Dadas las matrices: Hallar

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MATRICES Y DETERMINANTES
1.- Dadas las matrices:
 1 -1 0 
 2 -1 1 
 2 -1 






2
1
1


A =  3 0 - 1  B =  0 3 - 1  C = 
 D =  0 1 






 3 1 1
1
3
2
1
2
0
1
1






Hallar: a) A-1; b) B-1; c) A.B; d) B.A; e) 3A+2B; f) C.A; g) C.B; h) C.D; i) A2; j) B2; k) 3A +
A ; l) B2-A.B
2
Soluciones:
 - 3/2 1 - 1/2 
 1/3 1/3 - 1/3 
 2 -4 2





-1
-1
=

5/2
1
1/2

=

1/6
1/6
1/3

A.B
=
 7 -5 3
A
B





1
 - 9/2 2 - 3/2 
 1/2 - 1/2
 4 4 -2
 0 1 -1

B.A =  8 - 3 - 1

 5 1 -2

 7 -5 2


 3A + 2B =  9 6 - 5



 1 13 - 6
 5 -1 1 
 3 -2
C.B = 
 C.D = 
5 2 2
 7 -1


4
 C.A= 

7

1

0 -3 
-5
 -2 -1 1 
 3 -3 3 



 2 
2
 A =  2 - 6 2  B =  1 7 - 3 





2
7
3
 8 -7 1 


1
 1 -4
 1 1 1




3A + A2 =  11 - 6 - 1  B2 - A.B =  - 6 12 - 6 




3 - 1 
 -6
 11 2 - 5 
2.- Dadas las matrices A y B. Calcula A+B, A-B, A2, B2, AB, BA
 1 0 1


A =  2 1 1


 1 1 0
Solución:





2 1 2


B =  1 0 1


 0 2 1
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3 1 3 
 2 1 1
- 1 - 1 - 1
5 6 7








A+ B =  3 1 2  A2 =  5 2 3  A - B =  1 1 0  B 2 =  2 3 3 








1
3
1
3
1
2
1
1
1
2
2
3








 2 3 3


A.B =  5 4 6 


3
1
3


3.- Halla AX = B donde:
 1 1
A = 

 0 1
 1 1 0
B = 

 - 1 0 1
 2 1 - 1
Sol : 

 - 1 0 1
1
4.- Demostrar que A satisface la relación de recurrencia An = 2n-1 A. A = 
1
5.- Halla el determinante de A y su inversa:
1/4
0
 1 -1 0 1 




 2 1 -1 2 
 - 19/32 1/4
A= 
A = - 32
A- 1 = 

 0 1 2 1
 7/32 - 1/4



 3 1 0 -1 
 5/32 1/4
1

1
1/4 

1/8 1/32 

3/8 3/32 

1/8 - 7/32 
0
6.- Aplicando la función de la matriz inversa. Calcula la inversa de la matriz A. Comprueba
el resultado.
 0 0 2
 3 1 - 2




A=  - 1 2 0 
Sol : A-1 =  3/2 1 - 1 




 - 1 1 3
 1/2 0 0 
7.- Dadas las matrices siguientes. Calcula la potencia enésima.





