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4MA2DF02
Formule de Moivre & formules trigonométriques relatives
AVERTISSEMENT : (pour l'examen oral) Cette feuille est inomplète : elle donne uniquement le
squelette du sujet à traiter. Chaque armation ou étape doit pouvoir être expliquée, justiée et illustrée.
Il faut également savoir répondre aux questions en lien ave le sujet.
Formule de Moivre :
Soit
n ∈ N∗ .
Alors :
n
(cos (ϕ) + i sin (ϕ)) = cos (nϕ) + i sin (nϕ)
(∗)
Démonstration : (par réurrene)
Anrage (initialisation) :
Pour
n=1
l'armation
(∗)
√
1
(cos (ϕ) + i sin (ϕ)) = cos (1 · ϕ) + i sin (1 · ϕ)
est vraie :
Pas de réurrene (hérédité) :
Hypothèse de réurrene : l'armation
On obtient alors pour
n=k+1
k+1
(cos (ϕ) + i sin (ϕ))
(∗)
est vraie pour
n=k
(k
≥1
est un entier )
:
k
= (cos (ϕ) + i sin (ϕ)) · (cos (ϕ) + i sin (ϕ))
= (cos (kϕ) + i sin (kϕ)) · (cos (ϕ) + i sin (ϕ))
= cos (kϕ) cos (ϕ) − sin (kϕ) sin (ϕ) + i (cos (kϕ) sin (ϕ) + sin (kϕ) cos (ϕ))
= cos (kϕ + ϕ) + i sin (kϕ + ϕ)
(.f.
orollaire i-dessous)
= cos ((k + 1) ϕ) + i sin ((k + 1) ϕ)
L'anrage et le pas de réurrene ensemble démontrent que l'armation
(∗) est
vraie pour tout
n ∈ N∗ .
Théorème :
cos (α − β) = cos (α) cos (β) + sin (α) sin (β)
Démonstration :
0 ≤ α−β ≤ π
(sinon il existe k ∈ Z ave 0 ≤ α − β + k · π ≤ π et la formule reste valable)
cos (α)
cos (β)
→
−
→
−
a =
und b =
sin (α)
sin (β)
2
2
→ →
→
→
−
−
−
2
→
→
a = k−
a k + b − 2 · k−
a k · b · cos (α − β)
b −−
q
2
2
2
(cos (β) − cos (α)) + (sin (β) − sin (α))
= 1 + 1 − 2 · 1 · 1 · cos (α − β)
Soit le as :
Soit :
On a :
cos (α − β) = cos (α) cos (β) + sin (α) sin (β)
Corollaire :
cos (α + β) = cos (α) cos (β) − sin (α) sin (β)
und
sin (α + β) = sin (α) cos (β) + cos (α) sin (β)
Démonstration :
cos (α + β) = cos (α − (−β)) = cos (α) cos (−β) + sin (α) sin (−β) = cos (α) cos (β) − sin (α) sin (β)
sin (α + β) = cos
π
π
π
π
− (α + β) = cos
− α − β = cos
− α cos (β) + sin
− α sin (β)
2
2
2
2
= sin (α) cos (β) + cos (α) sin (β)
AK
CdC 2014 - 2015