La Muy Excluida Disyunción Exclusiva

La Muy Excluida Disyunción Exclusiva
Jorge Perdomo
31 de marzo de 2016
Resumen
En mi experiencia personal, al abordar el estudio de la demostración del teorema de
las relaciones de equivalencia, más especı́ficamente, el que afirma que las clases de equivalencia, o son iguales, o son disjuntas, observé que tal expresión era generalmente tratada
como una disyunción inclusiva siendo que realmente estamos ante un disyunción exclusiva.
Al investigar lo publicado sobre este punto no conseguı́ un sólo trabajo que contradijera esta
afirmación. Como mucho, algunos artı́culos apenas advierten que la disyunción en cuestión
es exclusiva, pero mantienen su tratamiento como inclusiva. Debido a esta inquietud decidı́ explorar la posibilidad de analizar este teorema bajo la consideración de la tan excluida
disyunción exclusiva en el ámbito de la lógica proposicional.
Palabras Claves: Disyunción Exclusiva. Dilema Constructivo Exclusivo. Clases de Equivalencia.
Introducción
De obligado mandato, si la intensión es la de ensalzar la disyunción exclusiva, en el ámbito
de la lógica formal, como un concepto de significación, más que simplemente curioso, lo más
lógico es comenzar con la exposición de lo que usualmente se presenta acerca de este tema. Lo
que aparece en este trabajo es un extracto de un escrito más extenso sobre lógica formal que he
venido desarrollando desde hace tiempo y que está pendiente de ser concluido. En el Capı́tulo 1.
se introducen los conceptos básicos, todos apoyados mediante el recurso de las tablas de verdad.
Comienzo con la definición de todos los conectivos lógicos (1.1), exceptuando la disyunción exclusiva que tendrá su capı́tulo aparte. Luego de abordar conceptos como tautologı́a y contradicción
(1.2) y pasando por las inferencias lógicas (1.3) y (1.4) incluyo sendos resúmenes del álgebra de
Boole de las proposiciones (1.5) y la lógica cuantificacional (1.6).
Luego de esta introducción, en el Capı́tulo 2. asumo la presentación del tópico disyunción exclusiva, mucho más extensa que lo que he podido encontrar en mi larga búsqueda por mi única
fuente, la Internet. Aparte de algunas propiedades curiosas e interesantes, destaco la propuesta
de una inferencia lógica que podrı́a ser de utilidad para desarrollar demostraciones en las que
se involucre la disyunción exclusiva. Se trata de una variante del dilema constructivo, el cual,
siendo aplicable sólo a la disyunción inclusiva es generalmente aplicado también a la disyunción
exclusiva. Me refiero a la inferencia que he denominado dilema constructivo exclusivo (74) que
utilizo en el siguiente capı́tulo para la demostración del teorema de las clases de equivalencia.
Por último, el Capı́tulo 3. se refiere al tema de relación de equivalencia. Para mantener la claridad de exposición intentada hasta aquı́, comienzo con una breve introducción de las nociones
básicas sobre conjuntos (3.1) y las operaciones con estos entes matemáticos (3.2) para tener
los elementos sobre los cuales definir la relación de equivalencia (3.3). Con todo este material,
culmino con la propuesta del uso del dilema constructivo exclusivo para tratar el desarrollo de
la demostración del teorema (3.4) sobre la disjunción o la igualdad de las clases de equivalencia.
La investigación realizada por Internet no me proporcionó ninguna información nueva diferente
a la que me hallan proporcionado mi viejo y primer texto de Álgebra [1] y mi actual texto [2] y,
sobre todo, los resultados alcanzados con mi estudio e investigación.
1
1.
Nociones Básicas de Lógica Formal
Una proposición lógica es toda sentencia u oración de la cual se pueda afirmar (o negar) que
es cierta, o es falsa. Representamos las proposiciones mediante:
p, q, r, s, t, . . .
Son propias de las proposiciones, el axioma de Identidad: toda proposición es igual a sı́ misma;
el axioma de Contradicción: una proposición no puede ser cierta y falsa a la vez ; y el axioma de
Tercero Excluido: toda proposición, o bien es cierta, o bien es falsa.
Simbólicamente, expresamos que una proposición p es cierta, diciendo que tiene valor lógico V ,
y si es falsa, con F .
1.1.
Conexiones Lógicas
Las conexiones lógicas son sı́mbolos, asociados a partı́culas gramaticales, que al aplicarlas a
una o varias proposiciones, cuyos valores lógicos son conocidos, las transforma en otra proposición
cuyo valor lógico depende solamente de la partı́cula conectiva y de los valores lógicos de las
proposiciones originales, sin importar el sentido de lo que ella expresa. Ellas son, la conjunción,
la disyunción, la negación, la implicación y la coimplicación.
1.1.1.
Conjunción
Dadas dos proposiciones p y q, la conjunción la representamos mediante, p ∧ q, léase “p y q”,
y se define, según el valor lógico de la proposición resultante, como sigue: la conjunción de dos
proposiciones será cierta sólo cuando sean ciertas ambas simultáneamente.
p
V
V
F
F
1.1.2.
p∧q
V
F
F
F
q
V
F
V
F
(1)
Disyunción
Dadas dos proposiciones p y q, la disyunción la representamos mediante, p ∨ q, léase “p o q”,
y se define, según el valor lógico de la proposición resultante, como sigue: la disyunción de dos
proposiciones será falsa sólo cuando sean falsas ambas simultáneamente.
p
V
V
F
F
1.1.3.
p∨q
V
V
V
F
q
V
F
V
F
(2)
Negación
Dada una proposición p, la negación la representamos mediante, ∼ p, léase “no p”, y se define,
según el valor lógico de la proposición resultante, como sigue: la negación de una proposición
será cierta cuando sea falsa la proposición original, y será falsa, cuando ésta sea cierta.
p
V
F
∼p
F
V
2
(3)
1.1.4.