1 0 0
1 0 0




A=  1 1 0 
Sol : An = 
n 1 0




 2

0 1 1
 n - n n 1 
 2






1 0 0
1 0 0




B= 1 1 0 
Sol : B n = 
n 1 0




 2

1 1 1
 n + n + 1 n 1 

2

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 1 n n2 - n 


2 



Sol : C n =  0 1
n
0 0
1




 1 0 0


Sol : Dn =  0 1 0 


n 0 1
 2 n -1 0 2 n -1 


Sol : E n =  0 1
0


 2 n -1 0 2 n -1 


 1 1 0


C= 0 1 1 


 0 0 1
1 0 0


D=  0 1 0 


 1 0 1
 1 0 1


E= 0 1 0 


 1 0 1
0 0 1


F = 0 1 0 


 1 0 0
n par F n = I
Sol : 
n impar F n = F
8.- Calcula los siguientes determinantes de orden 3:
1 1 -2
2 0 1
1 0 -1
2 1
-1
1 3
1
1 1 -1
1 2
2
2
1
3
1 = 0 b) 2
Sol: -9; 7; -4
1 -3
9.- Hallar la solución de la ecuación:
1 1 1
1 2 4
a) 1 x
1
1 1 -1
x 8 = 0 c) 2
3 6 x
1 1 x2
Sol: a) x=-1; x=1; b) x=4; x=12; c) x=2
3
1
3 =0
x
2
10.- Resolver aplicando las propiedades de los determinantes:
a b c
a
b c
a b c
a) a
x c = 0 b) 2a
x 2c = 0 c) 2a
x 2c = 0
2
a b x
x -b -c
a ab x
Sol: x = b; x = c; b) x = b/2; x = ac; c) x = -a; x = 2b; d) x=a; x=-c
a
b
d) - a - b
x
b
c
x =0
c
11.- Según el valor del determinante A calcular razonadamente el valor del determinante B:
a b c
2a 2c 2b
A= x
y
z
α β γ
B = 2α 2γ
2β
2x
2y
2z
12.- Demostrar que el determinante vale 0
Sol: B = 8A
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1 a
b +c
1 b
a +c = 0
1 c a+ b
13.- Calcular:
1 -1 2 0
1 -1
1
0 -1
2
-1
2 0
1
2
1
3 -1
-1
1 0
2
1 1
0
2
1
1
0
-1
2
0 -2
1
1
2
2 -2
1
0
1
2
0
1 -1 2 - 2
-1
Sol: 21; -5; -14
14.- Sin desarrollar demostrar la identidad:
1 a 2 a3
bc a a2
1 b 2 b3 = ca b
b2
1 c2
c2
c3
ab
c
15.- Resolver las ecuaciones: a) A.X = B; b) A + X = B; c) A-1.X = B; d) 2A-X = 3B,
siendo
 2 1 -1 
 1 -1 0 




A=  0 1 1  B =  0 1 1 




1
2
1
 1 0 -2 


0
4
2


 -1 - 2 1



Sol : a) X =  1/2 4 5/2  ; b) X =  0 0 0



1/2
3
3/2
 0 2 3


 1 -3 0 
 1 5 -2 




c) X =  1 3 2  ; d) X =  0 - 1 - 1 




1
5
2
1
6
7









16.- Hallar A-1 y B-1 de las matrices del ejercicio anterior:
1
-1 -1 

 1/2 - 1/2 1/2



Sol : A- 1 =  - 1/2 3/2 1  B-1 =  - 1/2 - 1/2 1/2



 1/2 - 1/2 - 1 
 1/2 3/2 - 1/2
17.- Calcular por determinantes A-1.
 1 -1 0
 3/5 1/5 2/5 




A=  2 1 2 
Sol : A-1 =  - 2/5 1/5 2/5 




 0 1 - 1
 - 2/5 1/5 - 3/5 
18.- Calcular el rango de M según los valores de t:





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 1 -1 2 1 
 1 2 -1 2 




a) M =  2 1 - 1 0  b) M =  2 4 - 2 t 




t t 
3 0
 3 6 -3 6 
Sol: a) t=1 r(M)=2; t…1 r(M)=3;
b) t=4 r(M)=1; t…4 r(M)=2
19.- Calcular a para que M tenga inversa:
0 1 5
3 1 0
 0 1 -1 






M =  4 a 1  ; b)  1 0 - 1  ; c)  2 - 1 3 






2 1 3
 1 a 2
a 2 1
Sol: a) a…1; b) a…1; c) a…3
 1 0 -1 
2 1 0
 1 -1 0 






20.- Dadas las matrices: A =  1 2
1  B =  0 -1 1  C =  2 1 3 






 0 1 -2 
 1 1 1
 0 1 -1 
resolver las ecuaciones: a) AX+B=C; b) AX+BX=C; c) AX+2X=B; d) AXB=C
 - 1/6 - 4/3 1 
 7/13 - 7/13 6/13 




