Fonction Cyclométriques Solutions 485792510702d04a3b35449528663634

Fonctions cyclométriques : Solutions
Fonctions cyclométriques : Solutions
Page 1 : Fonction arcsinus
1) Calcule : ( Les solutions doivent être dans [− π ; π ] )
2 2
arcsin (1)= π
2
3
arcsin ( √ )= π
2
3
1 π
arcsin ( )=
2
6
2
arcsin ( √ )= π
2
4
arcsin (−1)=− π
2
3
arcsin (− √ )=− π
2
3
arcsin (0 ,34)=0 ,35
arcsin (8 ,1) ∄ car 8 ,1>1
Rem : Pour l’avant dernier il faut utiliser la calculatrice.
2) Calcule le domaine
[
a) dom f =
−1 1
;
5 5
]
[ ]
b) dom f =
1
;1
3
c) dom f =]−∞ ; 0 ]∪[ 2; +∞[
d) domf =[−2 ; 0[
1
Fonctions cyclométriques : Solutions
3) Calcule la dérivée
a) f ' (x)=
b) f ' (x)=
c) f ' (x)=
d) f ' (x)
1
2 √ x √ 1−x
−x
√ arcsin (1−x )√ 2 x −x
2
2
4
2
3
3x
−
2
√ 1−(3 x+2) √1−x 6
−8
3 √ arcsin (2 x) √ 1−4 x 2
3
5
4) Représente le graphe
a)
2
Fonctions cyclométriques : Solutions
b)
c)
3
Fonctions cyclométriques : Solutions
Page 2 : Fonction arccosinus
1) Calcule : ( Les solutions doivent être dans [ 0; π ] )
arccos(−1)= π
3 5π
arccos(− √ )=
2
6
arccos(1)=0
3
arccos( √ )= π
2
6
1
arccos( )= π
2
3
2
arccos( √ )= π
2
4
arccos(0 ,18)=1,39
1
7π
2 arcsin ( )−3 arccos(0)=−
2
6
arccos(5) ∄ car 5> 1
2) Calcule le domaine
a) dom f =[−2 ;+∞ [
b) dom f =[− √ 3 ;−1]∪[1 ; √ 3 ]
c) dom f =[−1 ; 1 ]∖ {0 ,88}
d) dom f =[−1 ; 1 ]∖ {0 ,54}
e) dom f =]−1 ; 1[
3) Calcule la dérivée
a) f ' (x)=
b) f ' (x)=
−1
(x+3) √ x +2
π
10 √ 1−x arccos (x )
2
2
(
1
2
c) f ' (x)=− arccos(2 x)
d) f ' (x)
arccos(2 x ) 8 arccos( √ x)
+
√ x √1−x
√ 1−4 x 2
)
−8
3 √ arcsin (2 x) √ 1−4 x
3
5
2
4
Fonctions cyclométriques : Solutions
4) Résoudre
{√ }
5
5
b) S=[−1 ; 0 ]
c) S=[ cos(3); cos(2)]
a) S=
5) Représente le graphe
a)
b)
5
Fonctions cyclométriques : Solutions
c)
6
Fonctions cyclométriques : Solutions
Page 3 : Fonction arctangente
1) Calcule : ( Les solutions doivent être dans ]− π ; π [ )
2
2
arctan (1)= π
4
arctan
( √33 )= π6
arctan (−√ 3)=− π
3
arctan (10 ,5)=1 ,48
arctan π =1,004
2
( )
Rem : le π dans le dernier exercice n’est pas un angle, c’est juste 3,14 divisé par 2.
2
Par contre la réponse est un angle : c’est 1,004 radians
2) Calcule la dérivée
a) f ' (x)=
10
1
=
2
2
1+(10 x −3) 10 x −6 x +1
−2 x arctan ( √ x)
b) f ' (x)=
√1−x 4
2
arccos(x )
−
2 √ x (1+ x)
arctan( √ x )
2
(
c) f ' (x)=arctan (x ) arctan (x )+
3x
2
1+ x
=...