Implicación
Dadas dos proposiciones p y q, la implicación la representamos mediante, p ⇒ q, que se lee,
“p implica q”, o también, “si p entonces q”. A la proposición p se le llama antecedente y, a la
q, consecuente. La implicación se define, según el valor lógico de la proposición resultante, de
acuerdo con el siguiente enunciado: la implicación es falsa sólo cuando el antecedente sea cierto
y el consecuente sea falso.
p q p⇒q
V V
V
(4)
V F
F
V
F V
F F
V
1.1.5.
Coimplicación o Doble Implicación
Dadas dos proposiciones p y q, la coimplicación la representamos mediante, p ⇔ q, que se
lee, “p coimplica q”, o también, “p si y sólo si q”. La doble implicación se define, según el valor
lógico de la proposición resultante, de acuerdo con el siguiente enunciado: la coimplicación es
cierta sólo cuando ambas componentes tengan el mismo valor lógico.
p
V
V
F
F
1.2.
p⇔q
V
F
F
V
q
V
F
V
F
(5)
Tautologı́as y Contradicciones
Las tautologı́as y las contradicciones son proposiciones compuestas que siempre resultan ser
ciertas, unas, y falsas, las otras. Las proposiciones compuestas que puedan ser ciertas o falsas
según cuales sean los valores lógicos de las proposiciones conectadas las llamaremos contingencias.
1.2.1.
Tautologı́a
Una Tautologı́a es una proposición compuesta que resulta cierta para todas las combinaciones
de valores lógicos de las proposiciones simples conectadas. En la última columna de la tabla de
verdad de una tautologı́a aparece el valor V en todas las filas. La tautologı́a emblemática es
la proposición compuesta p ∨∼ p. En efecto, aplicando la definición (2) del conectivo lógico ∨
obtenemos,
p ∼p p∨∼p
(6)
V
F
V
F
V
V
1.2.2.
Contradicción
Una Contradicción es una proposición compuesta que resulta falsa para todas las combinaciones de valores lógicos de las proposiciones simples conectadas. En la última columna de la
tabla de verdad de una contradicción aparece el valor F en todas las filas. La contradicción emblemática es la proposición compuesta p∧∼ p. En efecto, aplicando la definición (1) del conectivo
∧ obtenemos,
p ∼p p∧∼p
(7)
V
F
F
F
V
F
3
1.3.
Inferencias Lógicas: Equivalencias e Inferencias
Las inferencias lógicas las establecemos sobre la base de proposiciones compuestas que resultan ser tautológicas y son de gran utilidad para establecer la validez de las demostraciones.
Entre ellas distinguimos las equivalencias y las inferencias propiamente dichas.
1.3.1.
Equivalencias
Sean p y q dos proposiciones cualesquiera. Decimos que ambas proposiciones son equivalentes,
lo que representamos mediante p ≡ q, si la coimplicación p ⇔ q es una tautologı́a.
Veamos algunas equivalencias.
• Una equivalencia de gran utilidad es la que nos permite expresar la condicional ⇒ en términos
de la disyunción ∨,
(p ⇒ q) ≡ (∼ p ∨ q)
(8)
Veamos su tabla de verdad,
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
∼p
F
F
V
V
p⇒q
V
F
V
V
∼p∨q
V
F
V
V
(p ⇒ q) ⇔ (∼ p ∨ q)
V
V
V
V
Si vemos las columnas de las proposiciones compuestas p ⇒ q y ∼ p ∨ q, podemos observar
que tienen los mismos valores lógicos. Siempre podremos ver que dos proposiciones equivalentes
tienen la misma tabla de verdad.
• La doble implicación, p ⇔ q, podemos interpretarla como la conjunción de una implicación a
la derecha, p ⇒ q, con una implicación a la izquierda, p ⇐ q. Admitiendo que p ⇐ q es lo mismo
que q ⇒ p, tenemos que,
(p ⇔ q) ≡ [(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)]
(9)
La tabla de verdad es la siguiente,
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p⇒q
V
F
V
V
q⇒p
V
V
F
V
(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)
V
F
F
V
p⇔q
V
F
F
V
(p ⇔ q) ⇔ [(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)]
V
V
V
V
Asumiendo los términos de condiciones necesaria y suficiente observemos que, cumpliéndose
p ⇒ q, p es condición suficiente para q y ésta es condición necesaria para p. Mientras que si se
cumple que q ⇒ p, entonces q es condición suficiente para p y ésta es condición necesaria para
q. Por consiguiente, si se cumplen ambas implicaciones o, lo que es lo mismo, si se cumple la
coimplicación, p ⇔ q, es a su vez condición necesaria y condición suficiente que p sea verdadera
para que q también lo sea. Igualmente, es condición necesaria y condición suficiente que q sea
verdadera para que p también lo sea. Por eso interpretamos la coimplicación como condición
necesaria y suficiente de p para q y viceversa.
• Entre las variantes de la implicación, la directa es equivalente a la contrarecı́proca. Esto es,
p ⇒ q ≡∼ q ⇒∼ p
(10)
Veamos su tabla de verdad,
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
∼p ∼q
F
F
F
V
V
F
V
V
p⇒q
V
F
V
V
∼ q ⇒∼ p
V
F
V
V
(p ⇒ q) ⇔ (∼ q ⇒∼ p)
V
V
V
V
Observemos que igualmente se cumple, q ⇒ p ≡∼ p ⇒∼ q, es decir, la recı́proca es equivalente
a la contradirecta.
4
1.3.2.
Inferencias
Sean p y q dos proposiciones compuestas. Decimos que ambas proposiciones constituyen una
inferencia, cuando la implicación, p ⇒ q, sea una tautologı́a.
Veamos algunas inferencias.
• Deducida la doble implicación, se deduce cualquiera de las implicaciones que las componen.
