edoc.pub algebre-et-analyse-tensorielles2

Pr. Amel Kara Hachemi
Pr. Ilhem Kara Djellit
Pr. Hacene Hachemi
LMD
Cours et applications en Physique
Algèbre et
analyse
T ensorielles
Editions Al-Djazair
Pr. Amel Kara Hachemi
Pr. Ilhem Kara Djellit
Université Ferhat Abbas
Université Badji Mokhtar
Faculté des Sciences
Faculté des Sciences
Département de Physique
Département de Mathématiques
Pr. Hacene Hachemi
Université Ferhat Abbas
Faculté des Sciences
Département de Physique
Algèbre et analyse
Tensorielles
Cours et
applications en Physique
lgèbre et analyse tensorielles
SOMMAIRE
A - Algèbre tensorielle
------------------------------------------------------------------------
3
Chapitre 1 : Rappel d’un espace vectorie ------------------------------------------------------------- 4
Introduction
1- Espaces dual et bidual.
2-
Définitions de la base de E et de la base duale de E*.
3- Propriétés des bases b et b*.
4- Application multilinéaire.
5- Application transposée.
Chapitre 2 : Produit tensoriel d’espaces vectoriels -------------------------------------------------- 8
1- Définition du produit tensoriel de deux espaces vectoriels.
2
- Propriétés du produit tensoriel de
de deux espaces vectoriels.
2.1 - Elément décomposable.
2.2 - Définition de la base de
2.3 - Dimension de l’espace
l’espace
E F
E F
.
.
2.4 – Commutativité du produit tensoriel.
3- Produit tensoriel de r espaces vectoriels.
3.1-Définition.
3.2- Elément décomposable.
r
3. 3 -Base de l’espace vectoriel  E i .
r
3.4 -Dimension de  E i .
1
3.5 – Propriétés du produit tensoriel de r espaces vectoriels.
Chapitre 3 : Tenseurs affines attaché à un espace vectoriel E ----------------------------- 14
Introduction.
1- Définition générale d’un tenseur.
2- Variance d’un tenseur.
lgèbre et analyse tensorielles
3- Type d’un tenseur.
4 - Composantes d’un tenseur. Position des indices.
5 - Représentation matricielle des Tenseurs
6 - Operations algébriques sur les tenseurs.
6.1 - Egalité de deux tenseurs
6.2 - Addition des tenseurs
6.3- Multiplication d’un tenseur par un nombre réel
6.4 - Transposition
6.5 – Produit tensoriel de tenseurs
6.6 – Tenseurs contractés
6.7- Produit contracté de 2 tenseurs
Remarque – Distinction entre tenseur et matrices
7 - Formules de changement de base pour les composantes d’un tenseur
7.1 – Notation
7.2 – Généralisation
8- Critères de Tensorialité
8.1 – Nouvelle définition d’un tenseur
8.2 – Théorème de saturation complète des indices
8. 3 - Théorème de saturation incomplète des indices
9 - Produit tensoriel symétrique. Tenseurs symétriques
9.1 - Application m-linéaire symétrique
9.2- Produit symétrique
9.2.1 - Définition
9.2.2 - Base et dimension de

m
E
9.2.3 – Propriétés du produit symétrique
9.3 - Tenseurs symétriques
9.3.1 - Définition
9.3.2 – Le symétrisé d’un tenseur
lgèbre et analyse tensorielles
10 – Produit tensoriel antisymétrique – Algèbre extérieure
10.1 - Application m-linéaire symétrique
10.2 - Produit extérieur
10.2.1 – Définition
10.2.2 - Propriétés du produit extérieur
10.2.3 - Base et dimension de
m
 E
10.2.4 - Produit antisymétrique
10.3 – Tenseurs antisymétriques
10.3.1 - Définition
10.3.2 – L’antisymétrisé d’un tenseur
10.3.3 - Composantes strictes d’un tenseur antisymétrique
11 – Décomposition d’un tenseur du second ordre
Chapitre 4 : Les Tenseurs Euclidiens -------------------------------------------------------------------- 39
1- Rappel sur les espaces euclidiens
1-1-Définition
1.2 Isomorphisme entre E et E*
1.3 - Définition d’un forme bilinéaire associée à g sur E*
2- Définition des tenseurs Euclidiens
2.1 - Définition
2.2- Tenseurs équivalents
3 - Tenseur métrique ou tenseur fondamental
3.1 - Définition
3.2 - Propriétés
4. Composantes d’un tenseur Euclidien
4.1 - Exemple
4.2 - Passage des composantes d’un type à celles d’un autre t ype
5 - Tenseurs Euclidiens symétriques
6- Tenseurs euclidiens antisymétriques
Chapitre 5 : Les pseudo-tenseurs -------------------------------------------------------------------------49
Introduction
1- Orientation d’un espace vectoriel de dimension finie sur R
1.1 - Déterminant d’une application linéaire u
lgèbre et analyse tensorielles
1.2 - Orientation de E
1.3 - Orientation de E*
2- Pseudo-tenseur
2.1 – Définition
2.2 Composantes d’un pseudo-tenseur
3 - Pseudo-tenseurs euclidiens
4 - Produit tensoriel de tenseurs et de pseudo-tenseurs
5 - Généralisation
6 - Produit vectoriel
B - Analyse tensorielle ----------------------------------------------------------------------
54
Introduction
Chapitre 1 - Rappel sur les coordonnées ---------------------------------------------------------------- 55
1 - Définition de la base naturelle ou base locale
1.1 - Définition
1.2 - Exemple de base naturelle en coordonnées polaires et sphériques
1.2.1 - En coordonnées polaires
1.2.2 – En Coordonnées sphériques
2 - Carte locale. Coordonnées locales (ou coordonnées curvilignes)
2.1- Définition de la carte locale
2.2 - Coordonnées locales
Chapitre 2 : Champs de tenseurs, Divergence, Laplacien et Rotationnel ------------------------- 60
Introduction
1
- Définition d’une application de classe Cm
2. - Champs de tenseurs et champs de Pseudo-tenseurs
2.1 Champ d’une grandeur physique
2.2 Détermination d’un champ de tenseurs
3- Opérations sur les champs de tenseurs
3.1 - Produit tensoriel des champs f et f :
’
lgèbre et analyse tensorielles
3.2- Contraction d’un champ de tenseurs mixtes
3.3 - Dérivation covariante d’un champ de tenseur
4 - Base de E canoniquement associée à la carte et au point x
5– Définition de la Divergence d’un champ de tenseur
6– Calcul de
 t
k
x x
l
7– Définition du Laplacien d’un champ de tenseur
8 – Définition du Rotationnel d’un champ de tenseur
9 – Propriétés de la dérivée covariante d’un champ de tenseur
10- Dérivée covariante relative à une carte locale
11- Généralisation de la dérivée covariante pour
r2
12- Symboles de Christoffel
C - Quelques applications des tenseurs en Physique -------------------------------Introduction
1- Représentation des diverses grandeurs
2- Exemple de tenseurs d’ordre 0 : Les scalaires
3- Exemple de tenseurs d’ordre 2 : Le tenseur de déformation
3.1- Détermination du tenseur de déformation
3.2 - Sens physique des composantes de

ij
3.2.1 – Sens physique des composantes diagonales
3.2.2 – Sens physique des composantes non diagonales
3.3 - Représentation géométrique des tenseurs symétriques de rang 2
3.4 - Intensité d'une propriété physique dans une direction donnée.
3.5 – Autres exemples de tenseurs d’ordre 2
4- Exemple de tenseurs d’ordre 4 : Le tenseur d’élasticité
4.1 – Le tenseur d’élasticité
4.2 – Symétrie cristalline et réduction du nombre de composantes indépendantes
4.2.1 – Le solide possède un plan de symétrie de coordonnée
0
4.2.2 – Le solide possède deux plan de symétrie de coordonnée x=0 et
4.2.3- Le solide possède des axes de symétrie
0
77
lgèbre et analyse tensorielles
4.3- Les ondes élastiques
4.3.1
.
- Types d’ondes élastiques
4.3.1.1 - la nature du milieu
4.3.1.2 – la polarisation
4.3.2- Equations de mouvement
4.3.3- Onde plane progressive
4.3.4- Application à l’étude des séismes
4.4 - Autres exemples de tenseurs d’ordre 4
5 – Exemple de tenseurs d’ordre 3 : Le tenseur piézoélectrique
5.1 – Définition de la piézoélectricité
5.2 – Détermination du tenseur piézoélectrique
5.2.1- Effet Piézoélectrique direct
5.2.2- Effet Piézoélectrique inverse
5.3 – Symétrie cristalline et réduction du nombre de composantes piézoélectriques
indépendantes
5.3.1- le solide possède un centre de symétrie
5.3.2 – Le solide possède un plan de symétrie de coordonnée
5.3.3 – Le solide possède un axe binaire direct parallèle à
0
3
5.4- propagation des ondes élastiques dans les solides piézoélectriques
6 - Autres exemples de tenseurs d’ordre 3
Annexes
---------------------------------------------------------------
----------------
--
a
1- Operateurs différentiels en coordonnées cartésiennes.
2- Operateurs différentiels en coordonnées cylindriques.
3- Operateurs différentiels en coordonnées sphériques.
Références bibliographiques
------------------------------------
--------------
--
i
lgèbre et analyse tensorielles
Introduction Générale
Pour introduire les tenseurs et leur intérêt, la définition la plus simple qui nous parait
est : si l’on change le référentiel dans lequel on travaille, toute propriété physique exprimée
par un tenseur doit demeurer inchangée. Cette définition de tenseur comme une écriture ou
une représentation indépendante du système de coordonnées, est utile pour exprimer
beaucoup de lois physiques, qui par leur nature ne dépendent pas des systèmes de
coordonnées.
En mathématiques, la notion de tenseur est introduite d'une manière rigoureuse par
l’algèbre linéaire et multilinéaire. Elle désigne une fonction multilinéaire. Dans le langage de
l'algèbre linéaire, un système de coordonnées est une base et la loi de transformation est
fournie par une matrice de changement de base. Donc, le calcul tensoriel a pour avantage de
se libérer de tous les systèmes de coordonnées et allège énormément des calculs. Il n'y a plus
alors à se préoccuper dans quel référentiel il convient de travailler. Il s’avère très utile dans les
mathématiques pures et dans beaucoup d’autres disciplines.
En physique et en sciences de l'ingénieur, les tenseurs sont utilisés pour décrire et
manipuler diverses grandeurs et propriétés physiques dans de nombreux domaines comme
l’électromagnétisme, la mécanique des fluides et la mécanique du solide. En particulier, le
tenseur des efforts et le tenseur des déformations. Ils sont, aussi, largement utilisés dans la
relativité restreinte générale, pour décrire rigoureusement l’espace-temps comme variété
courbe quadridimensionnelle.
L’objectif de ce manuel est de maitriser la notion de tenseurs, et plus particulièrement
les bases de l’algèbre et de l’analyse tensorielles en donnant au lecteur les connaissances
élémentaires de ce calcul. Nous avons introduit l’étude de ce calcul dans un cadre
mathématique formel, à l’aide de définitions et de démonstrations, mais nous avons voulu
montrer, que ce calcul tensoriel est aussi un outil très pratique pour l’écriture et l’étude des
équations servant à décrire des phénomènes physiques. C’est un cours de mathématiques et
de physique qui a pour but de présenter les outils les plus performants pour travailler sur les
problèmes présentés par le calcul tensoriel.
lgèbre et analyse tensorielles
Le manuel est divisé en trois parties. La première (A) est consacrée à la définition des
notions élémentaires nécessaires à la compréhension du calcul tensoriel dans le cadre
mathématique. Nous définissons les tenseurs, leurs composantes, et les différentes opérations
classiques qui y sont associées. Quelques notions d’algèbre extérieure sont également
fournies.
La deuxième partie (B) traite l’analyse tensorielle. Elle aborde la question des champs
de tenseurs et de la dérivation de ces champs, quelques opérateurs différentiels sont introduits.
Ces opérateurs sont à la base de la plupart des lois physiques. Ils sont explicités dans l’annexe
pour le cas de systèmes de coordonnées cylindriques et sphériques.
Enfin, Une troisième partie donne quelques applications des tenseurs de différents
ordres en physique en général.
lgèbre et analyse tensorielles
A - Algèbre tensorielle
lgèbre et analyse tensorielles
Chapitre 1 : Rappel d’un espace vectoriel
Introduction
Un espace vectoriel sur K, ou K-espace vectoriel, est un ensemble E, dont les éléments
sont appelés vecteurs, et est muni de deux lois :

Une loi de composition interne, notée (+) de
, appelée addition ou somme
vectorielle

Une loi de composition externe à gauche, notée (•) de
, appelée
multiplication par un scalaire.
Telles que les propriétés suivantes soient vérifiées.
- La loi « + » est commutative et associative. Elle admet un élément neutre, noté 0 ou 0 E,


appelé vecteur nul. Tout vecteur v a un opposé, noté - v . Autrement dit, ( E, +) est un groupe
abélien.
- La loi (•) est distributive à gauche par rapport à la loi (+) de E, distributive à droite par
rapport à l'addition du corps K, et associative à droite par rapport à la multiplication dans K.
Enfin, l'élément neutre multiplicatif du corps K, noté 1, est neutre à gauche pour la loi externe
(•),
Les éléments de E sont appelés des vecteurs, et les éléments de K des scalaires.
1-Espaces dual et bidual.
L’étude qui suit est faite dans le cas des espaces vectoriels de dimension finie n .
Définition : On appelle, forme linéaire sur E toute application linéaire de E vers K, c'est-àdire toute application u : E  K telle que :
( x, y)  E ,   K , u(x  y)  u( x)  u( y)
(1.1)
lgèbre et analyse tensorielles
L'ensemble L( E, K ) des formes linéaires sur E est un K-espace vectoriel, dit espace dual de
E ; il est noté E *, isomorphe à E, est lui aussi de dimension n. Ses éléments sont appelés les
covecteurs.
x  E, u  E  La forme linéaire u( x) est notée  x, u ou u, x
L’écriture  ,  est appelée : produit de dualité.
On note aussi E** l’espace bidual de E.
L’application qui, à tout élément
de E fait correspondre la forme linéaire
u  u ( x)
de
E* est un isomorphisme canonique de E sur E**. E et E** peuvent être identifiés au moyen
de cet isomorphisme.
2- Définitions de la base de E et de la base duale de E*
Soit b  (e1,...,en )  (ei )i 1,...,n une base de E. On définit la base duale b* de E* les
n formes linéaires définies par :
b*  (e , e ,..., e n )  (e j ) j 1,...,n
Telle que :
i
j
j
e .ei
 e j , ei    i j
(1.2)
Étant le symbole de Kronecker.
3-Propriétés des bases b et b*
Tout élément
de E s’écrit suivant la convention d’Einstein :
n
  x i .ei x i .ei
(1.3)
 x, e i    x j e j , e i   x j  ij  x i
(1.4)
i 1
Avec
La iième composante de
est donc égale à x , e i 
De même la iième composante de u  E
est u , ei 
lgèbre et analyse tensorielles
En effet : u  ui .e i  u, ei   u j .e j , ei   u j . i j  ui
(1.5)
Il est facile de voir que la base duale de (e i ) est la base ordinaire (ei ) .
Remarque
- En mathématiques, le symbole de Kronecker est une fonction de deux variables qui est
égale à 1 si celles-ci sont égales, et 0 sinon. Il est symbolisé par la lettre  :
 ij
1 Si i  j
  i j   ij  

0 Sinon 
(1.6)
- En physique, la convention de sommation d'Einstein ou notation d'Einstein est une écriture
simplifiée et utile pour la manipulation des équations concernant des coordonnées.
Selon cette convention, un indice identique écrit une fois en position supérieure, une fois en
position inférieure dans une formule indique une sommation par rapport à cet indice. Le
signe de la somme

étant supprimé.
i n
  x i ei  x i ei
i 1
- L’indice i est dit muet et prend toute les valeurs de la dimension de la base.
- Un indice apparaissant une seule fois dans une expression est appelé un indice libre.
- Toutes les règles énoncées sur la position des indices sont très commodes pour les calculs
et elles consistent à appeler :
 « contravariant » (contra = contre) les éléments de E. Tous ces éléments (les vecteurs)
ont des composantes avec des indices en position supérieure (
i
).
 « Covariant » (co = avec) les éléments de E*. Tous ces éléments (les covecteurs) ont
des composantes avec un indice en position inferieure (ui ) .
-
C’est le système de coordonnées (usuelles) d’un vecteur x qui est un système de
coordonnés contravariantes
ei
 x i ei , avec
i
 e i , x   x (e i )

 Élément de la base duale.
lgèbre et analyse tensorielles
4- Applications multilinéaires
Considérons r espaces vectoriels où r est un entier (r  1) notés Ei (i=1,...,r), et, soit F
un (r+1)ième espace vectoriel sur le même corps K. Alors
Lr (E1 ,..., Er ; F )
est l’espace
vectoriel des applications r-linéaires de E1  E2  ... Er dans F.
Définition : On appelle forme bilinéaire sur E1  E 2 dans F : toute application linéaire
de E1  E 2 vers F, c'est-à-dire toute application u : E1  E2  K telle que:
x1 , x2  E1 et y  E2
u x1  x 2, y
 u x 1 , y u x 2 , y
u (x , y 1  y 2 )  u (x , y 1 ) u (x , y 2 )
 u x ,  y  .u x , y
u x , y
x i  E1
y i  E 2
(1.7)
 
