Suma directa de subespacios

Suma directa de subespacios
Objetivos. Estudiar la definición y el criterio de la suma directa, conocer ejemplos.
Requisitos. Suma e intersección de subespacios de un espacio vectorial.
1. Definición (suma directa). Sean V un espacio vectorial, S1 y S2 subespacios de V .
Se dice que V es la suma directa de S1 y S2 si para cualquier v ∈ V existe un único par
ordenado (u, w) tal que u ∈ S1 , w ∈ S2 y v = u + w:
∀v ∈ V
∃!(u, w) ∈ S1 × S2
v = u + w.
2. Teorema (criterio de suma directa). Sea V un espacio vectorial y sean S1 y S2
subespacios de V . Entonces las siguientes condiciones son equivalentes:
(a) V es la suma directa de S1 y S2 , esto es,
∀v ∈ V
∃!(u, w) ∈ S1 × S2
v = u + w.
(b) V = S1 + S2 y S1 ∩ S2 = {0}.
Demostración. (a)⇒(b). Supongamos que V es la suma directa de S1 y S2 . Entonces en
particular tenemos que para todo v ∈ V existen u ∈ S1 y w ∈ S2 tales que v = u + w.
Esto significa que V ⊂ S1 + S2 . Pero S1 + S2 es un subconjunto de V . Por eso V = S1 + S2 .
Demostremos que S1 ∩ S2 = {0}. Supongamos que a ∈ S1 ∩ S2 . Entonces
∈
∈
∈
∈
0 = |{z}
0 + |{z}
a .
a = |{z}
a + |{z}
S1
S2
S1
S2
Pero la definición de suma directa dice que la representación de a en forma u + w con
u ∈ S1 , w ∈ S2 es única. Por eso a = 0.
(b)⇒(a). Supongamos que V = S1 +S2 y S1 ∩S2 = {0}. Vamos a demostrar que V es la
suma directa de S1 y S2 . Como V = S1 +S2 , para todo v ∈ V existe un par (u, w) ∈ S1 ×S2
tal que v = u + w. Sólo falta demostrar que este par es único. Supongamos que
u ∈ S1 , w ∈ S2 , u + w = v,
y también
u0 ∈ S1 , w0 ∈ S2 , u0 + w0 = v.
Entonces u + w = u0 + w0 , u − u0 = w0 − w. Pero
u − u0 = u + (−1)u0 ∈ S1 ,
w0 − w = w0 + (−1)w ∈ S2 .
Ası́ que u − u0 ∈ S1 ∩ S2 . Por la hipótesis, S1 ∩ S2 = {0}. Por eso u − u0 = 0, u = u0 ,
w = w0 .
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3. Observación. Algunos autores definen la suma directa por la condición (b). La condición (a) es más cómoda para generalizarla al caso de varios subespacios.
4. Ejemplo. Demostrar que el espacio F3 es la suma directa de los siguientes dos subespacios:



x


1
S1 := x ∈ F3 : x2 = 0 =  0  : x1 , x3 ∈ F = `(e1 , e3 );


x3



0


S2 := x ∈ F3 : x1 = x3 = 0 =  x2  : x2 ∈ F = `(e2 ).


0
5. Ejemplo. En el espacio Mn (R) denotemos por S1 al subespacio que consiste en todas las matrices simétricas y por S2 al subespacio que consiste en todas las matrices
antisimétricas. Demuestre que Mn (R) es la suma directa de S1 y S2 .
6. Ejemplo. Denotemos por C(R, C) al espacio vectorial real de las funciones continuas
de R en C. Denotemos por S1 y S2 a dos subespacios de C(R, C) que consisten en las
funciones pares e impares, respectivamente:
S1 := f ∈ C(R, C) : ∀x ∈ R f (−x) = f (x) ;
S2 := f ∈ C(R, C) : ∀x ∈ R f (−x) = −f (x) .
Demuestre que C(R, C) es la suma directa de S1 y S2 .
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