(p ⇔ q) ⇒ (p ⇒ q)
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p⇔q
V
F
F
V
p⇒q
V
F
V
V
(p ⇔ q) ⇒ (q ⇒ p)
y
q ⇒ p (p ⇔ q) ⇒ (p ⇒ q)
V
V
V
V
F
V
V
V
(11)
(p ⇔ q) ⇒ (q ⇒ p)
V
V
V
V
• Se deduce la disyunción, deduciendo cada componente. Esto es,
[(p ⇒ q) ∧ (p ⇒ r)] ⇒ [p ⇒ (q ∨ r)]
p
V
V
V
V
F
F
F
F
q
V
V
F
F
V
V
F
F
r
V
F
V
F
V
F
V
F
a = (p ⇒ q)
V
V
F
F
V
V
V
V
b = (p ⇒ r)
V
F
V
F
V
V
V
V
c = (a ∧ b)
V
F
F
F
V
V
V
V
q∨r
V
V
V
F
V
V
V
F
(12)
d = [p ⇒ (q ∨ r)]
V
V
V
F
V
V
V
V
c⇒d
V
V
V
V
V
V
V
V
• Deducida la conjunción, se tiene concluida la disyunción. Esto es,
p∧q ⇒p∨q
p
V
V
F
F
1.4.
q
V
F
V
F
p∧q
V
F
F
F
p∨q
V
V
V
F
(13)
(p ∧ q) ⇒ (p ∨ q)
V
V
V
V
Inferencias Clásicas
Incluyo bajo la calificación de clásicas algunas inferencias que constituyen un conjunto de
tautologı́as que se han venido utilizando habitualmente en el razonamiento deductivo y que consisten, esencialmente, en reglas de inferencia que nos permiten deducir una proposición llamada
conclusión, a partir de un conjunto de proposiciones llamadas premisas. Su estructura lógica es
una condicional cuyo antecedente es una conjuntiva de proposiciones, y cuyo consecuente, es la
conclusión. En sı́mbolos, si las proposiciones p1 , p2 , p3 , . . . , pn , constituyen las premisas, y c es la
conclusión, entonces la estructura lógica de una regla de inferencia es:
(p1 ∧ p2 ∧ p3 ∧ . . . ∧ pn ) ⇒ c
He aquı́ algunas reglas de inferencia clásicas.
1.4.1.
Ley de Adición
Afirmando una proposición p, afirmamos una disyunción, p ∨ m, donde m es una proposición
cualquiera sin importar su valor lógico.
De modo esquemático:
p
Premisa
Conclusión p ∨ m
5
La fórmula proposicional correspondiente es:
p
⇒
(p ∨ m)
(14)
la cual es una tautologı́a:
p
V
V
F
F
1.4.2.
p∨m
V
V
V
F
m
V
F
V
F
p ⇒ (p ∨ m)
V
V
V
V
Ley de Simplificación
Afirmando una conjunción, afirmamos cualquiera de sus componentes.
De modo esquemático:
Premisa
p∧q
1a conclusión
p
2a conclusión
q
Las fórmulas proposicionales correspondientes son:
(p ∧ q) ⇒ p
y
(p ∧ q) ⇒ q
(15)
las cuales son tautologı́as:
p
V
V
F
F
1.4.3.
q
V
F
V
F
p∧q
V
F
F
F
(p ∧ q) ⇒ p
V
V
V
V
(p ∧ q) ⇒ q
V
V
V
V
Ponendo Ponens
En una implicación, si afirmamos el antecedente, entonces afirmamos el consecuente.
De modo esquemático:
1a premisa p ⇒ q
2a premisa
p
Conclusión
q
La fórmula proposicional correspondiente es:
[(p ⇒ q) ∧ p]
⇒
q
(16)
la cual es una tautologı́a:
p
V
V
F
F
1.4.4.
q
V
F
V
F
p⇒q
V
F
V
V
(p ⇒ q) ∧ p
V
F
F
F
[(p ⇒ q) ∧ p] ⇒ q
V
V
V
V
Tollendo Tollens
En una implicación, si negamos el consecuente,
De modo esquemático:
1a premisa
2a premisa
Conclusión
entonces negamos el antecedente.
p⇒q
∼q
∼p
La fórmula proposicional correspondiente es:
[(p ⇒ q) ∧ ∼ q]
6
⇒
∼p
(17)
la cual es una tautologı́a:
p
V
V
F
F
1.4.5.
q
V
F
V
F
∼p ∼q
F
F
F
V
V
F
V
V
p⇒q
V
F
V
V
(p ⇒ q) ∧ ∼ q
F
F
F
V
[(p ⇒ q) ∧ ∼ q] ⇒∼ p
V
V
V
V
Silogismo Disyuntivo (Tollendo Ponens)
En una disyunción, si negamos una componente, entonces afirmamos la otra componente.
De modo esquemático:
1a premisa
2a premisa
Conclusión
1a premisa
2a premisa
Conclusión
p∨q
∼q
p
p∨q
∼p
q
Las fórmulas proposicionales correspondientes son:
[(p ∨ q) ∧ ∼ q] ⇒ p
y
[(p ∨ q) ∧ ∼ p] ⇒ q
(18)
las cuales son tautologı́as. Para evaluarlas escribamos X1 = (p ∨ q) ∧ ∼ q y X2 = (p ∨ q) ∧ ∼ p,
p
V
V
F
F
1.4.6.
q
V
F
V
F
∼p
F
F
V
V
∼q
F
V
F
V
p∨q
V
V
V
F
X1
F
V
F
F
X1 ⇒ p
V
V
V
V
X2
F
F
V
F
X2 ⇒ q
V
V
V
V
Silogismo Hipotético
Se crea una inferencia lógica a partir de la ley
De modo esquemático:
1a premisa
2a premisa
Conclusión
transitiva para la implicación.
p⇒q
q⇒r
p⇒r
La fórmula proposicional correspondiente es:
[(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)]
⇒
(p ⇒ r)
la cual es una tautologı́a:
p
V
V
V
V
F
F
F
F
q
V
V
F
F
V
V
F
F
r
V
F
V
F
V
F
V
F
p⇒q
V
V
F
F
V
V
V
V
q⇒r
V
F
V
V
V
F
V
V
p⇒r
V
F
V
F
V
V
V
V
(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)
V
F
F
F
V
F
V
V
7
[(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)] ⇒ (p ⇒ r)
V
V
V
V
V
V
V
V
(19)
1.4.7.
