un pastel del horno su temperatura es 290o F, 5 minutos después su temperatura es de 207o F. Si la rapidez con
que la temperatura T (t) cambia es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y la temperatura constante
To = 69o F del medio que lo rodea, cuántos minutos demorará el pastel en enfriarse hasta una temperatura de 98o F?
A
23.1325
B
21.5633
C
3.41701
D
11.5663
9. Sabemos que un material radioactivo se desintegra proporcionalmente a la cantidad existente. En una prueba realizada con
60mg de ese material se observó que después de 9 años solamente permanecı́a el 95 por ciento de la sustancia. Indique la
opción que contiene la vida media de tal material.
A
tmedia = 4.73684años.
B
tmedia = 60.8103años.
C
tmedia = 121.621años.
D
tmedia = 243.241años.
10. Un recipiente contiene 80 galones de agua limpia inicialmente. Una solución es vertida en el interior del recipiente a un ritmo
de 5 galones por minuto. Esta solución tiene una concentración de 0.2 libras de sal por galón. A la vez que se vierte se extrae
solución del tanque a la misma velocidad. La solución extraida es entonces vertida en un nuevo recipiente que contiene
80 galones de agua limpia. Del cual a su vez también serán extraı́dos 5 galones de solución por minuto. Cuáles será la
concentración de sal (en libras por galón) en el segundo tanque 40 minutos despuúes de iniciado el proceso? Sugerencia.
Primero determine la fórmula que da la contidad de sal en el primer tanque función de t. A partir de ella obtenga la fórmula
que da la concentración de sal en el primer tanque. De ella determine la fórmula que da cantidad de sal que el primer tanque
vierte al segundo tanque en libras por minuto.
Respuesta:
11. Indique cuál de las opciones siguientes es la ecuación subsidiaria del problema con condiciones iniciales y(0) = 0 y y 0 (0) = 6
con ecuación:
42 y − 13 y 0 + y 00 = 6 e7 t
A
Y (s) =
−36+6 s
(−7+s) (42+13 s+s2 )
B
Y (s) =
36+6 s
42−13 s+s2
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 36
C
Y (s) =
36+6 s
(−7+s) (42−13 s+s2 )
D
Y (s) =
−36+6 s
(−7+s) (42−13 s+s2 )
3
12. Cuál de las siguientes opciones representa la transformada de Laplace de la función: (Sugerencia: use las definiciones de
las funciones de las funciones hiperbólicas mediante exponenciales)
f (t) = t cosh(5 t)
25+s2
−25+s2
A
F (s) =
B
F (s) = (25 + s2 )
C
F (s) =
25+s2
(−25+s2 )2
D
F (s) =
10 s
(−25+s2 )2
−1
13. Determine A, B, C, D y E (B > D) para que
f (t) = A eB t + C eD t + E
sea la transformada inversa de la función:
F (s) =
−8 + 12 s
−4 s + s3
Respuesta:
14. Use la transformada de Laplace para resolver la ecuación diferencial
100 y + y 00 = f (t)
con condiciones iniciales y(0) = 4 y y 0 (0) = 0 y donde

 0
=
1

0
f (t)
si 0 ≤ t < π
si π ≤ t < 2π
si 2π ≤ t
A
y(t) = 4 cos(10 t) +
1
100
(1 − cos(10 t)) Uπ (t) −
1
100
(1 − cos(10 t)) U2 π (t)
B
y(t) = 4 cos(10 t) +
1
100
(1 + cos(10 t)) Uπ (t) −
1
100
(1 + cos(10 t)) U2 π (t)
C
y(t) =
sen(10 t) +
1
100
(1 − cos(10 t)) Uπ (t) −
1
100
(1 − cos(10 t)) U2 π (t)
D
y(t) = 4 cos(10 t) +
1
100
(1 − cos(20 t)) Uπ (t) −
1
100
(1 − cos(20 t)) U2 π (t)
E
y(t) = 4 cos(10 t) +
1
50
2
5
(1 − cos(10 t)) Uπ (t) −
1
50
(1 − cos(10 t)) U2 π (t)
15. Indique cuál de las siguientes opciones es la transformada de Laplace de
f (t) =
1
t sen(5 t)
10
A
F (s) =
1
(25+s2 )2
C
F (s) =
s
(25+s2 )2
B
F (s) =
1
(−25+s2 )2
D
F (s) =
s
(−25+s2 )2
16. En un circuito serie RC con C =
1
200 H,
R = 400Ω, y

 4
E(t) =
−4

0
para
para
para
0≤t<5
5 ≤ t < 10
10 ≤ t
donde E(t) está en voltios. Encuentre la carga en coulumbs en el condensador en el tiempo t = 15 segundos. Tome q(0) = 0.0 C
Respuesta:
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 36
4
17. Se ha descubierto que una bola de naftalina que tenı́a originalmente un radio de 25 de pulgada, tiene una radio de 94 de
pulgada al cabo de un mes. Suponiendo que se evapore a un ı́ndice proporcional a su superficie, determine el tiempo necesario
en meses para que la bola desaparezca.
A
60.
B
10.
C
30.
D
20.
18. José Luis se va a someter a una cirugı́a por una lesión de futbol y debe ser anestesiado. El anestesiólogo sabe que para que
un paciente sea anestesiado, mediante Pentobarbital sódico, debe tener en su sangre dicha sustancia en una concentración
de al menos 50 miligramos por cada kilogramo de peso. Suponga que las sustancias quı́micas disminuyen su concentración
en la sangre en forma proporcional a la concentración de la sustancia y que en particular el Pentobarbital disminuye su
concentración a la mitad cada 10 horas. Si José Luis pesa 95 kilogramos y será anestesiado mediante una sola dósis, cuántos
miligramos de Pentobarbital se le deberá suministrar si se desea que el efecto dure 4 horas? Nota: Los datos del problema
son ficticios.
Respuesta:
19. Cuando un rayo de luz pasa através de una sustancia transparente, el grado con que la intensidad, I(h), disminuye es
proporcional a la misma intensidad I(h) donde h representa el espesor del medio. En el agua de mar, la intensidad a 1.9
metros bajo la superficie es de 20 por ciento de la intesidad inicial Io del rayo incidente. Cuál es la intensidad del rayo de
luz a 2.9 metros respecto a Io ? Reporta tu respuesta entre 0 y 1.
Respuesta:
20. Un recipiente cilı́ndrico se está vaciando por un orificio en la parte inferior. Si inicialmente el lı́quido estaba a una profundidad
de 12 metros y al cabo de 6 horas tenı́a una profundidad de 6 metros. Cuánto tiempo tardará en vaciarse?
A
6 horas adicionales
B
9. horas
C
30.7279 horas
D
20.4853 horas
21. Sabiendo que la solución a la correspondiente ecuación homogénea auxiliar es yh = c1 x + c2 e6 x determine una solución
particular a la ED:
36 y
36 x y 0
−
+
+ y 00 = 1 − 6 x
1 − 6x 1 − 6x
A
yp = 1 + 6 x − x2
B
yp =
C
1
yp = − 36
−
D
yp = 1 − 6 x + x2
E
yp = 1 + 6 x + 36 x2
F
yp = 36 + 6 x + x2
1
36
+
1
6
x + x2
1
6
x + x2
22. Una cadena de 6 pies de largo yace extendida en una mesa. La cadena pesa en total 4 pounds y se supone que su peso
está uniformemente distribuido. Un extremo de un pie de longitud de cadena cuelga de la mesa y estira toda la cadena hacia
abajo. Despreciando la fricción, indique cuánto tiempo tardará en caer de la mesa. Sugerencia. Elija como variable incógnita
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 36
5
la longitud de la cadena que está fuera de la mesa, y = y(t). Para construir la ED use la segunda ley de Newton. La fuerza
aplicada a la cadena es 32 y. La aceleración es y 00 . Tome como condiciones iniciales y(0) = 1 y y 0 (0) = 0.
Respuesta:
23. Encuentre la máxima carga en el capacitor en un circuito serie LRC cuando L = 5/3h, R = 10Ω, C = 1/30f , E(t) = 300V ,
q(0) = 0C, y i(0) = 0A.
Respuesta:
24. usando el caso I, Iindique la opción que contiene un paso intermedio en la solución a:
2
ln((y 0 ) ) y 00 = 7
7
2
A
R
B
2 z (−1 + ln(z)) = 7 x + C1
C
ln(z) = (7 x + C1 ) 2
D
2 (−z + z ln(z)) = 7 y + C1
z ln(z) dz =
y
1
25. Indique la opción que contiene la solución general a:
7 e(7+9 x) + 4 y dx + 3 e(7+4 y) + 4 x dy = 0
A
7
9
e(7+9 x) +
3
4
B
3
4
e(7+4 y) +
28
9
C
7
9
e(7+9 x) +
3
4
D
7
9
e(7+9 x) + 3 e(7+4 y) x y = C
e(7+4 y) + x + 4 y = C
e(7+9 x) x y = C
e(7+4 y) + 4 x y = C
Ecuaciones Diferenciales
Laboratorio Final
Maestro Eduardo Uresti, Verano 2010
Grupo:
Matrı́cula:
Nombre:
Tipo:37
1. Determine los valores de A, B, C y D para que
y 00 + A y 0 + B y = C x + D
tenga como solución general:
y = −1 + x + C1 e2 x + C2 e−2 x
Respuesta:
2. Una cadena de 6 pies de largo yace extendida en una mesa. La cadena pesa en total 17 pounds y se supone que su peso
está uniformemente distribuido. Un extremo de un pie de longitud de cadena cuelga de la mesa y estira toda la cadena hacia
abajo. Despreciando la fricción, indique cuánto tiempo tardará en caer de la mesa. Sugerencia. Elija como variable incógnita
la longitud de la cadena que está fuera de la mesa, y = y(t). Para construir la ED use la segunda ley de Newton. La fuerza
00
0
aplicada a la cadena es 17
6 y. La aceleración es y . Tome como condiciones iniciales y(0) = 1 y y (0) = 0.
Respuesta:
3. Indique cuál de las siguientes opciones es la transformada de Laplace de
f (t) =
1
t sen(4 t)
8
A
F (s) =
s
(16+s2 )2
C
F (s) =
1
(−16+s2 )2
B
F (s) =
1
(16+s2 )2
D
F (s) =
s
(−16+s2 )2
4. Indicar la opción que contiene la solución a la ecuación diferencial:
y0 =
A
1
− y2
= C − 6 ln(x)
B
y 2 = x2 (C − 12 ln(x))
C
x2
y2
D
− xy2 = C + 6 ln(x)
E
x2
y2
x2 y + 6 y 3
x3
= C − 12 ln(x)
2
= C + 6 ln(x)
5. Use la transformada de Laplace para resolver la ecuación diferencial
64 y + y 00 = f (t)
con condiciones iniciales y(0) = 3 y y 0 (0) = 0 y donde
f (t)
3
8

 0
=
1

0
si 0 ≤ t < π
si π ≤ t < 2π
si 2π ≤ t
A
y(t) =
sen(8 t) +
1
64
(1 − cos(8 t)) Uπ (t) −
1
64
(1 − cos(8 t)) U2 π (t)
B
y(t) = 3 cos(8 t) +
1
64
(1 − cos(8 t)) Uπ (t) −
1
64
(1 − cos(8 t)) U2 π (t)
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 37
2
C
y(t) = 3 cos(8 t) +
1
64
(1 − cos(16 t)) Uπ (t) −
1
64
D
y(t) = 3 cos(8 t) +
1
32
(1 − cos(8 t)) Uπ (t) −
1
32
(1 − cos(8 t)) U2 π (t)
E
y(t) = 3 cos(8 t) +
1
64
(1 + cos(8 t)) Uπ (t) −
1
64
(1 + cos(8 t)) U2 π (t)
(1 − cos(16 t)) U2 π (t)
6. Cuando un rayo de luz pasa através de una sustancia transparente, el grado con que la intensidad, I(h), disminuye es
proporcional a la misma intensidad I(h) donde h representa el espesor del medio. En el agua de mar, la intensidad a 1.7
metros bajo la superficie es de 30 por ciento de la intesidad inicial Io del rayo incidente. Cuál es la intensidad del rayo de
luz a 2.7 metros respecto a Io ? Reporta tu respuesta entre 0 y 1.
Respuesta:
7. Sabiendo que la solución a la correspondiente ecuación homogénea auxiliar es yh = c1 x + c2 e5 x determine una solución
particular a la ED:
25 y
25 x y 0
−
+
+ y 00 = 1 − 5 x
1 − 5x 1 − 5x
1
25
1
5
x + x2
A
yp =
B
1
yp = − 25
−
C
yp = 1 + 5 x + 25 x2
D
yp = 25 + 5 x + x2
E
yp = 1 + 5 x − x2
F
yp = 1 − 5 x + x2
+
1
5
x + x2
8. Inicialmente, un gran tanque con una capacidad de 300 galones contiene 150 galones de agua limpia. Una solución de sal con
una concentración de 5 lb/gal fluye hacia el tanque a una razón de 20 gal/min. La solución es perfectamente bien mezclada
mientras se extrae solución a un ritmo de 10gal/min. Encuentre: 1) la cantidad de sal en el tanque en el momento que se
llena (en libras). 2) La velocidad a la cual está saliendo sal en ese instante (en libras por minuto). 3) La cantidad de sal
que ha salido del tanque desde el inicio y hasta ese momento (en libras).
Respuesta:
9. Seleccionar la opción que contiene un paso intermedio para obtener la solución general de la ED:
y
cos(x)
+ y0 =
x
x
A
B
y=e
R
y=e
R
C
y=
D
y=
1
x
1
x
R
C+
R
C+
dx
dx
C+
R
C+
R
cos(x)
1 dx
x
R
1
x
e
e
R 1
dx
x
e
cos(x)
R 1x
dx
x
e
cos(x)
x
R
x
dx
dx
cos(x) dx
dx
dx
x
10. Determine el valor de y(1) siendo y(x) la función solución que satisface y(0) = 1 a la ecuación diferencial:
r
dy
x
= 3
dx
y
Respuesta:
11. Indique la opción que contiene la solución que satisface y(0) = 0 para la ecuación:
2 x + 3 y + (3 x + 2 y) y 0 = 0
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 37
A
x2 + 3 x y + y 2 = 0
B
x3 + 3 x y + y 3 = 0
C
x3 + x y + y 3 = 0
D
x2 + y 2 = 0
E
x2 + 2 x y + y 2 = 0
F
x2 + x y + y 2 = 0
G
x3 + y 3 = 0
H
x3 + 2 x y + y 3 = 0
3
12. Un cuerpo con peso de 10 libras cuelga de un resorte con constante 45 lb/ft. El medio donde se mueve el cuerpo ofrece una
fuerza de resistencia al movimiento que es numéricamente igual a su velocidad instantánea. Si el peso es liberado 53 pies
por encima de su posición de equilibrio con una velocidad hacia abajo de 9 pies por segundo. Determine la velocidad en el
momento en el cual pasa por la posición de equilibrio.
Respuesta:
13. Cuál de las siguientes opciones representa la transformada de Laplace de la función: (Sugerencia: use las definiciones de
las funciones de las funciones hiperbólicas mediante exponenciales)
f (t) = t cosh(3 t)
A
F (s) =
9+s2
(−9+s2 )2
B
F (s) =
6s
(−9+s2 )2
C
F (s) =
9+s2
−9+s2
D
F (s) = (9 + s2 )
−1
14. Se sabe que la población de cierta comunidad aumenta, en un instante t cualquiera, con una rapidez proporcional al número
de personas presentes en dicho instante. Si la población se cuatriplica en 5 años, cuántos años demorará en quintuplicarse?
A
9.375
B
12.1324
C
6.25
D
5.80482
15. Calcule el valor en x = 1 para la solución particular y(x) que cumple las condiciones iniciales y( 41 ) = 1 y y 0 ( 41 ) = 8 a la ED:
4 y0
y 00 = √
y
Respuesta:
16. En un circuito serie RC con C =
1
500 H,
R = 500Ω, y

