Independencia lineal de vectores propios asociados a diferentes

Independencia lineal de vectores propios
asociados a diferentes valores propios
Objetivos. Introducir el concepto de subespacios linealmente independientes. Demostrar que subespacios propios correspondientes a diferentes valores propios son linealmente
independientes.
Requisitos. Valor y vector propio, independencia lineal de vectores, suma directa de
subespacios, polinomio básico de Lagrange.
En este tema suponemos que V es un espacio vectorial sobre un campo F.
Independencia lineal de subespacios
1. Definición (subespacios linealmente independientes). Sean W1 , . . . , Wm subespacios de V . Se dice que los subespacios W1 , . . . , Wm son linealmente independientes si
para todos u1 ∈ W1 , . . . , um ∈ Wm , la igualdad
u1 + . . . + um = 0
implica que u1 = . . . = um = 0.
2. Ejercicio (independencia lineal de dos subespacios). Subespacios W1 y W2 son
linealmente independientes si y sólo si W1 ∩ W2 = {0}.
3. Ejemplo. Sean W1 , W2 , W3 tres rectas en el plano V 2 (O), intersectadas por pares en
el origin:
W1 ∩ W2 = W1 ∩ W3 = W2 ∩ W3 = {0}.
Es fácil ver que W1 , W2 , W3 no son linealmente independientes.
4. Tarea adicional. Sean W1 , . . . , Wm subespacios de un espacio vectorial V . Demuestre
que W1 , . . . , Wm son linealmente independientes si y sólo si
X
∀k ∈ {1, . . . , m}
Wk ∩
Wj = {0}.
1≤j≤m
j6=k
5. Ejercicio. V es la suma directa de subespacios W1 , . . . , Wm si y sólo si V = W1 + . . . +
Wm y W1 , . . . , Wm son linealmente independientes.
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Polinomios de operadores y vectores propios
6. Proposición. Sean T ∈ L(V ), λ ∈ sp(T ) y f ∈ P(F). Sea v ∈ ST,λ := ker(λI − T ),
esto es, T v = λv. Entonces
f (T )v = f (λ)v.
Demostración. Primero se muestra por inducción que para todo k ∈ {0, 1, 2, . . .},
T k v = λk v.
Luego, si f (x) =
d
X
αk xk , entonces
k=0
f (T )v =
d
X
k=0
!
αk T
k
v=
d
X
k
αk T v =
d
X
k
αk λ v =
k=0
k=0
d
X
!
αk λ
k
v = f (λ)v.
k=0
Polinomio básico de Lagrange
7. Proposición (polinomio básico de Lagrange). Sean x1 , . . . , xm ∈ F algunos escalares diferentes y k ∈ {1, . . . , m}. Definimos el polinomio f por medio de la siguiente
fórmula:
Y x − xj
.
(1)
f (x) :=
x − xj
1≤j≤m k
j6=k
Entonces f (xq ) = δq,k para cualquier q ∈ {1, . . . , m}.
Demostración. Primero calculemos f (xk ):
f (xk ) =
Y xk − xj
= 1.
x − xj
1≤j≤m k
j6=k
Ahora supongamos que q ∈ {1, . . . , m} \ {k} y calculemos f (xq ):
f (xq ) =
Y xq − xj
.
x
−
x
k
j
1≤j≤m
j6=k
En este producto uno de los ı́ndices j coincide con q, el factor correspondiente es igual a
0, ası́ que f (xq ) = 0.
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Teorema de la independencia de los subespacios propios
correspondientes a diferentes valores propios
8. Teorema. Sea T ∈ L(V ) y sean λ1 , . . . , λm diferentes valores propios de T . Entonces los subespacios propios Wj = ker(λj I − T ), donde j ∈ {1, . . . , m}, son linealmente
independientes.
Demostración. Para todo j ∈ {1, . . . , m} sea uj ∈ Wj , esto es, T uj = λj uj . Supongamos
que
m
X
uj = 0.
(2)
j=1
Eligimos arbitrariamente k ∈ {1, . . . , m}, definimos el polinomio f por la fórmula (1) y
aplicamos f (T ) a ambos lados de (2).
0=
m
X
f (T )uj =
j=1
m
X
j=1
f (λj )uj =
m
X
δj,k uj = uk .
j=1
Corolarios
9. Corolario (independencia lineal de vectores propios). Sean u1 , . . . , um vectores
propios de T correspondientes a diferentes valores propios λ1 , . . . , λm . Entonces el sistema
de vectores u1 , . . . , um es linealmente independiente.
Demostración. Supongamos que
α1 u1 + . . . + αm um = 0.
Notemos que αj uj ∈ Wj , ası́ que por el teorema αj uj = 0. Como uj 6= 0, concluimos que
αj = 0 para todo j ∈ {1, . . . , m}.
10. Corolario. Sea T ∈ L(V ) y sean λ1 , . . . , λm diferentes valores propios de T . Denotemos
Wj = ker(λj I − T ),
S = W1 + . . . + Wm .
Entonces S es suma directa de W1 , . . . , Wm . esto es, cualquier vector de W se puede
escribir de manera única como u1 + . . . + um con uk ∈ Wk .
11. Corolario. Sea T ∈ L(V ) y sean λ1 , . . . , λm diferentes valores propios de T . Para
todo k ∈ {1, . . . , m} sea Wk = ker(λk I − T ) y sea Bk = (uk,1 , . . . , uk,sk ) una base de Wk .
Denotemos por B a la lista que se obtiene a juntar las listas B1 , . . . , Bm . Entonces B es
una base de W := W1 + . . . + Wm . En particular,
dim(W ) = dim(W1 ) + . . . + dim(Wm ).
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Demostración. Supongamos que una combinación lineal de los vectores de B es igual a
cero:
sk
m X
X
αk,j uk,j = 0.
k=1 j=1
Pongamos wk :=
Psk
j=1
αk,j uk,j . Entonces wk ∈ Wk y
m
X
wk = 0.
k=1
Como los subespacios W1 , . . . , Wm son linealmente independientes, para todo k tenemos
wk = 0, ası́ que
sk
X
αk,j uk,j = 0.
j=1
Luego recordamos que Bk es un sistema linealmente independiente y concluimos que todos
los coeficientes αk,j son iguales a cero.
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