Dilema Constructivo
Cuando en las premisas, las componentes de una disyunción son los antecedentes de sendas
implicaciones, concluimos la disyunción de los consecuentes.
De modo esquemático:
1a premisa p ∨ q
2a premisa p ⇒ r
3a premisa q ⇒ s
Conclusión r ∨ s
La fórmula proposicional correspondiente es:
[(p ∨ q) ∧ (p ⇒ r) ∧ (q ⇒ s)]
⇒
(r ∨ s)
(20)
la cual es una tautologı́a.
Llamemos X = (p ∨ q) ∧ (p ⇒ r) ∧ (q ⇒ s):
p
V
V
V
V
V
V
V
V
F
F
F
F
F
F
F
F
1.5.
q
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
V
V
F
F
F
F
r
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
s
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
p∨q
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
F
F
F
F
p⇒r
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
V
V
V
V
V
V
q⇒s
V
F
V
F
V
V
V
V
V
F
V
F
V
V
V
V
r∨s
V
V
V
F
V
V
V
F
V
V
V
F
V
V
V
F
X
V
F
F
F
V
V
F
F
V
F
V
F
F
F
F
F
X ⇒ (r ∨ s)
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
El Álgebra de Boole de las Proposiciones
1.5.1.
Los Objetos del álgebra de Boole de la Proposiciones
Los Elementos. Consideremos el conjunto B de las proposiciones, entendiendo cada elemento de este conjunto como toda sentencia u oración de la cual se pueda afirmar (o negar) que
es cierta, o es falsa, que representamos mediante:
p, q, r, s, t, . . .
y que cumplen axiomáticamente que, una proposición no puede ser cierta y falsa a la vez, y que
toda proposición, o bien es cierta, o bien es falsa. Igualmente, expresamos que una proposición
p es cierta, diciendo que tiene un valor lógico V , y que es falsa, con F .
Las Operaciones. Definamos sobre B dos operaciones binarias, la conjunción y la disyunción, ∧ y ∨, tal como se introducen en la lógica formal.
La conjunción de dos proposiciones será cierta sólo cuando sean ciertas ambas simultáneamente. Ver Tabla (1).
La disyunción de dos proposiciones será falsa sólo cuando sean falsas ambas simultáneamente. Ver Tabla (2).
La Igualdad. En la lógica proposicional vimos que dos proposiciones son equivalentes si su
coimplicación es una tautologı́a. Supongamos que tenemos dos proposiciones cualesquiera p y q
equivalentes, esto es, tales que la coimplicación, p ⇔ q, es una tautologı́a.
Definimos,
8
Dos proposiciones, p y q, son iguales, y escribimos:
p=q
si son equivalentes.
El Simétrico. A cada proposición p, le podemos asociar otra proposición, ∼ p, que se lee,
“no p”. Es decir, se trata de su negación, la cual se define como sigue:
La negación de una proposición será cierta cuando sea falsa la proposición original,
y será falsa, cuando ésta sea cierta. Ver Tabla (3).
Este concepto se corresponde con lo que en álgebra booleana llamamos el simétrico p′ de p. Esto
es, p′ =∼ p.
Los Neutros. Definamos ahora dos elementos distinguidos en el conjunto B de las proposiciones. Estos son, la proposición 0 con un valor lógico fijo F . Y la proposición 1, con un valor
lógico fijo V .
Por otra parte, conocemos también de dos proposiciones compuestas: la contradicción (p ∧ ∼ p)
cuyo valor lógico es siempre F , y la tautologı́a (p ∨ ∼ p), cuyos valor lógico es siempre V , cualquiera sea el valor lógico de la proposición p. Ver Tablas (6) y (7).
Tenemos ası́ por un lado, de acuerdo con (7), que la contradicción la podemos asociar con la
proposición 0. O sea,
0=p∧∼p
Por otra parte, de acuerdo con (6), la tautologı́a la podemos asociar con la proposición 1. O sea,
1=p∨∼p
1.5.2.
El Álgebra de Boole de las Proposiciones
Con todos estos objetos, pasamos a probar que el conjunto B de las proposiciones tiene
estructura de álgebra booleana. Con este propósito, lo que debemos demostrar es que las dos
operaciones, la conjunción (∧) y la disyunción (∨) definidas sobre el conjunto B verifican las
condiciones establecidas para definir un álgebra de Boole: conmutatividad, distributividad, neutralidad y simetrı́a. Estas demostraciones están soportadas en las tablas de verdad para la coimplicación sustituyendo a la igualdad y el resultado esperado es que todas las propiedades resulten
ser tautologı́as, es decir, el resultado de las tablas de verdad debe ser V para todos los valores
posibles de las proposiciones conectadas.