 3
E(t) =
−3

0
para
para
para
0≤t<2
2≤t<4
4≤t
donde E(t) está en voltios. Encuentre la carga en coulumbs en el condensador en el tiempo t = 6 segundos. Tome q(0) = 0.0 C
Respuesta:
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 37
4
17. Determine A, B, C y D para que
f (t) = eA t (B cos(C t) + D sen(C t))
sea la transformada inversa de la función:
F (s) =
s
37 + 2 s + s2
Respuesta:
18. Un termómero se saca de una habitación donde la temperatura del aire es 74o F , al exterior en donde la temperatura del
aire es 8o F. Después de 41 partes de minuto el termómetro marca 47o F cuántos minutos tiempo demorará el termómetro en
alcanzar los 13o F?. Suponga que la rapidez con la que la temperatura T (t) cambia es proporcional a la diferencia entre la
temperatura del termómetro y la temperatura constante To del medio que lo rodea.
A
7.02895
B
9.80897
C
1.22612
D
0.878619
11
19. Se ha descubierto que una bola de naftalina que tenı́a originalmente un radio de 17
8 de pulgada, tiene una radio de 16 de
pulgada al cabo de un mes. Suponiendo que se evapore a un ı́ndice proporcional a su superficie, determine el tiempo necesario
en meses para que la bola desaparezca.
A
4.43478
B
8.86957
C
2.95652
D
1.47826
20. Un trozo de madera de una viga de una casa construida en Babilonia durante el reinado de Hamurabi contenı́a el 59 por
ciento del carbono 14 radiactivo que contiene un fragmento del mismo tipo de madera en un árbol vivo. Estime la antiguedad
de la construcción, sabiendo que la vida media del carbono 14 es de aproximadamente 5600 años.
Respuesta:
21. Indique cuál de las opciones siguientes es la ecuación subsidiaria del problema con condición inicial y(0) = 3 y ED:
7 y + y 0 = t cos(3 t) + sen(3 t) e3 t
3+
A
Y (s) =
B
Y (s) =
D
Y (s) =
Y (s) =
−1
+ 18+63s+s2
−1
+ 18−63s+s2
−1
−3+s
+ 18−6
s+s2
−(9+s2 )
7+s
3+
C
2 s2
(9+s2 )2
2 s2
(9+s2 )2
−(9+s2 )
7+s
2
3+ 2 s2 2
(9+s )
−(9+s2 )
7+s
3+ 6 s2 2
(9+s )
+ 18−63s+s2
7+s
22. Encuentre la máxima carga en el capacitor en un circuito serie LRC cuando L = 5/3h, R = 10Ω, C = 1/30f , E(t) = 300V ,
q(0) = 0C, y i(0) = 0A.
Respuesta:
23. José Luis se va a someter a una cirugı́a por una lesión de futbol y debe ser anestesiado. El anestesiólogo sabe que para que
un paciente sea anestesiado, mediante Pentobarbital sódico, debe tener en su sangre dicha sustancia en una concentración
de al menos 50 miligramos por cada kilogramo de peso. Suponga que las sustancias quı́micas disminuyen su concentración
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 37
5
en la sangre en forma proporcional a la concentración de la sustancia y que en particular el Pentobarbital disminuye su
concentración a la mitad cada 10 horas. Si José Luis pesa 95 kilogramos y será anestesiado mediante una sola dósis, cuántos
miligramos de Pentobarbital se le deberá suministrar si se desea que el efecto dure 3 horas? Nota: Los datos del problema
son ficticios.
Respuesta:
24. El número de individuos infectados A(t) en un tiempo t debe crecer a una razón que es aproximadamente proporcional al
producto A(t)(N − A(t)) donde N es el tamaño de la población. Si el tamaño de la población es de 400 individuos y si
inicialmente existen 20 individuos infectados y al cabo de 1 meses existen 40 individuos infectados. Cuántos habrá infectados
al cabo de 2 meses?
Respuesta:
25. Un recipiente cilı́ndrico se está vaciando por un orificio en la parte inferior. Si inicialmente el lı́quido estaba a una profundidad
de 12 metros y al cabo de 10 horas se vacı́a. A qué horas pasó por la mitad de la profundidad?
Respuesta:
Ecuaciones Diferenciales
Laboratorio Final
Maestro Eduardo Uresti, Verano 2010
Grupo:
Matrı́cula:
Nombre:
Tipo:38
1. Un cuerpo con peso de 9 libras cuelga de un resorte con constante 98 lb/ft. El medio donde se mueve el cuerpo ofrece una
fuerza de resistencia al movimiento que es numéricamente igual a su velocidad instantánea. Si el peso es liberado 32 pies
por encima de su posición de equilibrio con una velocidad hacia abajo de 21 pies por segundo. Determine la velocidad en el
momento en el cual pasa por la posición de equilibrio.
Respuesta:
2. Inicialmente, un gran tanque con una capacidad de 200 galones contiene 100 galones de agua limpia. Una solución de sal con
una concentración de 4 lb/gal fluye hacia el tanque a una razón de 30 gal/min. La solución es perfectamente bien mezclada
mientras se extrae solución a un ritmo de 15gal/min. Encuentre: 1) la cantidad de sal en el tanque en el momento que se
llena (en libras). 2) La velocidad a la cual está saliendo sal en ese instante (en libras por minuto). 3) La cantidad de sal
que ha salido del tanque desde el inicio y hasta ese momento (en libras).
Respuesta:
3. Una fragmento de la pata de la silla de la tumba Tutankhamón contenı́a el 71 por ciento del carbono 14 radiactivo que
contiene un fragmento del mismo tipo de madera en un árbol vivo. Estime la edad de la tumba en años, sabiendo que la
vida media del carbono 14 es de aproximadamente 5600 años.
Respuesta:
4. En muchos estados de USA es ilegal manejar con un nivel de alcohol mayor que 0.10 por ciento (una parte de alcohol por 1000
partes de sangre). Suponga que alguien es detenido en alguno de esos estados y que se detecta que tiene un porcentaje de
alcohol en la sangre de 0.4 %. Si se asume que el porcentaje de alcohol en el torrente sanguı́neo decrece en forma proporcional
al porcentaje de alcohol, y que además la concentración de alcohol decrece 10 por ciento cada hora, determine cuánto tiempo
en horas debe pasar para que esa persona pueda conducir legalmente de nuevo. Nota: Los datos de este problema son
ficticios.
Respuesta:
5. Cuando un rayo de luz pasa através de una sustancia transparente, el grado con que la intensidad, I(h), disminuye es
proporcional a la misma intensidad I(h) donde h representa el espesor del medio. En el agua de mar, la intensidad a 1.7
metros bajo la superficie es de 40 por ciento de la intesidad inicial Io del rayo incidente. A qué profundidad en metros la
intensidad es 50 por ciento de Io ?
Respuesta:
6. Seleccionar la opción que contiene un paso intermedio para obtener la solución general de la ED:
y
cos(x)
+ y0 =
x
x
R
C+
A
y=
B
y=e
C
D
dx
x
y=e
y=
cos(x)
x
R
R
1
x
1
x
R
C+
dx
dx
C+
R
C+
R
cos(x)
R
1 dx
x
R
1
x
e
e
R 1
dx
x
e
cos(x)
R 1x
e x dx
x
dx
dx
cos(x) dx
dx
7. Dado que y1 = e−6x y y2 = xe−6x son soluciones a la ED homogénea auxiliar asociada encuentre la solución general de
36 y + 12 y 0 + y 00 =
1 −6 x
e
x
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 38
2
A
y = −x + C1 e−6 x + x C2 e−6 x + ln(x)
B
y = x e−6 x + C1 e−6 x + x C2 e−6 x − x ln(x) e−6 x
C
y = −x e−6 x + C1 e−6 x + x C2 e−6 x + x ln(x) e−6 x
D
y = x + C1 e−6 x + x C2 e−6 x − ln(x)
8. Calcule el valor en x = 1 para la solución particular y(x) que cumple las condiciones iniciales y( 12 ) = 1 y y 0 ( 21 ) = 4 a la ED:
2 y0
y 00 = √
y
Respuesta:
9. Determine el valor de y(1) siendo y(x) la función solución que satisface y(0) = 1 a la ecuación diferencial:
r
dy
x
= 8
dx
y
Respuesta:
10. Todos los dı́as la maestra Treviño toma una taza de café antes de su clase de 9:00 AM. Suponga que la temperatura del
café es de 200o F cuando lo sirve en su taza a las 8:30AM, quince minutos después el café se enfria hasta 110o F en un cuarto
que está a 70o F. Sin embargo, la maestra Treviño nunca beberá su café si no hasta que este se enfrie justo a 93o F. Cuántos
minutos después de servido tomará su café?
Respuesta:
9
1
11. Se ha descubierto que un cubo de naftalina que tenı́a originalmente un lado de 10
de pulgada, tiene un lado de 16
de pulgada
al cabo de un mes. Suponiendo que se evapore a un ı́ndice proporcional a su superficie, determine el tiempo necesario en
meses para que el cubo desaparezca.
A
1.07463
B
3.22388
C
6.44776
D
0.537313
12. Encuentre la máxima carga en el capacitor en un circuito serie LRC cuando L = 5/3h, R = 10Ω, C = 1/30f , E(t) = 300V ,
q(0) = 0C, y i(0) = 0A.
Respuesta:
13. Indicar la opción que contiene la solución a la ecuación diferencial:
y0 =
A
− xy = C + ln(6 x)
B
− xy = C + ln(x6 )
C
y
x
D
− u1 = C + 6 ln(x)
E
x
y
F
− y1 = C + 6 ln(x)
= C − 6 ln(x)
= C + 6 ln(x)
x y + 6 y2
x2
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 38
3
14. El número de individuos infectados A(t) en un tiempo t debe crecer a una razón que es aproximadamente proporcional al
producto A(t)(N − A(t)) donde N es el tamaño de la población. Si el tamaño de la población es de 400 individuos y si
inicialmente existen 20 individuos infectados y al cabo de 1 meses existen 40 individuos infectados. Cuántos habrá infectados
al cabo de 2 meses?
Respuesta:
15. Una cadena de 7 pies de largo yace extendida en una mesa. La cadena pesa en total 17 pounds y se supone que su peso
está uniformemente distribuido. Un extremo de un pie de longitud de cadena cuelga de la mesa y estira toda la cadena hacia
abajo. Despreciando la fricción, indique cuánto tiempo tardará en caer de la mesa. Sugerencia. Elija como variable incógnita
la longitud de la cadena que está fuera de la mesa, y = y(t). Para construir la ED use la segunda ley de Newton. La fuerza
00
0
aplicada a la cadena es 17
7 y. La aceleración es y . Tome como condiciones iniciales y(0) = 1 y y (0) = 0.
Respuesta:
16. Un recipiente cilı́ndrico se está vaciando por un orificio en la parte inferior. Si inicialmente el lı́quido estaba a una profundidad
de 4 metros y al cabo de 4 horas tenı́a una profundidad de 2 metros. Cuánto tiempo tardará en vaciarse?
A
6. horas
B
4 horas adicionales
C
13.6569 horas
D
20.4853 horas
17. Cuál de las siguientes opciones representa la transformada de Laplace de la función: (Sugerencia: use las definiciones de
las funciones de las funciones hiperbólicas mediante exponenciales)
f (t) = t cosh(4 t)
16+s2
−16+s2
A
F (s) =
B
F (s) = (16 + s2 )
C
F (s) =
16+s2
(−16+s2 )2
D
F (s) =
8s
(−16+s2 )2
−1
18. En un circuito serie RC con C =
3
200 H,
R = 100Ω, y