Sol : a) X =  2/3 4/3 0  ; b) X =  1/13 12/13 - 1/13 




2/3 1 
 5/6
 9/13 4/13 17/13 
 - 1/2 - 1 - 3/4 
 5/6 4/3 - 1/2 




c) X = 
1
1
1  ; d) X =  - 1/3 - 1/3
1




7/2
4
9/4
1/6
1/3
1/2




21.- Calcula
a2
ab ab
ab
a
ab
b2
b2
ab ab a 2
2
b2
b
2
ab
a2
ab
Sol: (a+b)4 . (a-b)4
22.- Demostrar que:
1 sen a
cos a
1 sen b
cos b = sen (b - c) + sen (c - a) + sen (a - c)
1
23.- Calcular
sen c cos c
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1 −1
3
-1
2
−1
1
3 −2
−1
1
1
= 50
1 − 2 −1
1
1 -1
2
−1
1 −1 − 1 −1
0
1
0
0
0 −1
−1 0
0
1
−2 1
−3 3
−1
2
−1
1
−1
−1
−2
−1
0
−1
0
1
−1
3 5
1
−1
2
0
1
1
2
1
3
−1
−2
−3
−2
−1
1
1
−2
2
2
1
−3
2
−1
3
2
2
0
1
3
0
1
−3 1 −1
−2 1
1
= 27
−2 −3 3
−1 − 1 2
−1 1 − 2 2
0
−1 1
0
0
0
3
1
2 − 1 − 2 = 24
3 −3 1
1 −2
0 − 2 2 −1 1
0 −1
3 −1 1 −1
−1 0
2 − 2 0 −1
2 −1 = 8
= −31
1 −2 2
0
−3 3
0 1 −4 2
−2 1
0
−1 2 − 2 1
1
−1 2 − 2 3
= −27
= 28
−2
−3 0 −1 1
1
−1 0 2 − 2
2
−1 1 1
2
−1
− 3 3 1 −1
= 39
= 26
1
0 2 −2 3
1
−1 1 2 −1
-2 5
- 21 - 6
= 38
= - 90
-8 1
-8
2
3 5 2
−2 5
2
0 1 0 = −1
1 0 0
0
1
1
3
3
0
−1
0
2 −1
1 −1 1
−1 1 −1
− 2 2 − 1 = 12
−1 −1 2
−2 2
0
= 11
2 7
0 0 1
1
2
2
1
=4
1
− 1 1 −1 2
− 2 3 −3 2
= 27
− 2 − 2 1 −1
0 − 1 −1 3
2 1 7 = 0
1 4 −5
2
1
= −24
1
1
−1 5
2
−2 −4 1
1
2 −1
0
0
1
3
4
− 1 7 = 81
− 4 −1
2
1
= −14
0
1
−1 5
2 2
0 − 4 −1 1
= −4
0
0 −1 0
0
0
0 1
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24.- Dada la matriz A averigua para qué valores del parámetro m existe A-1. Calcula A-1
para m = 2.
 1 0 - 1


A=  0 m
3


4 1 - m
 -7 - 1 2 


-1
=

12
2
3

A


 - 8 - 1 2
Sol: m … 3 y m … 1
los
2 x - 2
inversa. A = 
1
x

Sol: -2; 2/3
1
A = 
1
25.- Hallar los valores de x para
cuales la matriz A no tiene




26.- Resuelve AXB + C = D
 1 1 0


0
1 2 3
 2 3 4
 B =  0 1 1  C = 
 D = 



1
0 1 - 3 
 0 0 - 1
 - 1 - 1 1
 2 0 1
Sol : X = 

 1 - 1 2
2 -1 0 -5


27.- Calcular el rango de la matriz A. A =  1 0 1 - 1 


3 
3 2 7
Sol: r(A) = 2
28.- Dada la matriz B calcular los valores de y para que su rango sea 2.
 2 y 1 3


B =  1 0 1 - 1 Sol: y = -1


3 - 2 1 7


- 1 1 2 -1
29.- Calcular el determinante:
3 2
0
1
6
1 2
0
2 1 3 5
a) Haciendo ceros. b) Desarrollándolo por los elementos de una línea.
Sol: -12
30.- Comprobar sin desarrollar que son nulos los determinantes:
1 1 0 3
1 2 1
1
1
1
4 1 1 5
3 1 -1
x
y
z
3 0 1 2
2 4 2
y+ z x+ z x+ y
-1 0 2 4
31.- Dadas las matrices A y B calcula la matriz P = AAB+B2
1 3 13
3 1
31
4 0 40
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 1 1 1 
 1 0 1 
 3





A=  1 3 0  ; B =  1 1 2 
Sol : P =  6





 1 0 2 
 0 1 3 
 2
32.- Resuelve la ecuación matricial X-3A = AAB; siendo:
1 
 1 0 
 1 1 
 4
A = 
 B = 