b.1. Las operaciones ∧ y ∨ son conmutativas, esto es, para toda p, q ∈ B, se verifica:
p∧q =q∧p
(21)
p∨q =q∨p
(22)
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p∧q
V
F
F
F
q∧p
V
F
F
F
p∧q ⇔q∧p
V
V
V
V
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p∨q
V
V
V
F
q∨p
V
V
V
F
p∨q ⇔q∨p
V
V
V
V
b.2. Cada operación es distributiva respecto a la otra, es decir, para todo p, q, r ∈ B, será:
p ∧ (q ∨ r) = (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
(23)
p ∨ (q ∧ r) = (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
(24)
9
p
V
V
V
V
F
F
F
F
q
V
V
F
F
V
V
F
F
r
V
F
V
F
V
F
V
F
q∨r
V
V
V
F
V
V
V
F
A = p ∧ (q ∨ r)
V
V
V
F
F
F
F
F
p∧q
V
V
F
F
F
F
F
F
p∧r
V
F
V
F
F
F
F
F
B = (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
V
V
V
F
F
F
F
F
A⇔B
V
V
V
V
V
V
V
V
p
V
V
V
V
F
F
F
F
q
V
V
F
F
V
V
F
F
r
V
F
V
F
V
F
V
F
q∧r
V
F
F
F
V
F
F
F
A = p ∨ (q ∧ r)
V
V
V
V
V
F
F
F
p∨q
V
V
V
V
V
V
F
F
p∨r
V
V
V
V
V
F
V
F
B = (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
V
V
V
V
V
F
F
F
A⇔B
V
V
V
V
V
V
V
V
b.3. El conjunto B de las proposiciones contiene dos elementos, el 0 y el 1, los cuales, para todo
p ∈ B, verifican:
p∧1=p
(25)
p∨0=p
(26)
Como la proposición 1 tiene valor lógico fijo igual a V y la proposición 0, su valor lógico fijo es
F , será:
p 1 p∧1 p⇔p∧1
V V
V
V
F V
F
V
p
V
F
0
F
F
p∨0
V
F
p⇔p∨0
V
V
b.4. Para cada p ∈ B, existe un elemento p′ ∈ B, p′ =∼ p, tal que:
p∧∼p=0
p∨∼p=1
(27)
(28)
La propiedad es válida en vista de que corresponde a los valores de la contradicción, p∧ ∼ p = F ,
y la tautologı́a, p ∨ ∼ p = V , para toda proposición p.
Con esto queda probado que el conjunto de las proposiciones tiene estructura de Álgebra de
Boole. Por consiguiente, se verifican todas las otras propiedades del álgebra booleana, las cuales
podemos establecer sin necesidad de demostración.
1.5.3.
Propiedades Booleanas
Primeras Propiedades. Para todo p ∈ B se verifican:
p∧p=p
(29)
p∨p=p
p∧0=0
(30)
(31)
p∨1=1
(32)
Ley de Absorción. Para todo p, q ∈ B se verifica:
p ∨ (p ∧ q) = p ∧ (p ∨ q) = p
10
(33)
Unicidad del Simétrico. Dado p ∈ B. Sea p′ ∈ B, p′ =∼ p tal que:
p∨∼p
p∧∼p
=
=
1
0
Si q ∈ B, es tal que,
p∨q
p∧q
=
=
1
0
entonces,
p′ = q =∼ p
Propiedades Asociativas. Para todo p, q, r ∈ B, se verifican:
p ∨ (q ∨ r) = (p ∨ q) ∨ r
p ∧ (q ∧ r) = (p ∧ q) ∧ r
(34)
(35)
Leyes de Morgan. Para todo p, q ∈ B, se verifica:
∼ (p ∨ q) =∼ p ∧ ∼ q
∼ (p ∧ q) =∼ p ∨ ∼ q
(36)
(37)
Complemento de Complemento. Para todo p ∈ B, se verifica que:
∼ (∼ p) = p
(38)
Leyes de Cancelación. Si p, q, x ∈ B, se verifica:
[(p ∨ x = q ∨ x) ∧ (p∨ ∼ x = q∨ ∼ x)] ⇔ p = q
[(p ∧ x = q ∧ x) ∧ (p∧ ∼ x = q∧ ∼ x)] ⇔ p = q
(39)
(40)
Complementos de los Neutros.
∼0=1
∼1=0
1.6.
1.6.1.
(41)
(42)
Lógica Cuantificacional
Función Proposicional
Una función proposicional es un enunciado que asigna una propiedad a una variable o expresa una relación entre varias variables, y que adquiere un valor lógico cuando las variables se
reemplazan por valores especı́ficos.
Las siguientes son ejemplos de funciones proposicionales,
p(n, x, y) :
q(s, t) :
r(z) :
nx>y
s≤0 y s−t≥5
z2 ≤ 0
Además de dar valores especı́ficos a las variables para crear proposiciones a partir de las funciones
proposicionales, también se puede especificar cuál parte de un universo U cumple la fórmula o
la propiedad indicada en la función. Esto se logra en la lógica cuantificacional mediante los
cuantificadores universal y existencial.
11
1.6.2.
Cuantificador Universal
Consideremos un universo U de posibles valores de un objeto desconocido x. Cuando queremos
expresar que todos los elementos de U satisfacen la propiedad descrita mediante la función
proposicional p(x), escribimos,
para todo x de U se cumple p(x)
que simbólicamente expresamos,
∀x ∈ U :
[p(x) es V ]
(43)
o simplemente,
∀x ∈ U : p(x)
(44)
cuyo valor lógico es V si todos los elementos de U verifican la propiedad p, o será F si para algún
elemento a ∈ U , p(a) es F .
Observemos la absoluta equivalencia entre este criterio para asignar un valor lógico al cuantificador universal y el mismo utilizado para definir la conjunción. De allı́ que podamos escribir la
siguiente relación que nos permite reducir la lógica cuantificacional a la lógica proposicional.
Supongamos que el universo es el conjunto, U = {a, b, c, · · · }.
Entonces,
[∀x ∈ U : p(x)]
≡
[p(a) ∧ p(b) ∧ p(c) ∧ · · · ]
(45)
También podemos particularizar, por ley de simplificación (15), escribiendo
[∀x ∈ U : p(x)]
⇒
p(w)
(46)
para cualquier w ∈ U .
1.6.3.
Cuantificador Existencial
Consideremos el universo U de posibles valores de una variable x. Si queremos expresar que
al menos uno de los elementos de U satisfacen la propiedad p(x), escribimos,
existe (por lo menos) un x de U que cumple p(x)
que simbólicamente expresamos,
∃x ∈ U :
[p(x) es V ]
(47)
o simplemente,
∃x ∈ U : p(x)
(48)
cuyo valor lógico es V si alguno, o algunos, de los elementos de U verifican la propiedad p, o
será F si para ningún elemento x ∈ U , p(x) es V .
También observamos aquı́ la absoluta equivalencia entre este criterio para asignar un valor lógico
al cuantificador existencial y el mismo para definir la disyunción. Entonces podremos escribir la
siguiente relación para reducir la lógica cuantificacional a la lógica proposicional.
Supongamos que el universo es el mismo conjunto, U = {a, b, c, · · · }.