 4
E(t) =
−4

0
para
para
para
0≤t<6
6 ≤ t < 12
12 ≤ t
donde E(t) está en voltios. Encuentre la carga en coulumbs en el condensador en el tiempo t = 18 segundos. Tome q(0) = 0.0 C
Respuesta:
19. Determine A, B, C y D para que
f (t) = eA t (B cos(C t) + D sen(C t))
sea la transformada inversa de la función:
F (s) =
s
26 + 2 s + s2
Respuesta:
20. Indique la opción que contiene la solución general a:
6 e(7+9 x) + 3 y dx + 4 e(9+4 y) + 3 x dy = 0
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 38
A
2
3
e(7+9 x) + e(9+4 y) + x + 3 y = C
B
2
3
e(7+9 x) + e(9+4 y) + 3 x y = C
C
2
3
e(7+9 x) + 3 e(9+4 y) x y = C
D
e(9+4 y) + 2 e(7+9 x) x y = C
4
21. Un cultivo de Escherichia coli crece a una velocidad proporcional a su tamaño. Un investigador ha determinado que cada
hora el cultivo crece en un 5 por ciento y que hay 100 organismos inicialmente. Cuántos organismos habrá al cabo de 6
horas?
Respuesta:
22. Indique cuál de las opciones siguientes es la ecuación subsidiaria del problema con condición inicial y(0) = 6 y ED:
4 y + y 0 = t cos(7 t) + sen(7 t) e4 t
6+
A
Y (s) =
B
Y (s) =
C
Y (s) =
D
Y (s) =
2 s2
(49+s2 )2
−(49+s2 )
−1
−4+s
+ 65−8
s+s2
4+s
6+
14 s
(49+s2 )2
+ 65−87s+s2
4+s
6+
2 s2
(49+s2 )2
−(49+s2 )
−1
+ 65+87s+s2
−1
+ 65−87s+s2
4+s
6+
2 s2
(49+s2 )2
−(49+s2 )
4+s
23. Indique cuál de las opciones es la solución general a :
16 y + y 00 = 6 cos(3 x) + 9 sen(3 x)
1
7
A
y = C1 cos(4 x) + C2 sen(4 x) +
B
y = C1 cos(4 x) +
1
7
(6 cos(3 x) − 9 sen(3 x)) + C2 sen(4 x)
C
y = C1 cos(4 x) +
1
7
(6 cos(3 x) + 9 sen(3 x)) + C2 sen(4 x)
D
y = C1 cos(4 x) +
1
7
(−6 cos(3 x) − 9 sen(3 x)) + C2 sen(4 x)
(6 cos(4 x) + 9 sen(4 x))
24. Seleccionar la opción que contiene la transformada de Laplace de
f (t) =
A
8+s
F (s) = ln( 5+s
)
B
F (s) =
1
2
− cos(5 t) + cos(8 t)
t
2
ln( 25+s
64+s2 )
C
s
F (s) = − 25+s
2 +
D
F (s) =
s
25+s2
25. Use la transformada de Laplace para resolver la ecuación diferencial
4 y + y 00 = f (t)
con condiciones iniciales y(0) = 7 y y 0 (0) = 0 y donde
f (t)
A
y(t) = 7 cos(2 t) +
1
2
(1 − cos(2 t)) Uπ (t) −
1
2

 0
=
1

0
si 0 ≤ t < π
si π ≤ t < 2π
si 2π ≤ t
(1 − cos(2 t)) U2 π (t)
+
s
64+s2
s
64+s2
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 38
7
2
5
B
y(t) =
sen(2 t) +
1
4
(1 − cos(2 t)) Uπ (t) −
1
4
(1 − cos(2 t)) U2 π (t)
C
y(t) = 7 cos(2 t) +
1
4
(1 + cos(2 t)) Uπ (t) −
1
4
(1 + cos(2 t)) U2 π (t)
D
y(t) = 7 cos(2 t) +
1
4
(1 − cos(2 t)) Uπ (t) −
1
4
(1 − cos(2 t)) U2 π (t)
E
y(t) = 7 cos(2 t) +
1
4
(1 − cos(4 t)) Uπ (t) −
1
4
(1 − cos(4 t)) U2 π (t)
Ecuaciones Diferenciales
Laboratorio Final
Maestro Eduardo Uresti, Verano 2010
Grupo:
Matrı́cula:
Nombre:
Tipo:39
1. Un recipiente cilı́ndrico se está vaciando por un orificio en la parte inferior. Si inicialmente el lı́quido estaba a una profundidad
de 8 metros y al cabo de 10 horas se vacı́a. A qué horas pasó por la mitad de la profundidad?
Respuesta:
2. Determine el valor de y(1) siendo y(x) la función solución que satisface y(0) = 1 a la ecuación diferencial:
r
dy
x
= 4
dx
y
Respuesta:
3. En 1964, cientı́ficos soviéticos hicieron un nuevo elemento, mediante el bombardeo de átomos de plutonio, el cual tenı́a
número atómico 104. La vida media de este elemento llamado E104 es de 0.15 segundos. Si es producido a un ritmo de
47 × 10−5 microgramos por segundo y bajo el supuesto que no habı́a presente tal material , Cuántos microgramos habrı́a al
cabo de 70 segundos?
Respuesta:
4. Seleccionar la opción que contiene un paso intermedio para obtener la solución general de la ED:
cos(x)
y
+ y0 =
x
x
R
C+
A
y=
B
y=e
C
D
dx
x
y=e
y=
cos(x)
x
R
R
1
x
1
x
R
C+
dx
dx
C+
R
C+
R
cos(x)
R
1 dx
x
R
1
x
e
e
R 1
dx
x
cos(x)
e
R 1x
dx
e x
x
dx
dx
cos(x) dx
dx
5. Indique cuál de las siguientes opciones representa la transformada inversa de la función:
F (s) =
A
f (t) = cos(9 t) − sen(9 t)
B
f (t) = (cos(9 t) −
1
9
sen(9 t)) e−t
s
82 + 2 s + s2
f (t) = cos(9 t) −
D
f (t) = (cos(9 t) − sen(9 t)) e−t
6. Indique la opción que contiene la solución que satisface y(0) = 0 para la ecuación:
2 x + 3 y + (3 x + 2 y) y 0 = 0
A
x2 + 2 x y + y 2 = 0
B
x2 + 3 x y + y 2 = 0
C
x3 + y 3 = 0
D
x2 + y 2 = 0
E
x3 + 2 x y + y 3 = 0
1
9
C
sen(9 t)
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 39
F
x3 + 3 x y + y 3 = 0
G
x3 + x y + y 3 = 0
H
x2 + x y + y 2 = 0
2
7. Use la transformada de Laplace para resolver la ecuación diferencial
4 y + y 00 = f (t)
con condiciones iniciales y(0) = 4 y y 0 (0) = 0 y donde
f (t)

 0
=
1

0
si 0 ≤ t < π
si π ≤ t < 2π
si 2π ≤ t
A
y(t) = 4 cos(2 t) +
1
4
(1 − cos(2 t)) Uπ (t) −
1
4
(1 − cos(2 t)) U2 π (t)
B
y(t) = 4 cos(2 t) +
1
4
(1 + cos(2 t)) Uπ (t) −
1
4
(1 + cos(2 t)) U2 π (t)
C
y(t) = 4 cos(2 t) +
1
2
(1 − cos(2 t)) Uπ (t) −
1
2
(1 − cos(2 t)) U2 π (t)
D
y(t) = 4 cos(2 t) +
1
4
(1 − cos(4 t)) Uπ (t) −
1
4
(1 − cos(4 t)) U2 π (t)
E
y(t) = 2 sen(2 t) +
1
4
(1 − cos(2 t)) Uπ (t) −
1
4
(1 − cos(2 t)) U2 π (t)
8. Cuál de las siguientes opciones representa la transformada de Laplace de la función: (Sugerencia: use las definiciones de
las funciones de las funciones hiperbólicas mediante exponenciales)
f (t) = t cosh(5 t)
A
F (s) =
10 s
(−25+s2 )2
B
F (s) =
25+s2
−25+s2
C
F (s) = (25 + s2 )
D
F (s) =
−1
25+s2
(−25+s2 )2
9. Indique cuál de las opciones siguientes es la ecuación subsidiaria del problema con condición inicial y(0) = 3 y ED:
2 y + y 0 = t cos(2 t) + sen(2 t) e2 t
3+
A
Y (s) =
B
Y (s) =
C
Y (s) =
D
Y (s) =
2 s2
(4+s2 )2
−1
+ 8+4 2s+s2
−1
−2+s
+ 8−4
s+s2
−(4+s2 )
2+s
3+
2 s2
(4+s2 )2
−(4+s2 )
2+s
3+
4s
(4+s2 )2
+ 8−4 2s+s2
2+s
3+
2 s2
(4+s2 )2
−1
−(4+s2 )
+ 8−4 2s+s2
2+s
10. El número de individuos infectados A(t) en un tiempo t debe crecer a una razón que es aproximadamente proporcional al
producto A(t)(N − A(t)) donde N es el tamaño de la población. Si el tamaño de la población es de 900 individuos y si
inicialmente existen 60 individuos infectados y al cabo de 1 meses existen 120 individuos infectados. Cuántos habrá infectados
al cabo de 2 meses?
Respuesta:
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 39
3
11. Un cultivo de Escherichia coli crece a una velocidad proporcional a su tamaño. Un investigador ha determinado que cada
hora el cultivo crece en un 3 por ciento y que hay 150 organismos inicialmente. Cuántos organismos habrá al cabo de 3
horas?
Respuesta:
12. Un cuerpo con peso de 8 libras cuelga de un resorte con constante 1 lb/ft. El medio donde se mueve el cuerpo ofrece una
fuerza de resistencia al movimiento que es numéricamente igual a su velocidad instantánea. Si el peso es liberado 43 pies
por encima de su posición de equilibrio con una velocidad hacia abajo de 21 pies por segundo. Determine la velocidad en el
momento en el cual pasa por la posición de equilibrio.
Respuesta:
13. Todos los dı́as el maestro Flores toma una taza de café antes de su clase de 9:00 AM. Suponga que la temperatura del
café es de 200o F cuando lo sirve en su taza a las 8:30AM, quince minutos después el café se enfria hasta 110o F en un cuarto
que está a 74o F. Sin embargo, el maestro Flores nunca beberá su café si no hasta que este se enfrie justo a 98o F. Cuántos
minutos después de servido tomará su café?
Respuesta:
14. Calcule el valor en x = 1 para la solución particular y(x) que cumple las condiciones iniciales y( 21 ) = 1 y y 0 ( 21 ) = 4 a la ED:
2 y0
y 00 = √
y
Respuesta:
15. En un circuito serie RC con C =
1
160 H,
R = 400Ω, y

 3
E(t) =
−3

0
para
para
para
0≤t<6
6 ≤ t < 12
12 ≤ t
donde E(t) está en voltios. Encuentre la carga en coulumbs en el condensador en el tiempo t = 18 segundos. Tome q(0) = 0.0 C
Respuesta:
16. Cuando un rayo de luz pasa através de una sustancia transparente, el grado con que la intensidad, I(h), disminuye es
proporcional a la misma intensidad I(h) donde h representa el espesor del medio. En el agua de mar, la intensidad a 1.5
metros bajo la superficie es de 20 por ciento de la intesidad inicial Io del rayo incidente. A qué profundidad en metros la
intensidad es 30 por ciento de Io ?
Respuesta:
17. En muchos estados de USA es ilegal manejar con un nivel de alcohol mayor que 0.10 por ciento (una parte de alcohol por 1000
partes de sangre). Suponga que alguien es detenido en alguno de esos estados y que se detecta que tiene un porcentaje de
alcohol en la sangre de 0.7 %. Si se asume que el porcentaje de alcohol en el torrente sanguı́neo decrece en forma proporcional
al porcentaje de alcohol, y que además la concentración de alcohol decrece 10 por ciento cada hora, determine cuánto tiempo
en horas debe pasar para que esa persona pueda conducir legalmente de nuevo. Nota: Los datos de este problema son
ficticios.
Respuesta:
18. Determine los valores de A, B y C para que
y = (C1 + C2 x) eA x + B eC x
sea la solución general a :
4 y − 4 y 0 + y 00 = ex
Respuesta:
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 39
4
3
9
de pulgada, tiene una radio de 14
de
19. Se ha descubierto que una bola de naftalina que tenı́a originalmente un radio de 16
pulgada al cabo de un mes. Suponiendo que se evapore a un ı́ndice proporcional a su superficie, determine el tiempo necesario
en meses para que la bola desaparezca.
A
3.23077
B
9.69231
C
1.61538
D
4.84615
20. Encuentre la máxima carga en el capacitor en un circuito serie LRC cuando L = 5/3h, R = 10Ω, C = 1/30f , E(t) = 300V ,
q(0) = 0C, y i(0) = 0A.
Respuesta:
21. Seleccionar la opción que contiene la transformada de Laplace de
f (t) =
1
2
− cos(3 t) + cos(8 t)
t
2
9+s
ln( 64+s
2)
A
F (s) =
B
s
F (s) = − 9+s
2 +
s
64+s2
s
9+s2
C
F (s) =
D
8+s
F (s) = ln( 3+s
)
+
s
64+s2
22. Indicar la opción que contiene la solución a la ecuación diferencial:
y0 =
A
y 2 = x2 (C − 6 ln(x))
B
1
− y2
= C − 3 ln(x)
C
x2
y2
= C − 6 ln(x)
D
x2
y2
= C + 3 ln(x)
E
− xy2 = C + 3 ln(x)
x2 y + 3 y 3
x3
2
23. Inicialmente 10 kilogramos de sal están disueltos en un tanque de 300 litros de agua, y entonces una solución, también de sal
y con una concentración de 0.04 kilogramos por litro, es vertida al interior del tanque a un ritmo de 3 litros por minuto. La
solución dentro del tanque se mantiene homogénea y se drena a la misma velocidad a la cual se vierte manteniendo constante
el volumen total del lı́quido. Determine la concentración de sal en el interior del recipiente al cabo de 15 minutos.
Respuesta:
24. Una cadena de 9 pies de largo yace extendida en una mesa. La cadena pesa en total 10 pounds y se supone que su peso
está uniformemente distribuido. Un extremo de un pie de longitud de cadena cuelga de la mesa y estira toda la cadena hacia
abajo. Despreciando la fricción, indique a qué velocidad cae cuando deja de estar en la mesa. Sugerencia. Elija como variable
incógnita la longitud de la cadena que está fuera de la mesa, y = y(t). Para construir la ED use la segunda ley de Newton.
00
La fuerza aplicada a la cadena es 10
9 y. La aceleración es y . Utiliza que la aceleración también puede ser expresada como
a = v dv/dy. de manera que quede una ecuación diferencial de primer orden en con variable dependiente v e independiente
y. Tome como condición inicial v(y = 1) = 0.
Respuesta:
25. Dado que y1 = e−4x y y2 = xe−4x son soluciones a la ED homogénea auxiliar asociada encuentre la solución general de
16 y + 8 y 0 + y 00 =
1 −4 x
e
x
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 39
A
y = x e−4 x + C1 e−4 x + x C2 e−4 x − x ln(x) e−4 x
B
y = −x e−4 x + C1 e−4 x + x C2 e−4 x + x ln(x) e−4 x
C
y = −x + C1 e−4 x + x C2 e−4 x + ln(x)
D
y = x + C1 e−4 x + x C2 e−4 x − ln(x)
5
Ecuaciones Diferenciales
Laboratorio Final
Maestro Eduardo Uresti, Verano 2010
Grupo:
Matrı́cula:
Nombre:
Tipo:40
1. En la investigación de un asesinato, un cuerpo sin vida fue encontrado por Gil Grissom exactamente a las 8:00 PM, estando
alerta, él midió la temperatura del cuerpo registrándola en los 33o C. Dos horas mas tarde, él anotó que la temperatura del
cuerpo era de 27o C. Sabiendo que la temperatura de la habitación fue de 20o C, determine la hora a la cual el asesinato
ocurrió. Considere que la temperatura corporal normal es de 37o C. Reporte la hora en decimales. Por ejemplo, 1 hora 30
nimutos en decimales quedarı́a 1.5 horas.
Respuesta:
2. Un recipiente cilı́ndrico se está vaciando por un orificio en la parte inferior. Si inicialmente el lı́quido estaba a una profundidad
de 12 metros y al cabo de 8 horas se vacı́a. A qué horas pasó por la mitad de la profundidad?
Respuesta:
3. Indicar la opción que contiene la solución a la ecuación diferencial:
y0 =
A
y 2 = x2 (C − 8 ln(x))
B
1
= C − 4 ln(x)
− y2
C
x2
y2
D
− xy2 = C + 4 ln(x)
E
x2
y2
x2 y + 4 y 3
x3
= C + 4 ln(x)
2
= C − 8 ln(x)
4. Use la transformada de Laplace para resolver la ecuación diferencial
4 y + y 00 = f (t)
con condiciones iniciales y(0) = 5 y y 0 (0) = 0 y donde
f (t)
5
2