Attention
Elle ne doit pas être confondue avec une application linéaire de E1  E 2 , munie de la structure
d’espace vectoriel produit dans F.
Exemple
Une application linéaire de E dans K est de la forme :
(x , y ) 
ax
by .
Alors qu’une application bilinéaire est de la forme
(x , y ) 
c .x .y
.
5- Application transposée
Considérons une application linéaire de E1 dans E2 notée f. On appelle, par
définition, la transposée de f notée
t
: l’application de E
2
dans E définie par :
1
v  vo
Et telle que :
f (x ),v   x , t f (v )
(1.8)
lgèbre et analyse tensorielles
Chapitre 2 : Produit tensoriel d’espaces vectoriels
Nous allons, dans un premier temps, définir le produit tensoriel de deux espaces
vectoriels pour bien le comprendre puis généraliser pour plusieurs espaces vectoriels.
1- Définition du produit tensoriel de deux espaces vectoriels
Soient E et F deux espaces vectoriels de dimensions respectives finies p et q sur un
même corps commutatif K. Soit E* l’espace dual de E et F* l’espace dual de F. De même E*
et F* sont deux espaces vectoriels de dimensions finies respectives p et q.
Le produit tensoriel de 2 espaces vectoriels E et F sur le corps K ; noté E  F est l’espace
vectoriel des formes bilinéaires sur E  F tel que :
Au couple (x,y) de E  F , on fait correspondre l’élément
x i  E
i)
y i  F
 y tel que :
  K
 est distributif par rapport aux additions vectorielles;
( x1  x2 )  y  x1  y  x2
y
 y1  y2  x  y1  x  y2
(2.1)
ii)  est associatif par rapport aux scalaires
(.x )  y
L’application :
 x  (.y )  (x  y )
EF
 EF
( x, y)  x  y
(2.2)
est une application bilinéaire.
lgèbre et analyse tensorielles
2
- Propriétés du produit tensoriel de deux espaces vectoriels
2.1- Elément décomposable
Un élément z de E  F est décomposable s’il existe
 E et
 F tel que
x y
2.2 – Base de l’espace vectoriel E
(2.3)
F
Soient les espaces E et F de dimension strictement positive. On définit :
Une base dans E notée : b  (ei ) , i=1…n
Une base dans F notée c  (f j )
j=1…m.
Considérons la famille  ij indexée
 ij
Elle définit une base de
 ei 
E
1...n
 1...m définie par
(2.4)
j
 F et les composantes d’un élément quelconque de E  F
sont
ij
-
 z (e i , f j )
l’élément
(2.5)
 y de E  F étant défini par :
 y , u, v   x, u y, v
En effet, tout élément z décomposable s’écrit :
 x  y Avec
 y i .f j
Et
 x i .ei
j
i
 x ,e i   x (e i )
  y , f j   y (f j ) .
 x  y  x i .y j .e i  f j  x i .y j .ij
Donc
(2.6)
Les composantes de z sont les quantités :
i
.y
j
 x (e i ) y (f j )  z (e i , f j )
(2.7)
L’espace E  F est engendré par les éléments décomposables c à d : tout élément de E  F
est somme d’éléments décomposables. En effet :
 (z ij .e i )  f j est une somme de m éléments décomposables.
lgèbre et analyse tensorielles
On dit que la base  ij est la base canoniquement associée aux bases (e i ) et (f j ) .
Et que pour tout élément
u  E *
u, v
tel que :
Et v  F * on a :
(u ,v )  z ij u ,e i v , f
-
u i est la i
-
éme
vj est la j
j
  u i .v j .z ij
(2.8)
composante de u par rapport à la base duale b* .
éme
*
composante de v par rapport à la base duale c .
2.3- Dimension de l’espace E
F
Si les espaces E et F sont de dimensions finies p et q respectivement, alors L’espace
E
 F est de dimension finie pq.
mE
F  m E  m F
(2.9)
Cette formule est valable même si un des espaces est de dimension 0.
2.4 – Commutativité du produit tensoriel
Le produit tensoriel n’est pas commutatif.
En effet :
Soit z un élément de E  F , définissons une application de E *  F * dans K (R ou C)
par :
v ,u

 z u ,v
On définit un élément z’ de F  E par : l’application

 z ' de E  F dans F  E ,
qui est un isomorphisme canonique (c'est-à-dire indépendant des bases) de :
E
E
sur
 F 
F  E
 F et F  E sont donc des isomorphismes et le produit tensoriel n’est pas commutatif.
Si nous supposons que E = F, il existe une bijection linéaire unique qui associe à
ement
 y 
y x
lgèbre et analyse tensorielles
Cette bijection n’est pas l’identité : si x et y sont indépendants dans E ; il est de même de
 y et
 x . Ces 2 éléments sont donc distincts.
Le produit tensoriel n’étant pas commutatif, il est primordial de respecter l’ordre dans
lequel on choisit les espaces.
3- Produit tensoriel de r espaces vectoriels
Soit Ei (i=1…r) r espaces vectoriels de dimension finie sur le corps K.
3.1-Définition
Le produit tensoriel de la suite E1 ... Er ,
E1  E2
noté
r
 ...  Er   Ei
(2.10)
i 1
est l’espace des formes r- linéaires sur E1  E2  ...  Er
le produit tensoriel de la suite xi (i = 1,… , r /
i
 E i , i ) , noté
r
1  ...  xr   xi
i 1
est la forme r- linéaire sur : E1  E2  ...  Er , définie par :
1
(u , ... , u r )
  x1 , u1  ... xr , u r 
(2.11)
L’application : x1 ...xr  x1  ...  xr de E1  E2  ... Er  E1  ...  Er
est r-linéaire.
3.2- Elément décomposable
r
Un élément z de  E i
1
est décomposable s’il existe
 x1  ...  xr
i
Ei
i
tel que
(2.12)
lgèbre et analyse tensorielles
r
3. 3 -Base de l’espace vectoriel
Soit bi  (ei , j ) où
Ei
 (1 ... ni ) une base de Ei .
r
On définit une base de  E i , la famille (e j ... j ) indexée sur (1...n1 )  (1...n2 )  ...  (1...nr )
1
1
r
et définie par :
e j1 ... jr
 e1, j  ...  er , j
1
(2.13)
r
r
Cette base de  E i elle est canoniquement associée à la suite (bi).
1
r
3.4 -Dimension de
 Ei
1
Si aucun des espaces vectoriels Ei n’est de dimension nulle alors
dim( E1  ...  Er )  dim( E1 )  ...  dim( Er )
(2.14)
r
Si un des Ei est de dimension nulle alors  E i est aussi de dimension nulle
1
3.5 – Propriétés du produit tensoriel de r espaces vectoriels
r
3.5.1
-
 Ei
est engendré par les éléments décomposables z. La famille des
1
composantes de z sont définies par :
Z
j1 ... jr
 Z (e1j ...erj )
1
(2.15)
r
Où eij est un élément de la base duale de (bi)
i
De même, Quels que soient les éléments u i de E i , on a :
Z (u ,..., u r )  u j1 ...u rjr Z
Où pour indice i , u ij
i
désigne la
i  me
j1 ... j r
(2.16)
composante de u i relative à la base bi .
lgèbre et analyse tensorielles
3.5.2 - Associativité du produit tensoriel de r espaces vectoriels
Considérons par exemple 3 espaces vectoriels E, F, G et considérons les produits tensoriels :
E
 (F G ) et (E  F ) G
Chaque produit n’est défini qu’à un isomorphisme prés ; ils ne peuvent pas être égaux mais
ils sont isomorphes.
En effet, en considérant les bases de E, F et G on montre facilement que l’application :
 y  z 
(x  y )  z est un isomorphisme de
 F G 
(E  F ) G
On déduit que (E  F ) G et E  (F G ) sont isomorphes.
La démonstration se généralise dans le cas de r espaces vectoriels et nous pouvons
conclure que le produit tensoriel de plusieurs espaces vectoriels est associatif.
3.5.3 - Si E = Ei , i
Ce produit est dit riéme puissance tensorielle de E et est désigné par
r
E .
3.5.4 - On définit de la même façon la riéme
puissance tensorielle d’un élément x et on la
r
note
x
3.5.5 -
.
 E  E ** coïncide avec le bidual de E.
3.5.6 - De même
3.5.7 -  E *
 x est la forme bilinéaire : u   x, u
sur E est s’identifie à x
s’identifie à l’espace des formes r-linéaires sur E.
lgèbre et analyse tensorielles
Chapitre 3
Tenseurs affines attaché à un espace vectoriel E
Introduction
Comme nous l’avons écrit en introduction générale, on cherche à écrire les propriétés
physiques par une représentation indépendante de tout repère du fait de l’invariance de cette
dernière par un changement de base (qui peut représenter une opération de symétrie comme
une translation ou une rotation). Un espace affine est un espace plus généralisé que l’espace
euclidien qui est muni seulement de coordonnées cartésiennes et où seule la norme est
conservée lors d’un changement de base. En plus, les notions d’angle et de distance sont
introduites. On parle d’alignement, de parallélisme et de barycentre.
L’utilité de l’espace affine apparait clairement en physique. On fait souvent usage de
diagrammes tracés en géométrie affine. En thermodynamique par exemple, on trace des
diagrammes d'états : pression-volume, pression-température et température-volume. En
mécanique, on trace le diagramme contrainte-déformation…
Dans un tel espace à n dimensions, on aura n axes de coordonnées, sur chacun une
unité particulière. Mais, on ne peut ni définir une longueur entre deux ponts, ni parler
d’angle. Généralement, on trace des axes orthogonaux que par pure convention.
Soit E un espace vectoriel de dimension finie n sur le corps K. Dans la suite du
manuel, nous considérerons que E est doté simplement d'une structure affine (ou qu’il est
canoniquement isomorphe à un espace affine), C'est-à-dire que, outre l'égalité, les seules
relations envisagées entre les éléments de E seront l'addition et la multiplication par un
scalaire.
lgèbre et analyse tensorielles
1- Définition générale d’un tenseur
On appelle tenseur affine attaché à l’espace vectoriel E, d’ordre r, tout élément des
espaces vectoriels obtenus en effectuant le produit tensoriel de r espaces vectoriels dont
chacun est identique à E ou à son dual.
Le tenseur est dit affine parce que l'espace vectoriel E est doté d'une structure affine.
Soit r un entier supérieur ou égal à 1
Un tenseur d’ordre r est donc un élément du produit tensoriel suivant :
F1  F2
 ...  Fr où
Fi
 E ou E* i
(3.1)
Un tenseur est donc une forme r-linéaire sur :
F1
 F2  ... Fr où
Fi
 E si
Fi
 E
ou
Fi
 E  si Fi  E
(3.2)
- Par définition, on pose qu’un tenseur d’ordre « zéro » un élément de K (un scalaire).
- L’entier r donne l’ordre du tenseur et est parfois appelé «degré du tenseur ».
- On désigne souvent un tenseur par la lettre
2
et ses composantes par la lettre t .
– Variance d’un tenseur
Supposons que dans le produit tensoriel F1  F2  ...  Fr
E et q facteurs Fi
qu’il y ait p facteurs Fi égaux à
égaux à E* .
-
On définit la variance d’un tenseur par le couple (p, q).
-
L’ordre du tenseur par la somme r  p  q .
-
On dit que le tenseur est p -fois contravariant ou son ordre de contravariance est p.
-
On dit que le tenseur est q-fois covariant ou son ordre de covariance est q.
- un tenseur d’ordre 0 est 0 fois contravariant et 0 fois covariant.
- un tenseur est " purement contravariant " si on ordre de contravariance est égal à son
ordre (p=r).
- Un tenseur est" purement covariant " si son ordre de covariance est égale à son ordre (q=r).
- un tenseur est mixte s’il est ni purement contravariant, ni purement covariant (p+q=r).
lgèbre et analyse tensorielles
3- Type d’un tenseur
Connaissant 2 entiers p et q tel que p + q= r (p et q  0) ; il existe
( p  q )!
p !.q !
façons de choisir p
espaces vectoriels coïncidant avec E et q coïncidant avec E* (dans l’équation (1)).
La connaissance de p et q ne détermine pas complètement un tenseur d’ordre r d’où la
définition du type de tenseur.
Définition
: Le type d’un tenseur d’ordre r est le sous ensemble J de (1…r) tel que
le tenseur T appartient au produit tensoriel de la suite E1...Er où Ei  E si i  J et sinon
Ei
 E
Exemple
un tenseur d’ordre 5 de type J={1,4} est un élément du produit tensoriel
(5, 1,4 ) E  E  E   E   E  E 
Ordre du tenseur r= 5
Ordre de covariance q= 3
Ordre de contravariance p=2
Type de tenseur J={1,4}
Et il s’écrit :
T
 t i jk
m
ei
 e j  e k  el  e m
L’ordre de contravariance est le nombre d’éléments du sous-ensemble J et l’ordre de
covariance est égal à r-p=q
Si nous avons que les deux entiers p et q alors on écrit simplement  qp E au lieu de
( p q, 1... p ) E
Ainsi nous pouvons écrire :
0p E  p E
q0 E  q E *
0 E  K
0 E *  K
lgèbre et analyse tensorielles
4- Composantes d’un tenseur. Position des indices
Soit b = (ei) une base de l’espace vectoriel E de dimension finie n et soit b*= (ei) la base
duale de E* . Soit i  I où I  1,..., n .
La base b de ( r , j ) E canoniquement associée à la base b est la suite (b1 ...br ) telle que
bi =b si i
 I , sinon bi=b*.
Ainsi la base
de E  E  E  E est formée des éléments

ei e j e e h
Où les indices i, j, k, h parcourent, indépendamment les uns des autres, l’intervalle I.
Définition
On appelle famille des composantes de T, une famille de scalaires indexée sur 1...nr
; en position supérieure, sont écrits les indices contravariants (qui appartiennent donc à J), et
en position inférieure les indices covariants ; on les numérote séparément.
Considérons par exemple un tenseur T élément de E  E  E  E , Il s’écrit :
T
  t i jk h ei  e j  e k  eh
(3.3)
i jkh
D’après la notation d’Einstein, un indice répété 2 fois, une fois en haut, une fois en bas,
indique une sommation par rapport à cet indice. Par conséquent, l’expression (3.3) s’écrit
donc :
T
 t i jk ei  e j  e k  eh
(3.3’)
On simplifie encore l’écriture en écrivant le tenseur T
T
Ou tout simplement
Avec
 (t i jk h h ) i , j ,k ,h I
(3.4)
t i jk
t i jk
= t (e i , e j , ek , e )
(3.5)
lgèbre et analyse tensorielles
En effet si
T
 ti
'
j 'k '
h
ei '
'
'
 e j  e k  eh
'
Alors :
t (e i , e j , ek , e h ) = t i
'
j 'k '
h'
ei , e i e j , e j ek , e k eh , e h  = t i
Donc
''
t i jk
'
'
'
'
j 'k '
h'
i
j'
k'
h
 i '  j  k  h'
= t (e i , e j , ek , e )
Remarques
-
Si le tenseur T est simplement défini comme un élément de qp E on notera ses
composants :
h ................. h
t k11................ k pp.
(3.6)
- La place des indices indique le type d’un tenseur.
Ainsi T ij kl est un tenseur appartenant au produit tensoriel E  E  E *  E *  (4,1,2) E .
-
En particulier, un tenseur est nul si et seulement si toutes ses composantes dans une base
sont nulles.
h1 ................. h p
En physique, il est usuel d'utiliser le terme « tenseur » pour les composantes t k1 ................ k p .
Et non pour l'application multilinéaire T. Ces composantes ont une signification physique
par rapport à une base d'un espace vectoriel E qui peut être par exemple l'espace R 3 ou
l'espace-temps de Minkowski.
5 - Représentation matricielle des Tenseurs
Tout tenseur peut être représenté par une matrice. Cette dernière est représentée à son
tour entre crochets.
Les tenseurs d’ordre un et deux, peuvent être représentés sous la forme matricielle
suivante :
-
Les quantités à un seul indice sont rangées dans des matrices colonnes. L’indice unique
qu’il soit en haut ou en bas est un indice de ligne.
lgèbre et analyse tensorielles
Exemples :
 Les tenseurs du 1er ordre contravariants sont les vecteurs de E.
t
Si E  R alors sa représentation est :
T

 t
t

2
3




(3.7)
 Les tenseurs du 1er ordre covariants sont les covecteurs de E* .
t1
Si E  R  alors sa représentation est :
-
T
 t
t
2
3



(3.8)
Les quantités à deux indices sont rangées dans des matrices carrées suivant la convention
suivante :
 L’indice de gauche est l’indice de la ligne
 L’indice de droite est l’indice de la colonne
Par exemple, si E  R n alors les termes T i j sont rangés dan la matrice carrée notée :
T
T
-
i
j
1
T
2
... T
n
 2
2
2 
T
T
...
T
1
2
n


 ... ... ... ... 
 n

n
n
T 1 T 2 ... T n 
(3.9)
Si les quantités comportent plus de deux indices, alors on n’utilise plus cette
représentation simple de matrice. Par exemple, pour trois indices, il faudrait « une matrice
cubique ».
-
Pour les tenseurs symétriques d’ordre 3, comme le tenseur piézoélectrique, ou d’ordre 4
comme le tenseur des modules élastiques, on utilise la notation de Voigt (ou la forme
contractée) qui permet de les représenter sous forme matricielle (l’appellation vient du
nom du physicien Woldemar Voigt qui les a élaborés). Cette notation permet de réduire
lgèbre et analyse tensorielles
le nombre d'indices utilisés. La notation consiste à rassembler deux indices en un seul
suivant la convention :
-
11  1
32 ou 23  4
22  2
13 ou 31  5
33  3
12 ou 21  6
(3.10)
nous verrons plus loin en application l’exemple des tenseurs de la piézoélectricité et
d’élasticité.
Exemple : Le tenseur d’ordre 2
Considérons que E soit en fait R2. L'ensemble des formes linéaires sur R2 est l'espace
vectoriel dual R 2 . Avec une seule multiplication tensorielle, nous pouvons faire apparaître
quatre espaces vectoriels dont la dimension est 4 :
1) les tenseurs purement covariants, éléments de E *  E * ( R   R  ) donc les formes
bilinéaires sur E  E . On les note : t ij
La matrice représentative de ce tenseur dans l’espace de dimension 4, s’écrit :
T
t
t12
  11
t 21
t 22


(3.11)
2) Les tenseurs purement contravariants, éléments de E  E ( R  R ) donc les formes
bilinéaires sur E  E . On les note : t ij
De même, la matrice représentative s’écrit :
T
t
t
  21 22 
t 
t
(3.12)
3) Les tenseurs mixtes de type 1 qui sont les éléments de E  E  ( R 2  R 2 ) , définis
par les formes bilinéaires sur E  E . On les note : t i j
De même, la matrice représentative s’écrit :
lgèbre et analyse tensorielles
T
t
1
t
2
 2
2 
t 1 t 2 
(3.13)
4) Les tenseurs mixtes de type
t ype 2 : sont les éléments de E *  E ( R 2  R 2 ) , c'est-à-dire les
formes bilinéaires sur E  E . On les note : t i j
De même, la matrice représentative s’écrit :
T
t
t
  11 1 2 
t 2 t 2 
(3.14)
6 - Operations algébriques sur les tenseurs
Quelques opérations
opérations algébriques
algébriques simples peuvent
peuvent être définies sur l’ensemble des tenseurs.
tenseurs.
6.1- Egalité de deux tenseurs
Deux tenseurs du même ordre sont égaux si toutes leurs composantes homologues
dans une base tensorielle sont égales.
Ainsi l'égalité ne peut être
êtr e envisagée qu'entre tenseurs du même type, c'est à dire des
tenseurs associés au même espace vectoriel E i et présentant le même nombre et la même
disposition des indices.
Considérons les tenseurs
tenseurs suivants :
U
 u ij kl ei  e j  e  e
Si
U

Et
V
 v pq rs e p  eq  e r  e s
alors u ij kl  v pq rs
(3.15)
6.2- Addition des tenseurs
On ne peut additionner que des tenseurs de même
même ordre et de même type et on obtient un
nouveau tenseur du même ordre et de même type. Si nous considérons toujours les tenseurs
tenseurs
et
U
, définis par :
 u ij kl ei  e j  e k  e l
Et
V
 v pq rs e p  eq  e r  e s
lgèbre et analyse tensorielles
Alors U 
u ij kl ei
est un tenseur du même ordre dont les composantes s’écrivent :
 e j  e  e + v pq rs e p  eq  e r  e s = (u ij kl  v pq rs )ei  e j  e  e
(3.16)
6.3 - Multiplication d’un tenseur par un nombre
nombre réel
Si  et  sont deux
deux scalaires intrinsèques alors U   est un tenseur du même ordre et
qui s’écrit :
U
  = (u ij kl  v pq rs )ei  e j  e k  el
(3.17)
En général, le produit d’un tenseur par un nombre engendre un nouveau tenseur du même
ordre que le premier.
6.4– Transposition
Considérons un tenseur d’ordre 3 dont les composantes sont t ikj . Nous pouvons lui
associer d’autres tenseurs par l’opération de transposition en permutant ses indices. On obtient
ainsi pour t ikj : t jik , t kji , t jki , t ikj et t kji . Ce sont les transposés de t ikj .On dit que t jik est le
transposé de t ikj par rapport au premier et au second indices. En général toutes ces
composantes sont différentes parce que chacune représente une écriture dans une base
différente.
T
 t ijk .e i  e j  e k  t jik .e j  e i k
(3.18)
6.5 - Produit tensoriel de tenseurs
Considérons d’abord le produit tensoriel de deux tenseurs.
Soit t1 un élément de F1  ...  Fm
et t2 un élément de
Fm1  ...  Fn
Le produit
produit tensoriel des 2 tenseurs t1 et t2 est un
un élément
élément des espaces vectoriels Fi, noté
t1  t 2 ,
tel que :
t1  t 2  F1  ...  Fm
 Fm1  ...  Fn
(3.19)
lgèbre et analyse tensorielles
Identifié à ( F1  ...  Fm )  ( Fm1  ...  Fn )
-
Cette multiplication est associative et non commutative.
commutative.
-
L'ordre du nouveau tenseur ainsi défini est égal à la somme des ordres des deux tenseurs
générateurs.
Exemple :
Si nous considérons
considérons par exemple deux tenseurs
tenseurs U et
, non nécessairement de même type
et définis par :
U
 uij e i  e j  ek
et
V
Le produit tensoriel U 
E

 v pq e p  eq
est un élément (un tenseur) de l’espace produit tensoriel de
 E   E Par E  E donc un élément de E   E   E  E  E et égale à :
U V
 (uij e i  e j  ek )  (v pq e p  eq )  uij v pq e i  e j  ek  e p  eq
Si nous posons T  U 
alors
alors ses composantes
composantes tij kpq sont tel que :
t ij
Le tenseur
pq
= uij v pq
est d’ordre 5.
Généralisation :
Le produit tensoriel de plusieurs tenseurs est un tenseur d’ordre égal à la
somme des ordres de tous ces tenseurs.
t enseurs.
6.6-Tenseurs contractés
Considérons un tenseur mixte, par exemple tij
pq
Contracter le tenseur tij kpq en j et k, c’est faire la somme des composantes dans le cas où
j=k, pour tout choix des autres indices. On obtient ainsi une nouvelle famille de
composantes qui s’écrit :
lgèbre et analyse tensorielles
pq
i
-
On dit que le tenseur
pq
i
 t ij jpq
(3.20)
est le tenseur contracté en j et k du tenseur tij
pq
.
De façon plus générale,
Soit un tenseur mixte t, élément de
( r , j ) E
avec r  2 . Soient les sous ensembles J de
1...r distincts de  (l’ensemble vide), Nous écrivons :
t
Avec :
i
 E si i J
i
 E * sinon
 x1  x2  ...  xr
Choisissons 2 indices j et j ’ : un contravariant et l’autre covariant. La contraction du j ème
indice et du ( j’)ème indice est l’application linéaire g de ( r , J ) E dans ( r 2, J ') E définie
par :
x1  x2
 ...  xr   x j , x j '  x1  ...  xr
Tel que dans le produit tensoriel du 2 eme membre
(3.21)
1
 x2  ...  xr , on a supprimé les
facteurs xj et xj’ .
-
cette contraction engendre un tenseur d’ordre (r-2) de type J’ .
-
On peut recommencer cette opération autant de fois qu’il y a de couples d’indices
covariants et contravariants.
-
On peut effectuer la contraction totale d’un produit tensoriel. Tous les couples
d’indices de variances contraires sur lesquels on effectue la contraction doivent être
énoncés ; on obtient ainsi un scalaire.
6.7- Produit contracté de 2 tenseurs
Par définition, le produit tensoriel contracté est la succession d’une multiplication tensorielle
et d’une contraction. On l’appelle aussi la multiplication contractée.
lgèbre et analyse tensorielles
i/Exemple
Un des produits contractés de u ij kl et v n p est :
P ij k
n
p
 u ij kl  v ln p
(3.22)
 est le symbole pour une multiplication une fois contractée. La contraction se fait
Où
sur le dernier
dernier indice de u ij kl et le premier indice de v n p .
Ou encore
P ij p
 u ij kl  v lk p
(3.23)
Où  est le symbole pour une multiplication doublement contractée.
- On peut en définir
définir d’autres
d’autres produits
produits contractés.
contractés.