Entonces,
[∃x ∈ U : p(x)]
≡
[p(a) ∨ p(b) ∨ p(c) ∨ · · · ]
(49)
Observemos que si la propiedad se cumple para alguno cualquiera de los elementos de U , entonces
por ley de adición (14), podemos generalizar la validez del cuantificador existencial,
p(w)
⇒
[∃x ∈ U : p(x)]
para cualquier w ∈ U .
12
(50)
1.6.4.
Relación entre los Cuantificadores
Una relación obvia entre los cuantificadores es que si se cumple que para todo x ∈ U la
propiedad p(x) es verdadera, entonces con seguridad existe un x ∈ U que verifica la propiedad.
La implicación recı́proca no es segura, por tanto no válida lógicamente.
∀x ∈ U : p(x)
⇒ ∃x ∈ U : p(x)
(51)
Observemos que esta afirmación puede deducirse como una consecuencia lógica de la aplicación
de la inferencia lógica (13) a las equivalencias entre los cuantificadores y los conectivos lógicos
expresadas en (45) y (49).
1.6.5.
Negación de los Cuantificadores
La negación de los cuantificadores son expresiones como: no es verdad que para todo x del
universo U se cumple la propiedad p(x), la cual podemos simbolizar, ∼ ∀x ∈ U : p(x), y también
no es cierto que exista algún x del universo U que verifique la propiedad p(x), que podemos
escribir, ∼ ∃x ∈ U : p(x).
Si tenemos que, ∼ ∀x ∈ U : p(x), es por que debe existir por lo menos un x ∈ U para el cual p(x)
tiene valor F , o lo que lo mismo, que ∼ p(x) tiene valor V . Según esta explicación,
∼ ∀x ∈ U : p(x)
≡
∃x ∈ U :∼ p(x)
(52)
Análogamente, si tenemos que, ∼ ∃x ∈ U : p(x), es por que para todos los x ∈ U , p(x) tiene valor
F , o lo que lo mismo, que ∼ p(x) tiene valor V . Según esto
∼ ∃x ∈ U : p(x) ≡ ∀x ∈ U :∼ p(x)
(53)
Observemos que estos resultados podremos probarlo mediante la aplicación de las leyes de Morgan, (36) y (37), para la conjunción y la disyunción, utilizando las equivalencias (45) y (49) para
los cuantificadores.
Podemos también aplicar los resultados anteriores al caso en que el argumento sobre el cual se
aplican los cuantificadores sea (∼ p(x)) en lugar de p(x). En vista de que, ∼ (∼ p(x)) = p(x),
quedarı́an como sigue,
1.6.6.
∼ ∀x ∈ U :∼ p(x)
≡ ∃x ∈ U :∼ (∼ p(x))
≡ ∃x ∈ U : p(x)
(54)
∼ ∃x ∈ U :∼ p(x)
≡ ∀x ∈ U :∼ (∼ p(x))
≡ ∀x ∈ U : p(x)
(55)
Cuantificadores con Disyunción y Conjunción
Cuando el argumento de un cuantificador es la disyunción o la conjunción de funciones proposicionales, es posible distribuir los cuantificadores, pero bajo ciertas reglas que demostraremos
seguidamente. Para tales demostraciones utilizaremos las relaciones (45) y (49) entre los cuantificadores. Admitamos además que los conectivos lógicos verifican las propiedades conmutativa,
(21) y (22), asociativa, (34) y (35) y distributiva , (23) y (24), establecidas formalmente en el
ámbito del álgebra de Boole de las proposiciones.
Consideremos el universo U = {1, 2, 3, · · · }. Las distribuciones y sus demostraciones son las siguientes.
• ∀x ∈ U : [p(x) ∧ q(x)]
∀x ∈ U : [p(x) ∧ q(x)]
[∀x ∈ U : p(x)] ∧ [∀x ∈ U : q(x)]
(56)
⇔ [(p(1) ∧ q(1)) ∧ (p(2) ∧ q(2)) ∧ (p(3) ∧ q(3)) ∧ · · · ]
⇔ [p(1) ∧ p(2) ∧ p(3) ∧ · · · ] ∧ [q(1) ∧ q(2) ∧ q(3) ∧ · · · ]
⇔ [∀x ∈ U : p(x)] ∧ [∀x ∈ U : q(x)]
• ∃x ∈ U : [p(x) ∨ q(x)]
∃x ∈ U : [p(x) ∨ q(x)]
⇔
⇔
[∃x ∈ U : p(x)] ∨ [∃x ∈ U : q(x)]
⇔ [(p(1) ∨ q(1)) ∨ (p(2) ∨ q(2)) ∨ (p(3) ∨ q(3)) ∨ · · · ]
⇔ [p(1) ∨ p(2) ∨ p(3) ∨ · · · ] ∨ [q(1) ∨ q(2) ∧ q(3) ∨ · · · ]
⇔ [∃x ∈ U : p(x)] ∨ [∃x ∈ U : q(x)]
13
(57)
Para las otras dos no ocurre la equivalencia sino únicamente implicación en un sentido o en el
otro.
• ∀x ∈ U : [p(x) ∨ q(x)]
∀x ∈ U : [p(x) ∨ q(x)]
⇔
⇔
..
.
⇔
⇐
⇔
⇐
[∀x ∈ U : p(x)] ∨ [∀x ∈ U : q(x)]
(58)
[(p(1) ∨ q(1)) ∧ (p(2) ∨ q(2)) ∧ (p(3) ∨ q(3)) ∧ · · · ]
{[(p(1) ∧ p(2)) ∨ (p(1) ∧ q(2)) ∨ (q(1) ∧ p(2)) ∨ (q(1) ∧ q(2))] ∧
∧(p(3) ∨ q(3)) ∧ · · · }
[p(1) ∧ p(2) ∧ p(3) ∧ · · · ] ∨ [q(1) ∧ q(2) ∧ q(3) ∧ · · · ] ∨ D
[p(1) ∧ p(2) ∧ p(3) ∧ · · · ] ∨ [q(1) ∧ q(2) ∧ q(3) ∧ · · · ] por Ley de Adición
[∀x ∈ U : p(x)] ∨ [∀x ∈ U : q(x)]
donde la proposición D es,
_
D=
(a(1) ∧ b(2) ∧ c(3) ∧ · · · )
a,b,c,···∈{p,q}
o sea, es de la forma
D = (p(1) ∧ p(2) ∧ q(3) ∧ · · · ) ∨ (p(1) ∧ q(2) ∧ p(3) ∧ · · · ) ∨ (p(1) ∧ q(2) ∧ q(3) ∧ · · · ) ∨ · · ·
y además, la ley de adición, (14), obliga a que en el penúltimo renglón haya sólo implicación a
la izquierda.