 0
=
1

0
si 0 ≤ t < π
si π ≤ t < 2π
si 2π ≤ t
A
y(t) =
sen(2 t) +
1
4
(1 − cos(2 t)) Uπ (t) −
1
4
(1 − cos(2 t)) U2 π (t)
B
y(t) = 5 cos(2 t) +
1
4
(1 + cos(2 t)) Uπ (t) −
1
4
(1 + cos(2 t)) U2 π (t)
C
y(t) = 5 cos(2 t) +
1
4
(1 − cos(2 t)) Uπ (t) −
1
4
(1 − cos(2 t)) U2 π (t)
D
y(t) = 5 cos(2 t) +
1
4
(1 − cos(4 t)) Uπ (t) −
1
4
(1 − cos(4 t)) U2 π (t)
E
y(t) = 5 cos(2 t) +
1
2
(1 − cos(2 t)) Uπ (t) −
1
2
(1 − cos(2 t)) U2 π (t)
5. Determine los valores de A, B, C y D para que
y 00 + A y 0 + B y = C x + D
tenga como solución general:
y = 3 + x + C 1 e3 x + C 2 e2 x
Respuesta:
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 40
2
6. Encuentre la máxima carga en el capacitor en un circuito serie LRC cuando L = 5/3h, R = 10Ω, C = 1/30f , E(t) = 300V ,
q(0) = 0C, y i(0) = 0A.
Respuesta:
7. José Luis se va a someter a una cirugı́a por una lesión de futbol y debe ser anestesiado. El anestesiólogo sabe que para que
un paciente sea anestesiado, mediante Pentobarbital sódico, debe tener en su sangre dicha sustancia en una concentración
de al menos 50 miligramos por cada kilogramo de peso. Suponga que las sustancias quı́micas disminuyen su concentración
en la sangre en forma proporcional a la concentración de la sustancia y que en particular el Pentobarbital disminuye su
concentración a la mitad cada 10 horas. Si José Luis pesa 95 kilogramos y será anestesiado mediante una sola dósis, cuántos
miligramos de Pentobarbital se le deberá suministrar si se desea que el efecto dure 2 horas? Nota: Los datos del problema
son ficticios.
Respuesta:
8. Un cuerpo con peso de 3 libras cuelga de un resorte con constante 38 lb/ft. El medio donde se mueve el cuerpo ofrece una
fuerza de resistencia al movimiento que es numéricamente igual a su velocidad instantánea. Si el peso es liberado 12 pies
por encima de su posición de equilibrio con una velocidad hacia abajo de 24 pies por segundo. Determine la velocidad en el
momento en el cual pasa por la posición de equilibrio.
Respuesta:
9. Cuál de las siguientes opciones contiene la solución general a:
5
5 x y + 49 + x2 y 0 = 3 x (49 + x2 )
−5
A
y = − 15 (49 + x2 )
B
y=
C
y = C (49 + x2 ) 2 −
D
y = C (49 + x2 ) 2 +
C
+
5
(49+x2 ) 2
1
5
(49 + x2 )
5
5
5
+ C (49 + x2 ) 2
5
10
1
5
(49 + x2 )
1
5
(49 + x2 )
10
10. Determine el valor de y(1) siendo y(x) la función solución que satisface y(0) = 1 a la ecuación diferencial:
r
dy
x
= 6
dx
y
Respuesta:
11. Sabiendo que la solución a la correspondiente ecuación homogénea auxiliar es yh = c1 + c2 sec (5 x) determine una solución
particular por el método de variación de parámetros a la ED:
−5 (csc(5 x) sec(5 x) + tan(5 x)) y 0 + y 00 = tan(5 x)
A
yp = − 15 x +
1
25
B
yp = x + tan(5 x)
C
yp =
1
5
x+
1
25
D
yp =
1
5
x+
1
5
E
yp = − 15 x +
1
5
tan(5 x)
F
yp = − 15 x −
1
5
tan(5 x)
tan(5 x)
tan(5 x)
tan(5 x)
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 40
3
12. Determine A, B, C y D para que
f (t) = eA t (B cos(C t) + D sen(C t))
sea la transformada inversa de la función:
F (s) =
s
5 + 2 s + s2
Respuesta:
13. En 1960 un artı́culo de New York Times anunció que Arqueólogos afirman que la civilización Sumeria ocupó el valle del
Tigris hace 6000 años . Asumiendo que los arqueólogos usaron la técnica del C-14. Determine el porcentaje del carbono
catorce encontrado en las muestras (con respecto al inicial). Use como dato que la vida media de C-14 es de 5600 años.
A
0.803571
B
0.535714
C
0.475848
D
0.356886
14. Calcule el valor en x = 1 para la solución particular y(x) que cumple las condiciones iniciales y( 21 ) = 1 y y 0 ( 21 ) = 4 a la ED:
2 y0
y 00 = √
y
Respuesta:
15. La cantidad de canguros en cierta zona de Australia crece con una rapidez proporcional a la raı́z cuadrada de la cantidad de
canguros en cada momento. Si inicialmente se cuentan 100 canguros y al cabo de un año son 300 . Cuántos habrá al cabo
de 2 años?
A
900
B
600
C
526.835
D
607.18
16. Indique la opción que contiene la solución general a:
4 e(5+2 x) + 8 y dx + 9 e(3+9 y) + 8 x dy = 0
A
e(3+9 y) + 16 e(5+2 x) x y = C
B
2 e(5+2 x) + 8 e(3+9 y) x y = C
C
2 e(5+2 x) + e(3+9 y) + 8 x y = C
D
2 e(5+2 x) + e(3+9 y) + x + 8 y = C
17. Inicialmente, un gran tanque con una capacidad de 250 galones contiene 125 galones de agua limpia. Una solución de sal con
una concentración de 4 lb/gal fluye hacia el tanque a una razón de 10 gal/min. La solución es perfectamente bien mezclada
mientras se extrae solución a un ritmo de 9gal/min. Encuentre la cantidad de sal en el tanque en el instante en que se llena.
Respuesta:
18. Cuando un rayo de luz pasa através de una sustancia transparente, el grado con que la intensidad, I(h), disminuye es
proporcional a la misma intensidad I(h) donde h representa el espesor del medio. En el agua de mar, la intensidad a 1.2
metros bajo la superficie es de 20 por ciento de la intesidad inicial Io del rayo incidente. Cuál es la intensidad del rayo de
luz a 2.2 metros respecto a Io ? Reporta tu respuesta entre 0 y 1.
Respuesta:
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 40
19. En un circuito serie RC con C =
1
200 H,
4
R = 600Ω, y

 3
E(t) =
−3

0
para
para
para
0≤t<4
4≤t<8
8≤t
donde E(t) está en voltios. Encuentre la carga en coulumbs en el condensador en el tiempo t = 12 segundos. Tome q(0) = 0.0 C
Respuesta:
20. Indique cuál de las opciones siguientes es la ecuación subsidiaria del problema con condiciones iniciales y(0) = 0 y y 0 (0) = 7
con ecuación:
21 y − 10 y 0 + y 00 = 7 e3 t
A
Y (s) =
−14+7 s
(−3+s) (21−10 s+s2 )
B
Y (s) =
14+7 s
21−10 s+s2
C
Y (s) =
−14+7 s
(−3+s) (21+10 s+s2 )
D
Y (s) =
14+7 s
(−3+s) (21−10 s+s2 )
21. El número de individuos infectados A(t) en un tiempo t debe crecer a una razón que es aproximadamente proporcional al
producto A(t)(N − A(t)) donde N es el tamaño de la población. Si el tamaño de la población es de 700 individuos y si
inicialmente existen 40 individuos infectados y al cabo de 1 meses existen 80 individuos infectados. Cuántos habrá infectados
al cabo de 2 meses?
Respuesta:
9
22. Se ha descubierto que un cubo de naftalina que tenı́a originalmente un lado de 13
8 de pulgada, tiene un lado de 16 de pulgada
al cabo de un mes. Suponiendo que se evapore a un ı́ndice proporcional a su superficie, determine el tiempo necesario en
meses para que el cubo desaparezca.
A
0.764706
B
1.52941
C
9.17647
D
4.58824
23. Una cadena de 4 pies de largo yace extendida en una mesa. La cadena pesa en total 14 pounds y se supone que su peso
está uniformemente distribuido. Un extremo de un pie de longitud de cadena cuelga de la mesa y estira toda la cadena hacia
abajo. Despreciando la fricción, indique cuánto tiempo tardará en caer de la mesa. Sugerencia. Elija como variable incógnita
la longitud de la cadena que está fuera de la mesa, y = y(t). Para construir la ED use la segunda ley de Newton. La fuerza
aplicada a la cadena es 27 y. La aceleración es y 00 . Tome como condiciones iniciales y(0) = 1 y y 0 (0) = 0.
Respuesta:
24. Seleccionar la opción que contiene la transformada de Laplace de
f (t) =
A
F (s) =
s
64+s2
B
F (s) =
1
2
+
s
81+s2
2
ln( 81+s
64+s2 )
cos(8 t) − cos(9 t)
t
s
64+s2
−
C
F (s) =
D
8+s
F (s) = ln( 9+s
)
s
81+s2
25. Cuál de las siguientes opciones representa la transformada de Laplace de la función: (Sugerencia: use las definiciones de
las funciones de las funciones hiperbólicas mediante exponenciales)
f (t) = t cosh(2 t)
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 40
A
F (s) =
4+s2
−4+s2
B
F (s) =
4s
(−4+s2 )2
C
F (s) = (4 + s2 )
D
F (s) =
−1
4+s2
(−4+s2 )2
5
Ecuaciones Diferenciales
Laboratorio Final
Maestro Eduardo Uresti, Verano 2010
Grupo:
Matrı́cula:
Nombre:
Tipo:41
1. Use la transformada de Laplace para resolver la ecuación diferencial
100 y + y 00 = f (t)
con condiciones iniciales y(0) = 6 y y 0 (0) = 0 y donde