- On notera
 est le symbole pour une multiplication n-fois contractée.
ii/ Cas particuliers :
-
i
-
 E et
Soit
ui
u E
; il existe un seul produit contracté de x et
et de u : le scalaire
 x ,u  . C’est aussi le seul produit contracté de u et x.
Soit t  E  E , ses composantes sont t i j . si
 E ses composantes sont alors
Il existe un seul produit contracté de (E  E * )  E
ti j x j
.
dans E ; ce produit contracté est
E
Remarque : Distinction entre tenseur et matrices
Les deux opérations de la contraction et de la multiplication contractée, portent
uniquement sur les tenseurs. Leur résultat donne soit un tenseur ou un scalaire. C’est la
différence essentielle entre les tenseurs et les matrices.
matr ices.
lgèbre et analyse tensorielles
7 - Formules de changement de base pour les composantes d’un tenseur
7.1 - Notation
Soient b  (ei )i  et b  (ei )i I : deux bases de E liées par les formules
formules de passage
passage de l’une
à l’autre avec :
ei '
 i j e j et ei  i j e ' j .
(3.24)
On rappelle que les matrices de coefficients (i j ) et (i j ) sont évidemment inverses, et
 i j  j k  ik
nous avons :
(3.25)
i j  j k  ik
Les formules de passage pour les bases duales (ei) et (e’i) s’obtiennent de la manière
suivante :
et on utilise la définition de
de la base
base duale e i , e j    i j et
On pose e i  C i k e
e i ,e j    i j  C i k e , j e h  = C i k  j h e k ,e h 
 hk
Soit  i j  C i k  j h  C i k  j ou encore  i j   j C i h
Or
j
i  j
i
 i  h  C
i
h
et
Par conséquent
e
i
  i je j
e
j
  ie
j
'i
(3.26)
On remarque que ces formules de passage font intervenir l’inverse de la transposée des
matrices utilisées pour
pour les bases
bases (ei) et (e’i) (on fait la sommation
sommation sur l’indice du bas).
Toutes ces formules de passage étant établies, on s’intéresse maintenant à la
décomposition d’un tenseur dans une nouvelle base.
Prenons l’exemple suivant :
Soit un tenseur t  E  E *  E *  E  (4, 1,4 ) E .
On a vu qu’il s’écrivait dans la base
base b  (ei )i 
t
De même, il s’écrirait dans la base b  (ei )i I
t
Soit
t 'i jk
h
  l i . m j . r k . h s .t (e l , em , er , e s )
i
jk
i
jk
 t (e i ,e j , ek , e )
 t (e i ,e j , e k ,e )
(3.27)
lgèbre et analyse tensorielles
Ou
t 'i jk
h
  l i . m j . r k . h s .t l mr s
(3.28)
C’est la formule donnée dans la définition du produit tensoriel de r espaces vectoriels. Elle
est simple et se généralise facilement à n’importe quel tenseur.
7.2 - Généralisation
Pour trouver les composantes d’un tenseur dans la « nouvelle base » on multiple les
j
« anciennes » composantes par les termes  i ou  i
-
j
On utilise les ij (coefficients de la matrice directe de passage de b à b’) pour les indices
inférieurs du tenseur donc pour un facteur
facteur E* .
- On utilise les i j pour les indices supérieurs donc
donc pour un facteur de E.
-On remarque que seuls comptent
comptent les ordres de covariance et de contrav
contravariance
ariance ; on peut en
effet faire revenir les  et les  et écrire la forme précédence sous la forme :
t
i
jk
 m jrk  i l  st
(3.28’)
s
mr
8- Critères de Tensorialité
8.1 – Nouvelle définition d’un tenseur
Le critère utilisé comme définition d’ un tenseur de rang r dans un
un espace vectoriel de
dimension n est : tout système de n r quantités scalaires se transformant sous l’effet d’un
changement
changement de base suivant la formule suivante ,est un tenseur
tenseur de rang r (r=p+q)
t
1 .......... p
m1 ........mq
 h ...............h . m ................ m .t
1
p
1
p
1
p
1
q
1........
p
k 1........ k q
Il est toujours possible de donner d’autres critères plus maniables de tensorialité.
(3.29)
lgèbre et analyse tensorielles
8.2 - Théorème de saturation complète des indices
Théorème :
Pour qu'une suite de composantes, à p indices supérieurs et q indices inférieurs,
soit tensorielle, il faut et il suffit que son produit complètement contracté par p formes
linéaires et q vecteurs soit un scalaire intrinsèque, quelque soit le choix des p formes linéaires
et des q vecteurs.
En effet :
Soit B0 un sous ensemble non vide de l’ensemble B de toutes les bases possibles de E.
A tout élément b de B0 , on peut associer une famille de scalaires, indexée sur 1,..., mp q
1 ........ p
t
k 1 ........ k q
On désigne par tb l’élément de qp E qui l’admet pour famille de composantes.
Donc : Une condition nécessaire et suffisante pour que tb soit indépendant de b est que le
scalaire
tb
 t 'h ..........h
1
k
p
k 1 ........k q
Soit t indépendant de b et ceci u i  E
.u h11 ........u hpp x 1k1 ..........x q p
et
i
(3.30)
E
Attention : les indices i servent simplement à numéroter les éléments u et x :

u
est la (hi )iéme composante de u i relative à b*
hi
et

i
i
(k i )iéme
composante de xi relative à b.
Le scalaire de l’expression (3.30) est en effet la valeur t b pour la suite (u ... u p , x1 ... xq )
lgèbre et analyse tensorielles
t b (u 1 ... u p , x1 ... xq )  t
t
1 ... p
h1 ...h p
k1 ...k q
k1 ...kq
.eh1 , u1  ... e 1 , x1  ...
.u
k
1
h1
(3.31)
k1
... .x1 ...
Quand la contraction est maximale ou complète, on obtient un scalaire qui est indépendant de
toute base.
8.3 - Théorème de saturation incomplète des indices
Dans le cas où la contraction n’est pas complète, on peut aussi, énoncer d’autres critères pour
des tenseurs purement contravariants, purement covariants ou mixtes, alors on obtient un
tenseur.
Théorème pour un tenseur purement contravariant :
-
Une condition nécessaire et suffisante pour que t b soit indépendant de b est donnée par le
tenseur purement contravariant dont les composantes par rapport à la base b sont définies
par :
R
1 ... p
t
1 ... p
k1 ...kq
.x1k1 . ... xq q
(3.32)
soit indépendant de b et ceci x i  E .
Le critère analogue peut être énoncé pour les tenseurs purement covariants.
Exemple :
-
Dans le cas d’un tenseur mixte : Si l’on considère T une grandeur dont les composantes
t ij k l m
sont tq pour tout système de base et pour des tenseurs d’ordre 1 : xk ,
l
et
m
,
 est un tenseur 2-fois contravariant, et par
alors le produit contracté t ij k m .x .y l .z m 
conséquent, T est un tenseur.
lgèbre et analyse tensorielles
9 - Produit tensoriel symétrique - Tenseur symétrique
9.1 - Application m-linéaire symétrique
Soient E et F deux espaces vectoriels sur le corps k.
-
Une application bilinéaire u de E2 dans F est symétrique si :
u (x 1 , x 2 )  u (x 2 , x 1 )
-
x i  E .
(3.33)
Une application m-linéaire de Em dans E est symétrique si :
u( x1 ...xi ...x j ...xm )  u( x1 ...x j ...xi ...xm ) ;
(3.34)
Et ceci xi  E et i et j  1...m
L’application ne change pas si on permute l’i-ème et le j-ème argument. Une seule condition
est qu’ils doivent se trouver au même niveau (les deux en position supérieure ou les deux en
position inferieure).
On a alors, si  est la permutation ou la transposition de deux éléments quelconques i et j
u( x (1) ... x ( m) )  u( x1 ... xm ) ;
  m
(3.35)
9.2- Produit symétrique
9.2.1 - Définition
On note 0 m E le produit tensoriel symétrique de m espaces vectoriels E.
- Le produit symétrique d’une suite ( x1 ...xm )  E m est noté :
m
0 xi
i 1
m
- Le produit 0 xi 
i 1
 x1 0 x2 0 ... 0 xm
x


 (1)
m
 ...  x ( m) est le symétrisé du produit tensoriel  xi .
(3.36)
lgèbre et analyse tensorielles
9.2.2 - Base et dimension de  E
m
-
Soit ei
i
une base de E où I est un ensemble totalement ordonné.
Une base de 0 m E (base associée) est constituée par les éléments
(i1 ... im )
-
ei1 0 ei2 0 ... 0 eim
où
parcourt l’ensemble des suites croissantes de m éléments de I.
Si E est de dimension n, alors 0 E est de dimension
n(n  1)
2
et en généralisant à
l’ordre m on trouve que 0 m E est de dimension Cnmm1
9.2.3 – Propriétés du produit symétrique
-
On définit une multiplication par une application bilinéaire unique de O p E  0 q E dans
0 p q E
notée 0 telle que :
e1 0 ... 0 e p 0
-
1
0 ... 0
q
 e1 0 ... 0 e p 0 1 0 ... 0
q
(3.37)
Cette multiplication est associative et commutative.
9.3 - Tenseurs symétriques
9.3.1- Définition
-
Un tenseur t r E est symétrique, s’il est invariant par toutes les permutations des
indices   r telle que :
t
-
 t ;   r
(3.38)
Les indices permutés doivent obligatoirement être à la même hauteur (soit en position
supérieure, soit en position inferieure)
-
On dit quelque fois complètement symétrique par opposition à symétrique par rapport à
deux indices.
lgèbre et analyse tensorielles
-
On note S r  S r (E ) l’espace vectoriel des tenseurs symétriques et il est de dimension
Cnr r 1
, n étant la dimension de E.
Exemple de tenseurs symétriques :
 t ji
-
t ij
-
t i jkl
 t i lkj
Remarque : En physique un tenseur est symétrique pour des raisons de conservation de
l’énergie ou en général, pour des considérations thermodynamiques.
9.3.2 – Le symétrisé d’un tenseur
- Le symétrisé d’un tenseur t r E est par définition :
S r (t ) 
- Le coefficient
1
r!
1
t
r!  
(3.39)
r
assure que le symétrisé d'un tenseur symétrique est égal à lui-même.
- C’est un tenseur symétrique.
 S (t ) est une application linéaire de 0 r E dans S r ( E) .
- L’application t 
10 – Produit tensoriel antisymétrique – Algèbre extérieure
10.1 - Application m-linéaire antisymétrique
-
Une application m-linéaire u de Em dans F est antisymétrique si : xi  E et
i et j  (1...m)
u x1 ...xi ...x j ...xm
-
 u x1...x j ...xi ...xm
(3.40)
Une application m-linéaire u est alternée si elle s’annule dés que deux variables peuvent
avoir la même valeur :
u( x1 ...x...x...xm )  0
(3.41)
lgèbre et analyse tensorielles
-
Une application alternée est antisymétrique
Si l’application antisymétrique est alternée  x i  x j  x , alors :
u( x1 ...x...x ...xm )  u( x1 ...x...x...xm )  u( x1 ...x...x...xm )  0
-
Une condition nécessaire et suffisante pour que l’application u de Em dans F soit
antisymétrique est que :
u( x1 , x2 ,..., xm )    u( x (1) , x ( 2) ,..., x ( m) )
;   m
(3.42)
Où  est la signature de la permutation σ avec :

 1 Pour une permutation paire

 1 Pour une permutation impaire
10.2 - Produit extérieur
10.2.1 – Définition
-
On note m E le produit tensoriel antisymétrique de m espaces vectoriels E.
-
On appelle
produit extérieur
d’une suite
( x1 ... xm )  E m ,
le produit tensoriel
antisymétrique, noté
m
x
i
i 1
Avec
m
x
i 1
-
i

 x1  x2  ...  xm




x (1)
 ...  x ( m)
(3.43)
(3.44)
m
C’est l’antisymétrisé du produit tensoriel
m
x
i 1
i
10.2.2 - Propriétés du produit extérieur
-
1
 x2  ...  xm    x (1)  ...  x ( m)
(3.45)
lgèbre et analyse tensorielles
-
 m x i comporte m ! termes
i 1
Exemples :
 x1  x2  x1  x2  x2  x1
 x1  x2  x3  x1  x2  x3  x1  x3  x2  x2  x3  x1  x2  x1  x3  x3  x1  x2  x3  x2  x1
- Un produit extérieur est nul si 2 des facteurs sont égaux.
- Un élément de m E s’appelle m-vecteur.
Exemples :
Pour m=2 , c’est un bivecteur
Pour m=3, c’est un trivecteur
Pour m=4, c’est un quadrivecteur
10.2.3 - Base et dimension de
a/ Base de
m E
m E
Soit (ei )i  une base b de E, I étant un ensemble totalement ordonné.
Une base de  m E est constituée par les éléments ei  ei  ...  ei
1
2
m
où i1 ... im parcourt
l’ensemble des suites strictement croissantes de m éléments de I .
b/ Dimension de
m E :
Si n est la dimension de E , alors  E est de dimension
n (n  1)
2
En effet :
Pour n=2,
la base associée à la base (e1,e2) de E est e1  e2  2 E est de dimension 1.
Pour n=3, la base associée à la base (e1 , e2 , e3 ) est (e1  e2 , e1  e3 , e2  e3 )
Donc  E est de dimension 3 (m=2).
lgèbre et analyse tensorielles
A l’ordre m, m E est de dimension  C nm 
n!
m ! n  m  !
avec m n (remarque m E
est de dimension nulle pour m  n )
10.2.4 - Produit antisymétrique
a/ Définition
On définit une multiplication extérieure par l’unique application bilinéaire de  p E   q E
dans  pq E tel que :
e1  ...  e p

1
 ...
 e1  ...  e p 
q
1
 ...
q
(3.46)
b/ Propriétés
-
Cette multiplication est associative et anticommutative
 B  (1) pq B  A ;
-
A  p E et B q E
(3.47)
Si p et q sont tous les deux impaires alors
 B  B  A
Et en particulier
(3.48)
 A  0 si p est impaire.
10.3 – Tenseurs antisymétriques
10.3.1 - Définition
- Un tenseur t r E est antisymétrique si :
t
   t ;   r
(3.49)
- les indices permutés doivent obligatoirement être à la même hauteur (soit en position
supérieure, soit en position inferieure)
-
On dit quelque fois complètement antisymétrique par opposition à antisymétrique par
rapport à deux indices.
lgèbre et analyse tensorielles
- On note
r
E
l’espace des tenseurs antisymétriques de r E et est de dimension C nr , n
étant la dimension de E .
- Si r n alors le seul tenseur antisymétrique d'ordre r est le tenseur nul.
- Les tenseurs antisymétriques sont couramment utilisés pour représenter des rotations (par
exemple, le tenseur de vorticité ou du tourbillon).
- Les tenseurs antisymétriques de rang 2 jouent des rôles importants en théorie de la relativité.
L'ensemble de tous ces tenseurs (bivecteurs) forment un espace vectoriel de dimension 6,
appelé parfois espace bivectoriel.
10.3.2 – L’antisymétrisé d’un tenseur
-
C’est le tenseur
a(t ) 
1

(3.50)
  t
r!   r
10.3.3 - Composantes strictes d’un tenseur antisymétrique
Prenons pour exemple  E , le produit tensoriel antisymétrique de 2 espaces vectoriels E
de dimension n .Le nombre de vecteurs distinguables est égal au nombre de combinaisons des
vecteurs pris deux à deux et distinguables parmi n tel que:
Cn2

n(n  1)
2
 n2
Effectivement parmi les n composantes, n composantes sont nulles et les n(n-1) autres
composantes ont des valeurs opposées deux à deux. Nous pouvons donc considérer que la
moitié de ces dernières suffit à caractériser le tenseur.
Le nombre de ces composantes distinguables est également de
nn  1
2
et elles sont
appelées "composantes strictes".
Nous remarquons que pour n=3, le nombre de composantes strictes du produit extérieur de
deux vecteurs est aussi égal à trois. Ceci permet de former avec les composantes du bivecteur,
les composantes d'un produit vectoriel.
lgèbre et analyse tensorielles
Ainsi, un produit vectoriel n'existe donc que pour un sous-espace de bivecteurs dont le
nombre de dimension est égal à 3 et dont les pré-images sont des tenseurs antisymétriques.
Pour généraliser à l’ordre r, considérons le produit extérieur  r E .
Un tenseur antisymétrique de  r E (r  1) n’a de composantes que sur eh  eh  ...  eh
1
2
r
tel que tous les hi sont tous différents.
Soit t h ...h cette composante. Par la propriété de l’antisymétrie on a :
1
r
t
h1 .............. hr
  t
h (1) ..............h ( r )
(3.51)
soit L le sous-ensemble de 1...nr des suites de r éléments 2 à 2 distincts (n dim de E) et
soit M le sous-ensemble de L formé des suites croissantes de r éléments alors :
t
1 ... r
0
Si et seulement si
1
...
r
L
Et
k1 ...k r
t
1 ... r
  t
1 ... r
Où
M


et

k  h i 
 (i )
 i

(3.52)
Le tenseur t est donc déterminé par la famille de ses composantes dont les indices
appartiennent à M : on les appelle les composantes strictes de t.
En particulier si r = n on a vu que t n’à qu’une composante stricte relative à chaque base.
11 – Décomposition d’un tenseur du second ordre
Tout tenseur T du second ordre est décomposable d’une façon unique en une somme de deux
tenseurs, l’un étant symétrique Ts et l’autre antisymétrique TA tel que :
lgèbre et analyse tensorielles
T
Où
Tt
1
1
2
2
 (T  T t )  (T  T t )
est le transposé de T
On note :
1
Ts
 (T  T t ) Le tenseur symétrique.
TA
 (T  T t ) Le tenseur antisymétrique.
2
Et
1
2
(3.53)
lgèbre et analyse tensorielles
Chapitre 4 : Les Tenseurs Euclidiens
1- Rappel sur les espaces euclidiens
Par rapport à la géométrie affine, on ajoute en géométrie métrique, une condition
supplémentaire, qui permet de définir la distance entre deux points ou la longueur d'un
vecteur. Dans le cas le plus simple, celui de l'espace euclidien, on se définit un repère
orthogonal, dont les vecteurs ont tous un même module égal à une unité choisie
arbitrairement. Il est évident que toute longueur doit rester invariante par un changement de
repère. Deux notions sont fondamentales, la notion de distance et la notion d’angle, toutes
deux obtenues grâce au produit scalaire
Les propriétés très générales de l'espace affine restent évidemment valables lorsque
nous choisissons une métrique, c'est à dire lorsque nous fixons un repère orthogonal avec des
vecteurs de base de même module.
1-1-Définition
Soit E un espace vectoriel de dimension finie n sur un corps commutatif K et
supposons g une structure euclidienne définie sur E, appelée forme métrique fondamentale
et définie de la manière suivante :
 Une forme bilinéaire g : (x , y ) 
x y
A tout couple (x,y) appartenant à E , lui fait correspondre l’élément de K noté
( x, y)  x y
Et appelé : produit scalaire de x et y.
 Symétrique : x y  y x
 Non dégénérée : l’ensemble des vecteurs vérifiant
singleton contenant l’élément neutre de E.
1.2- Isomorphisme entre E et E
*
x y
0
; y
est le
lgèbre et analyse tensorielles
On sait que la structure euclidienne de E permet de mettre en évidence un
isomorphisme dit canonique entre E et son dual E  (il est dit canonique par ce qu’il ne fait
intervenir aucune base de E ou de E  ).
Soient x et y deux éléments de E. On associe la forme linéaire sur E :
(x , y ) 
x y
x y
Est un élément de E*. On note cette forme linéaire  y ou  y .