• ∃x ∈ U : [p(x) ∧ q(x)]
∃x ∈ U : [p(x) ∧ q(x)]
⇔
⇔
..
.
⇔
⇒
⇔
⇒
[∃x ∈ U : p(x)] ∧ [∃x ∈ U : q(x)]
(59)
[(p(1) ∧ q(1)) ∨ (p(2) ∧ q(2)) ∨ (p(3) ∧ q(3)) ∨ · · · ]
{[(p(1) ∨ p(2)) ∧ (p(1) ∨ q(2)) ∧ (q(1) ∨ p(2)) ∧ (q(1) ∨ q(2))] ∨
∨(p(3) ∧ q(3)) ∨ · · · }
[p(1) ∨ p(2) ∨ p(3) ∨ · · · ] ∧ [q(1) ∨ q(2) ∨ q(3) ∨ · · · ] ∧ C
[p(1) ∨ p(2) ∨ p(3) ∨ · · · ] ∧ [q(1) ∨ q(2) ∨ q(3) ∨ · · · ] por Ley de Simplificación
[∀x ∈ U : p(x)] ∧ [∀x ∈ U : q(x)]
donde la proposición C es,
^
C=
(a(1) ∨ b(2) ∨ c(3) ∨ · · · )
a,b,c,···∈{p,q}
o sea, es de la forma
C = (p(1) ∨ p(2) ∨ q(3) ∨ · · · ) ∧ (p(1) ∨ q(2) ∨ p(3) ∨ · · · ) ∧ (p(1) ∨ q(2) ∨ q(3) ∨ · · · ) ∧ · · ·
y además, la ley de simplificación, (15), obliga a que en el penúltimo renglón haya sólo implicación a la derecha.
Para las dos últimas, si el cuantificador afecta a sólo una de las funciones, se obtienen equivalencias,
• [∀x ∈ U : p(x)] ∨ q(x)
[∀x ∈ U : p(x)] ∨ q(x)
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
(60)
[p(1) ∧ p(2) ∧ p(3) ∧ · · · ] ∨ q(x)
[(p(1) ∨ q(x)) ∧ (p(2) ∨ q(x)) ∧ (p(3) ∨ q(x)) ∧ · · · ]
∀x ∈ U : [p(x) ∨ q(x)]
• [∃x ∈ U : p(x)] ∧ q(x)
[∃x ∈ U : p(x)] ∧ q(x)
⇔ ∀x ∈ U : [p(x) ∨ q(x)]
⇔ ∃x ∈ U : [p(x) ∧ q(x)]
[p(1) ∨ p(2) ∨ p(3) ∨ · · · ] ∧ q(x)
[(p(1) ∧ q(x)) ∨ (p(2) ∧ q(x)) ∨ (p(3) ∧ q(x)) ∨ · · · ]
∃x ∈ U : [p(x) ∧ q(x)]
14
(61)
1.6.7.
Cuantificadores e Implicación
Aquı́ manejamos dos casos, a saber: la distribución del cuantificador universal con la implicación y la del cuantificador existencial con la implicación. En ambos casos se utiliza reiteradamente la equivalencia (8).
Para el primer caso tenemos,
• ∀x ∈ U : [p(x) ⇒ q(x)]
⇐
{[∃x ∈ U : p(x)] ⇒ [∀x ∈ U : q(x)]}
∀x ∈ U : [p(x) ⇒ q(x)]
⇔
⇐
∀x ∈ U : [∼ p(x) ∨ q(x)]
[∀x ∈ U : ∼ p(x)] ∨ [∀x ∈ U : q(x)]
(62)
donde hemos aplicado el resultado (58).
Continuamos con la demostración aplicando la equivalencia (53) sobre el resultado parcial conseguido hasta ahora,
∀x ∈ U : [p(x) ⇒ q(x)]
⇐
⇔
⇔
[∀x ∈ U : ∼ p(x)] ∨ [∀x ∈ U : q(x)]
∼ [∃x ∈ U : p(x)] ∨ [∀x ∈ U : q(x)]
[∃x ∈ U : p(x)] ⇒ [∀x ∈ U : q(x)]
Ahora, la distribución del cuantificador existencial con la implicación,
• ∃x ∈ U : [p(x) ⇒ q(x)]
∃x ∈ U : [p(x) ⇒ q(x)]
⇔
{[∀x ∈ U : p(x)] ⇒ [∃x ∈ U : q(x)]}
⇔ ∃x ∈ U : [∼ p(x) ∨ q(x)]
⇔ [∃x ∈ U : ∼ p(x)] ∨ [∃x ∈ U : q(x)]
⇔ ∼ [∀x ∈ U : p(x)] ∨ [∃x ∈ U : q(x)]
⇔ [∀x ∈ U : p(x)] ⇒ [∃x ∈ U : q(x)]
donde, de similar forma, se utilizó el resultado (57).
15
(63)
2.
Disyunción Exclusiva
Dadas dos proposiciones p y q, la disyunción exclusiva de ambas la representamos mediante la
conexión, p ∨ q, que se lee, “o sólo p, o sólo q”, y se define, según el valor lógico de la proposición
resultante, como sigue: la disyunción exclusiva de dos proposiciones será cierta cuando lo sea
sólo una de las proposiciones componentes, y será falsa cuando ambas sean falsas, o cuando
ambas sean verdaderas.
p q p∨q
V V
F
(64)
V F
V
V
F V
F F
F
• La disyunción exclusiva podemos interpretarla como la acción conjunta de una disyunción y
la negación de que ambas proposiciones sean verdaderas, es decir, la negación de la conjunción.