 0
=
1

0
f (t)
1
50
si 0 ≤ t < π
si π ≤ t < 2π
si 2π ≤ t
A
y(t) = 6 cos(10 t) +
1
50
B
y(t) = 6 cos(10 t) +
1
100
(1 + cos(10 t)) Uπ (t) −
1
100
(1 + cos(10 t)) U2 π (t)
C
y(t) = 6 cos(10 t) +
1
100
(1 − cos(10 t)) Uπ (t) −
1
100
(1 − cos(10 t)) U2 π (t)
D
y(t) =
sen(10 t) +
1
100
(1 − cos(10 t)) Uπ (t) −
1
100
(1 − cos(10 t)) U2 π (t)
E
y(t) = 6 cos(10 t) +
1
100
(1 − cos(20 t)) Uπ (t) −
1
100
(1 − cos(20 t)) U2 π (t)
3
5
(1 − cos(10 t)) Uπ (t) −
(1 − cos(10 t)) U2 π (t)
2. Indique la opción que contiene la solución que satisface y(0) = 0 para la ecuación:
2 x + 3 y + (3 x + 2 y) y 0 = 0
A
x3 + x y + y 3 = 0
B
x2 + x y + y 2 = 0
C
x2 + 3 x y + y 2 = 0
D
x2 + 2 x y + y 2 = 0
E
x3 + 3 x y + y 3 = 0
F
x3 + 2 x y + y 3 = 0
G
x2 + y 2 = 0
H
x3 + y 3 = 0
3. Indique cuál de las opciones siguientes es la ecuación subsidiaria del problema con condiciones iniciales y(0) = 0 y y 0 (0) = 2
con ecuación:
6 y − 5 y 0 + y 00 = 2 e3 t
A
Y (s) =
4+2 s
6−5 s+s2
B
Y (s) =
−4+2 s
(−3+s) (6+5 s+s2 )
C
Y (s) =
−4+2 s
(−3+s) (6−5 s+s2 )
D
Y (s) =
4+2 s
(−3+s) (6−5 s+s2 )
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 41
2
4. El número de individuos infectados A(t) en un tiempo t debe crecer a una razón que es aproximadamente proporcional al
producto A(t)(N − A(t)) donde N es el tamaño de la población. Si el tamaño de la población es de 700 individuos y si
inicialmente existen 40 individuos infectados y al cabo de 1 meses existen 80 individuos infectados. Cuántos habrá infectados
al cabo de 2 meses?
Respuesta:
5. Una fragmento de la pata de la silla de la tumba Tutankhamón contenı́a el 67 por ciento del carbono 14 radiactivo que
contiene un fragmento del mismo tipo de madera en un árbol vivo. Estime la edad de la tumba en años, sabiendo que la
vida media del carbono 14 es de aproximadamente 5600 años.
Respuesta:
6. Una cadena de 7 pies de largo yace extendida en una mesa. La cadena pesa en total 14 pounds y se supone que su peso
está uniformemente distribuido. Un extremo de un pie de longitud de cadena cuelga de la mesa y estira toda la cadena hacia
abajo. Despreciando la fricción, indique cuánto tiempo tardará en caer de la mesa. Sugerencia. Elija como variable incógnita
la longitud de la cadena que está fuera de la mesa, y = y(t). Para construir la ED use la segunda ley de Newton. La fuerza
aplicada a la cadena es 2 y. La aceleración es y 00 . Tome como condiciones iniciales y(0) = 1 y y 0 (0) = 0.
Respuesta:
7. usando el caso I, Iindique la opción que contiene un paso intermedio en la solución a:
6
ln((y 0 ) ) y 00 = 5
1
(5 x+C1 ) 2
√
3
A
ln(z) =
B
6 z (−1 + ln(z)) = 5 x + C1
C
R
D
6 (−z + z ln(z)) = 5 y + C1
z ln(z) dz =
5
6
y
8. Determine los valores de A, B, C y D para que
y 00 + A y 0 + B y = C x + D
tenga como solución general:
y = 1 + x + C1 e4 x + C2 e5 x
Respuesta:
9. Un termómero se saca de una habitación donde la temperatura del aire es 64o F , al exterior en donde la temperatura del
aire es 15o F. Después de 41 partes de minuto el termómetro marca 50o F cuántos minutos tiempo demorará el termómetro
en alcanzar los 21o F?. Suponga que la rapidez con la que la temperatura T (t) cambia es proporcional a la diferencia entre
la temperatura del termómetro y la temperatura constante To del medio que lo rodea.
A
1.00792
B
1.56035
C
12.4828
D
8.06339
10. Cuando un rayo de luz pasa através de una sustancia transparente, el grado con que la intensidad, I(h), disminuye es
proporcional a la misma intensidad I(h) donde h representa el espesor del medio. En el agua de mar, la intensidad a 1.3
metros bajo la superficie es de 20 por ciento de la intesidad inicial Io del rayo incidente. A qué profundidad en metros la
intensidad es 30 por ciento de Io ?
Respuesta:
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 41
3
11. Un recipiente cilı́ndrico se está vaciando por un orificio en la parte inferior. Si inicialmente el lı́quido estaba a una profundidad
de 12 metros y al cabo de 2 horas tenı́a una profundidad de 6 metros. Cuánto tiempo tardará en vaciarse?
A
10.2426 horas
B
6.82843 horas
C
3. horas
D
2 horas adicionales
12. En un circuito serie RC con C =
3
100 H,
R = 100Ω, y

 2
E(t) =
−2

0
0≤t<4
4≤t<8
8≤t
para
para
para
donde E(t) está en voltios. Encuentre la carga en coulumbs en el condensador en el tiempo t = 12 segundos. Tome q(0) = 0.0 C
Respuesta:
13. Seleccionar la opción que contiene un paso intermedio para obtener la solución general de la ED:
y
cos(x)
+ y0 =
x
x
A
y=e
B
y=
R
1
x
R
C+
dx
C+
cos(x)
x
R
e
R
1
x
dx
cos(x) dx
dx
x
R
C+
C
y=
D
y=e
R
1
x
R 1
dx
x
e
cos(x)
R 1x
dx
e x
dx
C+
dx
cos(x)
R
e
R
1 dx
x
x
dx
14. Determine los valores de A, B, C y D para que la función
y = A + B eC x
2
+D x
sea la solución particular que cumple y(0) = 7 a la ecuación diferencial:
dy
= 24 − 6 x − 4 y + x y
dx
Respuesta:
15. Indique cuál de las siguientes opciones es la transformada de Laplace de
f (t) =
1
t sen(7 t)
14
A
F (s) =
s
(49+s2 )2
C
F (s) =
1
(49+s2 )2
B
F (s) =
1
(−49+s2 )2
D
F (s) =
s
(−49+s2 )2
16. Sabiendo que la solución a la correspondiente ecuación homogénea auxiliar es yh = c1 x + c2 e6 x determine una solución
particular a la ED:
36 y
36 x y 0
−
+
+ y 00 = 1 − 6 x
1 − 6x 1 − 6x
A
yp = 1 + 6 x − x2
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 41
B
yp = 36 + 6 x + x2
C
yp =
D
yp = 1 + 6 x + 36 x2
E
1
yp = − 36
−
F
yp = 1 − 6 x + x2
1
36
+
1
6
4
x + x2
1
6
x + x2
1
17. Se ha descubierto que un cubo de naftalina que tenı́a originalmente un lado de 11
10 de pulgada, tiene un lado de 18 de pulgada
al cabo de un mes. Suponiendo que se evapore a un ı́ndice proporcional a su superficie, determine el tiempo necesario en
meses para que el cubo desaparezca.
A
0.526596
B
3.15957
C
6.31915
D
1.05319
18. Un recipiente contiene 20 galones de una solución de sal a una concentración de 0.1 libras por galón. Un proceso se inicia
poniendo agua limpia en el recipiente a un ritmo de 4 galones por minuto. A la vez que se vierte agua, se extrae solución
del tanque a la misma velocidad. La solución extraı́da es entonces vertida en un nuevo recipiente que contiene 20 galones de
agua limpia. Del cual a su vez también serán extraı́dos 4 galones de solución por minuto. Cuál será la concentración máxima
que alcanzará la solución en el segundo tanque? (en libras por galón) Sugerencia. Primero determine la fórmula que da la
contidad de sal en el primer tanque en función de t. A partir de ella obtenga la fórmula que da la concentración de sal en el
primer tanque. De ella determine la fórmula de la velocidad de entrada de sal al segundo tanque en libras por minuto.
Respuesta:
19. Un cuerpo con peso de 5 libras cuelga de un resorte con constante 58 lb/ft. El medio donde se mueve el cuerpo ofrece una
fuerza de resistencia al movimiento que es numéricamente igual a su velocidad instantánea. Si el peso es liberado 56 pies
por encima de su posición de equilibrio con una velocidad hacia abajo de 9 pies por segundo. Determine la velocidad en el
momento en el cual pasa por la posición de equilibrio.
Respuesta:
20. Cuál de las siguientes opciones representa la transformada de Laplace de la función: (Sugerencia: use las definiciones de
las funciones de las funciones hiperbólicas mediante exponenciales)
f (t) = t cosh(9 t)
81+s2
−81+s2
A
F (s) =
B
F (s) = (81 + s2 )
C
F (s) =
18 s
(−81+s2 )2
D
F (s) =
81+s2
(−81+s2 )2
−1
21. Indique cuál de las siguientes opciones representa la transformada inversa de la función:
F (s) =
s
17 + 2 s + s2
A
f (t) = cos(4 t) − sen(4 t)
C
f (t) = (cos(4 t) −
B
f (t) = (cos(4 t) − sen(4 t)) e−t
D
f (t) = cos(4 t) −
1
4
1
4
sen(4 t)) e−t
sen(4 t)
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 41
5
22. Indicar la opción que contiene la solución a la ecuación diferencial:
y0 =
A
x2
y2
= C + 6 ln(x)
B
x2
y2
= C − 12 ln(x)
C
− xy2 = C + 6 ln(x)
D
y 2 = x2 (C − 12 ln(x))
E
1
− y2
= C − 6 ln(x)
x2 y + 6 y 3
x3
2
23. Encuentre la máxima carga en el capacitor en un circuito serie LRC cuando L = 5/3h, R = 10Ω, C = 1/30f , E(t) = 300V ,
q(0) = 0C, y i(0) = 0A.
Respuesta:
24. Un cultivo tiene inicialmente una cantidad N0 de bacterias. Para t = 4 hrs el número de bacterias estimado es 25 N0 . Si la
rapidez de multiplicación de las bacterias es proporcional al número de bacterias presente, determine el tiempo en horas
(expresado en decimales) para que el número de bacterias se triplique.
A
2.39796
B
4.79591
C
4.8
D
5.33333
25. En muchos estados de USA es ilegal manejar con un nivel de alcohol mayor que 0.10 por ciento (una parte de alcohol por 1000
partes de sangre). Suponga que alguien es detenido en alguno de esos estados y que se detecta que tiene un porcentaje de
alcohol en la sangre de 0.6 %. Si se asume que el porcentaje de alcohol en el torrente sanguı́neo decrece en forma proporcional
al porcentaje de alcohol, y que además la concentración de alcohol decrece 10 por ciento cada hora, determine cuánto tiempo
en horas debe pasar para que esa persona pueda conducir legalmente de nuevo. Nota: Los datos de este problema son
ficticios.
Respuesta:
Ecuaciones Diferenciales
Laboratorio Final
Maestro Eduardo Uresti, Verano 2010
Grupo:
Matrı́cula:
Nombre:
Tipo:42
1. Sabemos que un material radioactivo se desintegra proporcionalmente a la cantidad existente. En una prueba realizada con
60mg de ese material se observó que después de 19 años solamente permanecı́a el 90 por ciento de la sustancia. Indique la
opción que contiene la vida media de tal material.
A
tmedia = 62.4987años.
B
tmedia = 249.995años.
C
tmedia = 124.997años.
D
tmedia = 10.5556años.
2. Determine los valores de A, B, C y D para que la función
y = A + B eC x
2
+D x
sea la solución particular que cumple y(0) = 7 a la ecuación diferencial:
dy
= 18 − 6 x − 3 y + x y
dx
Respuesta:
3. Indique la opción que contiene la solución general a:
3 e(3+6 x) + 5 y dx + 8 e(7+5 y) + 5 x dy = 0
A
1
2
e(3+6 x) + 8 e(7+5 y) x y = C
B
1
2
e(3+6 x) +
8
5
e(7+5 y) + 5 x y = C
C
8
5
e(7+5 y) +
5
2
e(3+6 x) x y = C
D
1
2
e(3+6 x) +
8
5
e(7+5 y) + x + 5 y = C
4. Un tanque inicialmente tiene 180 galones de agua limpia, pero una solución de sal de concentración desconocida se vierte a
un ritmo de 6 galones por minuto. Si a la vez que se vierte se extrae solución a la misma velocidad y si al cabo de 20 minutos
la concentración en el tanque fue de 0.1 libras de sal por galón, determine la concentración de la solución vertida (en libras
por galón).
Respuesta:
5. Calcule el valor en x = 1 para la solución particular y(x) que cumple las condiciones iniciales y( 61 ) = 1 y y 0 ( 16 ) = 12 a la ED:
6 y0
y 00 = √
y
Respuesta:
6. Cuál de las siguientes opciones representa la transformada de Laplace de la función: (Sugerencia: use las definiciones de
las funciones de las funciones hiperbólicas mediante exponenciales)
f (t) = t cosh(3 t)
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 42
A
F (s) =
9+s2
(−9+s2 )2
B
F (s) =
9+s2
−9+s2
C
F (s) =
6s
(−9+s2 )2
D
F (s) = (9 + s2 )
2
−1
7. Encuentre la máxima carga en el capacitor en un circuito serie LRC cuando L = 5/3h, R = 10Ω, C = 1/30f , E(t) = 300V ,
q(0) = 0C, y i(0) = 0A.
Respuesta:
8. Se estima que la población de la tierra en el 1500 fue de 100 millones de personas. En 1990 la población mundial se estimó en
2600 millones. Asumiendo que la tasa de crecimiento es proporcional a la población en cada momento, estime el año en el
que la población sea de 2800 millones.
Respuesta:
9. Indique cuál de las opciones siguientes es la ecuación subsidiaria del problema con condición inicial y(0) = 8 y ED:
4 y + y 0 = t cos(3 t) + sen(3 t) e3 t
8+
A
Y (s) =
B
Y (s) =
C
Y (s) =
D
Y (s) =
6s
(9+s2 )2
+ 18−63s+s2
4+s
2
8+ 2 s2 2
(9+s )
−1
−3+s
+ 18−6
s+s2
−1
+ 18−63s+s2
−1
+ 18+63s+s2
−(9+s2 )
4+s
8+
2 s2
(9+s2 )2
−(9+s2 )
4+s
8+
2 s2
(9+s2 )2
−(9+s2 )
4+s
10. Indique cuál de las siguientes opciones es la transformada de Laplace de
f (t) =
1
t sen(8 t)
16
A
F (s) =
s
(64+s2 )2
C
F (s) =
s
(−64+s2 )2
B
F (s) =
1
(64+s2 )2
D
F (s) =
1
(−64+s2 )2
11. Cuando un rayo de luz pasa através de una sustancia transparente, el grado con que la intensidad, I(h), disminuye es
proporcional a la misma intensidad I(h) donde h representa el espesor del medio. En el agua de mar, la intensidad a 1.3
metros bajo la superficie es de 50 por ciento de la intesidad inicial Io del rayo incidente. A qué profundidad en metros la
intensidad es 60 por ciento de Io ?
Respuesta:
12. Determine A, B, C, D y E (B > D) para que
f (t) = A eB t + C eD t + E
sea la transformada inversa de la función:
F (s) =
−27 − 15 s
−9 s + s3
Respuesta:
13. Indique cuál de las opciones es la solución general a :
9 y + y 00 = 4 cos(7 x) + 3 sen(7 x)
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 42
3
A
y = C1 cos(3 x) + C2 sen(3 x) +
1
40
(−4 cos(7 x) + 3 sen(7 x))
B
y = C1 cos(3 x) + C2 sen(3 x) +
1
40
(−4 cos(7 x) − 3 sen(7 x))
C
y = C1 cos(3 x) + C2 sen(3 x) +
1
40
(4 cos(7 x) + 3 sen(7 x))
D
y = C1 cos(3 x) +
1
40
(−4 cos(3 x) − 3 sen(3 x)) + C2 sen(3 x)
14. Un cuerpo con peso de 3 libras cuelga de un resorte con constante 38 lb/ft. El medio donde se mueve el cuerpo ofrece una
fuerza de resistencia al movimiento que es numéricamente igual a su velocidad instantánea. Si el peso es liberado 12 pies
por encima de su posición de equilibrio con una velocidad hacia abajo de 21 pies por segundo. Determine la velocidad en el
momento en el cual pasa por la posición de equilibrio.
Respuesta:
15. Una cadena de 5 pies de largo yace extendida en una mesa. La cadena pesa en total 11 pounds y se supone que su peso
está uniformemente distribuido. Un extremo de un pie de longitud de cadena cuelga de la mesa y estira toda la cadena hacia
abajo. Despreciando la fricción, indique cuánto tiempo tardará en caer de la mesa. Sugerencia. Elija como variable incógnita
la longitud de la cadena que está fuera de la mesa, y = y(t). Para construir la ED use la segunda ley de Newton. La fuerza
00
0
aplicada a la cadena es 11
5 y. La aceleración es y . Tome como condiciones iniciales y(0) = 1 y y (0) = 0.
Respuesta:
5
3
16. Se ha descubierto que una bola de naftalina que tenı́a originalmente un radio de 16
de pulgada, tiene una radio de 10
de
pulgada al cabo de un mes. Suponiendo que se evapore a un ı́ndice proporcional a su superficie, determine el tiempo necesario
en meses para que la bola desaparezca.
A
50.
B
150.
C
75.
D
25.
17. Sabiendo que la solución a la correspondiente ecuación homogénea auxiliar es yh = c1 x + c2 e4 x determine una solución
particular a la ED:
16 x y 0
16 y
+
+ y 00 = 1 − 4 x
−
1 − 4x 1 − 4x
A
yp = 1 + 4 x − x2
B
yp = 1 + 4 x + 16 x2
C
yp =
D
1
yp = − 16
−
E
yp = 16 + 4 x + x2
F
yp = 1 − 4 x + x2
1
16
+
1
4
x + x2
1
4
x + x2
18. El número de individuos infectados A(t) en un tiempo t debe crecer a una razón que es aproximadamente proporcional al
producto A(t)(N − A(t)) donde N es el tamaño de la población. Si el tamaño de la población es de 700 individuos y si
inicialmente existen 50 individuos infectados y al cabo de 1 meses existen 100 individuos infectados. Cuántos habrá infectados
al cabo de 2 meses?
Respuesta:
19. Use la transformada de Laplace para resolver la ecuación diferencial
4 y + y 00 = f (t)
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 42
4
con condiciones iniciales y(0) = 7 y y 0 (0) = 0 y donde
f (t)