)
3) Résoudre
{ 13 }
a) S= −
b) S=∅
c) S=ℝ
7
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4) Représente le graphe
a)
8
Fonctions cyclométriques : Solutions
Page 4 : Fonction arccotangente
1) Calcule : ( Les solutions doivent être dans ]0 ; π [ )
arccot (0)= π
2
arccot ( √ 3)= π
6
3
arccot ( √ )= π
2
3
arccot (−0,451)= π −arctan (−0,451)=1 ,99
2
Rem : Pour le dernier, n’ayant pas de touche pour l’arccot sur la calculette il faut
passer par l’arctan.
2) Calcule le domaine
a) dom f =ℝ
+
b) dom f =R =[0 ;+∞ [
c) dom f =]−∞ ; cotan
( 12 ) ]=]−∞ ; 1,83 ]
Rem : N’oubliez pas ! Quand on résout une inéquation il faut regarder si la fonction
cyclométrique est croissante ou décroissante avant de comparer les arguments. Et
ce afin de connaître le sens de l’inégalité. !
3) Calcule la dérivée
x
−9 arccot 2 ( √ )
3
a) f ' (x)=
2 √ x (x+ 9)
b) f ' (x)=
−π
2
2
2(1+ x )arctan (x)
9
Fonctions cyclométriques : Solutions
4) Résoudre
a) S= {2+ √ 3 }
{
b) S= cot(arcsin
c) S=[
( 56 ))}={0 ,66}
√ 3 ;+ ∞[
12
5) Représente le graphe
a)
10
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b)
11
Fonctions cyclométriques : Solutions
Page 5 : Calculer
Série 1
2
1) arcsin ( √ )= π
2
4
1 2π
2) arccos(− )=
2
3
3
3
>1
3) arcsin ( ) ∄ car
2
2
4) arccos( √ 3) ∄ car
√3 > 1
3 5π
5) arccos(− √ )=
2
6
π
6) arctan ( √ 3)=
3
3π
7) arccot (−1)=
4
8) arccot (0)= π
2
9) arctan (−1)=− π
4
10) arccos(−0,4521)=2,040
5
11) arccos(− √ )=2,412
3
2
12) arccot ( √ )=1,231
4
13) arccot (−2)=2,678
14) arctan (
−2 √ 3
)=−0,857
3
Série 2
2
2
1) cos (arcsin ( √ ))= √
2
2
2) cot (arctan(1))=1
3
1
3) sin(arccos( √ ))=
2
2
3
4) tan(arcsin (− √ ))=−√ 3
2
1
1
5) arctan ( )+arctan ( )= π
2
3
4
1
5π
6) 2 arcsin ( )+ arccos(0)=
2
6
2
7) arcsin ( √ )−arctan ( √ 3)=− π
2
12
2
8) arccos( √ )+arctan (1)= π
2
2
9) arccos(0 ,24)+ arcsin (0 ,24)= π
2
12
Fonctions cyclométriques : Solutions
Détails du 5) : 1ère méthode
Posons
1
u=arctan( ) ⇔
2
1
v =arctan( ) ⇔
3
1
2
1
tan (v )=
3
tan(u)=
et
1 1
+
tan (u)+ tan(v)
2 3
5 /6
tan(u+ v)=
=
=
=1
1 1 5 /6
1−tan(u). tan(v)
1− .
2 3
calculons tan(u+ v)
On en déduit que u+ v= π
4
2e méthode
Dans un triangle rectangle : tan(α )=
c^ opp
c^ adj
On construit le triangle ABK avec l’angle α tel que tan(α )=
avec l’angle β tel que tan( β )=
1
et le triangle AJC
2
1
3
On constate du coup que les segments [AB] et [BC] sont de même longueur et que le
triangle ABC est rectangle en B.