 y est une application linéaire et injective (car g est non dégénérée)
L’application
de E dans E* qui sont de dimension finie alors cette application est une bijection.
Et on définit  comme un isomorphisme de E sur E* par :
 y (x )  x  y
x  E
 x y ;
y  E
(4.1)
Remarque
-

et   coïncident avec leurs transposées.
On utilisant la propriété de symétrie de g et la définition de  , on peut écrire :
x y
Et
u  E
x  E

y  E
(4.2)
:
x u
y
 x y  y x  y x
 x  1 (u )   1 (u ) x   1 (u )  x
est un élément de E* et
Et v  E : et


(u)
(4.3)
est un élément de E.
u  E
 1 (u), v   1 (u), 1 (v)   1 (v), 1 (u)   1 (v), u
(4.4)
Ces relations montrent bien que  et   coïncident avec leur transposées respectives.
1.3 - Définition d’un forme bilinéaire associée à g sur E *
lgèbre et analyse tensorielles
La transformée de g pour  définit sur E* une forme bilinéaire non dégénérée notée g * :
( x , y  )  x y 
Telle que :
 (x )  ( y )
Ou
x* y*
(4.5)
 x y
(4.6)
  1 (x * )  1 ( y * )
(4.6’)
g* est appelée l’adjointe de g.
De la même façon, g* définit une bijection linéaire de E* sur E qui est   et définit une
forme bilinéaire sur E qui est g.
2
- Définition des tenseurs Euclidiens
2.1 - Définition
Soit  l’isomorphisme canonique de E sur E* ; Cet isomorphisme permet d’identifier E*
et E ; donc tous les tenseurs sur E et E* peuvent être considérés comme isomorphes.
Soit  (r , ) l’isomorphisme canonique de ( r , ) E sur r E .
Si par exemple (r , ) E  E  E   E   E
Alors
Et

(r, )
 I     
r E  E  E  E  E   E
On note :
( ,)
-

et  ( , )   
Définissons alors l’image d’un tenseur t par  (r ,
)
soit t  ( r , ) E
lgèbre et analyse tensorielles
 ( r , j ) (t )(u 1 ,..., u r )  t (u'1 ,..., u' r )
(4.7)
 E  i
u 'i  u i Si i  J
1
u 'i    (u i ) Sinon
ui
Avec :
Définissons de la même façon l’image du produit tensoriel
Où
i
et
i
E
Et
 ..........  x r
si i  J
 E  sinon

Où
1
(r,J )
( x1  ...  xr )  x'1 ...  x' r
i
 xi si i  J
'
i
  1 ( xi ) sinon
(4.8)
2.2- Tenseurs équivalents
Deux tenseurs t et t’, de même ordre r  1 et de types respectifs
J et J’ , sont
équivalents si et seulement si :

(r, )
(t )   ( r , ) (t ' ) .
Ce qui définit une relation d’équivalence dans :
(4.9)

J P (1...r )
( r , ) E
D’où la définition d’un tenseur euclidien :
On appelle un tenseur euclidien d’ordre r, une classe d’équivalence pour cette relation.
-
Un tenseur euclidien d’ordre 0 est un sous ensemble de R constitué d’un seul élément.
Remarque
lgèbre et analyse tensorielles
On adoptera pour désigner un tenseur euclidien d’o rdre n le symbole de la lettre
T (le plus souvent capitale) soulignée d’un nombre de traits égal à l’ordre du
tenseur
T
Un Tenseur euclidien d’ordre 1
T
Un Tenseur euclidien d’ordre 2
T
Un Tenseur euclidien d’ordre n

3
- Tenseur métrique ou tenseur fondamental
3.1 - Définition
 ei
Soit
et b  (e i )i I deux bases duales de E et E*
i I
i
x  x .e i
Si 
i
 y  y .e i
la forme bilinéaire g est définie par :
(x , y ) 
x y
Avec
ij
 g ij .x i .y i
 ei e j
(4.10)
(4.11)
Les g ij sont les composantes d’un tenseur 2-fois covariant, c’est le tenseur métrique ou le
tenseur fondamental de la structure euclidienne considérée. On le notera G.
En effet
x  E , y  E
 Et donc
ij
,
ij
.x i .y
j
est un scalaire (tenseur d’ordre 0)
est un tenseur de rang deux.
3.2 - Propriétés
- La forme g est symétrique
i j
ij
 g ji

ei e j
 e j ei
(4.12)
- L’application  a une matrice associée par rapport aux bases b et b*. C’est le tenseur
g ij
tel que :
( (x ))i
 g ij .x j
(4.13)
lgèbre et analyse tensorielles
-  1 est l’application inverse de  ; donc sa matrice est l’inverse de la matrice ( g ij ) . Soit (
ij
) ce tenseur. On a donc :
ij
( g ij )
.g j
 i
(4.14)
est le tenseur g*.
4. Composantes d’un tenseur Euclidien
Soit T le tenseur euclidien qui est la classe de t.
Supposons que t  ( r , J ) E où J 0  P(1...r)
0
-
Les composantes de type J
J  P(1...r)
où
du tenseur T sont appelées Les
composantes de type J de t.
- si J  J 0 alors ce sont les composantes ordinaires de t.
- les composantes de type (1...r) sont appelées composantes contravariantes
- Les composantes de type   sont les composantes covariantes.
- les autres composantes sont dites Mixtes.
4.1 - Exemples
-
Tenseur d’ordre 1
Si r = 1 : un élément x de E a des composantes :
 Contravariantes :
 Covariante :
i
i

 composante ordinaire

 tel que :
On a alors :
-
x y
i
 ei  (x )  x i ei i
 xi y i
(4.15)
(4.16)
Tenseur de rang 2
Un tenseur euclidien d’ordre 2 s’écrit : t ij , t ij , t ji , ou t i j ( ce sont les composantes du
même tenseur T mais dans des bases différentes).
Les composantes du Tenseur fondamental G :
 La composante covariante correspond à

 g ij  ei e j
lgèbre et analyse tensorielles

 g ij .g j  i
 La composante contravariante est telle que :
On la notera :
ij
 ei e j
 La composante mixte de type 1 est donnée par :
On la notera :
i
j
j
i
ij
j
 ei e j
 La composante mixte de type 2 est donnée par :
On la notera :
i
j
i
 ij
 ei e j
4.2 - Passage des composantes d’un type à celles d’un autre type
Grâce au tenseur fondamental, on peut très facilement identifier des isomorphismes
entre tenseurs covariants et tenseurs contravariants.
1er Cas: Le transformé du
tenseur contravariant xj est le tenseur covariant
i
 g ij .x j
i
(4.17)
Et de la même manière, le transformé du tenseur covariant xj est le tenseur contravariant
i
-
Les composantes
 g ij x j
ij
(4.18)
du tenseur métrique permettent donc, de calculer les composantes
covariantes d’un vecteur à partir des composantes contravaiantes. Les composantes
permettent l’opération inverse. On peut en conclure que la matrice représentative de
est l’inverse de la matrice representative de
ij
ij
1
2ème Cas :
 det g ij  alors
  1
det g ij
g
De la même façon, on peut «écrire les formules pour les produits tensoriels
d’éléments de E  E * . Soit : t  t ij k l m  E  E  E * E  E * son image par :
I
ij
(4.19)
ij
Si on pose
ij
:
g   g 
-
i
 I    I  
est le tenseur de  E défini par :
lgèbre et analyse tensorielles
t
 t ijklm  g kk ' .g mm ' .t ij k 'l m '
(4.20)
3ème Cas : Les contractions s’obtiennent de la manière suivante :
- le produit contracté par g des tenseurs xi
- le produit
et yj est
ij
.x i .y
j
contracté de u ij k .v l m en un tenseur de E est :
ij
.g
km
.u
ij
k
.v
4ème cas : On vérifie que les
l
m
formules de changements de bases sont compatibles aussi :
t j ' j ' k ' m'   ii '  jj ' kk'  ll ' mm' .t ij k
Et
t
i ' j 'k 'l 'm '
(4.21)
m
  ii '  jj '  kk '  ll '  mm' .t ijklm
(4.22)
5 - Tenseurs Euclidiens symétriques
Supposons E de dimension finie n.
-
Si E est muni d’une forme bilinéaire g symétrique non dégénérée ; alors Il existe une
 E * , tels que tous les espaces 0 m E sont aussi munis d’un
bijection linéaire  : E 
forme bilinéaire symétrique pour laquelle :
e1 0 ... 0 em f1 0 ... 0 f m




-
(4.23)
e1 f  (1) ... em f  ( m)
m
Si g est définie positive et E euclidien (K=R, donc de caractéristique 0) alors 0 m E est
aussi euclidien par ce produit scalaire.
-
Si
(e i )i 
est une base orthonormée de E, alors les (ei 0 ei 0 ... 0 ei ) pour toutes les
suites croissantes
1
(i1 ... im )
2
m
de m éléments de I forment une base orthogonale mais non
orthonormée de 0 m E .
-
Un tenseur euclidien est symétrique si :
t
 t ;   m
(4.24)
lgèbre et analyse tensorielles
Exemples
-
Un tenseur euclidien d’ordre 1 et un tenseur euclidien d’ordre 0, sont des tenseurs
symétriques.
-
Le tenseur métrique est symétrique.
-
En mécanique quantique : l’espace de Hilbert E représentant une particule élémentaire
appelée boson (par exemple : un méson п ou un photon) ; On peut construire son
algèbre symétrique : où tout élément tel que e1o e2 o...oem représente un système à m
particules dans les états e1...em .
Exemple pour n=2
Soit E de dimension n = 2, sa base donnée par (e1,e2) est telle que  e1 , e 2
ee

ee

e e

est dans E2.
1 1
On aura :
1
2
2
2
6- Tenseurs euclidiens antisymétriques
-
Les hypothèses sur E sont les mêmes, mais K peut avoir n’importe quelle caractéristique
 2 (on peut diviser par 2). La forme bilinéaire antisymétrique est définie par :
e1
 e2  ...  em f1  f 2  ...  f m 




e1 f (1) ... em f ( m)
m
 det( ei f i
-
i, j
(4.25)
 1...m)
Si E est euclidien et g définie positive (K=R) et si (ei ) i une base orthonormée de E,
alors les
i1 i2  ...im
éléments ei  ...  ei
1
m
pour toutes les suites croissantes i1 ... im
, forment une base orthonormée de m E .
avec
lgèbre et analyse tensorielles
Exemples
-
Si E est l’espace de Hilbert pour une particule élémentaire dite fermion (ex : électron, un
photon, un neutron ou un Méson  ), On peut construire son algèbre antisymétrique  E
où tout élément e1  e2  ...  em représente un système à une particule dans les états
(e1e2 ...em )
-
ei
.
 ei  0 car il n’existe pas de système ou 2 fermions occupent un même état.
Remarque : Cas d’une base orthonormée
• Lorsque la base ei
i 1,...,n
ei .e j
est orthonormée alors :
  ij
• La base initiale est confondue avec sa base duale :
ei
• Les composantes
 ej
ij
du produit scalaire dans une base orthonormée sont celles de
l’identité :
ij
 g ij   i j
• Une conséquence fondamentale est que les 4 types de composantes d’un tenseur euclidien
d’ordre 2 coïncident :
t ij = t ij = t ij = t i j
En base orthonormée, il est inutile de distinguer les variances et on ne se préoccupe plus de la
position des indices. On les met toujours en bas et on somme sur tous les indices répétés. Les
règles de calcul tensoriel se simplifient considérablement.
lgèbre et analyse tensorielles
Chapitre 5. Les Pseudo-Tenseurs
Introduction
Le critère de tensorialité est basé sur l’invariance des tenseurs lors d’un changement de
repère. Dans une Rotation, le sens de la rotation est très important, nous devons donc
introduire l’orientation du repère. Qu’en est-il, quant aux tenseurs, si lors d’un changement de
base, l’orientation du repère change ?
1- Orientation d’un espace vectoriel de dimension finie sur R
1.1-
Déterminant d’une application linéaire u
Soit E un espace vectoriel de dimension finie n sur K. Une application linéaire u de E dans E
définit une application linéaire, notée  n u , de n E dans lui-même.
Comme n E est de dimension 1 alors c’est un scalaire appelé déterminant de u
(On rappelle que la dimension de n E  C nn 
n!
n ! n  n  !
1 )
Remarque :
Si u est définie par la matrice u i j , alors :
u e1  ...  u en
 (u11e1  ...  u1n en )  ...  (u n1e1  ...  u nn en )
 det ((ui j ) i , j 1 ... n ).e1  ...  en
Où :
ui j
 e j , u ei 
Si K = R, une application linéaire inversible est dite :
- directe (ou positive) si det u  0
- rétrograde (ou négative) si det u  0.
(5.1)
(5.2)
lgèbre et analyse tensorielles
1.2 Orientation de E
- Supposons K = R, et Soient 2 bases de E :
 ei
et ' 
i
; On dit que les 2 bases b
et b’ sont équivalentes si leur déterminant relatif est positif.
- dans l’ensemble B des bases, on définit une relation d’équivalence
det  '  0
b 
~
'
si et seulement si
.
L’ensemble quotient noté r E est formé de 2 éléments.
E est dit orienté, si l’on a choisi une de ces deux classes comme positive ou directe, l’autre
comme négative ou rétrograde.
1.3 Orientation de E *
Si E est orienté, on peut en déduire canoniquement une orientation de E* , en
considérant comme positives les bases duales des bases positives de E.
2. Pseudo-tenseur
2.1 – Définition
-
Un pseudo-tenseur d’ordre r  0 de type J est une application f de B dans ( r , ) E telle
(b )   f (b ' )
que :
b  B
b '  B
(5.3)
Avec   1 si b et b’ ont même orientation

-
 1 Sinon
L’ensemble des pseudo-tenseurs d’ordre r de type J est un sous espace vectoriel de
l’espace vectoriel des applications de B dans ( r , ) E ; on le note (( r , ) E)' .
-
Si E est orienté, il existe un isomorphisme de ( r , J ) E sur (( r , J ) E)' qui à tout élément t
de ( r , ) E associe le pseudo-tenseur f défini par :
(b )  b .t
(5.4)
lgèbre et analyse tensorielles
Avec : b  1 si b est directe
b
(5.5)
 1 si b est rétrograde
Remarque :
- Un pseudo tenseur d’ordre 1 est un
pseudo-vecteur
- Un pseudo tenseur d’ordre 0 est un
pseudo-scalaire.
-
On dit parfois tenseur axial ou vecteur axial pour un pseudo-tenseur ou un pseudo-vecteur,
car une fois l’orientation choisie, il devient un tenseur ordinaire ( b  1 ).
-Un tenseur au sens du chapitre précédent est
un tenseur polaire ( b  1).
2.2 - Composantes d’un pseudo-tenseur
-
Les composantes d’un pseudo-tenseur f (d’ordre r  1 de type J ) sont les composantes
du tenseur f(b) relatives à la base b.
-
Changement de base
Soient t un tenseur d’ordre 3 (dans b) et t’ (dans b’) alors :
t i' j k
  .il . j m .kn .t l m n ; Alors   1 si det  '  0
b 
Et
  1
(5.6)
Sinon
3 - Pseudo-tenseurs euclidiens
Soit E un espace vectoriel muni d’une structure euclidienne généralisée et Soit
(r E )l
le sous espace vectoriel des tenseurs euclidiens.
On définit un pseudo-tenseur euclidien par une application F de B dans (r E )l telle que :
lgèbre et analyse tensorielles
b  Bet b  B
F (b )   F (b )

  1
  1

b 
si det  '  0
b 
Si
(5.7)
sin on
4 - Produit tensoriel de tenseurs et de pseudo-tenseurs
Soit f un pseudo- tenseur d’ordre r de type J et soit t’ un tenseur d’ordre r’ de type J’ alors :
(b )  t

 est un tenseur d’ordre r + r’ et de type J ' '  J  (r  J ' )
t '  f (b ) 

; b  B
est un tenseur d’ordre r + r’ et de type J ' '  J '(r ' J ) ; b  B
Remarque :
Nous avons les mêmes définitions pour la contraction d’un pseudo-tenseur que dans le
cas des tenseurs.
5 - Généralisation
On peut généraliser ces résultats à un nombre quelconque, fini, de facteurs. On obtient un
tenseur ou un pseudo-tenseur suivant que le nombre de pseudo-tenseurs est pair ou impair.
6 - Produit vectoriel
On a vu que l’espace des tenseurs antisymétriques d’ordre 2 sur un espace E de
dimension n, a pour dimension
n (n  1)
2
si n3; mais pour n = 3, on peut remarquer que la
dimension de l’espace des tenseurs est égale à la dimension de l’espace vectoriel E.
On peut alors en un certain sens, identifier un tenseur antisymétrique à un vecteur si dim E=3.
Soit
un tenseur antisymétrique défini par le produit symétrique antisymétrique de x
et y deux vecteurs de E (dim3). Nous avons :
 xy yx
(5.8)
lgèbre et analyse tensorielles
Les composantes de
sont :
 xi y j  x j y i
23
 x 2 y 3  x 3 y 2  z1
31
 x 3 y 1  x1 y 3  z 2
12
 x1 y 2  x 2 y 1  z 3
ij
Les composantes
1
,
2
et
3
(5.9)
sont les composantes du produit vectoriel
 x y.
On peut en conclure que le produit vectoriel de deux vecteurs est en réalité un pseudo-tenseur.
Exemples de pseudo-tenseurs
La théorie relativiste de l’électromagnétisme montre que le champ magnétique est un
tenseur antisymétrique de second ordre. Les vecteurs
vecteurs associés à des tenseurs antisymétriques.


et B sont en réalité des pseudo-
lgèbre et analyse tensorielles
B - Analyse tensorielle
lgèbre et analyse tensorielles
Introduction
La plupart des lois de physique gouvernant les champs de vecteurs (de gravitation,
électromagnétique, déplacement élastique d'un solide,...) sont formulées sous forme
différentielle ou locale : elles relient la variation du champ entre un point et un autre
infiniment voisin. Les équations de Maxwell relient par exemple les variations locales du
champ électromagnétique (exprimées sous forme de rotationnelle, divergence, ... de ces
champs) aux charges et aux courants. Nous avons donc besoin d'outils pour calculer la
variation d'un champ entre un point et son voisin, et ceci dans un cadre général et non
seulement pour l'espace euclidien muni de coordonnées cartésiennes.
L’analyse tensorielle consiste à étudier les variations d’un champ de tenseurs d’un
point à un autre.
Dans cette partie, tous les espaces affines considérés admettent pour corps des
scalaires le corps R des nombres réels. Ils sont de dimension finie ( n  0 ). Pour ces espaces
affines, nous utiliserons des coordonnées d’un caractère très général, les coordonnées
curvilignes, qui se réduisent dans le cas particulier aux coordonnées cartésiennes. Chaque

point M de cet espace est caractérisé par son vecteur-position OM ou

, à partir d’une
origine fixée dans cet espace
Chapitre 1 - Rappel sur les coordonnées
Comme nous le savons, les coordonnées sont les composantes de vecteurs et tenseurs,
éléments de matrice, etc., dont le nombre, dans chaque catégorie, peut être grand ou
indéterminé. Pour distinguer les divers symboles d'une catégorie nous employons des indices.
Par exemple, au lieu des variables traditionnelles x, y, z nous utiliserons éventuellement les
grandeurs
,x ,x
(comme nous l'avons déjà fait en algèbre tensorielle). Cette notation
devient indispensable lorsque nous avons des variables en nombre grand.
Ainsi, si nous avons n variables, nous les noterons:
, x , x ,..., x n
lgèbre et analyse tensorielles
La décomposition d'un vecteur