X = 

 1 3 
 2 0 
 8 10 
33.- Calcula el rango de las matrices siguientes:
 1 1

 1 - 5 -3 
 0 2 1 3 




 2 0
C =  - 5 5 - 1  A=  2 1 1 1  B = 




 3 1
 4 0 4 
 4 4 3 5 

 4 3
Sol: r(C) = 2; r(A) = 2; r(B) = 4
3 10 

6 16 

6 18 
1 0 2 

1 1 2 

1 3 2 

-2 1 1 
34.- Calcula An, siendo:
1 0 0



 2n -1 0 2 n -1 
 2



+n 1 n
 0 1

Sol : a)  n
b)
0



2


 2n -1 0 2 n -1 



n 0 1 


1 0 0 
 1 0 1




a) A =  1 1 1  b) A =  0 1 0 




1 0 1
 1 0 1
35.- Sabiendo que
a
b
x
y z = 3 Halla: a)
1 0
x -1
c)
y
z -1
1 0
1
a- 2
c
1
1 1 0
2c
b- c a
x z
y ; b)
2z
y-z
a c
b
2
-1
x ;
1
b c-2
Sol: a) 3; b) -6; c) 3
36.- Si A y B son dos matrices cuadradas de orden n. ¿Es cierto, en general, la igualdad
siguiente?: A2+2AB+B2 = (A+B)2. Sol: No
37.- Halla la matriz enésima de la matriz A:






1
0
0
1
0
0






A=  - 1 1 0 
Sol : An =  - n
1 0




 2

 0 -1 1 
 n - n - n 1 
 2

38.- Encuentra los valores de x, y, z, que verifiquen la siguiente ecuación matricial:
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 1   1 1
2
  
  y  
x  2  +  2 1   =  2 
  
  z   
 0   0 1
2
Sol: x = -1; y = 1; z = 2
39.- Encuentra la matriz X tal que: a) AX+B=C; b) AXB=C; c) AX+BX=C; d) AX+X=B;
e) 2X+XA=C, siendo:
1 0 0 
1 0 0
3 0 0






A = 1 2 0  ; B = 0 1 0  ; C =  2 5 2 






1 2 4 
 1 1 1
0 1 3
0
0
0
0
0
0
 2 0 0
 3
 3/2
 1/2










Sol : a)  0 2 1  b)  - 3/2 3/2
1 c)  1/6
5/3 2/3  d)  - 1/6
1/3
0  e)  7/36









 - 3/4 - 1 0 
 - 3/4 - 5/4 1/4 
 - 7/10 - 4/5 1/5 
 1/6 1/15 1/5 
 - 1/6
40.- Sea AAB = AAC, ¿se puede asegurar que B = C?; y si AAB=0; ¿se puede asegurar que
A=0 ó B=0?.
Sol: No; No
41.- Hallar k para que la matriz A no tenga inversa. Calcular la inversa para k = 0.
1 k 1
 - 1 1 1




A =  1 - 1 k  Sol : k = 1; A-1 =  - 1 0 1




 2 - 1 - 1
1 1 1
42.- Resolver la ecuación matricial AX+B=C, siendo:
 0 2
 1 0 - 1
 7 2 5
A = 
 B = 
 C = 

 - 2 1
 0 1 - 1
- 3 0 - 4 
3 1 3
Sol : X = 

3 1 3
47.- Se dice que dos matrices cuadradas de orden n, A y B conmutan, si AB = BA.
Obtener las matrices A que conmuta con la B.
 x y
 1 1

B = 

Sol : A = 

0 1
0 x
48.- Calcular los determinantes: a) Haciendo ceros; b) Desarrollando por los elementos de
una línea:
3 2 1 -1
1 1 1 1
1
2 -1 1
2
1
3
2 -1
1 -2
2
1
2 2
-1
1 -1
2
0
1
2
1
1
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Sol: 5; -48
49.- Dada la matriz A. Calcula los valores de m para que tenga
inversa. Di para qué valores de m A es una matriz singular. Rango de A.
Sol: a) m…-2 y m…-1/2; b) ; c) m = 2 ó m = -1/2 > r(A) = 2; m…-2 y
m…-1/2 > r(A) = 3
50.- Encontrar la
AX+B=C
1 2 0


A=  1 0 3 


1 1 2
 5 1

Sol : a)  9 5

 10 6
matriz X que verifique que: X-B2 = AB;


B=


-2 

6

8 
1 0 -1 
 8 3 1



2 1 1  C = 6 8 8



1 1 2 
 7 7 8
 1 1 - 2


b)  3 1 2 


 1 2 3
51.- Calcula el rango de las siguientes matrices:
 1 2 3 4 5
 -1 - 2 1 - 2 0




