Todo conjunto abierto en el plano es una unión numerable de

Todo conjunto abierto en el plano
es una unión numerable de rectángulos abiertos
Objetivos. Demostrar que todo conjunto abierto en el plano es una unión numerable de
rectángulos abiertos. Se supone que la topologı́a del plano está inducida por la métrica
euclidiana.
Requisitos. Bola en un espacio métrico, producto cartesiano de dos conjuntos, distancia
entre un punto y un conjunto.
1. Distancia de un punto a un conjunto (repaso). Sean x ∈ R2 , A ⊂ R2 . Entonces
d(x, A) se define mediante la siguiente regla:
d(x, A) := inf d(x, a).
a∈A
2. Lema. Sean x, y ∈ R2 , Z ⊂ R2 . Entonces
d(x, Z) ≤ d(x, y) + d(y, Z).
Demostración. Para cualqueir z ∈ Z se cumple la desigualdad triangular:
d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).
El sumando d(x, z) es mayor o igual que d(x, Z) porque d(z, Z) es una cota inferior del
conjunto {d(x, z) : z ∈ Z}. Aplicamos la ley transitiva:
d(x, Z) ≤ d(x, y) + d(y, z).
Pasamos d(x, y) al lado izquierdo:
d(x, Z) − d(x, y) ≤ d(y, z).
La última desigualdad significa que d(x, Z) − d(x, y) es una cota inferior del conjunto
{d(y, z) : z ∈ Z}. Ahora por la definición del inf obtenemos que
d(x, Z) − d(x, y) ≤ d(y, Z).
Pasando d(x, y) al lado derecho obtenemos el resultado requerido.
3. Observación. El conjunto vacı́o se puede representar como una unión numerable de
rectángulos vacı́os, por ejemplo
[
∅=
(7, 6) × (4, 4).
j∈N
Este caso trivial está excluı́do de la siguiente proposición.
Estructura de conjuntos abiertos en el plano, página 1 de 2
4. Proposición (de la estructura de los conjuntos abiertos en el plano eucli2
diano). Sea A un conjunto abierto en
R , A 6= ∅. Entonces existe una sucesión de
rectángulos abiertos (ak , bk ) × (ck , dk ) k∈N que cubre el conjunto A:
[
A=
(ak , bk ) × (ck , dk ).
k∈N
Demostración. El caso A = R2 es simple:
[ [
R2 =
(j − 1, j + 1) × (k − 1, k + 1).
j∈Z k∈Z
Consideramos el caso A 6= R2 . El conjunto A∩Q2 es numerable. Elegimos una numeración
(pk )k∈N = ((xk , yk ))k∈N de este conjunto: {pk }k∈N = A ∩ Q2 . Para todo k ∈ N la distancia
entre el punto pk y el conjunto cerrado R2 \ A es positiva:
ρk := d(pk , R2 \ A) = inf2 d(pk , q) > 0.
q∈R \A
Construimos los siguientes cuadrados abiertos alrededor de los puntos pk :
ρk
ρk
ρk
ρk
× yk − √ , yk + √ .
Rk := xk − √ , xk + √
2
2
2
2
Notemos que
ρ k
⊂ Rk ⊂ B(pk , ρk ).
B pk ,
2
Por lo tanto, Rk ⊂ A para cada k ∈ N y
[
Rk ⊂ A.
k∈N
Falta demostrar la contención inversa. Sea q = (u, v) ∈ A y sea
δ = d(q, R2 \ A).
Usando la densidad de Q en R encontramos α, β ∈ Q tales que
δ
δ
|β − v| < √ .
|α − u| < √ ,
4 2
4 2
Entonces
δ
d((α, β), (u, v)) <
4
y por lo tanto (α, β) ∈ A ∩ Q2 . Sea k ∈ N tal que pk = (α, β). Notemos que
d(q, R2 \ A) ≤ d(pk , R2 \ A) + d(pk , q),
de donde
ρk = d(pk , R2 \ A) > δ −
δ
δ
> .
4
2
Como d(q, pk ) < δ/4, concluimos que
ρ δ
k
q ∈ B pk ,
⊂ B pk ,
⊂ Rk .
4
2
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