(défini par le point M) sur une base (e1 , e2 , e3 ,...en ) :

 OM  x1e1  x 2 e2  ...  x n en  x i ei
(1.1)
Il est évident que cette notation ne présume pas du système de coordonnées choisi. A trois
dimensions, Par exemple :
En coordonnées cartésiennes (
,x ,x
) sont les composantes de
En coordonnées cylindriques (
,x ,x
) correspondent à r, , z
En coordonnées sphériques (
,x ,x

dans e1 , e2 , e3
) correspondent à (r, , )
Etc….
1 - Définition de la base naturelle ou base locale
1.1 - Définition
On appelle base naturelle ou base locale en M le système de vecteurs :
ei


OM


M
i
x i
(1.2)
L’ordre des vecteurs de la base naturelle est induit par l’ordre dans lequel on a classé les
coordonnées ( xi ) et de façon qu’elle soit une base directe.
lgèbre et analyse tensorielles
Exemple de repère naturel à deux dimensions :
Repère naturel
Lignes de coordonnées
(x )
2
e2
e1
M
(x1)
O

OM
En chaque point M de l’espace : ei 
x i

1.2- Exemple de base naturelle en coordonnées polaires et sphériques
Pour résoudre un problème en physique, il faut choisir un système de coordonnées
commode pour chaque système étudié. Il faut donc choisir une base pour exprimer les
composantes des tenseurs et les équations tensorielles. Généralement, les coordonnées
cartésiennes sont adéquates. Toutefois, pour la résolution de certains problèmes particuliers, il
est préférable d’utiliser des coordonnées curvilignes orthogonales comme les coordonnées
polaires, cylindriques ou les coordonnées sphériques.
1.2.1 - En coordonnées polaires
lgèbre et analyse tensorielles

L'expression des vecteurs OM dans un repère fixe cartésien ei (la base naturelle) de

0
l'espace vectoriel E en coordonnées polaires s’écrit :
2

OM


 x i ei  r. cos .e10  r. sin .e20
(1.3)

Tel que : OM  r
Les vecteurs de la base naturelle étant donnés par:

ek
Donc :

e1

 k M
Avec




k
 1, 2  r ,
 1 M   r M  cos .e10  sin .e20
(1.4)
Et

e2
  2 M    M  r sin .e10  r cos .e20
(1.5)
 
Les produits scalaires ei .e j montrent facilement que ces deux vecteurs e et e sont


1
2
orthogonaux entre eux.
X2


e2
e1
M
e20


0
X1
e10

Fig 1 : Vecteurs unitaires polaires
1.2.2- En coordonnées sphériques
De même, l'expression des vecteurs O

dans un repère fixe cartésien ei (la base
naturelle) de l'espace vectoriel E en coordonnées sphériques s’écrit :
3

0
lgèbre et analyse tensorielles

OM



 x i ei  r. sin . cos .e10  r. sin . sin .e20  r. cos  .e30
(1.6)
Les vecteurs de la base naturelle étant donnés par:

ek

e1

e2

 k M ;

k
 1, 2, 3  r , , 




 1 M   r M  sin cos .e10  sin sin .e20  cos  .e30




(1.7)

  2 M   M  r. cos  . cos .e10  r cos  sin .e20  r. sin .e30

e3



(1.8)

  3 M    M  r. sin . sin .e10  r. sin . cos .e20
(1.9)
 
Les produits scalaires ei .e j montrent facilement que ces trois vecteurs sont orthogonaux entre
eux.
X3
e1


M

r
e3

e2

O
e10
X2
e20



X1
Fig 2 : Vecteurs unitaires sphériques
lgèbre et analyse tensorielles
2 - Carte locale. Coordonnées locales ou coordonnées curvilignes
2.1 Définition de la carte locale
Une carte locale de E est une bijection  d’un sous ensemble ouvert U de E sur un
sous ensemble ouvert  de R n telle que  et son inverse  1 sont de classe C1 :
: Application de U dans R n .



  : Application de  dans E.
On dit que U est la source de la carte locale,  sont but.
2.2 - Coordonnées locales
Pour
U ,  x est une suite de scalaires (q ...q n ) : les coordonnées locales de x
relatives à 
On emploie généralement l’expression « coordonnées curvilignes » quand il s’agit d’une
carte non associée à un repère (les coordonnées cartésiennes sont les coordonnées relatives
à un repère).
Chapitre 2 : Champs de tenseurs, Divergence, laplacien et Rotationnel
- Introduction
On suppose connues les notions d’espace affine E sur R et d’espace vectoriel associé
E.
A tout repère  de E tel que  est défini par un point origine 0 et une base b et
noté : (repère   (0, b ) dim n ), On associe une bijection e de E sur R n .
Rn
peut être considéré comme un espace affine (base canonique, repère canonique,…..)
1 - Définition d’une application de classe Cm
-
Soit f une application définie sur un sous espace ouvert U d’un espace affine E (repère
  0,
mn )
dans un espace affine E’ (repére   (0 , b ) dim n ).
lgèbre et analyse tensorielles
-
L’application f est définie par ses fonctions composantes ( f ,..., f n ) relatives à  et 
.On dit que f est de classe Cm , si toutes ses fonctions composantes ont des dérivées
continues jusqu’à l’ordre m.
-
Une application affine de E dans E’ est de classe C 
-
Si f est de classe C1 , sa différentielle au point a de U est notée
a
ou df . Sa matrice par
rapport aux bases b et b’ a pour élément d’indice (i,j) :
f i 1
(a ,..., a n )
j
x
(2.1)
 indice de la ligne ;j indice de la colonne)
( i 
- Si E  R n et si  est le repère canonique, on pose
'
 f (x ) et on désigne par
x
x
j
,
l’image par dfx du jiéme élément de la base canonique de R n .
-
x
x
j
est l’élément de E’ dont la suite des composantes relatives à b’ est :
x' x'n
...
x j x j
et ceci
j  (1...n)


et

 x'  ( x'1 ...x' n ' 


(2.2)
Exemple
Pour E’ , choisissons différents espaces vectoriels de tenseurs et écrivons les formules
analogues à l’expression (2).
Soit f est une application de classe Cm définie sur l’ouvert U de E dans ( r , ) F (F
étant un espace vectoriel) et posons : t 
x
x u .
Définissons de la même façon f’ : application de classe Cm de U dans ( r , ) F et t  f (x ) .
1) r  1
et r  1 :
On vérifie facilement que l’application

t t
de U dans ( r r ', J ( r  J ') F est de classe Cm et que :
lgèbre et analyse tensorielles
(t  t ) t
t
 j t '  t  j
j
x
x
x
2) r = 0
(2.3)
et r  0 :
La formule (5) devient :
(tt ) t '
t

t

t
x j x j
x j
3)
si r = 1 , J  1 et
r’ = 1 , J '  

t , t 
L’application :
de U dans R, est de classe Cm, et on a :
t , t 
t '
t


,
t



t
,

x j
x j
x j
4)
si r = r’ = 1
J
(2.4)
(2.5)
 J '  1
Supposons F muni d’une structure euclidienne (au sens large)
L’application :
 t t ' de U dans R, est de classe Cm , et on a :
 t t'
t
t '

t
'

t
x j
x j
x j
(2.6)
1- Champs de tenseurs et champs de Pseudo-tenseurs
2.1 Champ d’une grandeur physique
Le champ d’une grandeur physique mesurable, scalaire, vectorielle ou tensorielle est
défini dans un domaine de l’espace ou d’un milieu matériel lorsqu’en tout point de ce
domaine, il existe une détermination complète de cette grandeur. L’espace où est défini un
champ peut avoir plus de 3 dimensions.

- Une application f de U dans ( r , J ) E
est un champ de tenseurs d’ordre r et de type J.

- Une application f de U dans (( r , J ) E )' est un champ de pseudo-tenseurs d’ordre r et de
type J.
lgèbre et analyse tensorielles
Un champ de tenseur T est donc une application qui associe à tout point M de l’espace un
tenseur T(M) au même point.
2.2 Détermination d’un champ de tenseurs
Un champ de tenseurs est déterminé par ses composantes par rapport à un repère

 (0, b)
de E et au repère canoniquement associé de ( r , J ) E (couple de l’élément neutre et la
base b ). C’est-à-dire, la donnée d’un tenseur en tout point de l’espace (ou d’une partie de
celui-ci) ou en plusieurs instants.
La « fonction composante » de f, d’indice (h1 ...hr ) associé à tout élément ( x1 ...x n )
de E , est la composante de même indice du tenseur t.
on écrit souvent, si t = f(x), pour un tenseur purement covariant t h ...h
1
1 ... r
r
au lieu de
( x1 ...x n ) .
Donc, un champ tensoriel est la donnée en tout point x de l’espace d’un tenseur
d’ordre (p; q). Alors que le tenseur varie en fonction du point x  E, l’ordre (p; q), est
indépendant de x.
On dit qu’on a :
-
Un champ scalaire si le champ de tenseur est d’ordre 0
-
Un champ vectoriel si le champ de tenseur est d’ordre 1
-
Un champ tensoriel si le champ de tenseur est d’ordre >1
Plus généralement, la détermination d’un champ
f
de tenseurs sur
U
d’ordre r  1 de
type J est telle que :
Le champ est déterminé par la famille
h1 ...hr
(q1 ...q n )
1 ... r
de ses composantes tel que :
est la composante d’indice h1...hr de ( (q ....q n )) .
3- Opérations sur les champs de tenseurs
3.1 - Produit tensoriel des champs f et f
’
:
Soit f un champ de tenseur d’ordre r  1 de type J sur U.
lgèbre et analyse tensorielles
Soit f un champ de tenseur d’ordre r  1 de type J’ sur U.


 f (x )  f (x ) de U dans ( r r ', J ( r  J ') E
L’application de
est un champ de tenseur sur U appelé : Produit tensoriel des champs f et f’’, et est noté :
f .
On peut généraliser et donner une définition analogue pour p champs de tenseurs
 f 1  .......  f
p
3.2- Contraction d’un champ de tenseurs mixtes
On adapte les mêmes définitions que dans la contraction d’un tenseur mixte.
3.3 - Dérivation covariante d’un champ de tenseur
Soit un champ f de tenseurs d’ordre r  1 de type

sur U et Supposons f de classe
C1.
la dérivée covariante de f est un champ de tenseur d’ordre (r+1) et de type J sur U
notée
f
(nabla f ). On l’appelle aussi gradient de f et on la note grad f (bien que ce terme
soit plus spécialement réservé au cas r = 0).
La famille des composantes de 
dans le repère  (0,b ) de E est définie de la façon
suivante :
f
h1 ....... hr
k

f
1 ....... r
x k
(2.7)
Remarques
Le type J n’étant pas donné explicitement, on écrit tous les indices en position
supérieure :
On pose par exemple t = f(x) et Soit t
1 ....... r
une famille des composantes de t, on écrit
aussi :
k t
h1 ....... hr
t h ....... h

x k
1
r
(2.8)
lgèbre et analyse tensorielles
Ou en abrégé, on peut l’écrire :
k t 
t
x k
(2.9)
On vérifie facilement (par la formule de changement de base) que les quantités
t h .......h
x k
1
r
avec (r+1) indices sont bien les composantes d’un tenseur d’ordre (r+1) de type J.
La dérivée covariante de f associée, à tout point x de U, est l’image de df x pour


l’isomorphisme canonique de L(E,( r , J ) E ) sur ( r 1, J ) E .
Applications
- Soit t(x) un champ de tenseurs de (3,1,3) E  E  E *  E , ses composantes ont 3 indices
t i j ( x) .
-
- Si les fonctions t i j ( x) sont de classe C1 , on peut alors calculer les dérivées partielles
t i j
(a ) pour k = 1,……n , en tout point a de U .
x k
Remarque
Un vecteur est un objet géométrique indépendant du choix de la base. Lorsqu'on fixe un
système de coordonnées, cette dérivée se transforme lors d'un changement de base de la
même manière que le vecteur lui-même (selon une transformation covariante), d'où le nom de
la dérivée.
4 - Base de E canoniquement associée à la carte et au point
x
x
x
C’est la suite  1 ,............, n  car x est un isomorphisme de E sur R n et   x
q 
 q
est l’isomorphisme inverse.
5– Définition de la Divergence d’un champ de tenseur
lgèbre et analyse tensorielles
Soit un champ f de tenseurs contravariants d’ordre r  1 et de type J=1 sur U et
Supposons f de classe C m (m  1) .
x  U
alors
(f )( x)  E  E

- On peut contracter les deux indices de  , on obtient alors un scalaire « la divergence de
f » notée (div f)(x).
- Si on pose
(x )  u
alors :
u i
div u = i u 
x i
(2.10)
i
Où (u i ......u r ) est la suite des composantes de u.
Remarque
Si f est de classe C m (m  1) , il est évident que  est de classe C m .
6
– Calcul de
t
x k x l
Considérons toujours f de Classe C m (m  1 ) et soit t un champ de tenseurs de H (où
H est le produit tensoriel d’un nombre quelconque de E et E* ). On a vu que
t
x
k
définit
un tenseur de H  E .
 2t
On peut calculer par exemple
et remarquer que c’est un tenseur de H  E  E .
x k x l
Ces tenseurs sont symétriques par rapport aux permutations de E* qui figurent à la suite de H
car :
t
t
 l k .
k
l
x x
x x
7 – Définition du Laplacien d’un champ de tenseur
(2.11)
lgèbre et analyse tensorielles
Supposons E muni d’une structure euclidienne alors E et E * sont isomorphes.
Soit f une fonction scalaire sur U de classe Cm ( m  2 ) , alors  est un champ de vecteurs
covariants de classe Cm-1 isomorphe à un champ de vecteurs contravariants . Sa divergence
est de classe Cm-2 et est appelée Laplacien de f , (notée  )
Si : (x )  t , le Laplacien t est défini par :
t  i ( g ik k t ) 

ik
g
x i 
t
x k 
(2.12)
g désigne le tenseur métrique de E relatif à b.
Cas particulier
Si la structure est euclidienne au sens strict, c'est-à-dire que la base b est
orthogonale, alors on a :
t
i 2
i 1 (x )
n
t  
(2.13)
8 – Définition du Rotationnel d’un champ de tenseur
Soit f un champ de vecteurs covariants sur U (r  1, J  0) de classe Cm (m  1) ,
alors :
(f )(x )
est un champ de tenseur covariant d’ordre 2 (r  2) .
Le rotationnel de f au point x de U est défini par l’opposé de l’antisymetrisé de

si
x
x
. C’est donc un champ de tenseurs covariants d’ordre 2, de classe Cm-1.
 u , (rot f)(x)= rot u ; Il a pour composantes les quantités Vij tel que :
V ij
 i u j   j u i 
u j u i

x i x j
(2.14)
(Les ui sont les composantes de u dans la base b*).
- si la structure de E est euclidienne au sens large et de dimension dim=3 , alors (rot f)(x) est
un tenseur antisymétrique d’ordre 2.
- Son adjoint est un pseudo-tenseur euclidien d’ordre 1 donc un pseudo-vecteur appelé rot f.
lgèbre et analyse tensorielles
Ses composantes covariantes sont :
V 1

g g 2i g 3 j (
u j ui

)
x i x j
(2.15)
Nous pouvons écrire des formules analogue pour V  2 et V  3
g
-
désigne le discriminent de la forme bilinéaire déterminant la structure euclidienne de E.
Si la structure de E est euclidienne au sens strict et de dim=3 alors les formules se
simplifient et on a au lieu de la formule (16) :
V 1

u3 u 2

x 2 x 3
(2.16)
9 – Propriétés de la dérivée covariante d’un champ de tenseur
-
La dérivée covariante d’un champ de tenseur constant est nulle.
-
Reprenons f et f’ tel que f est une application de classe Cm définie sur l’ouvert U de E
dans ( r , J ) F (F étant un espace vectoriel) et posons : t  f (x )
f’ : application de
x u .
classe Cm de U dans ( r , ) F et t  f (x ) .
Alors, on peut écrire :
(t  t ' )   (t  t ' )  t  t '

Où  est l’isomorphisme de ( r r '1, J ( r 1 J ')) E
ˆ

sur ( r  r '1, J ( r  J ')) E associée à la
permutation circulaire  tel que :
 (i )  i
i  (1.....r )
et
 (r  1)  r  r '1
Et
 i
 i 1
(2.17)
pour i  r  2.....r  r '1
lgèbre et analyse tensorielles
 si r = 0 r  1 alors l’équation (2.17) devient :
(t .t )   (t t )  t .t
(2.17’)
Avec
 (1)  r
1
 (i)  i  1
pour i 2..........r ' 1
Donc  est une permutation euclidienne c'est-à-dire :
(t .t )  t t  t .t
(2.17’’)
 Enfin si r  r  0 ; l’équation devient
(t .t )  t .t  t .t
(2.17’’’)
10- Dérivée covariante relative à une carte locale
Soit f un champ de tenseur d’ordre r  1 sur U avec t  f (x )
La dérivée covariante de t relative à une carte locale par rapport à une composante covariante
 x i .e i , est tel que :
 t  df x (e j )  e j
Or
df x (e j ) 
t
q j
donc
(2.18)
t 
t
e j
j
q
(2.19)
Remarque
Les deux dernières formules (2.18) et (2.19) permettent d’exprimer la dérivée covariante d’un
champ f de tenseurs pour différents choix de f .
Considérons les exemples suivants :
lgèbre et analyse tensorielles
1
–
Si -f
est un scalaire
t j
permet de voir que les composantes de t relatives à b sont :
.e
q j
La formule t 

 jt 
t
q j
2- Si f est un champ de vecteurs contravariants :
Posons u 
et considérons la forme :
x
(t .t ) t '
t
 j .t  t . j
j
x
x
x
( r  0 et r  0 ).
Alors si t  u et t  (ei ) , on a :
u
 u .e i  u .e k
i
k
u u i
e
 j  j .e i  u k . kj
q
q
q
Désignons par  j i k l’ iéme composante de

or
D’où
ek

x
q k
e k
q
j
(2.20)
relative à b :
e k
  j i k .ei ; i , j , k 1,....., n 
j
q
(2.21)
(défini dans le paragraphe 4 du même chapitre).
x
  j i k .ei
j
k
q .q
(2.22)
La famille  j i k est la famille des symboles de Christoffel de 2 éme espèce relatifs à la carte
.
De la définition q k , q j

 (k,j) ; il résulte
 j i k  k i j
On en déduit que :
Or
u
u  j  e j
q
u
u i
  j   j i k .u k  .ei
j
q
 q

u i
 u   j   j i k .u k  .ei  e j
 q

3- Si f est un champ de vecteurs covariants
(2.23)
(2.24)
(2.25)
lgèbre et analyse tensorielles
On pose u  f (x ) mais comme f est un champ de vecteurs covariants alors : u  ui e i .
Un raisonnement analogue donne :
u k
u

  j i k .u i  .e k

j
j
q
 q

(2.26)
u
u   kj   j i k .u i  .e k  e k
 q

(2.27)
Remarque
Pour calculer
e
i
q
j
on utilise :
e k ,e i    ki  cste 

q
j
e k , e i   0 .
1- Généralisation de la dérivée covariante pour r
2
Posons t  f ( x) , un calcul analogue nous permet d’obtenir pour la famille  j t
h1    h p
k1   k q
des composantes de t relatives à la base b :
 jt
h1    h p
k1    k q
p
 h h
h h 
h
 jt
k k    j l t
q
 1
1
p

1
1
q
 1
l h 1   h p
k1    k q
q
  jl k t h h k k
1
 1

p
1
 1 l
k  1    k q
(2.28)
12- Symboles de Christoffel
1- On appelle Symbole de Christoffel de première espèce les composantes covariantes
des symboles de Christoffel de seconde espèce. On obtient l'expression liant les deux
espèces par la formule :
kji  g jl K i
On rappelle que les
tenseur métrique G.
ij
et
ij
(2.29)
sont ses composantes covariantes et contravariantes du
lgèbre et analyse tensorielles
2- Inversement, on peut écrire l'expression des composantes contravariantes en fonction
des covariantes, on obtient :
k ji  g jl kli
(2.30)
Connaissant les symboles de Christoffel d'une espèce, on peut donc obtenir ceux de
l'autre espèce par les relations précédentes.