 2 3 4 5 6
 - 3 2 1 4 1
A= 
 B=

3
4
5
6
7


 1 1 2 - 2 0




 4 5 6 7 8
 1 -1 2
3 1
Sol: r(A) = 2; r(B) = 4
52.- Dadas las matrices A y B calcula la matriz P = AAB+B2
1 0 1
 1 0 1
 6 2 8






A=  1 1 1 
B=  1 2 2
Sol : P =  11 9 17 






0
1
2
2
1
3
14
9
21






53.- Calcula el rango de las siguientes matrices:
 1 0 1 1 2


 1 2 1 1


2 0 3 1 1
A=  0 1 2 1 
B=



4 2 4 1 0

1 4 5 3


0 3 2 4 6 
Sol: r(A) = 2; r(B) = 4
54.- Resuelve la siguiente ecuación:
1 -2 2
x -4 4 =0
3
Sol: x = 2; x = -6
x 6
55.- Calcula sin desarrollarlos el valor de los siguientes determinantes:
 3 m 2


A=  4 - 5 2 


m -1 m
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2
3
4
5
3
5
7
9
4
6
x
y-z
; 1
y
x-z ;
11 10
2
1 3
1 3
2 0
1
7 11 18 19


A= 


1 2
1
z x- y
57.- Halla A+B; 2A+3B; siendo:
4 3 2
 3 2 1



7 6 3
B =  4 3 2



2 9 8 
 6 7 4
5
1 2
1
;
2
1
3
3 4
5
1 2
4 7
5 11
3 5 6
5 6
9 11
5 3
 7
 17 12 7 




Sol : A + B =  11 9 5  2A + 3B =  26 21 12 




 8 16 12 
 22 39 28 
58.- Hallar las inversas de las matrices:
1 4
 1 3 4
0 1 1
 -2





A=  - 2 1 0  ; B =  3 1 1  ; C =  0 - 4 2





 7 7 12 
1 4 3
 3 0 2
 - 1/3 1/3 0 
 - 4/35



Sol : no existe A- 1 ; B- 1 =  - 8/3 - 1/3 1 C -1 =  3/35



 11/3 1/3 - 1
 6/35





- 1/35 9/35 

- 8/35 2/35 

3/70 4/35 
59.- Hallar el rango de las siguientes matrices según valores de x:
 3 1 -1 4 

  1 x -1 2   1 2
1
 

 x 4 10 1  
x

 ;  2 -1 x 5  ;  x 4
 1 7 17 3   1 10 - 6 1   - 1 - x 1 - x 

 

 
2 2 4 3
Sol: x=0 rango 3
Sol: x=3 rango 2
Sol: x=2 rango 1
x…0 rango 4
x…3 rango 3
x…2 rango 3
60.- Resolver las ecuaciones:
2 0 1
2x + 1 - x
=1
1 x 2 =1
x
1
4 x 0
Sol: 0 y -2; -1/7
61.- Calcular el valor de los determinantes:
2
5 -3 -2
3 - 2 -5 4
-2
1
-3
8
-5
3 -2
2
-1 - 6 4
3
Sol = -142; -54; 43
;
-5
2
8 -5
-2
4
7
-3
2 - 3 -5
8
;
4 6
3 2
5 7
1 3
1 2
1 1
4
1 2 5
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62.- Sin desarrollar los determinantes, utilizando sus propiedades, comprobar:
1 1 1 1
yz 1/x x
a b c d
= (d - a) (d - b) (d - c) (c - a) (b - a) zx 1/y y = 0
2
2
2
2
a b c d
xy 1/z z
a3 b3 c3 d 3
63.- ¿Existe algún valor de x que haga inversibles las matrices:
 1 -2 0 
3 1 2




a)  1 - 2 0 
b)  x - 1 - 2  ?




 3 -6 x 
4 1 x
Sol: a) ninguna; b) x … -3 y 2
64.- Resuelve las ecuaciones matriciales siguientes: a) AXB-C=I; b) CX+AX=B siendo:
 3 1 2
 3 0 1
0 0 2






A =  2 0 0  B =  1 0 1  C =  1 1 1






 1 1 - 1
 1 - 1 1
 1 - 1 2
 0 3/2 - 1
 1/6 - 1/2 1/2 




Sol : a)  - 5/6
1/3 7/3  b)  - 1/6 3/2 - 1/2 




0
0 
 1/6 - 7/6 1/3 
 2/3