EL CONOCIMIENTO L´OGICO MATEM´ATICO ¿Qué es la lógica

EL CONOCIMIENTO LÓGICO MATEMÁTICO
¿Qué es la lógica?
Según RAE:
• Ciencia que expone las leyes, modos y formas del conocimiento cientı́fico.
• Lógica formal o matemática: la que opera utilizando un lenguaje simbólico
artificial, haciendo abstracción de los contenidos.
Ası́, por ejemplo, si sabemos que cuando llueve ocurre que nos mojamos, y ocurre
que en este momento está lloviendo...entonces podrı́amos deducir de manera lógica
que nos estamos mojando.
En un primer apartado, vamos a estudiar ciertos aspectos acerca de la lógica
formal o proposicional, que es la que estudia este tipo de razonamientos de forma
simbólica, a través de proposiciones.
Una proposición es una oración enunciativa que afirma o niega algo.
Puede ser verdadera o falsa. Por ejemplo, una proposición podrı́a ser “Los niños
están divirtiéndose en el parque”, o también “Los niños no se están divirtiendo
en el parque”. Podemos construir proposiciones mucho más complejas, como por
ejemplo “Los alumnos de esa escuela son, o bien mayores de 10 años, o bien menores
de 10 años pero en ese caso son todos rubios”.
En lógica proposicional, para representar las proposiciones más simples se utilizan letras minúsculas del alfabeto comenzando por p: p, q, r, s, ... Por ejemplo,
podemos representar
p = Hoy está lloviendo.
Todas estas afirmaciones pueden ser verdaderas o falsas. Para representar que son
verdaderas, utilizaremos el número 1, y para representar que son falsas, utilizamos
el número 0.
Para conseguir formar proposiciones más complejas a partir de las más simples,
utilizamos los conectores. Los más usuales son los siguientes:
a. Negador: Sirve para negar una proposición y se representa con el sı́mbolo
¬. Partiendo del mismo ejemplo que antes, si escribimos
p = Hoy está lloviendo,
entonces tendremos que
¬p = Hoy no está lloviendo.
b. Conjuntor: Se representa con el sı́mbolo ∧. Para entender su uso, vamos a
explicarlo con un ejemplo. Si tomamos las proposiciones
p = Esta figura es un triángulo.
y la proposición
q = Esta figura es de color rojo.
Entonces la proposición p ∧ q nos dice
p ∧ q = Esta figura es un triángulo y además es de color rojo.
La proposición p ∧ q serı́a cierta (valdrı́a 1) si la figura fuese un triángulo
de color rojo, y serı́a falsa en otro caso.
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c. Disyuntor: Se representa con el sı́mbolo ∨. La forma en que se utiliza se
puede percibir a partir del siguiente ejemplo. Si consideramos las proposiciones
p = Esta figura es un cı́rculo.
y
q = Esta figura es de color verde.
entonces la proposición compuesta p ∨ q es la siguiente:
p ∨ q = Esta figura es un cı́rculo o verde.
La proposición anterior p ∨ q serı́a verdad (vale 1) si la figura fuera un
cı́rculo, o fuera de color verde, o también si fuera un cı́rculo de color verde.
d. Condicional o implicador: Se representa con el sı́mbolo →. Se podrı́a traducir como “Si... entonces...” o “Cuando...entonces...”. Veámoslo en un
ejemplo: si consideramos las proposiciones siguientes
p = El semáforo está de color rojo.
q = Puedo pasar la calle.
Entonces, la proposición p → q será
p → q = Si el semaforo está de color rojo, entonces puedo pasar la calle.
e. Bicondicional: Se representa por ↔ y se puede traducir como “si y sólamente
si ocurre ... entonces ocurre...” o bien “únicamente si... entonces...”. Con
un ejemplo, si escribimos
p = Pedro es el nieto de Juan.
q = Juan es el abuelo de Pedro.
entonces
p ↔ q = Pedro es el nieto de Juan si y sólamente si Juan es el abuelo de Pedro.
f. También podemos encontrarnos paréntesis que nos ayudan a agrupar las
proposiciones como en (p → q) ∧ r, y también en (p ∧ q) → (r ∨ ¬s).
CUIDADO: Hay que tener en cuenta la prioridad de las operaciones. Lo
que hay dentro de paréntesis tiene prioridad. No es lo mismo (p ∧ q) → r
que p ∧ (q → r).
Pasamos a escribir las tablas de verdad de las fórmulas. Ver diapositivas de
clase.
Se llama tautologı́a a una fórmula que siempre es verdadera, es decir, en todas
sus entradas de la tabla de verdad, todos son unos. En este caso tendremos una
ley lógica. Una fórmula es una contradicción si siempre es falsa, es decir, en
su tabla de verdad siempre encontramos ceros. En otro caso, estaremos ante una
indeterminación.
Ejercicio 1:
Escribe los siguientes textos en forma de proposiciones:
a) El gato es marrón.
b) La tortuga está moviéndose o la tortuga está quieta.
c) La figura es un triángulo que no es verde.
d) Si trabajas entonces te preparas mejor para el futuro.
e) Si trabajas o estudias entonces te preparas mejor para el futuro.
f) Si dominas las asignaturas no habrás perdido el tiempo.
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g) Las personas pasan la calle si y sólamente si el semaforo está en verde.
Ejercicio 2:
Escribe la tabla de verdad de las siguientes fórmulas lógicas, indicando si son
una tautologı́a, una contradicción o una indeterminación.
a) (p ∧ q) ∨ p
b) p ∧ (q ∨ p)
c) p ∧ ¬p
d) (p ∨ q) → ¬(¬p ∧ ¬q)
e) ((p ∨ q) ∧ r) → ¬p
f) p ↔ ¬p
g) (p ∧ q) → q