3- La dérivée seconde du vecteur OM s'écrit alors :
 kj M   k ( j M )   k e j  k j el
On obtient de même :
 jk M   j ek   j k el
Les relations précédentes sont égales et il vient en identifiant les composantes relatives
au même vecteur el :
k l j   j lk
(2.31)
4- Compte tenu de l'expression des symboles de Christoffel de première espèce
kji  g jl K i
et de l’équation (2.31), on obtient les relations entre symboles de
première espèce :
kij   jik
(2.32)
5- Diverses notations sont utilisées pour représenter les symboles de Christoffel. Les plus
usuelles sont les suivantes :
Symboles de première espèce : kji  ki, j 
lgèbre et analyse tensorielles
Symboles de deuxième espèce : k ji  k i j
6- En utilisant la définition de la composante covariante
ij  ei e j , on obtient facilement l’équation :
ij
du tenseur métrique G
kij  kji   k g ij
(2.33)
Puis en effectuant une permutation circulaire sur les indices, on obtient :
kji  ikj   i g jk
(2.34)
ikj   jik   j g ki
(2.35)
En effectuant la somme des équations (2.33) et (2.34) puis en retranchant l’équation
(2.35), on obtient la relation :
1
kji  ( k g ij   i g jk   j g ki )
(2.36)
2
C’est l’expression des symboles de Christoffel de première espèce en fonction des
dérivées partielles des composantes covariantes du tenseur métrique.
On obtient l’expression des symboles de seconde espèce à partir de la relation (2.30) :
1
ki j  g il klj  g il ( k g jl   j g lk   l g kj )
(2.37)
2
7- Exemples de calcul des symboles de Christoffel de première espèce d’après la relation
(2.36), relatifs aux coordonnées sphériques.
Le tenseur métrique exprimé en coordonnées sphériques s’écrit :
1
ij
0
0

0
 0 r 2

0 0 r 2 sin 2  
(2.38)
lgèbre et analyse tensorielles
Et:
1
ij
0
0

 0 1 / r 2
0

2
2
0 0 1 / r sin  
Donc
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
111  (1 g11  1 g11  1 g11 )  1 g11  0
112  (1 g 21   2 g11  1 g12 )   2 g11  0
113  (1 g 31   3 g11  1 g13 )   3 g11  0
121  (1 g12  1 g 21   2 g11 )   2 g11  0
122  (1 g 22   2 g 21   2 g12 )  1 g 22  r
1
123  (1 g 32   3 g 21   2 g13 )  0
2
1
1
2
2
131  (1 g13  1 g 31   3 g11 )    3 g11  0
1
132  (1 g 23   2 g 31   3 g12 )  0
2
1
1
2
2
133  (1 g 33   3 g 31   3 g13 )  1 g 33  r sin 2 
Et ainsi de suite, on trouve finalement :
1
211   2 g11  0
2
1
212   1 g 22  r
2
(2.39)
lgèbre et analyse tensorielles
213  0
1
221  1 g 22  r
2
1
222   2 g 22  0
2
1
223   3 g 22  0
2
231  0
1
232    3 g 22  0
2
1
233   2 g 33  r 2 sin  cos
2
1
311   3 g11  0
2
312  0
1
313   1 g 33  r sin 2 
2
321  0
1
322   3 g 22  0
2
1
323    2 g 33  r 2 sin  cos
2
1
331  1 g 33  r sin 2 
2
1
332   2 g 33  r 2 sin  cos
2
1
333   3 g 33  0
2
lgèbre et analyse tensorielles
On en déduit les symboles de Christoffel de deuxième espèce d’après la relation (2.37). On
obtient :
122  g 22 122 
133  g 33133 
1
r2
r

1
r
1
r sin 2 
r 2 sin 2 

1
r
22  g 212  r
212  g 22 221 
233  g 33233 
1
r
2
r

1
r
1
2
2
r sin 
2
r sin  cos 
 cot 
33  g 313  r sin 
332  g 22 323 
313  g 33331 
323  g 33332 
1
r
2
(r 2 sin  cos )   sin  cos
1
r 2 sin 2 
1
2
2
r sin 
r sin 2 

1
r
2
r sin  cos
 cot
lgèbre et analyse tensorielles
C – Applications des tenseurs
en physique
L e calcul tensoriel sait mieux la
physique que le physicien lui-même.
(Paul. LANGEVIN)
lgèbre et analyse tensorielles
Introduction
En physique, lorsqu’on définit une grandeur, il faut la présenter sous la forme la plus
précise et générale. Nous devons présenter ses unités fondamentales et respecter les équations
aux dimensions. D’autre part, nous devons préciser tout changement de référentiel donc toute
transformation de coordonnées. Le choix du référentiel dépend du problème qu’on traite. Par
exemple, pour l’étude des vibrations d’un disque, on utilise les coordonnées polaires. Par
contre, si on étude les vibrations d’une sphère, on opte pour les coordonnées sphériques.
1- Représentation des diverses grandeurs
En physique, en général, on préfère travailler dans des référentiels orthonormés à 3 ou 4
dimensions donc dans des espaces avec une structure euclidienne au sens strict.
Le point de départ pour la représentation tensorielle des grandeurs physique, est notre
connaissance qu’un déplacement est un vecteur contravariant noté par ses composantes
i
(i=1,2 ,3). Nous pouvons déduire que la vitesse est aussi un vecteur contravariant :
 
i
De même que l’accélération :
 
i
dx i
(1)
dt
dx i
dt

d 2 xi
dt 2
(2)
Si nous voulons représenter une force, nous devons écrire un invariant, c'est-à-dire trouver
une grandeur invariante par tout changement d’axe, comme le travail de la force qui n’est
autre que le produit de cette force par le déplacement en respectant la convention d’Einstein :
dW
 f i .x i
(3)
Donc la force est un vecteur covariant. On peut en déduire la quantité de mouvement :
i

dpi
dt
La quantité de mouvement est aussi un vecteur covariant.
(4)
lgèbre et analyse tensorielles
L’écriture de l’énergie cinétique comme un invariant donne la masse comme un tenseur
covariant d’ordre deux :
dEc
1
 mij x i x j
2
(5)
Les équations suivront automatiquement dans la représentation tensorielle. Par exemple,
l’équation de Lagrange s’écrit :
L
L
)

0
dt q i
q i
d
(
(6)
(L étant le Lagrangien et q i la coordonnée généralisée).
De même, en électricité, on représentera le courant électrique comme un vecteur
contravariant. La puissance fournie étant un invariant donnera une tension électrique comme
vecteur covariant, qui à son tour, nous permet de représenter l’impédance comme un tenseur
covariant d’ordre 2.
Donc nous pouvons écrire toutes les grandeurs physiques sous forme tensorielle ainsi que
toutes les lois et les équations de la physique. Cette représentation indicielle facilite
énormément les calculs dans le cadre général anisotrope.
3
- Exemple de tenseurs d’ordre 0 : Les scalaires
Les tenseurs d’ordre 0 peuvent être naturellement identifiés aux scalaires de R. Ils sont
appelés scalaires ou encore invariants. Ce sont des nombres réels dont la définition est telle
que leur valeur est invariante par changement de base.
En physique, ils représentent des quantités chiffrées comme la température d’un corps ou
la charge d’un électron.
REMARQUES : Tous les nombres réels ne sont pas des scalaires. Par exemple, le réel défini
comme une composante d’un vecteur n’est pas un scalaire car il change avec la base. Il en est
de même pour la somme des composantes d’un vecteur. En revanche, la norme d’un vecteur
est un scalaire. Un scalaire est un invariant par tout changement de base.
lgèbre et analyse tensorielles
4
- Exemple de tenseurs d’ordre 2 : Le tenseur de déformation
La connaissance des caractéristiques de déformation, d’un solide, est d’un grand intérêt.
Elles nous renseignent sur sa stabilité, sa résistance, sa dureté, sa rigidité, sa ténacité …
Le tenseur des déformations, est un tenseur symétrique d'ordre 2. Sous l’action de forces
extérieures appliquées à un solide, résulte des déformations. Le mot « tenseur » rappelle le
premier tenseur reconnu en physique : le tenseur de contraintes (contrainte = tension = effort).
L'état de déformation d'un solide est décrit par un Champ de tenseur, c'est-à-dire que le
tenseur des déformations est défini en tout point du solide. On parle de ce fait de champ de
déformation.
Dans notre exemple nous nous limiterons à de petites déformations élastiques (élasticité
linéaire : le solide reprend sa forme initiale dés que les forces appliquées sont supprimées).
L’étude de l’élasticité des matériaux reste un très vaste domaine qui donne beaucoup
d’informations sur la structure interne des corps comme leurs propriétés structurales,
élastiques et électroniques ainsi que les transitions de phase qui se produisent sous contrainte.
On Adoptera que le matériau est homogène.
Remarque importante
On rappelle que nous travaillons dans une repère {O; x, y, z} orthonormé direct ; ı, ȷ


et k (où i=1,2,3) sont les vecteurs unitaires des axes. Or si la base ei  est orthonormée, on

en déduit facilement qu’elle confondue avec sa base duale et on a donc dans ce cas :
ei   e i 
et
i
 xi
Il est donc inutile de distinguer les variances. Par convention, on met tous les indices en
bas. La convention d’Einstein n’est plus respectée (un indice en haut, un indice en bas) mais
on somme toujours sur l’indice qui se répète. Autrement dit, si la base est orthonormée, la
position des indices n’a plus d’importance. On notera aussi que dans le cas de bases
orthonormées les formules de changement de base et de transformation des composantes
données précédemment dan la partie A, se simplifient considérablement.
Donc, il résulte que pour tout tenseur euclidien les diverses représentations coïncident :
lgèbre et analyse tensorielles
e j .ei
 e j , ei   ei. .e j  e j .e i   i j
 x i .ei  xi .ei
 g ij   i j
ij
T ik
l
jk
 T ijkl  Tijkl
 aik a jl Tkl
Loi de transformation d’un tenseur d’ordre 2 :
T 'ij
Et plus généralement pour un tenseur d’ordre n :
T 'ijkl
 aio a jp ...akq almTopqm
4.5 – Détermination du tenseur de déformation
Considérons un solide qui initialement a le volume V (configuration initiale de
0
référence) et qui à l’instant t et sous contrainte possède le volume V (configuration sous
contrainte).
N’
X
XN
X
M
XM
V0
Sous contrainte
V


MN
’

M
'
N'
Fig. 1 – Déformation d’un corps élastique sous contrainte.
lgèbre et analyse tensorielles
Considérons deux points très proches M et N qui se transforment en M’ et N’

respectivement sous contrainte comme l’illustre la Figure 1. Soit r le vecteur position du

point M et r ' celui du point M’ (Figure 2).

On appelle vecteur déplacement du point M le vecteur u défini par :

u
 
 r ' r
(7)
On utilisera la notation indicielle qui facilite énormément les écritures :
ui
 x' i  xi
avec i=1,2,3
Comme nous avons une déformation élastique et non une translation de l’ensemble du solide

u
 
 u (r ) ou encore ui  ui (x j ) .
 
La détermination de u (r ) , des déplacements dl et dl’ détermineront complètement la
déformation du corps sous contrainte.
3
N


u  du
dl
M
N’

dl’
u

M’
r

r'

k
O

2

i
1
Fig. 2 - Positionnement des différents points pendant la déformation élastique
lgèbre et analyse tensorielles
On définit les vecteurs positions par leurs coordonnées :
 xM 1 

r  rM  x M 2 
x 
 M3 

 
,
 x N1 

 
rN  x N 2 
x 
 N3 
N




 rN  rM

' N '  rN '
 
 x' M 1  x M 1 

u  r ' r  u  x' M 2  x M 2 
 x'  x 
 M3 M 3 

et
 

 x' N 1 

 
rN '  x' N 2 
 x' 
 N3 
,

 x' M 1 

r '  rM '  x ' M 2 
 x' 
 M3 

 x N 1  x M 1  dx1 

N  x N 2  x M 2  dx2 
 x  x  dx 
3 
 N3 M3


 rM '
 x' N 1  x' M 1  dx'1 


' N '  x ' N 2  x' M 2  dx' 2 
 x'  x'  dx' 
3 
 N3 M 3


Avec :
dx'i
 x' Ni _ x' Mi  ( x Ni  u Ni )  ( xMi  u Mi )  dxi  dui
N

 MN  dl  dx12  dx22  dx32

' N' M ' N '
Et
 dl '  dx'12 dx' 22 dx'32
D’où dl ' 2   dx'i2   (dxi  dui ) 2   dxi2  dui2  2dxi dui
i
Or
 dx
2
i
i
 dl 2
Comme
i
ui
 ui ( x1 , x2 , x3 )
(9)
(10)
(11)
i
 dl ' 2  dl 2   dui2  2 dxi dui
i
(8)
i
(12)
lgèbre et analyse tensorielles
Alors :
dui

ui
u
u
u
u
dx1  i dx2  i dx3   i dxk  i dxk
x2
x3
xk
x1
k x k
(13)
On peut alléger l’écriture en adoptant la notation de la dérivée définie dans la partie 2 :
ui
  k ui
x k

dui
(14)
k
  (  k u i .dxk ) 2  2.  k ui .dxk .dxi
dl ' 2  dl 2
i
dl ' 2  dl 2
   k ui .dxk   k ui .dxk
k
i
k
  (  k ui .dxk )(  l ui .dxl )  2  k ui .dxi .dxk
i
k
l
i
k
  u .dx .dx    u .dx .dx    u .dx dx
2
k
i
i
i
k
k
k
i
i
i
k
i
k
k
k
k
(15)
i
i
(i et k étant deux indices muets)
On obtient :
dl ' 2  dl 2
   k ui . l u i .dxk .dxl   ( k ui   i u k )dxi .dxk
i
k
l
  u . u .dx .dx
k
i
k
i
l
i
k
i
l
k
l
l
dl ' 2  dl 2
k
  u . u .dx .dx

k
l
i
(15’)
l
k
i
(i et l deux indices muets)
i
  (  k ul . i ul )   i u k   k u i dxi .dxk
i
k  l

(16)
On pose par définition le tenseur de déformation et on le note  ik , la quantité suivante :
 ik
D’où :
1
 ( i u k   k u i    i u l . k u l )
dl ' 2  dl 2
2
l
  2 ik .dxi .dxk  dl 2   2 ij .dxi .dx j
i,k
Ou tout simplement :
(17)
dl ' 2  dl 2
(16’)
i, j
 2. ij dxi dx j
(16’’)
(On rappelle que i, j et k sont des indices muets et que la somme se fait toujours sur l’indice
qui se répète).
lgèbre et analyse tensorielles
Pour les petites déformations, on néglige les termes d’ordre 2 du type :  k ui . i u l
D’où la forme plus simple de  ij :
 ij
ui u j

)
xi
2 x j
1
1
 ( j u i   i u j )  (
2
(17’)
C’est un tenseur d’ordre 2 (nous avons deux indices) avec 9 composantes, qui peut
être représenté par une matrice carrée (3  3) . De la définition (17’), on remarque que
 ij
  ji , donc le tenseur est symétrique . Par conséquent, il ne reste que 6 composantes
indépendantes :



 11 12 13 
    21  22  23 


 31  32  33 
(18)
Avec  12   21 et  23   32
Ce tenseur est diagonalisable. Généralement, on préfère travailler dans le système
d’axes principaux où nous n’avons que 3 composantes notées  1 ,  2 et  3 :

0
0


2
  0 
0
 0 0 3


(19)
On définit le champ du tenseur de déformation  (r ) . Il dépend du point de l’espace
autour duquel se fait la déformation.
Les directions des axes principaux sont appelées directions principales, et les
déformations  1 ,  2 et  3 sont les déformations principales.
Les déformations principales sont les valeurs propres du tenseur, et les directions
propres, ses vecteurs propres. Les valeurs propres λ vérifient l'équation
Det(  - λI) = 0
lgèbre et analyse tensorielles
Où I est la matrice identité ; les déformations principales sont donc les solutions en λ de cette
équation.
Rappelons que la trace d’une matrice est invariante par changement de base donc :
tr
  ii   11   22   33   1   2   3
Et ainsi pour les petites déformations, la variation relative de volume vaut :
V
 tr   11   22   33   1   2   3
V0
3.2 - Sens physique des composantes de  ij
3.2.1- Sens physique des composantes diagonales
Les composantes diagonales sont  ,  22 et 
11
33
.
Considérons les points M et N dans les positions suivantes :
 x1 
 
 0 
 0 
 
0
 
0
0
 
et
Qui se transforment sous contrainte d’après l’équation (8) :
 u1 
 
'u2 
u 
 3
 x1  u1 (x1 ) 


'  u 2 (x1 ) 
 u (x ) 
3
1


et
D’après la relation (14)
dui
   k ui .dxk   k ui .dxk
k
Donc
du1
 u1 (x1 )  u1 
u1
x
x1 1
(20)
du 2
 u 2 (x1 )  u 2 
u 2
x
x1 1
(21)
lgèbre et analyse tensorielles
du3
 u3 (x1 )  u3 
u3
x
x1 1
(22)
L’allongement relative ou la déformation (strain) suivant l’axe
1
est défini par
M ' N 'MN
MN
Et d’après l’équation (12) on trouve que :
M ' N ' MN
MN
Or
 11

u1
x1
=
u1
x1

M ' N ' MN
MN
  11
(23)
Des calculs analogues peuvent être faits suivant les deux autres axes
2
et
3
.On en
déduit que les composantes diagonales du tenseur de déformation donnent les allongements
relatifs lors de la déformation dans les trois directions respectivement.
Conclusion :
Un même raisonnement peut être fait pour n’importe quel tenseur
symétrique d’ordre 2. Par exemple, le tenseur de contrainte  ij (d’ordre 2), peut être défini et
ses composantes diagonales  11 ,  22 et  33 ne sont que les contraintes suivant les trois axes
1
,
2
et
3
respectivement. On les appelle les contraintes normales.
3.2.2 – Sens physique des composantes non diagonales
Considérons maintenant trois points M, N et P qui se transforment lors de la
déformation en M’, N’ et P’.
On choisit les coordonnées des trois points de telle façon qu’ils forment un angle droit :
0
 
0 ,
0
 
 x1 
 
 0 
 0 
 
0


et P x 2 
 0 


Et on se propose de calculer le nouvel angle formé par

' N ' et

' P' .
lgèbre et analyse tensorielles
 x1  u1 (x1 ) 


'  u 2 (x1 ) 
 u (x ) 
3
1


 u1 
 
'  u2  ,
u 
 3
 u1 (x2 ) 


et P '  x 2  u 2 (x 2 ) 
 u (x ) 
3
2


X3
N’

2

M’
P’
P
M
N
x2
90°
X1
FIG. 3 – Positionnement des différents points lors d’un cisaillement.