 0
=
1

0
si 0 ≤ t < π
si π ≤ t < 2π
si 2π ≤ t
1
4
(1 − cos(2 t)) Uπ (t) −
1
4
(1 − cos(2 t)) U2 π (t)
sen(2 t) +
1
4
(1 − cos(2 t)) Uπ (t) −
1
4
(1 − cos(2 t)) U2 π (t)
C
y(t) = 7 cos(2 t) +
1
4
(1 − cos(4 t)) Uπ (t) −
1
4
(1 − cos(4 t)) U2 π (t)
D
y(t) = 7 cos(2 t) +
1
2
(1 − cos(2 t)) Uπ (t) −
1
2
(1 − cos(2 t)) U2 π (t)
E
y(t) = 7 cos(2 t) +
1
4
(1 + cos(2 t)) Uπ (t) −
1
4
(1 + cos(2 t)) U2 π (t)
A
y(t) = 7 cos(2 t) +
B
y(t) =
7
2
20. Indicar la opción que contiene la solución a la ecuación diferencial:
y0 =
A
x
y
B
− u1 = C + 3 ln(x)
C
− xy = C + ln(3 x)
D
− y1 = C + 3 ln(x)
E
− xy = C + ln(x3 )
F
y
x
x y + 3 y2
x2
= C + 3 ln(x)
= C − 3 ln(x)
21. Un recipiente cilı́ndrico se está vaciando por un orificio en la parte inferior. Si inicialmente el lı́quido estaba a una profundidad
de 8 metros y al cabo de 2 horas se vacı́a. A qué horas pasó por la mitad de la profundidad?
Respuesta:
22. En un circuito serie RC con C =
1
400 H,
R = 400Ω, y

 3
E(t) =
−3

0
para
para
para
0≤t<6
6 ≤ t < 12
12 ≤ t
donde E(t) está en voltios. Encuentre la carga en coulumbs en el condensador en el tiempo t = 18 segundos. Tome q(0) = 0.0 C
Respuesta:
23. José Luis se va a someter a una cirugı́a por una lesión de futbol y debe ser anestesiado. El anestesiólogo sabe que para que
un paciente sea anestesiado, mediante Pentobarbital sódico, debe tener en su sangre dicha sustancia en una concentración
de al menos 50 miligramos por cada kilogramo de peso. Suponga que las sustancias quı́micas disminuyen su concentración
en la sangre en forma proporcional a la concentración de la sustancia y que en particular el Pentobarbital disminuye su
concentración a la mitad cada 10 horas. Si José Luis pesa 95 kilogramos y será anestesiado mediante una sola dósis, cuántos
miligramos de Pentobarbital se le deberá suministrar si se desea que el efecto dure 3 horas? Nota: Los datos del problema
son ficticios.
Respuesta:
24. Seleccionar la opción que contiene un paso intermedio para obtener la solución general de la ED:
y
cos(x)
+ y0 =
x
x
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 42
A
y=e
B
y=
R
1
x
R
C+
dx
C+
cos(x)
x
R
e
R
1
x
dx
cos(x) dx
5
dx
x
R
C+
C
y=
D
y=e
R
1
x
R 1
dx
x
e
cos(x)
R 1x
dx
e x
dx
C+
dx
cos(x)
R
e
R
1 dx
x
x
dx
25. En la investigación de un asesinato, un cuerpo sin vida fue encontrado por Gil Grissom exactamente a las 8:00 PM, estando
alerta, él midió la temperatura del cuerpo registrándola en los 31o C. Dos horas mas tarde, él anotó que la temperatura del
cuerpo era de 26o C. Sabiendo que la temperatura de la habitación fue de 22o C, determine la hora a la cual el asesinato
ocurrió. Considere que la temperatura corporal normal es de 37o C. Reporte la hora en decimales. Por ejemplo, 1 hora 30
nimutos en decimales quedarı́a 1.5 horas.
Respuesta:
Ecuaciones Diferenciales
Laboratorio Final
Maestro Eduardo Uresti, Verano 2010
Grupo:
Matrı́cula:
Nombre:
Tipo:43
1. Una fragmento de la pata de la silla de la tumba Tutankhamón contenı́a el 68 por ciento del carbono 14 radiactivo que
contiene un fragmento del mismo tipo de madera en un árbol vivo. Estime la edad de la tumba en años, sabiendo que la
vida media del carbono 14 es de aproximadamente 5600 años.
Respuesta:
2. Un cuerpo con peso de 4 libras cuelga de un resorte con constante 2 lb/ft. El medio donde se mueve el cuerpo ofrece una
fuerza de resistencia al movimiento que es numéricamente igual a su velocidad instantánea. Si el peso es liberado 23 pies
por encima de su posición de equilibrio con una velocidad hacia abajo de 12 pies por segundo. Determine la velocidad en el
momento en el cual pasa por la posición de equilibrio.
Respuesta:
3. Indique la opción que contiene la solución general a:
8 e(7+3 x) + 2 y dx + 6 e(7+8 y) + 2 x dy = 0
A
8
3
e(7+3 x) +
3
2
e(7+8 y) x y = C
B
8
3
e(7+3 x) +
3
4
e(7+8 y) + 2 x y = C
C
8
3
e(7+3 x) +
3
4
e(7+8 y) + x + 2 y = C
D
3
4
e(7+8 y) +
16
3
e(7+3 x) x y = C
4. En muchos estados de USA es ilegal manejar con un nivel de alcohol mayor que 0.10 por ciento (una parte de alcohol por 1000
partes de sangre). Suponga que alguien es detenido en alguno de esos estados y que se detecta que tiene un porcentaje de
alcohol en la sangre de 0.9 %. Si se asume que el porcentaje de alcohol en el torrente sanguı́neo decrece en forma proporcional
al porcentaje de alcohol, y que además la concentración de alcohol decrece 10 por ciento cada hora, determine cuánto tiempo
en horas debe pasar para que esa persona pueda conducir legalmente de nuevo. Nota: Los datos de este problema son
ficticios.
Respuesta:
5. Calcule el valor en x = 1 para la solución particular y(x) que cumple las condiciones iniciales y( 31 ) = 1 y y 0 ( 31 ) = 6 a la ED:
3 y0
y 00 = √
y
Respuesta:
6. En un circuito serie RC con C =
1
100 H,
R = 200Ω, y

 4
E(t) =
−4

0
para
para
para
0≤t<6
6 ≤ t < 12
12 ≤ t
donde E(t) está en voltios. Encuentre la carga en coulumbs en el condensador en el tiempo t = 18 segundos. Tome q(0) = 0.0 C
Respuesta:
7. Se sabe que la población de cierta comunidad aumenta, en un instante t cualquiera, con una rapidez proporcional al número
de personas presentes en dicho instante. Si la población se duplica en 6 años, cuántos años demorará en quintuplicarse?
A
15.
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 43
B
29.1176
C
13.9316
D
22.5
2
8. Indicar la opción que contiene la solución a la ecuación diferencial:
y0 =
A
− xy = C + ln(3 x)
B
− u1 = C + 3 ln(x)
C
x
y
= C + 3 ln(x)
D
y
x
= C − 3 ln(x)
E
− y1 = C + 3 ln(x)
F
− xy = C + ln(x3 )
x y + 3 y2
x2
9. Una cadena de 5 pies de largo yace extendida en una mesa. La cadena pesa en total 17 pounds y se supone que su peso
está uniformemente distribuido. Un extremo de un pie de longitud de cadena cuelga de la mesa y estira toda la cadena hacia
abajo. Despreciando la fricción, indique a qué velocidad cae cuando deja de estar en la mesa. Sugerencia. Elija como variable
incógnita la longitud de la cadena que está fuera de la mesa, y = y(t). Para construir la ED use la segunda ley de Newton.
00
La fuerza aplicada a la cadena es 17
5 y. La aceleración es y . Utiliza que la aceleración también puede ser expresada como
a = v dv/dy. de manera que quede una ecuación diferencial de primer orden en con variable dependiente v e independiente
y. Tome como condición inicial v(y = 1) = 0.
Respuesta:
10. Use la transformada de Laplace para resolver la ecuación diferencial
100 y + y 00 = f (t)
con condiciones iniciales y(0) = 6 y y 0 (0) = 0 y donde

