Lógica Proposicional

LÓGICA PROPOSICIONAL
PROPOSICIONES
Una proposición es todo enunciado, u oración enunciativa, respecto del cual se tiene un criterio que permite afirmar que su contenido es verdadero o falso, pero no ambos. A la veracidad
o falsedad de una proposición la denominaremos valor de verdad.
Ejemplos:
Son proposiciones:
• 2 + 3 = 7.
• Rómulo
Gallegos escribió “Doña Bárbara”.
√
• 3 es un número racional.
No son proposiciones:
• 11 − 5.
• Abre la puerta.
• Esta proposición es falsa.
Representaremos las proposiciones con letras minúsculas tales como p, q, r,...
CONECTIVOS U OPERADORES LÓGICOS
Vamos ahora a introducir ciertos términos que nos permitirán conectar proposiciones para
producir otras más complejas. A tales términos los llamaremos conectivos u operadores lógicos.
A continuación, listaremos y definiremos todos los conectivos u operadores lógicos:
1. El conectivo “no” (Negación)
Sea p una proposición. La negación de p, que denotaremos por ¬p, es la proposición cuyo
valor de verdad está dado por la siguiente tabla de verdad:
p
V
F
¬p
F
V
La negación puede presentarse con términos gramaticales como “no”, “no es verdad que”,
“no es cierto que”.
2. El conectivo “y” (Conjunción)
Sean p y q dos proposiciones. La conjunción de p y q, que denotaremos por p ∧ q, es la
proposición cuyo valor de verdad está dado por la siguiente tabla de verdad:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p∧q
V
F
F
F
La conjunción puede presentarse con términos gramaticales como “y”, “pero”, “mas”, y
signos de puntuación como: la coma, el punto y el punto y coma.
3. El conectivo “o” (Disyunción Inclusiva) Sean p y q dos proposiciones. La disyunción
inclusiva (o simplemente disyunción) de p y q, que denotaremos por p∨q, es la proposición
cuyo valor de verdad está dado por la siguiente tabla de verdad:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p∨q
V
V
V
F
La disyunción inclusiva se presenta con el término gramatical “o”.
4. El conectivo “o... o...” (Disyunción Exclusiva) Sean p y q dos proposiciones. La
disyunción exclusiva de p y q, que denotaremos por p ∨ q, es la proposición cuyo valor de
verdad está dado por la siguiente tabla de verdad:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p∨q
F
V
V
F
La disyunción exclusiva puede presentarse con términos gramaticales como “o”, “o sólo”,
“o solamente”, “o..., o...”.
5. El conectivo “si..., entonces...” (Condicional) Sean p y q dos proposiciones. El condicional con antecedente p y consecuente q, que denotaremos por p → q, es la proposición
cuyo valor de verdad está dado por la siguiente tabla de verdad:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p→q
V
F
V
V
El condicional p → q puede presentarse con términos gramaticales como “si p, entonces
q”, “p sólo si q”, “p solamente si q”, “q si p”, “si p, q”, “q con la condición de que p”, “q
cuando p”, “q siempre que p”, “q cada vez que p”, “se tiene q si se tiene p”, “q es condición
necesaria para p”, “una condición necesaria para p es q”, “p es condición suficiente para
q”, “una condición suficiente para q es p”.
2
A cada condicional p → q se le asocian otros tres que se obtienen permutando el
antecedente con el consecuente o sus negaciones. Estos condicionales son los siguientes:
• El recı́proco: q → p
• El contrario o inverso: ¬p → ¬q
• El contrarrecı́proco: ¬q → ¬p
6. El conectivo “si y sólo si” (Bicondicional) Sean p y q dos proposiciones. El
bicondicional de p y q, que denotaremos por p ↔ q, es la proposición cuyo valor de
verdad está dado por la siguiente tabla de verdad:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p↔q
V
F
F
V
El bicondicional p ↔ q se puede encontrar con términos gramaticales como “p si y sólo
si q”, “p si y solamente si q”, “p cuando y sólo cuando q”, “p es condición suficiente y
necesaria para q”.
PROPOSICIONES ATÓMICAS Y PROPOSICIONES MOLECULARES
Clasificaremos a las proposiciones como atómicas (o simples) y moleculares (o compuestas).
Las proposiciones atómicas serán aquellas que no contienen conectivos u operadores lógicos,
mientras que las proposiciones moleculares serán aquellas que constan de una o más proposiciones atómicas modificadas o vinculadas por conectivos u operadores lógicos.
TAUTOLOGÍAS Y CONTRADICCIONES
Una tautologı́a es una forma proposicional que es verdadera para cualquier valor lógico que
se le asigne a sus variables proposicionales. Simbolizaremos como T a toda tautologı́a.
Una contradicción es una forma proposicional que es falsa para cualquier valor lógico que
se le asigne a sus variables proposicionales. Simbolizaremos como C a toda contradicción.
3
LEYES LÓGICAS
¬(¬p) ≡ p
p∨q ≡q∨p
p∧q ≡q∧p
(3) (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r)
(p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r)
(4) p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
(5) ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q
(6) p ∨ p ≡ p
p∧p≡p
(7) p ∨ C ≡ p
p∧T ≡p
(8) p ∨ ¬p ≡ T
p ∧ ¬p ≡ C
(9) p ∨ T ≡ T
p∧C ≡C
(10) p ∨ (p ∧ q) ≡ p
p ∧ (p ∨ q) ≡ p
(11) p → q ≡ ¬p ∨ q
p → q ≡ ¬q → ¬p
¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
(1)
(2)
Ley de la doble negación
Leyes conmutativas
Leyes asociativas
Leyes distributivas
Leyes de De Morgan
Leyes idempotentes
Leyes de neutro
Leyes inversas
Leyes de dominación
Leyes de absorción
Leyes del condicional
LA IMPLICACIÓN Y LA DOBLE IMPLICACIÓN
Sea p y q dos formas proposicionales.
Diremos que p ⇒ q (p implica a q), si y sólo si el condicional p → q es una tautologı́a.
Diremos que p ⇔ q (p implica a q y q implica a p), si y sólo si el bicondicional p ↔ q es
una tautologı́a.
Propiedades de la doble implicación
Si en la tabla de leyes lógicas reemplazamos todos los sı́mbolos “ ≡ ” por “ ⇔ ”, tendremos
una tabla de propiedades para la doble implicación.
Propiedades de la implicación
(1) p ⇒ p ∨ q
(2) p ∧ q ⇒ p
Ley aditiva de la disyunción
Ley cancelativa de la conjunción
4