Considérons les deux déformations
' N ' et

' P ' et l’angle formé par ces deux vecteurs ;

On le définira par son cosinus : cos(   )  sin 
2
Soit
Et

nM 'N '

nM 'P '


M ' N'

M ' N'
le vecteur unitaire dans la direction


M ' P'

M ' P'
le vecteur unitaire dans la direction

' N'

' P'
lgèbre et analyse tensorielles


nM ' N ' .nM 'P '




2
2
 nM 'N ' . nM 'P ' cos(   )  1. cos(   )

D’où :

nM ' N ' .nM 'P '

 cos(   )
2
(24)
En utilisant les relations (20), (21) et (22) et en négligeant tous les termes d’ordre 2 tel que
(x1 ) 2 , on trouve :
cos(

Or
2
  )  sin  
u1 u 2

x2 x1

u1 u 2

x2 x1
s n
   2 12
2. 12
(25)
(26)
Donc la composante non diagonale  représente la variation de l’angle formé par les
12
directions parallèles aux axes
1
et
2
; On en déduit, que les composantes  ij avec i  j sont
les composantes de cisaillement.
Conclusion :
Si nous prenons le même exemple du tenseur de contrainte alors, il en résulte que les
composantes en dehors de la diagonale représentent des contraintes tangentielles ou de
cisaillement.
3.3 - Représentation géométrique des tenseurs symétriques de rang 2
Mathématiquement, l’équation générale d'une surface du second degré ou quadrique
rapportée à un système d'axes dont l'origine est en son centre, peut être représentée par
l’équation :
S ij .xi .x j
1
(27)
lgèbre et analyse tensorielles
Ces surfaces sont des ellipsoïdes ou des hyperboloïdes, selon les valeurs des quantités
S ij .
Si S ij  S ji , on peut montrer facilement que S ij se transforme comme un tenseur Tij
d’ordre 2 lors d’un changement de coordonnées. En conséquence, on peut représenter un
tenseur symétrique par une surface quadratique. En particulier cette surface peut représenter
toute propriété physique qui est donnée par un tel tenseur et est appelée la quadrique
représentative.
Si l’on se réfère aux axes principaux, les surfaces quadratiques prennent la forme
simplifiée :
S1 x12
 S 2 x22  S 3 X 32  1
(28)
Les quantités S i sont les composantes principales du tenseur S ij .
-
Si les coefficients S i sont tous positifs, alors la surface est un ellipsoïde (FIG.4)
-
Si seulement 2 coefficients sont positifs et le troisième coefficient négatif, alors la surface
est un hyperboloïde à une nappe.
-
Si 2 coefficients sont négatifs et le troisième coefficient positif, alors la surface est un
hyperboloïde à deux nappes.
-
L’équation classique d’un ellipsoïde s’écrit :
x12
a2

x 22
b2

x32
c2
1
(29)
Où a, b et c sont les longueurs des demi-axes suivant les trois directions principales du
repère orthonormé ( o x1 x 2 x3 ). Par comparaison avec l’équation (25) , on en déduit :
a
-
1
( S1 ) 1 / 2
, b
1
( S 2 )1 / 2
et
c
1
( S 3 )1 / 2
S i est notée l’intensité de la propriété représentée par le tenseur S ij selon la
direction
i
(30)
lgèbre et analyse tensorielles
X3
c 1
S3

r
oO0à
x2
b 1
a
S2
1
( S1 ) 1 / 2
X1
FIG 4. Schéma d’un ellipsoïde. a, b et c sont les longueurs des demi-axes suivant
les trois directions
1
, x 2 et
3
respectivement.
3.4- Intensité d'une propriété physique dans une direction donnée.
Plus généralement la longueur du rayon vecteur est égale à :
r
1
(S )
1/ 2
Avec S  S ij .li .l j
(31)

Où les l i sont les cosinus directeurs de la direction donnée par le vecteur r .
lgèbre et analyse tensorielles
S est l’intensité de la propriété physique représentée par le tenseur S ij et est donnée par
l’inverse du carré de la longueur du rayon vecteur r, dans la direction définie par le

même vecteur r .
3.5 – Autres exemples de tenseurs d’ordre 2
Nous citerons sans détailler d’autres exemples de tenseurs d’ordre 2 comme :
-
Le tenseur de la conductivité électrique.
-
Le tenseur de la conductivité thermique.
-
Le tenseur de la permittivité diélectrique.
-
Le tenseur de la susceptibilité électrique.
-
Le tenseur de la susceptibilité magnétique.
-
Le tenseur de la polarisabilité.
-
Le tenseur de la pyroélectricité.
…
Remarque 1
On définit en mécanique des milieux continus d’autres tenseurs à partir du tenseur de
déformation Comme :
-
Le tenseur gradient de la déformation.
-
Le tenseur de dilatation ou tenseur de Cauchy-Green.
-
Le tenseur Green-Lagrange.
Remarque 2
On ne peut pas parler de déformation d’un corps sans parler de son élasticité, ce qui
nous ramène à l’introduction du tenseur d’élasticité d’ordre 4.
4– Exemple de tenseur d’ordre 4 : Le tenseur d’élasticité
La contrainte est liée à la direction de la force appliquée par rapport à la normale à la
face sur laquelle elle s’applique. En fonction de ces directions relatives, la déformation peut
être normale ou un cisaillement.
lgèbre et analyse tensorielles
4.1 – Le tenseur d’élasticité
Pour traiter un cas général, Il est nécessaire de décrire le problème sous forme
tensorielle. La loi de Hooke dans le cas le plus général d’anisotropie s’exprime alors :
 Cijkl  kl
 ij
(32)
Où
-
 ij
est le tenseur de contrainte d’ordre 2 (symétrique).
-
 kl
est le tenseur de déformation d’ordre 2.
-
Cijkl
est le tenseur d’élasticité d’ordre 4.
Contrairement à la pression, le vecteur contrainte n'est pas nécessairement orienté
selon la normale.
Donc, le comportement élastique du matériau est modélisé par un tenseur d'ordre 4
[Cijkl ] contenant 34  81 coefficients élastiques. En tenant compte de la symétrie des tenseurs
de contrainte et de déformation, on a :
 ij
  ji
et
 kl
  lk
Donc :
Cijkl
 C jikl  Cijlk  C jilk
(33)
Ces égalités (appelés petite symétrie indicielle) diminuent le nombre des composantes
élastiques de 81 à 36 qui peuvent être rangées dans un tableau 6x6.
De même, Le premier principe de la thermodynamique fournit la grande symétrie
indicielle. Dans le cas linéaire, l'énergie de déformation élastique est donnée par :
W
Donc
W
1
  ij  ij
(34)
2
1
1
2
2
 Cijkl  kl  ij  C klij  ij  kl
(35)
lgèbre et analyse tensorielles
D’où
Cijkl
 2W
 2W


 C klij
 ij  kl  kl  ij
(36)
L'ensemble de ces relations permet encore de réduire le nombre de composantes
indépendantes du tenseur d'élasticité à 21.
Nous avons donc 21 composantes Cijkl avec Cijkl  C klij . D’où la représentation du
tenseur d’élasticité par une matrice 6x6 carré et symétrique.
On écrira donc, par exemple pour  13 :
 13
 C1311 11 C 1322 22  C1333 33  C1332 32  C1323 23  C1331 31  C1313 13  C1312 12  C1321 21









2 C1332 32
2 C1331 31
2 C1321 21
Il est donc nécessaire de tenir compte de ces coefficients 2 en écrivant cette relation. D’où
l’écriture matricielle de la loi de Hooke :
 11  C1111
  C
 22   1122
 33  C1133
 
 23  C 2311
 13  C1311
  
 12  C1211
C1122
C1133
C1123
C1131
C 2222 C 2233 C 2223 C 2213
C 3322
C 3333 C 3323 C 3315
C 2322 C 2333 C 2323 C 2313
C1322
C1333
C1323
C1313
C1222
C1233
C1223
C1213
C1112    11



C 2212  22


C 3312   33 


C 2312 2 23 
C1312   2 13 


C1212   2 12 
(37)
Pour simplifier encore plus l'écriture, on adopte souvent une notation de 1 à 6, appelée
notation de Voigt, avec les axes de compression/traction notés de 1 à 3 et les axes de
cisaillement notés de 4 à 6 (Voir partie A).
Au niveau de la notation de Voigt, on rassemble les deux indices en un seul suivant la
convention déjà cité dans la première partie:
11  1
32 ou 23  4
22  2
13 ou 31  5
33  3
12 ou 21  6
On écrira donc, au lieu de, pour la loi de Hooke :
lgèbre et analyse tensorielles
 ij
 Cijkl  kl
La relation suivante :

 C . 
(38)
Où  et  varient de 1 à 6 ; .de sorte qu'on passe de la notation complète à la notation de
Voigt par les relations suivantes :
  ij
C  Cijkl
    ij
pour   1,2,3
   2 ij pour   4,5,6

(39)
Au tenseur  ij de rang 2 (ou  ij ), on associe un vecteur à 6 composantes de la façon
suivante :
 11  12

 ij    21  22
  31  32

1
  11
  22 
  33 

  23 
  13 

  12 

 2
 13 
  3
 23   
 4
 33 
 5

 6
Et plus précisément :
 1  C11
  C
 2   21
 3  C31
 
 4  C 41
 5  C51
  
 6  C61
C12
C13
C14
C15
C 22
C 23
C 24
C 25
C 32
C 33
C34
C35
C 42
C 43
C 44
C 45
C 52
C 53
C54
C55
C 62
C 63
C 64
C 65
C16   1 
  
 2 
C36   3 
 
C 46   4 
C56   5 
 
C 66   6 
C 26
(40)
De même, on définit un tenseur inverse d’ordre 4 appelé tenseur de souplesse ou tenseur de
complaisance élastique à partir de l’inversion de la loi de Hooke :
 ij
 S ijkl kl
ou

 S  
(41)
lgèbre et analyse tensorielles
  11   S1111 S1122 S1133
   S
 22   2211 S 2222 S 2233
  33   S 3311 S 3322 S 3333



2
23

 2S 2311 2S 2322 2S 2333
 2 13   2S1311 2S1322 2S1333

 
 2 12   2S1211 2S1222 2S1233
2s1112   11 
2S1123
2S1131
2S 2223
2 S 2213 2S 2212  22
2S 3323
2S 3315
4S 2323
4 S 2313
4S1323
4 S1313
4S1223
4 S1213
 
 
2S 3312   33 
 
4S 2312  23 
4S1312   13 
 
4S1212   12 
(42)
Avec :
  ij
    ij Si   1,2,3
   2 ij Si   4,5,6
S   S ijkl Si   1,2,3 Et   1,2,3
S   2S ijkl Si   1,2,3 Et   4,5,6
Ou Si   4,5,6 Et   1,2,3
S   4S ijkl Si  ,   4,5,6

(43)
4.2 – Symétrie cristalline et réduction du nombre de composantes indépendantes
Si une structure cristalline possède des éléments de symétrie alors le nombre de
composantes élastiques indépendantes est réduit encore plus. En effet, puisque le matériau est
invariant par la transformation définie par la symétrie considérée, le changement de repère qui
peut être défini par une matrice bien déterminée M, ne modifie pas la loi de comportement,
qui doit toujours s’écrire à l’aide de la même représentation du tenseur donc les C ij ne
changent pas.
On note M, la matrice de passage de passage de l’ancien repère (avant l’opération de
symétrie) au nouveau repère (après l’opération de symétrie)
.
 a11 a12 a13 


  a21 a22 a23 
a a

 31 32 a33 
(44)
Et la loi de tensorialité des constantes élastiques imposent lors du changement du
repère de respecter l’équation :
lgèbre et analyse tensorielles
C 'ijkl
 aim .a jn .ako .alp C mnop
(45)
Avec, due à l’invariance de la propriété d’élasticité : C 'ijkl  C mnop
- C 'ijkl : les constantes élastiques dans le nouveau repère
- Cmnop : les constantes élastiques dans l’ancien repère
- aij : les composantes de la matrice M
i,j,k,l,= 1,2,3
m,n,o,p = 1,2,3
Prenons quelques exemples :
4.2.1 – Le solide possède un plan de symétrie de coordonnée
0
C’est le plan perpendiculaire à l’axe Z dans le repère (oxyz) . Dans ce cas la matrice M
s’écrit :
1
0
0


 0 1 0 
 0 0  1


(46)
Le calcul des Cijkl par la relation C 'ijkl  aim .a jn .ako .alp Cmnop donne :
C '1111  a1m .a1n .a1o .a1 p C mnop
 a1m .a1n .a1o .(a11C mno1  a12 C mno2  a13C mno3 )
 a1m .a1n .a1o a11C mno1

(47)
 a114 C1111  C1111
C '1122  a1m a1n a 2o a 2 p C mnop
 a112 .a 222 .C1122
 C1122
-
(48)
Et ainsi de suite pour toutes les composantes. On remarque que les composantes non
diagonales a ij de M sont nulles et que les composantes Cijkl qui ont un nombre impair
d’indice 3 sont nulles :
lgèbre et analyse tensorielles
C14
 C 24  C34  C64  C15  C 25  C35  C65  0
(49)
Il ne reste alors que 13 composantes indépendantes.
4.2.2 – Le solide possède deux plan de symétrie de coordonnée x=0 et
-
0
Ceux sont les deux plans orthogonaux perpendiculaires à l’axe x et à l’axe z dans le repère
(oxyz). Dans ce cas, en pus du premier cas, on écrit la matrice pour le plan x=0
x0
1 0 0


  0 1 0
 0 0 1


(50)
Toutes les composantes Cijkl qui ont un nombre impair d’indice 1 sont nulles :
C16
 C26  C36  C45  0
(51)
Il ne reste que 9 composantes indépendantes.
La matrice d’élasticité s’écrit alors :
0
0 
 C11 C12 C13 0


C
C
C
0
0
0
 12

22
23
C C
C33
0
0
0 
13
23


C
0
0
0
0 
 0
44
 0

0
0
0
C
0
55


 0
0
0
0
0 C 66 

(52)
4.2.3- Le solide possède des axes de symétrie
Prenons, par exemple le cas d’un cristal cubique. En effet, un cristal cubique possède
un centre de symétrie, 3 axes d'ordre 4 de type [100], 3 miroirs de type (100) normaux aux
axes d’ordre 4, 4 axes d'ordre 3, 6 axes d'ordre 2 de type [110] et 6 miroirs' de type (110)
normaux aux axes d'ordre 2.
Considérons les 4 axes de symétrie d’ordre 3. Ces axes sont parallèles aux directions
du type [111]. Une rotation d’un angle 2 / 3 autour de ces 4 axes dans un repère (Ox,y,z)
(FiG 5), change les axes du repère suivant ces 4 transformations :
lgèbre et analyse tensorielles
1)
y
z
x
2)
xz
xz
z  y
 y  x
3)
z  y
Et 4)
yx
x y
z
z  x
(53)
Z
Axe 1
X
FIG 5 : Structure cubique avec 4 axes d’ordre 3.
On voit bien qu’une rotation de
2
3
autour de l’axe 1, change l’axe Ox avec l’axe Oy, l’axe
Oy avec l’axe Oz et l’axe Oz avec Ox tout en laissant le cristal invariant. On en déduit que
les directions Ox, Oy et Oz sont équivalents donc C11  C 22  C33 et C44  C55  C66 .
Mais on peut le voir aussi par les équations de transformations suivantes :
lgèbre et analyse tensorielles
1
 c11 1  C12 2  C13 3  C14 4  C15 5  C16 6
(54)
Après la rotation autour de l’axe 1, les axes 1, 2 et 3 (x, y et z) redeviennent :
1   2
1   2

(55)
6  4
Et donc on a :
2
 c11 2  C12 3  C13 1  C14 5  C15 6  C16 4
(56)
Puisque le matériau est invariant par la transformation définie par la rotation , le changement
de repère, ne modifie pas la loi de comportement d’élasticité, qui doit toujours s’écrire à l’aide
de la même représentation du tenseur donc les C ij ne changent pas.
Avant la rotation on avait :
2
 c21 1  C22 2  C23 3  C 24 4  C25 5  C26 6
(57)
On en déduit par comparaison des équations (56) et (57) que :
C12  C13  C 23
C11  C 22
C 24  C16
(58)
C 25  C14
C 26  C15
Les mêmes rotations autour des 3 autres diagonales du cube montrent que la matrice des
composantes élastiques se réduit à la matrice suivante :
0
0   1 
  1   C11 C12 C12 0
  
 

C
C
C
0
0
0
 2   12
  2 
11
12
   C C C
0
0
0   3 
12
11
 3    12
 
0
0 C 44
0
0   4 
 4   0
   0
 
0
0
0 C 44
0   5 
 5 
   0
0
0
0
0 C 44   6 
 6 
(59)
lgèbre et analyse tensorielles
Ainsi, il ne reste que trois composantes des 21 définis précédemment.
Si en plus le milieu est isotrope, on a :
C 44

C11  C12
2
Il ne reste donc plus que 2 coefficients élastiques indépendants. On les appelle : Les
coefficients de Lamé et on les note :

 C12 Et

 C 44
Le coefficient  est le module de cisaillement. Plus, il est grand, plus le matériau est difficile
à cisailler.
4.3- Les ondes élastiques
La déformation d’un solide n’est pas localisée, elle se propage . Ce sont les ondes
élastiques. Nous pouvons prendre comme exemple la propagation des ondes sismiques émises
par un tremblement de terre.
Les ondes élastiques résultent de déplacements élastiques de particules et se propagent
seulement dans des milieux matériels, alors que les ondes électromagnétiques se propagent
aussi dans le vide. C’est un déplacement de l’énergie de l’onde et non de la matière (pas de
déplacement global du milieu). Il est évident que la vitesse de propagation de ces ondes
élastiques dépend de la densité volumique du milieu quelles traversent et de ces
caractéristiques élastiques.
Comprendre la propagation de ces ondes dans les milieux homogènes ou hétérogènes
et l'utiliser à des fins d'imagerie du milieu constitue un enjeu scientifique important dans
plusieurs domaines scientifiques comme en physique, en géophysique (séismes, prospection
géologique), en imagerie médicale, dans la matière condensée, etc.
4.3.1
Types d’ondes élastiques
On peut observer plusieurs modes de propagation suivant la nature du milieu et sa
polarisation.
lgèbre et analyse tensorielles
4.3.1.1 - la nature du milieu
-
:
Cas d’un solide homogène illimité : ce sont les ondes de volume
Les ondes qui s'y propagent sont les ondes planes. Au cours de leur propagation, ces ondes ne
rencontrent aucune frontière car l’étendue du faisceau des ondes élastiques est plus petite que
les dimensions latérales du solide dans lequel elles se propagent.
- Cas d’un solide limité : Ce sont les ondes guidées
Le solide peut être limité soit par une surface libre d’un milieu (ondes de surface), soit par
deux surfaces parallèles (plaque); les ondes se propagent en se réfléchissant alternativement
sur une surface et sur l'autre et soit dans une structure multicouche.
4.3.1.2 – la polarisation :
-
Lorsque la polarisation est parallèle à la direction de propagation, on a à faire à une onde
longitudinale (notée généralement L).
- Lorsque la polarisation est perpendiculaire à la direction de propagation. Ce sont les ondes
transversales (notées T).
.
4.3.2- Equations de mouvement
Nous allons nous intéresser à la propagation des ondes élastiques dans les cristaux. La
loi fondamentale de la dynamique s’écrit :
i
Où -
i
 2 ui
 2
t
(60)
est la force volumique due à la contrainte appliquée  ij .
-  est la densité volumique du solide.
- u i est le déplacement dû à la déformation.
Avec
i

 ij
x j
(61)
Et
 ij
 u u  1 
u
u 
u
u
1
 Cijkl . kl  Cijkl  k  l   Cijkl k  Cijlk k   Cijkl k  Cijkl l
xl
xl 
xl
xk
2
 xl xk  2 
(62)
Les indices k et l étant muets.
lgèbre et analyse tensorielles
 ij
 2ul
 Cijkl
x j
x j xk
Et donc
(63)
De la relation (58) et (59) on peut écrire :
 ij
 2ui
 2
x j
t
(64)
Et en introduisant l’équation (63), on obtient :
 2 ui
 2ul

 Cijkl
x j xk
t 2
(65)
C’est l’équation de propagation d’un onde élastique dans un solide de masse
volumique  et dont le comportement élastique est déterminé par les coefficients Cijkl .
4.3.3- Onde plane progressive
La solution de l’équation (63) est une onde plane progressive se propageant dans la

direction définie par le vecteur unitaire n perpendiculaire aux plans d’onde d’équations :

n.x
 cste
(66)
Et de la forme :
ui
-
ni
 ui . f (t 
n j .x j
v
)
(67)

étant les composantes du vecteur n (i=1,2,3)
On considère que tous les points du solide qui se trouvent dans le même état, ont tous
le même déplacement u i . Ils sont d’un plan d’onde, perpendiculaire à la direction de

propagation n (on la choisit normée).
lgèbre et analyse tensorielles
u i0
représente la polarisation de l’onde c'est-à-dire la direction de vibration des points du
solide et v la vitesse de phase.
En remplaçant l’équation (67) dans (65), on obtient :
n .n
 2ul
 j 2 k .ul
x j x k
v
 2ui
 u i et
t 2
u i