 0
=
1

0
f (t)
A
y(t) = 6 cos(10 t) +
1
100
B
y(t) = 6 cos(10 t) +
1
50
C
y(t) =
sen(10 t) +
1
100
(1 − cos(10 t)) Uπ (t) −
1
100
(1 − cos(10 t)) U2 π (t)
D
y(t) = 6 cos(10 t) +
1
100
(1 − cos(20 t)) Uπ (t) −
1
100
(1 − cos(20 t)) U2 π (t)
E
y(t) = 6 cos(10 t) +
1
100
(1 + cos(10 t)) Uπ (t) −
1
100
(1 + cos(10 t)) U2 π (t)
3
5
(1 − cos(10 t)) Uπ (t) −
(1 − cos(10 t)) Uπ (t) −
1
100
si 0 ≤ t < π
si π ≤ t < 2π
si 2π ≤ t
1
50
(1 − cos(10 t)) U2 π (t)
(1 − cos(10 t)) U2 π (t)
11. Indique cuál de las opciones siguientes es la ecuación subsidiaria del problema con condiciones iniciales y(0) = 0 y y 0 (0) = 2
con ecuación:
12 y − 8 y 0 + y 00 = 2 e6 t
A
Y (s) =
−10+2 s
(−6+s) (12−8 s+s2 )
B
Y (s) =
10+2 s
12−8 s+s2
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 43
C
Y (s) =
10+2 s
(−6+s) (12−8 s+s2 )
D
Y (s) =
−10+2 s
(−6+s) (12+8 s+s2 )
3
12. Un recipiente cilı́ndrico se está vaciando por un orificio en la parte inferior. Si inicialmente el lı́quido estaba a una profundidad
de 4 metros y al cabo de 4 horas se vacı́a. A qué horas pasó por la mitad de la profundidad?
Respuesta:
13. Cuál de las siguientes opciones representa la transformada de Laplace de la función: (Sugerencia: use las definiciones de
las funciones de las funciones hiperbólicas mediante exponenciales)
f (t) = t cosh(7 t)
A
F (s) =
14 s
(−49+s2 )2
B
F (s) =
49+s2
−49+s2
C
F (s) = (49 + s2 )
D
F (s) =
−1
49+s2
(−49+s2 )2
14. En la investigación de un asesinato, un cuerpo sin vida fue encontrado por Gil Grissom exactamente a las 8:00 PM, estando
alerta, él midió la temperatura del cuerpo registrándola en los 30o C. Dos horas mas tarde, él anotó que la temperatura del
cuerpo era de 24o C. Sabiendo que la temperatura de la habitación fue de 17o C, determine la hora a la cual el asesinato
ocurrió. Considere que la temperatura corporal normal es de 37o C. Reporte la hora en decimales. Por ejemplo, 1 hora 30
nimutos en decimales quedarı́a 1.5 horas.
Respuesta:
15. Dado que y1 = e−6x y y2 = xe−6x son soluciones a la ED homogénea auxiliar asociada encuentre la solución general de
36 y + 12 y 0 + y 00 =
A
y = −x + C1 e−6 x + x C2 e−6 x + ln(x)
B
y = x + C1 e−6 x + x C2 e−6 x − ln(x)
C
y = −x e−6 x + C1 e−6 x + x C2 e−6 x + x ln(x) e−6 x
D
y = x e−6 x + C1 e−6 x + x C2 e−6 x − x ln(x) e−6 x
1 −6 x
e
x
16. El número de individuos infectados A(t) en un tiempo t debe crecer a una razón que es aproximadamente proporcional al
producto A(t)(N − A(t)) donde N es el tamaño de la población. Si el tamaño de la población es de 800 individuos y si
inicialmente existen 20 individuos infectados y al cabo de 1 meses existen 40 individuos infectados. Cuántos habrá infectados
al cabo de 2 meses?
Respuesta:
17. Un recipiente contiene 50 galones de agua limpia inicialmente. Una solución es vertida en el interior del recipiente a un ritmo
de 2 galones por minuto. Esta solución tiene una concentración de 0.4 libras de sal por galón. A la vez que se vierte se extrae
solución del tanque a la misma velocidad. La solución extraida es entonces vertida en un nuevo recipiente que contiene
50 galones de agua limpia. Del cual a su vez también serán extraı́dos 2 galones de solución por minuto. Cuáles será la
concentración de sal (en libras por galón) en el segundo tanque 50 minutos despuúes de iniciado el proceso? Sugerencia.
Primero determine la fórmula que da la contidad de sal en el primer tanque función de t. A partir de ella obtenga la fórmula
que da la concentración de sal en el primer tanque. De ella determine la fórmula que da cantidad de sal que el primer tanque
vierte al segundo tanque en libras por minuto.
Respuesta:
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 43
4
18. Encuentre la máxima carga en el capacitor en un circuito serie LRC cuando L = 5/3h, R = 10Ω, C = 1/30f , E(t) = 300V ,
q(0) = 0C, y i(0) = 0A.
Respuesta:
19. Determine los valores de A, B y C para que
y = (C1 + C2 x) eA x + B eC x
sea la solución general a :
36 y − 12 y 0 + y 00 = ex
Respuesta:
20. Seleccionar la opción que contiene la transformada de Laplace de
f (t) =
s
36+s2
A
F (s) =
+
B
6+s
F (s) = ln( 7+s
)
cos(6 t) − cos(7 t)
t
s
49+s2
C
F (s) =
1
2
D
F (s) =
s
36+s2
2
ln( 49+s
36+s2 )
−
s
49+s2
21. Determine los valores de A, B, C y D para que la función
y = A + B eC x
2
+D x
sea la solución particular que cumple y(0) = 4 a la ecuación diferencial:
dy
= 9 − 3x − 3y + xy
dx
Respuesta:
11
9
22. Se ha descubierto que una bola de naftalina que tenı́a originalmente un radio de 16
de pulgada, tiene una radio de 16
de
pulgada al cabo de un mes. Suponiendo que se evapore a un ı́ndice proporcional a su superficie, determine el tiempo necesario
en meses para que la bola desaparezca.
A
11.
B
33.
C
16.5
D
5.5
23. Cuando un rayo de luz pasa através de una sustancia transparente, el grado con que la intensidad, I(h), disminuye es
proporcional a la misma intensidad I(h) donde h representa el espesor del medio. En el agua de mar, la intensidad a 1.5
metros bajo la superficie es de 60 por ciento de la intesidad inicial Io del rayo incidente. Cuál es la intensidad del rayo de
luz a 2.5 metros respecto a Io ? Reporta tu respuesta entre 0 y 1.
Respuesta:
24. Determine A, B, C y D para que
f (t) = eA t (B cos(C t) + D sen(C t))
sea la transformada inversa de la función:
F (s) =
Respuesta:
s
37 + 2 s + s2
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 43
5
25. Seleccionar la opción que contiene un paso intermedio para obtener la solución general de la ED:
cos(x)
y
+ y0 =
x
x
A
y=e
R
1
x
R
C+
B
y=
C
y=e
D
y=
R
1
x
R
C+
dx
C+
cos(x)
R
e
R 1
dx
x
e
cos(x)
R 1x
dx
e x
dx
C+
cos(x)
x
x
dx
R
R
1 dx
x
x
dx
dx
e
R
1
x
dx
cos(x) dx
Ecuaciones Diferenciales
Laboratorio Final
Maestro Eduardo Uresti, Verano 2010
Grupo:
Matrı́cula:
Nombre:
Tipo:44
1. Indique cuál de las siguientes opciones es la transformada de Laplace de
f (t) =
1
t sen(3 t)
6
A
F (s) =
1
(−9+s2 )2
C
F (s) =
s
(−9+s2 )2
B
F (s) =
s
(9+s2 )2
D
F (s) =
1
(9+s2 )2
2. En un circuito serie RC con C =
1
160 H,
R = 400Ω, y

 4
E(t) =
−4

0
para
para
para
0≤t<5
5 ≤ t < 10
10 ≤ t
donde E(t) está en voltios. Encuentre la carga en coulumbs en el condensador en el tiempo t = 15 segundos. Tome q(0) = 0.0 C
Respuesta:
3. Determine el valor de y(1) siendo y(x) la función solución que satisface y(0) = 1 a la ecuación diferencial:
r
dy
x
= 3
dx
y
Respuesta:
4. Cuál de las siguientes opciones representa la transformada de Laplace de la función: (Sugerencia: use las definiciones de
las funciones de las funciones hiperbólicas mediante exponenciales)
f (t) = t cosh(7 t)
−1
A
F (s) = (49 + s2 )
B
F (s) =
14 s
(−49+s2 )2
C
F (s) =
49+s2
−49+s2
D
F (s) =
49+s2
(−49+s2 )2
5. Use la transformada de Laplace para resolver la ecuación diferencial
16 y + y 00 = f (t)
con condiciones iniciales y(0) = 6 y y 0 (0) = 0 y donde

 0
=
1

0
f (t)
A
y(t) = 6 cos(4 t) +
1
8
B
y(t) = 6 cos(4 t) +
1
16
(1 − cos(4 t)) Uπ (t) −
1
16
(1 − cos(4 t)) U2 π (t)
C
y(t) = 6 cos(4 t) +
1
16
(1 + cos(4 t)) Uπ (t) −
1
16
(1 + cos(4 t)) U2 π (t)
(1 − cos(4 t)) Uπ (t) −
1
8
si 0 ≤ t < π
si π ≤ t < 2π
si 2π ≤ t
(1 − cos(4 t)) U2 π (t)
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 44
D
y(t) = 6 cos(4 t) +
E
y(t) =
3
2
sen(4 t) +
2
1
16
(1 − cos(8 t)) Uπ (t) −
1
16
(1 − cos(8 t)) U2 π (t)
1
16
(1 − cos(4 t)) Uπ (t) −
1
16
(1 − cos(4 t)) U2 π (t)
6. José Luis se va a someter a una cirugı́a por una lesión de futbol y debe ser anestesiado. El anestesiólogo sabe que para que
un paciente sea anestesiado, mediante Pentobarbital sódico, debe tener en su sangre dicha sustancia en una concentración
de al menos 50 miligramos por cada kilogramo de peso. Suponga que las sustancias quı́micas disminuyen su concentración
en la sangre en forma proporcional a la concentración de la sustancia y que en particular el Pentobarbital disminuye su
concentración a la mitad cada 10 horas. Si José Luis pesa 90 kilogramos y será anestesiado mediante una sola dósis, cuántos
miligramos de Pentobarbital se le deberá suministrar si se desea que el efecto dure 3 horas? Nota: Los datos del problema
son ficticios.
Respuesta:
7
7. Se ha descubierto que un cubo de naftalina que tenı́a originalmente un lado de 11
8 de pulgada, tiene un lado de 6 de pulgada
al cabo de un mes. Suponiendo que se evapore a un ı́ndice proporcional a su superficie, determine el tiempo necesario en
meses para que el cubo desaparezca.
A
6.6
B
3.3
C
19.8
D
39.6
8. El número de individuos infectados A(t) en un tiempo t debe crecer a una razón que es aproximadamente proporcional al
producto A(t)(N − A(t)) donde N es el tamaño de la población. Si el tamaño de la población es de 400 individuos y si
inicialmente existen 20 individuos infectados y al cabo de 1 meses existen 40 individuos infectados. Cuántos habrá infectados
al cabo de 2 meses?
Respuesta:
9. En 1960 un artı́culo de New York Times anunció que Arqueólogos afirman que la civilización Sumeria ocupó el valle del
Tigris hace 5300 años . Asumiendo que los arqueólogos usaron la técnica del C-14. Determine el porcentaje del carbono
catorce encontrado en las muestras (con respecto al inicial). Use como dato que la vida media de C-14 es de 5600 años.
A
0.473214
B
0.709821
C
0.518915
D
0.389187
10. Una cadena de 5 pies de largo yace extendida en una mesa. La cadena pesa en total 19 pounds y se supone que su peso
está uniformemente distribuido. Un extremo de un pie de longitud de cadena cuelga de la mesa y estira toda la cadena hacia
abajo. Despreciando la fricción, indique a qué velocidad cae cuando deja de estar en la mesa. Sugerencia. Elija como variable
incógnita la longitud de la cadena que está fuera de la mesa, y = y(t). Para construir la ED use la segunda ley de Newton.
00
La fuerza aplicada a la cadena es 19
5 y. La aceleración es y . Utiliza que la aceleración también puede ser expresada como
a = v dv/dy. de manera que quede una ecuación diferencial de primer orden en con variable dependiente v e independiente
y. Tome como condición inicial v(y = 1) = 0.
Respuesta:
11. Indique la opción que contiene la solución general a:
3 e(9+9 x) + 6 y dx + 3 e(6+8 y) + 6 x dy = 0
A
3
8
e(6+8 y) + 2 e(9+9 x) x y = C
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 44
B
1
3
e(9+9 x) +
3
8
e(6+8 y) + 6 x y = C
C
1
3
e(9+9 x) +
9
4
e(6+8 y) x y = C
D
1
3
e(9+9 x) +
3
8
e(6+8 y) + x + 6 y = C
3
12. usando el caso I, Iindique la opción que contiene un paso intermedio en la solución a:
5
ln((y 0 ) ) y 00 = 6
6
5
A
R
B
5 z (−1 + ln(z)) = 6 x + C1
C
5 (−z + z ln(z)) = 6 y + C1
D
ln(z) = ( 25 ) 2 (6 x + C1 ) 2
z ln(z) dz =
y
1
1
13. Cuando un rayo de luz pasa através de una sustancia transparente, el grado con que la intensidad, I(h), disminuye es
proporcional a la misma intensidad I(h) donde h representa el espesor del medio. En el agua de mar, la intensidad a 1.2
metros bajo la superficie es de 30 por ciento de la intesidad inicial Io del rayo incidente. A qué profundidad en metros la
intensidad es 40 por ciento de Io ?
Respuesta:
14. Determine A, B, C y D para que
f (t) = eA t (B cos(C t) + D sen(C t))
sea la transformada inversa de la función:
F (s) =
s
26 + 2 s + s2
Respuesta:
15. Indicar la opción que contiene la solución a la ecuación diferencial:
y0 =
A
− xy = C + ln(4 x)
B
− y1 = C + 4 ln(x)
C
− u1 = C + 4 ln(x)
D
y
x
E
− xy = C + ln(x4 )
F
x
y
x y + 4 y2
x2
= C − 4 ln(x)
= C + 4 ln(x)
16. Cuál de las siguientes opciones contiene la solución general a:
7
3 x y + 64 + x2 y 0 = 7 x (64 + x2 )
3
A
y = C (64 + x2 ) 2 −
B
y = C (64 + x2 ) 2 +
C
y=
D
7
y = − 17
(64 + x2 )
3
C
3
(64+x2 ) 2
+
7
17
10
7
17
(64 + x2 )
7
17
(64 + x2 )
(64 + x2 )
−7
10
7
3
+ C (64 + x2 ) 2
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 44
4
17. Al sacar un pastel del horno su temperatura es 305o F, 2 minutos después su temperatura es de 192o F. Si la rapidez con
que la temperatura T (t) cambia es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y la temperatura constante
To = 67o F del medio que lo rodea, cuántos minutos demorará el pastel en enfriarse hasta una temperatura de 96o F?
A
3.69912
B
7.39823
C
6.53763
D
1.39481
18. Un recipiente contiene 50 galones de agua limpia inicialmente. Una solución es vertida en el interior del recipiente a un ritmo
de 3 galones por minuto. Esta solución tiene una concentración de 0.4 libras de sal por galón. A la vez que se vierte se extrae
solución del tanque a la misma velocidad. La solución extraida es entonces vertida en un nuevo recipiente que contiene
50 galones de agua limpia. Del cual a su vez también serán extraı́dos 3 galones de solución por minuto. Cuáles será la
concentración de sal (en libras por galón) en el segundo tanque 20 minutos despuúes de iniciado el proceso? Sugerencia.
Primero determine la fórmula que da la contidad de sal en el primer tanque función de t. A partir de ella obtenga la fórmula
que da la concentración de sal en el primer tanque. De ella determine la fórmula que da cantidad de sal que el primer tanque
vierte al segundo tanque en libras por minuto.
Respuesta:
19. Un recipiente cilı́ndrico se está vaciando por un orificio en la parte inferior. Si inicialmente el lı́quido estaba a una profundidad
de 8 metros y al cabo de 6 horas se vacı́a. A qué horas pasó por la mitad de la profundidad?
Respuesta:
20. Indique cuál de las opciones siguientes es la ecuación subsidiaria del problema con condiciones iniciales y(0) = 0 y y 0 (0) = 8
con ecuación:
56 y − 15 y 0 + y 00 = 8 e7 t
A
Y (s) =
−48+8 s
(−7+s) (56−15 s+s2 )
B
Y (s) =
48+8 s
56−15 s+s2
C
Y (s) =
48+8 s
(−7+s) (56−15 s+s2 )
D
Y (s) =
−48+8 s
(−7+s) (56+15 s+s2 )
21. La cantidad de canguros en cierta zona de Australia crece con una rapidez proporcional a la raı́z cuadrada de la cantidad de
canguros en cada momento. Si inicialmente se cuentan 400 canguros y al cabo de un año son 1200 . Cuántos habrá al cabo
de 2 años?
A
2107.34
B
2400
C
2428.72
D
3600
22. Dado que y1 = e−2x y y2 = xe−2x son soluciones a la ED homogénea auxiliar asociada encuentre la solución general de
4 y + 4 y 0 + y 00 =
A
y = x e−2 x + C1 e−2 x + x C2 e−2 x − x ln(x) e−2 x
B
y = x + C1 e−2 x + x C2 e−2 x − ln(x)
1 −2 x
e
x
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 44
C
y = −x + C1 e−2 x + x C2 e−2 x + ln(x)
D
y = −x e−2 x + C1 e−2 x + x C2 e−2 x + x ln(x) e−2 x
5
23. Encuentre la máxima carga en el capacitor en un circuito serie LRC cuando L = 5/3h, R = 10Ω, C = 1/30f , E(t) = 300V ,
q(0) = 0C, y i(0) = 0A.
Respuesta:
24. Un cuerpo con peso de 7 libras cuelga de un resorte con constante 78 lb/ft. El medio donde se mueve el cuerpo ofrece una
fuerza de resistencia al movimiento que es numéricamente igual a su velocidad instantánea. Si el peso es liberado 76 pies
por encima de su posición de equilibrio con una velocidad hacia abajo de 18 pies por segundo. Determine la velocidad en el
momento en el cual pasa por la posición de equilibrio.
Respuesta:
25. Indique cuál de las opciones es la solución general a :
81 y + y 00 = 4 cos(5 x) + 8 sen(5 x)
A
y = C1 cos(9 x) +
1
56
(4 cos(5 x) + 8 sen(5 x)) + C2 sen(9 x)
B
y = C1 cos(9 x) +
1
56
(−4 cos(5 x) − 8 sen(5 x)) + C2 sen(9 x)
C
y = C1 cos(9 x) + C2 sen(9 x) +
D
y = C1 cos(9 x) +
1
56
1
56
(4 cos(9 x) + 8 sen(9 x))
(4 cos(5 x) − 8 sen(5 x)) + C2 sen(9 x)
Ecuaciones Diferenciales
Laboratorio Final
Maestro Eduardo Uresti, Verano 2010
Grupo:
Matrı́cula:
Nombre:
Tipo:45
1. Cuál de las siguientes opciones contiene la solución general a:
6
6 x y + 9 + x2 y 0 = 5 x (9 + x2 )
3
A
y = C (9 + x2 ) +
B
y=
C
5
(9 + x2 )
y = − 18
D
y = C (9 + x2 ) −
C
(9+x2 )3
+
5
18
(9 + x2 )
12
6
5
18
(9 + x2 )
−6
3
3
+ C (9 + x2 )
5
18
(9 + x2 )
12
2. Un termómero se saca de una habitación, en donde la temperatura del aire es de 61o F, al exterior en donde la temperatura
es 9o F. Después de 14 segundos, el termómetro marca 48o F. Cuánto marca el termómetro 30 segundos de haber salido?
Suponga que la rapidez con la que la temperatura T (t) cambia es proporcional a la diferencia entre la temperatura del
termómetro y la temperatura constante To del medio que lo rodea.
Respuesta:
1
3. Se ha descubierto que una bola de naftalina que tenı́a originalmente un radio de 43 de pulgada, tiene una radio de 16
de
pulgada al cabo de un mes. Suponiendo que se evapore a un ı́ndice proporcional a su superficie, determine el tiempo necesario
en meses para que la bola desaparezca.
A
2.18182
B
1.09091
C
3.27273
D
6.54545
4. Indique cuál de las opciones es la solución general a :
16 y + y 00 = 2 cos(5 x) + 8 sen(5 x)
1
9
A
y = C1 cos(4 x) + C2 sen(4 x) +
B
y = C1 cos(4 x) +
C
y = C1 cos(4 x) + C2 sen(4 x) +
1
9
(−2 cos(5 x) − 8 sen(5 x))
D
y = C1 cos(4 x) + C2 sen(4 x) +
1
9
(−2 cos(5 x) + 8 sen(5 x))
1
9
(2 cos(5 x) + 8 sen(5 x))
(−2 cos(4 x) − 8 sen(4 x)) + C2 sen(4 x)
5. Un cultivo tiene inicialmente una cantidad N0 de bacterias. Para t = 1 hr el número de bacterias estimado es 11
9 N0 . Si la
rapidez de multiplicación de las bacterias es proporcional al número de bacterias presente, determine el tiempo en horas
(expresado en decimales) para que el número de bacterias se sextuplique.
A
4.46443
B
8.92885
C
4.90909
D
22.5
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 45
2
6. Cuando un rayo de luz pasa através de una sustancia transparente, el grado con que la intensidad, I(h), disminuye es
proporcional a la misma intensidad I(h) donde h representa el espesor del medio. En el agua de mar, la intensidad a 1.9
metros bajo la superficie es de 60 por ciento de la intesidad inicial Io del rayo incidente. Cuál es la intensidad del rayo de
luz a 2.9 metros respecto a Io ? Reporta tu respuesta entre 0 y 1.
Respuesta:
7. Determine el valor de y(1) siendo y(x) la función solución que satisface y(0) = 1 a la ecuación diferencial:
r
dy
x
= 5
dx
y
Respuesta:
8. Encuentre la máxima carga en el capacitor en un circuito serie LRC cuando L = 5/3h, R = 10Ω, C = 1/30f , E(t) = 300V ,
q(0) = 0C, y i(0) = 0A.
Respuesta:
9. Indique cuál de las opciones siguientes es la ecuación subsidiaria del problema con condición inicial y(0) = 4 y ED:
5 y + y 0 = t cos(6 t) + sen(6 t) e8 t
4+
A
Y (s) =
B
Y (s) =
C
Y (s) =
D
Y (s) =
2 s2
(36+s2 )2
−(36+s2 )
−1
6
+ 100−16
s+s2
−1
−8+s
+ 100−16
s+s2
5+s
4+
2 s2
(36+s2 )2
−(36+s2 )
5+s
4+
12 s
(36+s2 )2
6
+ 100−16
s+s2
5+s
4+
2 s2
(36+s2 )2
−(36+s2 )
−1
6
+ 100+16
s+s2
5+s
10. El número de individuos infectados A(t) en un tiempo t debe crecer a una razón que es aproximadamente proporcional al
producto A(t)(N − A(t)) donde N es el tamaño de la población. Si el tamaño de la población es de 500 individuos y si
inicialmente existen 20 individuos infectados y al cabo de 1 meses existen 40 individuos infectados. Cuántos habrá infectados
al cabo de 2 meses?
Respuesta:
11. Indique la opción que contiene la solución que satisface y(0) = 0 para la ecuación:
2 x + 3 y + (3 x + 2 y) y 0 = 0
A
x2 + 2 x y + y 2 = 0
B
x3 + y 3 = 0
C
x2 + y 2 = 0
D
x3 + 2 x y + y 3 = 0
E
x3 + 3 x y + y 3 = 0
F
x3 + x y + y 3 = 0
G
x2 + 3 x y + y 2 = 0
H
x2 + x y + y 2 = 0
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 45
3
12. Una cadena de 8 pies de largo yace extendida en una mesa. La cadena pesa en total 19 pounds y se supone que su peso
está uniformemente distribuido. Un extremo de un pie de longitud de cadena cuelga de la mesa y estira toda la cadena hacia
abajo. Despreciando la fricción, indique a qué velocidad cae cuando deja de estar en la mesa. Sugerencia. Elija como variable
incógnita la longitud de la cadena que está fuera de la mesa, y = y(t). Para construir la ED use la segunda ley de Newton.
00
La fuerza aplicada a la cadena es 19
8 y. La aceleración es y . Utiliza que la aceleración también puede ser expresada como
a = v dv/dy. de manera que quede una ecuación diferencial de primer orden en con variable dependiente v e independiente
y. Tome como condición inicial v(y = 1) = 0.
Respuesta:
13. Calcule el valor en x = 1 para la solución particular y(x) que cumple las condiciones iniciales y( 12 ) = 1 y y 0 ( 21 ) = 4 a la ED:
2 y0
y 00 = √
y
Respuesta:
14. En un circuito serie RC con C =
1
120 H,
R = 300Ω, y