Le triangle ABC est donc un triangle rectangle isocèle ce qui implique que les angles
π
2
B A^ C et B C^ A sont égaux. On trouve donc B A^ C=α + β = = π
2 4
13
Fonctions cyclométriques : Solutions
Série 3
1
arccos( )= π
2
3
3
tan(arcsin (− √ ))=−√ 3
2
arccot (−0,451)=1,994
1
2π
2 arccos( )−3 arcsin (0)=
2
3
Page 6
6) Simplifier
1) sin(arccot (x))=
1
√1+ x
7) cos (arccot (x))=
2
x
√ 1+ x 2
2) sin(2arccos (x))=2 x . √ 1− x
8) tan(arcsin (5 x))=
3) cos (arcsin (x))=√ 1−x
9) cot (arctan( x))=
2
4) cos (arctan (x))=
2
1
√1+ x
5x
1
x
√1−25 x2
10) cos (arccot (3 x))=
2
5) sin(arccos(2 x))=√ 1−4 x
11) cot (arccos(x))=
x
2
6) sin(arccot ( ))= 2
2
x +4
12) sin(arctan(x ))=
2
3x
√1+ 9 x 2
x
√ 1−x 2
x
√1+ x 2
14
Fonctions cyclométriques : Solutions
7) Tracer
a)
b)
15
Fonctions cyclométriques : Solutions
c)
d)
16
Fonctions cyclométriques : Solutions
e) Pour tracer la fonction demandée il faut d’abord remarquer que
arcsin ( x )+2 arccos( x )=arcsin ( x )+ arccos(x)+arccos (x)= π + arccos(x)
2
8) Résoudre
a) S= {0 ,93 }
{√ }
Indic : Prendre le cosinus des deux côtés
{35 }
Indic : Isoler arcsin(x) puis prendre le sinus des deux côtés
b) S=
c) S=
Indic : Prendre le sinus des deux côtés
5
5
17
Fonctions cyclométriques : Solutions
9) Résoudre
► N’oubliez pas les CI !
► N’oubliez pas de vérifier la croissance des fonctions pour les inéquations
avant de comparer les arguments !
[
[
]
]
1 1
6) CE : x ∈[− ; ]
2 2
1 3
S= − ; √
2 4
7) CE : x ∈[ 0; 2 ]
2
S= 1− √ ; 2
2
2
3) CE : x ∈[ 0; ]
3
{ 34 }
1
S={− }
3
1
S={ }
6
8) CE : /
S=ℝ
4) CE : /
S= {2+ √ 3 }
9) CE : /
3
S= −∞ ;− √
2
10) CE : x ∈[−1 ; 0 ]
S=[−1 ; 0 ]
1) CE : x ∈[−1 ; 0 ]
2) CE : /
S= −
5) π ∉ [− π ; π ] => S=∅
2 2
]
]
Page 7
10) Résoudre
{√ }
{}
{√ }
{}
{√ }
{
}
1) CE : x ∈[−1 ; 1]
S=
5 29
29
6) CE : x ∈[−1 ; 1]
1
S= sin( )
2
2) CE : x ∈[−1 ; 1]
S=
4
5
1 1
7) CE : x ∈[− ; ]
2 2
S= {0 }
3) CE : /
S=
1 1
8) CE : x ∈[− ; ]
2 2
S=
4) CE : /
S=
6
5
9) CE : x≠1
S= {0 ; 2 }
1 1
5) CE : x ∈[− ; ]
2 2
S=
5
5
10) CE : x ∈[−1 ; 1]
S=[−1 ; 1 ]
5
2
{√ }
5
5
Rem : Pour l’exercice 7, faites passer l’arccos(x) à dans le membre de droite et puis prenez les
sinus des deux côtés.
18
Fonctions cyclométriques : Solutions
11) Vérifier des identités
1) Indic : Poser u et v et calculer cos (u+ v) par exemple ou sin(u +v )
2) Indic : Poser u et v et calculer tan(u+ v) ou démontrer avec un dessin avec des triangles
3) Indic : Poser u et v et calculer sin(u +v )
4) Indic : Poser u et v et calculer cos (u+ v) par exemple
5) Indic : Poser u et v et calculer tan(u−v )
6) Indic : Poser u et v et calculer sin(u +v ) par exemple
7) Indic : Poser u et v et calculer tan(u+2 v )
8) Indic : Poser u et v et calculer tan(u+2 v ) On obtient tan(u+2 v )=−
31
≠1
17
L’identité n’est donc pas vérifiée.
9) Poser u, v, w et y et calculer tan((u+ v )+(w+ y )) . Vous serez donc amenés à calculer
tan(u+ v) et tan(w+ y)
Rem : coséc(a)=
1
1
et séc(a)=
sin(a)
cos (a)
On dit cosécante et sécante. Et retenez c-s et s-c pour retenir les formules.
