Corrigé 11 du jeudi 26 novembre 2015

Analyse avancée I
Mathématiques 1ère année
Prof. N. Monod
Semaine du 23 au 27 novembre 2015
Corrigé 11 du jeudi 26 novembre 2015
Exercice 1.
Calculer les limites:
1.)
1 − cos x6
. Le développement de Taylor d’ordre 2 de la fonction cos(x) autour de 0 donne:
x→0
x12
6=
lim
1
cos(x) = 1 − x2 + o(|x2 |),
2
si x → 0
et donc aussi
1
cos(x6 ) = 1 − x12 + o(|x12 |),
2
1 − cos x6
1
On a donc immédiatement lim
= .
12
x→0
x
2
6=
2.)
si x → 0.
(sin x)m
avec m, n ∈ N∗ , 1 ≤ m, n ≤ 2.
x→0 (1 − cos x)n
6=
lim
sin x
cos x
= lim
n’existe pas.
x→0 1 − cos x
x→0 sin x
6=
6=
cos x
cos x
sin x
= lim
= lim
(b) lim
2
x→0 2(1 − cos x) sin x
x→0 2 sin x − sin 2x
x→0 (1 − cos x)
6=
6=
6=
(a) lim
n’existe pas.
sin2 x
2 sin x cos x
= lim
= 2.
x→0 1 − cos x
x→0
sin x
6=
6=
(c) lim
sin2 x
2 sin x cos x
2 cos x
= lim
= lim
= +∞ .
2
x→0 (1 − cos x)
x→0 2(1 − cos x) sin x
x→0 2(1 − cos x)
6=
6=
6=
(d) lim
On peut aussi recourir aux développements limités. On a, si x → 0:
6=
m
(sin x)m
(x + o(x))m
(xm + o(xm ))
n x (1 + o(1))
=
=
=
2
(1 − cos x)n
(1/2x2 + o(x2 ))n
(1/2n x2n + o(x2n ))
x2n (1 + o(1))
et donc
(sin x)m
= 2n lim xm−2n .
x→0 (1 − cos x)n
x→0
6=
6=
lim
Ainsi la limite existe et vaut 2n si m − 2n = 0, elle existe et vaut 0 si m − 2n > 0, la limte est +∞ si
m − 2n < 0 est pair et n’existe pas si m − 2n < 0 est impair.
Exercice 2.
Calculer les limites:
1 x
.
x→∞
x
y1
ln(1 + y)
1 x
= lim exp(
On a lim 1 +
= lim 1 + y
).
x→∞
y→0
y→0
x
y
>
>
Puisque
ln(1 + y) = y + o(|y|), si y → 0
on a donc
ln(1 + y)
= 1 + r(y)
y
1.) lim
1+
avec lim r(y) = 0. Puisque la fonction exp(x) est continue au point 1, on a lim
x→∞
y→0
>
2.) lim xα ln x, avec α > 0.
x→0
>
Pour α > 0:
ln x
xα
= lim
= 0.
−α
x→0 x
x→0 −α
>
>
lim xα ln x = lim
x→0
>
ln x
, avec α > 0.
xα
ln x
1
Pour α > 0: lim α = lim
= 0.
x→∞ x
x→∞ αxα
3.) lim
x→∞
1+
1 x
= e.
x