 Cijkl
v 2 u i0
n j .nk
v2
(68)
(69)
ul
 Cijkl .n j .nk .ul0
(70)
L’équation (70) est appelée : équation de Christoffel. On introduit le tenseur de Christoffel
défini par :
il  Cijkl .n j .nk
(71)
L’équation (70) s’écrit alors :
il ui0  v 2 ui0
(72)
La résolution de cette équation donne les valeurs propres v 2 et les états propres u i de il
0
d’où le calcul de la vitesse de propagation de l’onde à partir du déterminant suivant :
il  v 2 il  0
(73)
Pour un cristal de structure cubique soumis à une contrainte, le développement de l’équation
(73) donne :
C1 jk1 n j nk
 v 2
C 2 jk1 n j nk
C3 jk1 n j nk
C1 jk 2 n j nk
C 2 jk 2 n j nk
 v 2
C3 jk 2 n j nk
Calculons C1 jk1n j nK
C1 jk1 n j nk
 C1111n1n1  C1121n1n2  C1131n1n2 
 C1211n2 n1  C1221n2 n2  C1231n2 n3 
 C1311n3 n1  C1321n3 n2  C1331n3 n3
C1 jk 3 n j nk
C 2 jk 3 n j nk
C3 jk 3 n j nk
 v 2
0
(74)
lgèbre et analyse tensorielles
Un calcul identique de tous les termes du déterminant de l’équation (74) donne :
C11n12
(C12  C 44 )n1 n2
(C12  C 44 )n1n3
 C 44 (n22  n32 )  v 2
(C12  C 44 )n1 n2
(C12  C 44 )n2 n3
0
C11n22  C 44 (n12  n32 )  v 2
(C12  C 44 )n1 n3
(C12  C 44 )n2 n3
C11n32  C 44 (n12  n22 )  v 2
(75)
Supposons que l’onde se propage suivant la direction 100 : C’est-à-dire que n1  1,
n2
 n3  0 . Dans ce cas le déterminant de l’équation (75) se simplifie et s’écrit :
C11n12
 v 2
0
C 44 n12
0
 v 2
0
0
0
C 44 n12
(C11  v 2 )(C 44
 v 2 ) 2  0
0

0
D’où la vitesse longitudinale :
VL
Et deux vitesses transversales :
VT1, 2
(76)
 v 2
(77)


C11

C 44

(78)
(79)
Par sa nature, la vitesse longitudinale où les particules se déplacent dans le même sens
que l’onde, est plus grande que la vitesse transversale où les particules se déplacent
perpendiculairement à la direction de propagation de l’onde.
Ainsi, quelque soit la direction de propagation d’une onde élastique, nous pouvons
calculer sa vitesse si on connait les constantes élastiques du milieu quelle traverse et sa
densité volumique.
4.3.4- Application à l’étude des séismes
lgèbre et analyse tensorielles
Les tremblements de terre ou séismes sont les catastrophes naturelles les plus
dangereuses et imprévisibles.
Lorsqu'un matériau rigide est soumis à des contraintes, il va d'abord se déformer de
manière élastique. Dés qu’il atteint sa limite d'élasticité, il va se rompre en dégageant de façon
instantanée toute l'énergie qu'il a accumulée durant la déformation élastique. C'est ce qui se
passe lorsque le déplacement des plaques lithosphériques à la surface de la Terre engendre des
contraintes sur les roches. Celles-ci peuvent alors se déformer et se rompre déclenchant un
séisme qui se traduit par la libération d'une très grande quantité d'énergie. Cette énergie se
traduit par des ondes sismiques qui compressent et étirent les roches traversées. Ainsi, les
premières secousses sismiques enregistrées par un sismographe seront toujours les ondes
longitudinales : on les appelle les ondes primaires (ou ondes P) ou de compression. Les ondes
transversales parviennent alors avec un décalage d'autant plus grand que l'épicentre du séisme
est éloigné de la station d'enregistrement : on les appelle les ondes secondaires (ou ondes S)
ou ondes de cisaillement.
La structure radiale de la Terre est principalement déduite des observations
sismologiques. Les vitesses de propagation des ondes P et S dépendent des propriétés du
milieu qu'elles traversent. Les ondes de compression induisent localement des variations de
volume et leur vitesse, dépend de la densité et des modules d’incompressibilité et de
cisaillement du milieu. Ces ondes se propagent dans les solides ainsi que dans les liquides.
Les ondes S conduisent localement à des déformations cisaillantes sans changement de
volume. Leur vitesse dépend uniquement de la densité et du module de cisaillement. Elles ne
se propagent pas dans les liquides.
Beaucoup de modèles permettent des calculs ab initio des propriétés élastiques dans
les conditions de températures et de pression du manteau inferieur terrestre et présentent des
diagrammes de phases de ce dernier.
4.4 - Autres exemples de tenseurs d’ordre 4
-
Tenseur électro-optique de l’effet Kerr
-
Tenseur de Riemann-Christoffel ou tenseur de courbure
-
Tenseur élasto-optique.
5 – Exemple de tenseurs d’ordre 3 : Le tenseur piézoélectrique
lgèbre et analyse tensorielles
5.1 – Définition de la piézoélectricité
Ce sont les frères Pierre et Jacques Curie (1880) qui ont été les premiers à observer
que certains cristaux, lorsqu'ils sont soumis à une pression, dans certaines directions, voient
apparaître des charges positives et négatives sur certaines portions de leur surface : apparition
d’une polarisation électrique sous l’action d’une force. Ces charges sont proportionnelles à la
pression, c’est l’effet piézo-électrique direct. Inversement, quand un cristal piézoélectrique est
polarisé par un champ électrique appliqué, il se déforme selon un taux proportionnel au
champ électrique appliqué : c’est effet piézo-électrique inverse. Cet effet se résume en un
couplage entre les variables électriques et mécaniques d’un matériau.
Ces effets disparaissent quand la pression cesse
Les matériaux piézoélectriques trouvent un très grand nombre d’applications allant de
l'allume gaz et le briquet au microscope à effet tunnel en passant par les oscillateurs à quartz
des horloges électroniques. Actuellement l'introduction de la piézo-électricité dans les hétérostructures de semi-conducteurs donne des espoirs très intéressants pour le développement des
modulateurs optiques et pour le traitement optique de l'information.
5.2 – Détermination du tenseur piézoélectrique
5.2.1- Effet Piézoélectrique direct
La polarisation électrique étant un vecteur (tenseur d’ordre 1) et la contrainte un
tenseur d’ordre 2, le tenseur piézoélectrique se présente comme un tenseur d’ordre 3 :
Pi
 d ijk . jk
(80)
Où - Pi est la polarisation (3 composantes, i=1,2,3)
-  jk est le tenseur de contrainte symétrique (6 composantes)
- d ijk est le tenseur piézoélectrique
Le tenseur d ijk possède 33  27 composantes.
Pour i=1 J,k=1,2,3 donc il y a 9 composantes qu’on peut présenter sous forme de matrice
(3x3). De même pour i=2 et i=3. A priori, ce tenseur se présente comme une « matrice
cubique » formée de trois matrices carrées (3x3).
lgèbre et analyse tensorielles
Cette représentation n’est pas très commode et ne facilite pas les calculs.
On remarque que comme :
 jk
  kj
Alors
d ijk
 d ikj
(81)
Là aussi, nous allons utiliser la notation de Voigt, on va rassembler les deux derniers
indices en un seul suivant la convention déjà cité dans la première partie. On obtient :
Pi
 d i  
(82)
i=1,2,3 et  =1,2,…,6
D’où la représentation du tenseur d i par une matrice (3x6) et le nombre de modules
piézoélectriques diminuent à 18.

 P1   d11 d12 d13 d14 d15
  
 P2    d 21 d 22 d 23 d 24 d 25
 P  d
 3   31 d 32 d 33 d 34 d 35
Avec : - d i  d ijk
d i
 2d ijk
 1
 2 
d16  
 3
d 26  
 4 
d 36  
 5 
 
 6
(83)
si  =1,2, 3
si  =4,5,6
5.2.2- Effet Piézoélectrique inverse
Pour un solide piézoélectrique, le déplacement électrique dû à l’application d’une
contrainte s’écrit :
Di
  ij E j  d i  
Où :  ij est le tenseur d’ordre 2 de permittivité du solide
E j est le champ électrique
i et j = 1, 2, 3
(84)
lgèbre et analyse tensorielles

= 1, 2, …,6
La loi de Hooke généralisée s’écrit :

Ou encore :

E
   d i E
 C
(85)
E
   ei Ei
 S
(86)
-
Le second terme montre l’apparition d’une déformation sous l’effet du champ électrique.
-
E
E
C
et S
sont les modules d’élasticité C et de rigidité S du solide sous champ
électrique.
-
ei est le tenseur inverse de d i
-
i = 1, 2, 3
-

et  = 1, 2, …,6
5.3 – Symétrie cristalline et réduction du nombre de composantes piézoélectriques
indépendantes
De même que pour l’élasticité, si le solide possède des éléments de symétrie, le
nombre des composantes piézoélectriques se trouve réduit
5.3.1- le solide possède un centre de symétrie
La matrice de transformation des coordonnées s’écrit :
1 0 0


  0 1 0 
 0 0  1


Ou encore : aij   ij
Les composantes piézoélectriques se transforment suivant la relation suivante :
'
d ijk
 ail .a jm .akn .d lmn
(87)
lgèbre et analyse tensorielles
Donc :
'
d ijk
  il . jm . kn .d lmn  d ijk
(88)
Or dans une transformation par un élément de symétrie les composantes piézoélectriques
doivent rester invariantes :
'
d ijk
 d ijk et donc tous les coefficients sont nuls. D’où la
conclusion : un cristal centrosymétrique ne peut pas être piézoélectrique.
5.3.2 – Le solide possède un plan de symétrie de coordonnée
0
Nous avons vu que c’était le plan perpendiculaire à l’axe Z dans le repère (oxyz). La matrice
M s’écrit :
1
0
0


 0 1 0 
 0 0  1


Et on a toujours :
'
d ijk
 ail .a jm .akn .d lmn  d ijk
On remarque que toutes les composantes qui contiennent un ou trois indices 3 seront nulles
comme :
d12 3  d 33 3  d 31 2
 0
La matrice piézoélectrique s’écrit :
0 d16 
 d11 d12 d13 0


d i   d 21 d 22 d 23
0
0 d 26 
 0
0
0 d 34 d 35
0 

5.3.3 – Le solide possède un axe binaire direct parallèle à
L’axe de rotation est binaire donc d’ordre 2 et parallèle à l’axe
(89)
3
3
donc dans ce cas
La matrice M s’écrit :
1 0 0


  0 1 0
 0 0 1


(90)
lgèbre et analyse tensorielles
En appliquant toujours la loi de transformations des tenseurs, d ijk
 ail .a jm .akn .d lmn  d ijk , on
obtient la matrice piézoélectrique suivante :
0
0
0
0
14
15


d i   0
0
0 d 24 d 25
0 
d d
0 d 36 
 31 32 d 33 0
(91)
5.4- propagation des ondes élastiques dans les solides piézoélectriques
Dans un solide piézoélectrique, il y a couplage entre les grandeurs mécaniques et les
grandeurs électriques, donc un couplage entre les ondes élastiques et les ondes
électromagnétiques. L’onde résultante est une onde mixte élasto -électromagnétique.
Nous allons, comme dans le cas de l’élasticité, déterminer l’équation de propagation
de l’onde mixte. Prenons par exemple, le cas d’une onde de volume pour un solide considéré
infini. En considérant l’équation de Newton :
 ij
x j

Avec :
Et
E
   d i E
 C
 ij
Ou
E
Cijkl
 kl
 2ui
 2
t
E
 Cijkl
. kl  d kij .E k
1 E u k ul
1
E u k
E u k
E u k
E u l
 Cijkl

 Cijlk
 Cijkl

  Cijkl
  Cijkl
xl
xl 
xl
xk
2
 xl xk  2 
On note le potentiel dont dérive le champ électrique
E
  grad  

xk
 tel que :
(92)
lgèbre et analyse tensorielles
Les mêmes développements que dans le cas de l’élasticité nous donnent :
 ul
 ui
 2
E

 Cijkl
 d kij
x j xk
x j xk
t 2
(93)
C’est l’équation de propa gation de l’onde élasto -électromagnétique dans un solide
piézoélectrique
En choisissant une onde plane progressive :
 ui . f (t 
ui
n j .x j
v
)
Et le potentiel de la même forme :
   0 . f (t 
n j .x j
v
)
(94)
On aboutit à :
v 2 .ui0
Sachant que :
E
.n j .nk .ul0  d kij .n j .nk . 0
 Cijkl
(95)
E
n j nk (Tenseur de Christoffel d’ordre 2)
il  Cijkl
Et en posant :  i
 d kij n j nk (Tenseur d’ordre 1)
v .ui
 il ul   i . 0
(96)
La résolution de cette équation devrait donner les modes et les vitesses de propagation et
l’onde.
5
- Autres exemples de tenseurs d’ordre 3
-
Effet Pockels
lgèbre et analyse tensorielles
nnexe
Annexe
En physique, la plupart des phénomènes sont décrits par des équations différentielles qui
impliquent des opérateurs différentiels. Ce sont souvent des operateurs de dérivation comme
les gradients, rotationnelles, divergences et laplaciens. Ces opérateurs ont tous un sens,
physique et nous allons établir leurs expressions dans divers systèmes de coordonnées.
On rappelle qu’on note par la virgule la dérivée partielle et on l’écrit : , i 

xi
On rappelle aussi, que l’on est dans une repère {O ; ei } orthonormé direct (où i=1,2,3).

Dans ce cas, les composantes covariantes et contravariantes sont égales et les bases ei  et

e 

i
sont identiques Les coordonnées d’un point M sont
i
i  1, 2, 3
. Ce sont les

composantes de OM dans la base ei (i  1, 2, 3) orthonormée.

1- Operateurs différentiels en coordonnées cartésiennes.
Généralement, on utilise le triplet ( x, y, z ) mais dans cette annexe on s’accrochera
s ’accrochera à
la notation indicielle.
a-
Cas d’une fonction scalaire
- Le gradient
Le gradient est souvent utilisé dans beaucoup de disciplines scientifiques comme par
exemple : en mécanique pour les
l es déformations, en thermique pour les gradients de
température et en chimie pour les gradients de potentiels chimiques ….)
Le gradient d’une fonction scalaire est un vecteur, noté :
f


 x1 
 f 
rad f  f  f ,i ei  

x

2


 f 
 x 
 3



lgèbre et analyse tensorielles
-
nnexe
Le Laplacien
Le laplacien est souvent utilisé lorsque le comportement d’un
d’un matériau est linéaire dans
les équations d’équilibre ou de bilan.
bilan . Appliqué sur une fonction scalaire on obtient un
scalaire, en effet :
 f   2 f  f ,ii 
 f  f  f


x12 x 22 x32

b – Cas d’un vecteur v
En coordonnées cartésiennes on note un vecteur :
v  v1e1  v2 e2  v3 e3




- La divergence
On utilise souvent l’operateur divergence dans les équations d’équilibre en mécanique,
mécanique, ou
dans les équations de conservation en thermique ou dans les transferts de masse.
La divergence d’un vecteur est un scalaire, noté :
Div v  vi ,i 

-
v1 v2 v3


x1 x2 x3
Le gradient
Le gradient d’un vecteur est un tenseur d’ordre 2, noté :
v1

 x1
v
v  vi , j ei  e j   2
 x
 1
 v3
 x1

-


v1
x2
v2
x2
v3
x2
v1

x3 
v2 
x3 
v3 
x3 
Le Laplacien
Le laplacien d’un vecteur est un vecteur, noté :
 v1  v1  v1
 2  2  2 
x 2
x3 
 2x1
 v1 
2
2
v
v
v




 

v  vi , jj ei   22  22  22   v2 
x 2
x3  
 x1
v3 
2
2
2


  v3  v3  v 3 


 2

x 22
x32 
 x1


b
lgèbre et analyse tensorielles
-
nnexe
Le Rotationnel
On
rencontre
souvent
cet
operateur
dans
les
équations
de
Maxwell
électromagnétisme.
Le Rotationnel appliqué à un vecteur (tenseur d’ordre 1) est un vecteur, noté :
v3 v 2





x
x
2
3


 v1 v3 

ro t v    v   ijk v k , j ei  


x
 3 x1 
 v2 v1 
 x  x 
2 
 1



c- Cas d’un tenseur T
d’ordre 2
Considérons un tenseur du second ordre noté :
T11
T12

T22

T31 T32
T  T21
-
T13


T33 
T23
La Divergence
La Divergence d’un tenseur du second ordre est un vecteur, noté :
T11 T12 T13






x3 
x
x
1
2

T 
T
 T
Div T  Tij , j ei   21  22  23 
x2
x3 
 x1
 T31 T32 T33 
 x  x  x 
2
3 
 1
-
Le Laplacien
Le Laplacien d’un tenseur d’ordre
d’ ordre 2 est un tenseur d’ordre 2,
2 , noté :
T11

ei  e j  Tij ,kk ei  e j  T21
T 

x k xk
T31
 2Tij


T12
T22
T32
T13
T23 
T33 
en
lgèbre et analyse tensorielles
nnexe
2 - Operateurs différentiels en coordonnées cylindriques.
En coordonnées cylindriques on note :
1
 r cos 
2
 r sin 
3
z

e3

ez

e
M
z

er

r


e1
Fig 2.1- Coordonnées cylindriques
En tout point M, la base locale est définie par :
er  cos .e1  sin  .e2



e   sin  .e1  cos .e2



e z  e3

a-

Cas d’une fonction scalaire
d

e2
lgèbre et analyse tensorielles
nnexe

rad ( f )  f 
1 f
f
f
er 
e 
ez
r 
r
z



et
f  div(f ) 
1  f  f
 f 1 f



r 2 r r r 2  2 z 2

b – Cas d’un vecteur v
En coordonnées cylindriques on note un vecteur :
v  vr er  v e  v z e z




Et on définit :
div v  Tr (v ) 


vr
r
vr
 r

 v
rad (v )  v 
 r
 v
 z
 r



vr 1 v v z


r r 
z
1 v r
vr
 v 


r  
 z 
1  v
 v 
 vr 

r  
 z 
v z 
1 v z
r 
z 
Et
v
v
2 v
2 v
v  div(v )  vr  2   r2 er  v  2 r  2 e  v z .e z
r 
r 
r  r 




c- Cas d’un tenseur T
Trr

Soit T  Tr
Tzr


d’ordre 2
Tr
Trz
T
Tz  un tenseur du second ordre, on note :
Tz

Tzz 


lgèbre et analyse tensorielles
nnexe
Trr 1 Tr Trz Trr  T
 r  r   z 
r

T
T
T
2
T



1

r

div(T )  

 z  r
r 
r
z
 r
T

T
T
T


1
z
zr


 zz  zr

r 
r
z
 r
Alors :






3- Operateurs différentiels en coordonnées sphériques
On rappelle les formules du paragraphe 1.2.2 de la partie B
OM  xi ei  r. sin  . cos .e1  r. sin  . sin .e2  r. cos  .e3




Les vecteurs de la base naturelle étant donnés par:
ek   k M ;


k  r, , 
er   r M  sin  cos .e1  sin  sin .e2  cos  .e3





e    M  r. cos  . cos .e1  r cos  sin .e2  r. sin .e3





e    M  r. sin  . sin .e1  r. sin  . cos .e2


a-


Cas d’une fonction scalaire
f
 r

 1 f 
rad ( f )  

 r  
 1 f 
 r sin   

Et
1
1
2 f 2 2 f
f
2 f
f  div( grad ( f ))  2 
 cot g

 r 2 sin 2   2
r  2 r 2
r

f
lgèbre et analyse tensorielles
nnexe

b – Cas d’un vecteur v
En coordonnées sphériques on note un vecteur :
v  vr er  v e  v e




Et on définit :
divv 

v
v
vr
1 v
1 v
2 r 
 cot g . 
r
r  r sin  
r
r
vr

 r
 v
rad (v )  v   
 r
 v

 r


1  vr
1
1 v r


 v 
 v 


r  
r  sin  



 
1  v
1  1 v

 vr 

 cot g .v  

r  
r  sin  

 

1 v
1  1 v

 cot g .v  vr 
r 
r  sin  

Et
2
1  (sin  .v )
1 v


v
v




 r
2  r
sin


sin




r




v
2  v
cos v  


 
v  div((v ))   v  2  r 

2
2
r   2 sin  sin    


v  
 vr
v
2

 
 cot g  
 v  2



2
sin


r
sin



 



c- Cas d’un tenseur T
d’ordre 2
Trr
Tr
Tr
Soit le tenseur : T  Tr
Tr

T
T 

T

T 
lgèbre et analyse tensorielles
nnexe
Trr 1 Tr
1 Tr 1


 (2Trr  T  T  Tr cot g )

r
r

r
sin


r





T

T
T


1 
1
1



r
div(T )  


 (T  T ) cot g  3Tr  
r 
r sin  
r
 r

T
T
T



1 
1
1


r



 (2T cot g  3Tr )


r 
r sin  
r
r


h
Algèbre et analyse tensorielles
Références bibliographiques
Références bibliographiques
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