19
Fonctions cyclométriques : Solutions
Page 8
12) Calculer un domaine
Série 1
2
1) dom f =[ 0 ; ]
3
2) dom f =[− √ 3 :−1 ]∪[1 : √ 3 ]
3
3) dom f =ℝ∖
2
4) dom f =]−∞ ;−1[∪[1 ;+∞ [
5) dom f =]−∞ ;−2 ]∪[0 ;+ ∞[
{}
1
6) dom f =]−∞ ; ]
2
7) dom f =[−1 ; 0 [∪[ 1;+ ∞[
8) dom f =[−2 ; 1− √ 3 ]∪[ 0 ; 1+ √ 3 ]
9) dom f =[ 1;+ ∞[
10) dom f =[ 0 ; 1]
Série 2
[
1 1
1) dom f = − ;
2 3
2
2) dom f =[ 0 ; [
3
]
{12 }
1 1
4) dom f =[− ; ] ∖ {±0,302}
2 2
2
3
3
5) dom f =[− ; 0 ]∪[ ; 1 ]∖ {√ }
5
5
2
3) dom f =[ 0 ; 1]∖
Rem : Pour l’exercice 4, deux indications :
- pour la condition sur le dénominateur, faites passer arcsin(2x) dans le membre de droite
puis prenez le sinus des deux côtés
- cette condition sur le dénominateur va vous faire calculer des sin(3a) et cos(3a) de sorte
6
4
2
que vous devez arriver à l’équation −16 x +24 −13 x + 1≠0 à résoudre. Or cette dernière
ne peut être résolue que par approximation ou par logiciel vu qu’il n’y a pas de racine
entière. Celles-ci sont ±0,302
20
Fonctions cyclométriques : Solutions
Série 3
{12 }
1
1
7) dom f =[− ; 1 ]∖ { }
2
2
6) dom f =[−1 ; 1 ]∖
1) dom f =ℝ
2) dom f =[−1 ; 0 ]
3) dom f =[ 1;+ ∞[
4) dom f =]−∞ ; √ 3 ]
1 1
5) dom f = ;
4 3
8) dom f =]0 ; 1]
9) dom f =[−1 ; 0 ]∖ {−0 ,84 }
[ ]
2
10) dom f =] √ ; 1 ]
2
Rem : Je ne sais pas si je vous l’ai déjà dit (hum…) mais lorsqu’on résout une inéquation
cyclométrique de style arcsin (x ) ≤ arcsin ( y ) ou arccot (x ) > arccot ( y ) , avant de comparer les
arguments il faut regarder si les fonctions cyclométriques sont croissantes ou décroissantes afin
de déterminer le sens de l’inégalité entre les arguments.
Page 9
13) Calculer des limites
1) lim f (x )=
x →1
3π
4
11) pas de limite vu que −1 ≤ Arguments ≤ 1
2) pas de limite vu que −1 ≤
3) lim f (x)= π
x
≤1
2
12) lim f (x )=−2
x →0
13) lim f (x)=−∞ et lim f (x )=+∞
2
4) lim f (x)=0
x→+∞
x→0
−
x →0
5) lim f (x)=−∞ et lim f (x )=+∞
15) lim f (x )=−1
6) lim f ( x )=− π
16) lim f ( x )=2 π
−
x→±∞
+
14) lim f (x )=0
x→+∞
x→0
x→0
x→0
+
2
x →0
x→−∞
7) lim f (x )=1
17) lim f (x )=0
8) lim f (x )=1
18) lim f (x )=1
9) lim f (x )=0
19) lim f ( x )=0
x →0
x →0
x →0
x →0
x →0
x→−∞
10) lim f (x)=−∞ et lim f (x )=−∞
x→0
−
x→0
+
21
Fonctions cyclométriques : Solutions
Page 10
14) Dériver
Série 1
1) f ' (x)=
2) f ' (x)=
2
√ 1−4 x
8) f ' (x)=
2
−3
4x
2
2
1+(2 x −8)
−3
4) f ' (x)=
2 √ x(1+ x )
1
5) f ' (x)=
2
2 √ 1−x √ arcsin (x)
10) f ' (x)=
3) f ' (x)=
7) f ' (x)=
(3 x +1) √ x
9) f ' (x)=−1
√ 6 x−9 x 2
6) f ' (x)=arcsin
√3
x
( 2x )+ √ 4−x
11) f ' (x)=
1
√ 1−x 2
−1
π
2 √ 1−x arccos (x )
2
12) f ' (x)=arctan
2
( arccos(x)−arcsin (x))
2
( 1x )− x x+1
2
13) f ' (x)=
−π
2
2
4(1−√ arccos(x)) √ 1−x √ arccos (x)
14) f ' (x)=
x +1
4
2
x + x +1
2
(2 x−1) √ x 2−x
Rem :
- Pour l’exercice 11, après avoir dérivé et mis en évidence on peut remplacer
arcsin (x )+ arccos(x) par π
2
- Pour l’exercice 13, avant de dériver, remplacez le numérateur par… π
2
- Pour plusieurs exercices des simplifications sont nécessaires pour arriver aux
solutions que je vous ai données.
