Tema 2. Productos numerables Como en el Tema 1 en este tema

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7. CONSTRUCCIÓN DE TOPOLOGÍAS
Tema 2.
Productos numerables
Como en el Tema 1 en este tema solo trabajaremos con espacios topológicos
no vacı́os.
Construcción 7.2.19 (Producto de una familia numerable de topologı́as).
Queremos extender la Construcción 7.1.18 al caso de una familia numerable de
espacios topológicos. Consideremos (Xn , Tn ), n ∈ N una familia de e.t. ConsideQ
ramos el producto cartesiano X := n∈N Xn y las proyecciones prn : X → Xn .
Los elementos de X son sucesiones (xn )n∈N , tales que xn ∈ Xn , ∀n ∈ N. Podemos
generalizar la Construcción 7.1.18
Consideremos por una parte Σn := {prn−1 (Un ) | Un ∈ Tn }. Podemos considerar
la topologı́a producto Tp de X como aquella que tiene por subbase a Σp :=
S
n∈N Σn . En esta situación,
prn−1 (Un ) = X1 × · · · × Xn−1 × Un ×
∞
Y
Xm .
m=n+1
La otra alternativa es considerar una topologı́a Tb que admita como base:
(
)
Y
Bb :=
Un | Un ∈ Tn ∀n ∈ N .
n∈N
Ejercicio 7.14. ♠ Demuestra que Bb es base de una topologı́a, llamada topologı́a caja.
Ejercicio 7.15. ♠ Demuestra que
(
!
)
∞
Y
Bp := U1 × U2 × ... × Un ×
Xm | Ui ∈ Ti , i = 1, ..., n, n ∈ N
m=n+1
es base de Tp
Proposición 7.2.20. Sea {Xn }n∈N una familia numerable de espacios toQ
pológicos y sea X := n∈N Xn con la topologı́a producto. Sea ∅ 6= U ⊂ X, abierto.
Demuestra que existe n0 ∈ N tal que ∀n ∈ N, prn (U ) = Xn .
Ejercicio 7.16. ♠ Demuestra que si #{n ∈ N | #Xn = 1} es finito, entonces
las topologı́as producto y caja no coinciden.
Vamos a estudiar los productos numerables. Demostraremos solo aquellos resultados cuyas demostraciones difieran sustancialmente de las hechas en el caso
de productos de dos espacios topológicos.
TEMA 2. PRODUCTOS NUMERABLES
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Propiedades 7.2.21 (Topologı́a producto numerable). Supongamos que (Xn , Tn ),
Q
n ∈ N son e.t. y consideremos el producto cartesiano X := n∈N Xn con la topologı́a producto Tp . Las proyecciones prn sobre las coordenadas son ahora aplicaciones entre espacios topológicos.
1. Las aplicaciones prn son continuas, abiertas y suprayectivas ∀n ∈ N.
2. Si An ⊂ Xn ∀n ∈ N, entonces
Q
Q
(a) n∈N Ai = n∈N An .
Q
Q
(b) Int( n∈N Ai ) ⊂ n∈N Int(An ).
3. Si Z es un e.t. y f : Z → X una aplicación, entonces f es continua si y
sólo si prn ◦ f es continua ∀n ∈ N.
Observación 7.2.22. Observa por la Proposición 7.2.20 si An $ Xn para todo
Q
n ∈ N, entonces Int( n∈N Ai ) = ∅.
Observación 7.2.23. Como en la Observación 7.1.5 el producto de cerrados
es cerrado si y solo si los factores lo son. Con respecto a los subespacios el resultado correspondiente al Ejercicio 7.5 también se cumple. Lo mismo ocurre con las
permutaciones u homeomorfismos de factores del Ejercicio 7.6.
Observación 7.2.24. Como en el Ejercicio 7.6(4), también los factores son
homeomorfos a subespacios del producto. Aplicaremos las reglas de la Observación 7.1.7: Si una propiedad es topológica y hereditaria y la posee el producto,
entonces la poseen los factores.
Estudiemos la relación entre separabilidad y producto numerable que generalice la Proposición 7.1.9 en la que el elemento clave de la demostración era la
Proposición 7.1.8: El producto de densos es denso. En esta situación necesitamos
un resultado un poco más fuerte, ya que el producto numerable de conjuntos
numerables no es numerable (Propiedad A.5.19(3)).