 2
E(t) =
−2

0
para
para
para
0≤t<4
4≤t<8
8≤t
donde E(t) está en voltios. Encuentre la carga en coulumbs en el condensador en el tiempo t = 12 segundos. Tome q(0) = 0.0 C
Respuesta:
15. Use la transformada de Laplace para resolver la ecuación diferencial
36 y + y 00 = f (t)
con condiciones iniciales y(0) = 3 y y 0 (0) = 0 y donde

 0
=
1

0
f (t)
si 0 ≤ t < π
si π ≤ t < 2π
si 2π ≤ t
A
y(t) = 3 cos(6 t) +
1
36
(1 + cos(6 t)) Uπ (t) −
1
36
(1 + cos(6 t)) U2 π (t)
B
y(t) = 3 cos(6 t) +
1
36
(1 − cos(6 t)) Uπ (t) −
1
36
(1 − cos(6 t)) U2 π (t)
C
y(t) =
sen(6 t) +
1
36
(1 − cos(6 t)) Uπ (t) −
1
36
(1 − cos(6 t)) U2 π (t)
D
y(t) = 3 cos(6 t) +
1
18
(1 − cos(6 t)) Uπ (t) −
1
18
(1 − cos(6 t)) U2 π (t)
E
y(t) = 3 cos(6 t) +
1
36
(1 − cos(12 t)) Uπ (t) −
1
2
1
36
(1 − cos(12 t)) U2 π (t)
16. Un recipiente contiene 100 galones de una solución de sal a una concentración de 0.08 libras por galón. Un proceso se inicia
poniendo agua limpia en el recipiente a un ritmo de 6 galones por minuto. A la vez que se vierte agua, se extrae solución del
tanque a la misma velocidad. La solución extraı́da es entonces vertida en un nuevo recipiente que contiene 100 galones de
agua limpia. Del cual a su vez también serán extraı́dos 6 galones de solución por minuto. Cuál será la concentración máxima
que alcanzará la solución en el segundo tanque? (en libras por galón) Sugerencia. Primero determine la fórmula que da la
contidad de sal en el primer tanque en función de t. A partir de ella obtenga la fórmula que da la concentración de sal en el
primer tanque. De ella determine la fórmula de la velocidad de entrada de sal al segundo tanque en libras por minuto.
Respuesta:
17. Una rama de ciprés que se encontró en la tumba de un Faraón Egipcio contenı́a el 63 por ciento del carbono 14 radiactivo
que contiene una rama de ciprés vivo. Estime la edad de la tumba en años, sabiendo que la vida media del carbono 14 es de
aproximadamente 5600 años.
Respuesta:
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 45
4
18. Un cuerpo con peso de 8 libras cuelga de un resorte con constante 1 lb/ft. El medio donde se mueve el cuerpo ofrece una
fuerza de resistencia al movimiento que es numéricamente igual a su velocidad instantánea. Si el peso es liberado 43 pies
por encima de su posición de equilibrio con una velocidad hacia abajo de 6 pies por segundo. Determine la velocidad en el
momento en el cual pasa por la posición de equilibrio.
Respuesta:
19. Indicar la opción que contiene la solución a la ecuación diferencial:
y0 =
A
y 2 = x2 (C − 4 ln(x))
B
x2
y2
= C − 4 ln(x)
C
x2
y2
= C + 2 ln(x)
D
1
= C − 2 ln(x)
− y2
E
− xy2 = C + 2 ln(x)
x2 y + 2 y 3
x3
2
20. Un recipiente cilı́ndrico se está vaciando por un orificio en la parte inferior. Si inicialmente el lı́quido estaba a una profundidad
de 12 metros y al cabo de 2 horas se vacı́a. A qué horas pasó por la mitad de la profundidad?
Respuesta:
21. Cuál de las siguientes opciones representa la transformada de Laplace de la función: (Sugerencia: use las definiciones de
las funciones de las funciones hiperbólicas mediante exponenciales)
f (t) = t cosh(6 t)
A
F (s) =
36+s2
−36+s2
B
F (s) =
12 s
(−36+s2 )2
C
F (s) = (36 + s2 )
D
F (s) =
−1
36+s2
(−36+s2 )2
22. Seleccionar la opción que contiene la transformada de Laplace de
f (t) =
A
s
F (s) = − 9+s
2 +
B
F (s) =
s
9+s2
+
− cos(3 t) + cos(4 t)
t
s
16+s2
s
16+s2
C
4+s
F (s) = ln( 3+s
)
D
F (s) =
1
2
2
9+s
ln( 16+s
2)
23. Indique cuál de las siguientes opciones representa la transformada inversa de la función:
F (s) =
A
f (t) = (cos(6 t) − sen(6 t)) e−t
B
f (t) = cos(6 t) −
1
6
sen(6 t)
s
37 + 2 s + s2
1
6
sen(6 t)) e−t
C
f (t) = (cos(6 t) −
D
f (t) = cos(6 t) − sen(6 t)
24. En muchos estados de USA es ilegal manejar con un nivel de alcohol mayor que 0.10 por ciento (una parte de alcohol por 1000
partes de sangre). Suponga que alguien es detenido en alguno de esos estados y que se detecta que tiene un porcentaje de
alcohol en la sangre de 0.9 %. Si se asume que el porcentaje de alcohol en el torrente sanguı́neo decrece en forma proporcional
Ecuaciones Diferenciales, Laboratorio Final, Tipo: 45
5
al porcentaje de alcohol, y que además la concentración de alcohol decrece 10 por ciento cada hora, determine cuánto tiempo
en horas debe pasar para que esa persona pueda conducir legalmente de nuevo. Nota: Los datos de este problema son
ficticios.
Respuesta:
25. Sabiendo que la solución a la correspondiente ecuación homogénea auxiliar es yh = c1 + c2 sec (6 x) determine una solución
particular por el método de variación de parámetros a la ED:
−6 (csc(6 x) sec(6 x) + tan(6 x)) y 0 + y 00 = tan(6 x)
A
yp = − 16 x +
1
6
B
yp = − 16 x +
1
36
C
yp = x + tan(6 x)
D
yp =
1
6
x+
1
36
E
yp =
1
6
x+
1
6
F
yp = − 16 x −
tan(6 x)
tan(6 x)
tan(6 x)
tan(6 x)
1
6
tan(6 x)