Série 2
1) f ' (x)=
2
5
√ 1−25 x
4) f ' (x)=
2
2
2) f ' (x)=
3) f ' (x)=
3
−8 x (arcsin (1−x ))
√2 x −x
2
√
4
1
( ) √ x −4
|x| arccos 2
x
2
5) f ' (x)=
f ' (x)=
3
−6 x tan(arccos(x ))
√ 1−x
6
2
3
cos (arccos( x ))
=−
6
x7
x (1+ x arctan( x ))
1+ x 2
π
2 √ 1−x arccos (x )
2
2
6)
22
Fonctions cyclométriques : Solutions
Page 11
15) Calculer des asymptotes
Rem : Les fonctions cyclométriques ont un ensemble image compris entre deux valeurs
finies. Elles ne possèdent dès lors pas d’asymptotes verticales. Il faut donc chercher des
éventuelles asymptotes verticales pour des exercices tels que le 3 où il y a un polynôme
au dénominateur.
1) AH ≡ y=
3π
4
2) AH ≡ y=0
3) AH ≡ y=0 Il n’y a pas d’asymptote verticale car la limite en 0 donne 1
4) AO d≡ y = π x−1 et AO g≡ y =− π +1
2
2
Indic :
● Pour le calcul de l’ordonnée à l’origine, remplacer π par arctan (x)+arccot (x )
2
● La fonction étant paire il n’est pas utilise de faire tous les calculs pour la 2e AO
5) Vu le domaine et l’ensemble image il n’y a aucune asymptote
6) AH d≡ y =1 et AO g≡ y=π x +1
Indic :
● Pour lever les indéterminations passer le x au dénominateur, il devient
1
x
(après avoir développé et mis en évidence pour le calcul de l’ordonnée à l’origine
pour l’AO)
23
Fonctions cyclométriques : Solutions
16) Étudier les variations
Rem : Il est intéressant de chercher le domaine et les asymptotes pour avoir plus de
précision. Nous ne chercherons pas par contre la dérivée seconde.
1) f (x)=arcsin
2+ x
( 1−x
)
1
● dom f =]−∞ ;− ]
2
● AH g≡ y =− π
2
● f ' (x)=
3
> 0 ∀ x ∈ domf => f strict. croissante sur son dom
(1−x) √ −6 x−3
24
Fonctions cyclométriques : Solutions
2) f (x)=arctan
−1
( xx+1
)
● dom f =ℝ∖ {1}
● lim f (x)= π et lim f (x)=− π => il y a une discontinuité en x=1
2
2
x→1
x→1
−
+
● AH ≡ y= π
4
● f ' (x)=
1
=> f ' (x) > 0 ∀ x ∈ dom f => f strictement croissante sur son dom
x +1
2
25
Fonctions cyclométriques : Solutions
3) f (x)=arcsin
( )
2x
2
x +1
● dom f =ℝ
● AH ≡ y=0
● f ' (x)=
−2(x 2−1)
(x2 +1)|x 2−1|
26
Fonctions cyclométriques : Solutions
4) f (x)=arccos( √ x)
● dom f =[ 0 ; 1]
● Aucune asymptote
● f ' (x)=
1
2 √ x √ 1−x
< 0 ∀ x ∈ dom f => f strict. décroissante sur son dom
27
Fonctions cyclométriques : Solutions
(
2
5) f (x)arccos 2 x −
[
● dom f =
1
2
)
−√ 3 √ 3
;
2
2
]
● Aucune asymptote
● f ' (x)=
√
−4 x
1
1−(2 x 2− )
2
28
Fonctions cyclométriques : Solutions
Page 12
29