Proposición 7.2.25. Sea {Xn }n∈N una familia de e.t. no vacı́os y sea X :=
n∈N Xn . Consideremos Dn ⊂ Xn conjuntos densos ∀n ∈ N y tomemos (xn )n∈N ∈
Q
X un punto cualquiera de X. Denotemos Em := D1 × · · · × Dm × ∞
n=m+1 {xn },
S
entonces E := m∈N Em es denso en X.
Q
Proposición 7.2.26. El producto numerable de espacios topológicos es separable si y solo si lo son los factores.
Veamos cómo construir bases de entornos para productos numerables.
Proposición 7.2.27. Sea {Xn }n∈N una familia de espacios topológicos no
Q
vacı́os y sea X := n∈N Xn . Fijemos un punto x := (xn )n∈N ∈ X y para cada n ∈ N, fijemos también una base de entornos Bn de xn en Xn . Entonces si
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7. CONSTRUCCIÓN DE TOPOLOGÍAS
definimos
B x,n :=
x
entonces, B :=
S
m∈N
( n
Y
B
j=1
x,n
Bj ×
∞
Y
j=n+1
)
Xn B j ∈ B j , j = 1 . . . , n ,
es base de entornos de x en X.
Estamos en disposición de demostrar el resultado análogo a la Proposición 7.1.12.
Proposición 7.2.28. El producto numerable de espacios topológicos es ian si
y solo si lo son los factores.
Para demostrar el resultado equivalente numerable correspondiente a la Proposición 7.1.13 vamos a enunciar el que se corresponde con la Proposición 7.1.14
cuya demostración se omite.
Q
Proposición 7.2.29. Sean Xn , n ∈ N, espacios topológicos. Sea X := n∈N Xn
el producto. Sean Sn , n ∈ N, subbases para Xn . Entonces, si dado n ∈ N denotamos
S̃n := {prn−1 (Un ) | Un ∈ Sn },
se tiene que S :=
S
n∈N
S˜n es subbase de X.
Proposición 7.2.30. El producto numerable de espacios topológicos es iian
si y solo si lo son los factores.
Observación 7.2.31. Todas las propiedades que hemos estudiado de productos y axiomas de separación se enuncian y demuestran igual para productos
numerables y para productos binarios, por lo que la Proposición 7.1.15, el Ejercicio 7.9 y las Proposiciones 7.1.16 y 7.1.17 se traducen inmediatamente a este caso.
Lo mismo ocurre con convergencia y puntos de aglomeración de sucesiones, ver
Ejercicio 7.11.
En el Ejercicio 7.8 hemos visto que el producto finito de espacios (seudo)metrizables
es metrizable. Vamos a enunciar el resultado correspondiente para productos numerables.
Ejercicio 7.17. ♠ Sea {(Xn , Tn )}n∈N una familia de espacios topológicos seuQ
dometrizables, X := n∈N Xn . Para cada n ∈ N, elegimos una seudométrica dn
tal que Tn = T (dn ) y diám Xn < 1 (Ejercicio 2.26). Demuestra que la aplicación
d : X × X → R dada por
∞
X
dn (xn , yn )
d((xn )n∈N , (yn )n∈N ) :=
2n
n=1
está bien definida y es seudométrica (o métrica si todas las d n lo son). Además,
T (d) = Tp .
TEMA 2. PRODUCTOS NUMERABLES
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Terminamos este tema con un ejemplo importante de producto numerable.
Ejemplo 7.2.32. Consideremos el conjunto 2 := {0, 1} con la topologı́a discreta. Consideremos también el producto de una cantidad numerable de copias
de 2, denotado X := 2N , con la correspondiente topologı́a producto. La Proposición 7.2.20 implica que la topologı́a de X no es la discreta. Deducimos de los
resultados de este tema que X es metrizable (y por tanto T4 ); además es también
separable (y por tanto, iian e ian).
Ejercicio 7.18. ♠ Sea X = 2N . Demuestra que la aplicación f : X → [0, 1]
dada por
X xn
f ((xn )n∈N ) :=
2n
n∈N
es continua, sobreyectiva y no inyectiva.