Elementos de Lógica L´OGICA PROPOSICIONAL

Elementos de Lógica
LÓGICA PROPOSICIONAL
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Proposiciones Lógicas
•
— Una proposición lógica es un enunciado al cual se le puede asignar un valor de
verdad, verdadero (V ) o falso (F ). Denotaremos a estas por letras minúsculas
p, q, r, . . . etc.
— A partir de proposiciones podemos construir otras proposiciones mediante operaciones básicas ( proposiciones compuestas). Estas operaciones son: la negación,
la conjunción o producto lógico, la disyunción o suma lógica, la disyunción excluyente, la implicación o condicional y la doble implicación o bicondicional.
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Conectivos Lógicos
•
— Al operar con proposiciones y según sean tales operaciones, se utilizan ciertos
sı́mbolos, llamados Conectivos Lógicos
Conectivo
Operación
p̄
negación
p∧q
conjunción
p∨q
disyunción
pq
disyunción excluyente
p⇒q
implicación
p⇔q
doble implicación
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Significado
no p o no es cierto que p
p y q
p o q (incluyente)
p ó q (excluyente)
p implica q o, si p entonces q
p sı́ y sólo si q
Tablas de Verdad
•
— Las operaciones básicas se definen mediante Tablas de Verdad.
— Para la negación de una proposición p, se tiene la tabla de verdad
p
V
F
p̄
F
V
Dadas dos proposiciones p y q, las posibles combinaciones de sus valores de verdad
V o F son,
p q
V V
V F
F V
F F
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En este contexto las operaciones básicas quedan definidas en la siguiente tabla de
verdad
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p∧q
V
F
F
F
p∨q
V
V
V
F
pq
F
V
V
F
p⇒q
V
F
V
V
p⇔q
V
F
F
V
En la proposición p ⇒ q , p es el antecedente o Hipótesis y q el consecuente o Tésis.
Esta implicación lógica establece que p es condición suficiente para q o que q es condición
necesaria para p .
El bicondicional p ⇔ q , conocida también como Equivalencia Lógica establece que p
es condición necesaria y suficiente para q .
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Tautologı́as
•
— Una Tautologı́a o Teorema lógico es una proposición siempre verdadera. Una
proposición siempre falsa es una Contradicción.
— Dadas las proposiciones p, q y r , algunas Tautologı́as importantes son
•
1. Conmutatividad
p∨q ⇔ q∨p
p∧q ⇔ q∧p
2. Asociatividad
p ∨ (q ∨ r) ⇔ (p ∨ q) ∨ r
p ∧ (q ∧ r) ⇔ (p ∧ q) ∧ r
3. Distributividad
p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) , ( ∧ respecto a ∨ )
p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) , ( ∨ respecto a ∧ )
4. Doble negación
p̄ ⇔ p
5. Principio de Contradicción
(p ∧ p̄) ⇔ V (siempre verdadero)
6. Principio del tercero excluı́do
p ∨ p̄ ⇔ V
7. Idempotencia
(p ∨ p) ⇔ p
(p ∧ p) ⇔ p
8. Leyes de Morgan
(p ∨ q) ⇔ p̄ ∧ q̄
(p ∧ q) ⇔ p̄ ∨ q̄
9. Contrarecı́proca
(p ⇒ q) ⇔ (q̄ ⇒ p̄)
10. Ley del Silogismo
[(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)] ⇒ (p ⇒ r)
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CUANTIFICADORES
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Función Proposicional
•
— Una función proposicional es una expresión que contiene una o más variables, que
se convierte en proposición al sustituir dicha(s) variable(s) por un (unos) elemento
(s) de un conjunto referencial.
— En otros términos, una función proposicional es un enunciado abierto con una
variable ( también puede ser con más variables) del tipo p(x) ( o p(x, y) ,
p(x, y, z) ,...) que al ser referido a un determinado conjunto referencial (Universo) A , puede ser total, parcial o nunca verdadero.
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Cuantificador Universal
•
— Que todos los elementos x ∈ A cumplen p(x) ,se simboliza como
∀x ∈ A : p (x)
donde ∀ se lee “para todo”, o “para cada” o “para cualquier” y se denomina
cuantificador universal.
— En consecuencia :
U1) ∀x ∈ A : p (x) es verdadero si y sólo si p (x) se cumple para todos los x ∈ A .
U2) ∀x ∈ A : p (x) es falso si y sólo si existe al menos un elemento de A para el
cual p (x) no se cumple.
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Cuantificador Existencial
•
— Si p(x) se cumple sólo para algunos elementos de un conjunto de referencia A .
Esto es si p(x) no se cumple para todos los elementos de A , sólo se cumple
para algunos, escribimos
∃ x ∈ A : p(x)
donde ∃ se lee “ existe ”,o “para algún ” o “hay ” y se denomina cuantificador
existencial.
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• Se tiene en consecuencia :
E1) ∃ x ∈ A : p (x) es verdadero si y sólo si existe a lo menos un elemento de A
para el cual p (x) se cumple.
E2) ∃ x ∈ A : p (x) es falso si y sólo no existe ningún elemento de A para el cual
p (x) se cumpla.
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Cuantificador Existencial Estricto
• Si p(x) se cumple para uno y solo un elemento de un conjunto de referencia A .
Esto es si p(x) no se cumple para todos los elementos de A , excepto para uno,
escribimos
∃ ! x ∈ A : p(x)
donde ∃! se lee “ existe uno y solo uno ”,o “para un único ” y se denomina cuantificador existencial estricto.
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Negación de Cuantificadores
Los cuantificadores universal y existencial se relacionan mediante el conectivo de la negación.La negación de cuantificadores se atiene a las siguientes leyes :
• Negación del Cuantificador Universal, Para todos
[∀x ∈ A : p (x)] ⇐⇒ ∃x ∈ A : p(x)
Negación del Cuantificador Existencial, Existe por lo menos uno
[∃x ∈ A : p (x)] ⇐⇒ ∀x ∈ A : p(x)
curso : algebra i - ingenieria
UTA - i semestre 2011
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