Esto es,
(p ∨ q) ≡ [(p ∨ q)∧ ∼ (p ∧ q)]
(65)
Veamos,
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p∨q
F
V
V
F
p∨q
V
V
V
F
p∧q
V
F
F
F
∼ (p ∧ q)
F
V
V
V
(p ∨ q)∧ ∼ (p ∧ q)
F
V
V
F
(p ∨ q) ⇔ [(p ∨ q)∧ ∼ (p ∧ q)]
V
V
V
V
• La coimplicación se relaciona con la disyunción exclusiva mediante la siguiente equivalencia,
(p ⇔ q) ≡ (∼ p ∨ q)
(66)
Aplicando la tabla de verdad obtenemos,
p
V
V
F
F
∼p
F
F
V
V
q
V
F
V
F
p⇔q
V
F
F
V
∼p∨q
V
F
F
V
(p ⇔ q) ⇔ (∼ p ∨ q)
V
V
V
V
• Usando la ley de simplificación para ∧, (15), podemos obtener que,
(p ∨ q)
⇒
(p ∨ q)
(67)
(p ∨ q)
⇒
∼ (p ∧ q)
(68)
Sin embargo, insistamos con las tablas de verdad,
p
V
V
F
F
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
q
V
F
V
F
p∨q
F
V
V
F
p∨q
F
V
V
F
p∧q
V
F
F
F
p∨q
V
V
V
F
(p ∨ q) ⇒ (p ∨ q)
V
V
V
V
∼ (p ∧ q)
F
V
V
V
16
(p ∨ q) ⇒∼ (p ∧ q)
V
V
V
V
• Cuantificador Existencial Exclusivo: Consideremos el universo U de posibles valores de una
incógnita x. Si queremos expresar que uno y solamente uno de los elementos de U satisface la
propiedad p(x), escribimos,
existe uno y sólo un x de U que cumple p(x)
que simbólicamente expresamos,
∃ !x ∈ U :
[p(x) es V ]
(69)
o simplemente,
∃ !x ∈ U : p(x)
(70)
cuyo valor lógico es V si sólo uno de los elementos de U verifica la propiedad p, o será F si para
ningún elemento de U , p(x) es V , o si más de un elemento de U verifican tal propiedad.
También observamos aquı́ la equivalencia entre este criterio para asignar un valor lógico al cuantificador existencial exclusivo y el mismo para definir la disyunción exclusiva. De aquı́ la siguiente
relación que también nos permite reducir la lógica cuantificacional a la lógica proposicional.
Supongamos que el universo es el mismo conjunto, U = {a, b, c, · · · }.
Entonces,
[∃ !x ∈ U : p(x)]
≡
[p(a) ∨ p(b) ∨ p(c) ∨ · · · ]
(71)
• La disyunción exclusiva verifica perfectamente el Silogismo Disyuntivo. Efectivamente, se cumple que,
[(p ∨ q) ∧ ∼ q] ⇒ p y [(p ∨ q) ∧ ∼ p] ⇒ q
(72)
Para las tablas de verdad escribamos, X1 = (p ∨ q) ∧ ∼ q y X2 = (p ∨ q) ∧ ∼ p,
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
∼p
F
F
V
V
∼q
F
V
F
V
p∨q
F
V
V
F
X1
F
V
F
F
X2
F
F
V
F
X1 ⇒ p
V
V
V
V
X2 ⇒ q
V
V
V
V
Más aún, a diferencia de la disyunción inclusiva, para la exclusiva se verifica que afirmando uno
de los componentes de la disyunción, concluimos la negación de la otra. Esto es,
[(p ∨ q) ∧ q] ⇒∼ p
y
[(p ∨ q) ∧ p] ⇒∼ q
Escribamos, Y1 = (p ∨ q) ∧ q y Y2 = (p ∨ q) ∧ p,
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
∼p
F
F
V
V
∼q
F
V
F
V
p∨q
F
V
V
F
Y1
F
F
V
F
17
Y2
F
V
F
F
Y1 ⇒∼ p
V
V
V
V
Y2 ⇒∼ q
V
V
V
V
(73)
2.1.
Dilema Constructivo Exclusivo
La disyunción exclusiva no verifica el dilema constructivo. Al menos, como ocurre con la
disyunción inclusiva. Sin embargo podremos ver que esta inferencia nos conduce, en dos etapas,
a una expresión muy particular para la disyunción exclusiva.
Evaluémosla primero para la disyunción exclusiva aplicada sobre las proposiciones r y s. Lo que
obtenemos es,
[(p ∨ q) ∧ (p ⇒ r) ∧ (q ⇒ s)] ⇒ (r ∨ s)
Llamando X1 = (p ∨ q) ∧ (p ⇒ r) ∧ (q ⇒ s), obtenemos,
p
V
V
V
V
V
V
V
V
F
F
F
F
F
F
F
F
q
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
V
V
F
F
F
F
r
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
s
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
p∨q
F
F
F
F
V
V
V
V
V
V
V
V
F
F
F
F
p⇒r
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
V
V
V
V
V
V
q⇒s
V
F
V
F
V
V
V
V
V
F
V
F
V
V
V
V
r∨s
V
V
V
F
V
V
V
F
V
V
V
F
V
V
V
F
X1 X1 ⇒ (r ∨ s)
F
V
F
V
F
V
F
V
V
V
V
V
F
V
F
V
V
V
F
V
V
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
Evaluémosla ahora para la disyunción exclusiva aplicada sobre las negaciones ∼ s y ∼ r. Lo que
obtenemos es,
[(p ∨ q) ∧ (p ⇒∼ s) ∧ (q ⇒∼ r)] ⇒ ∼ (r ∧ s)
Llamemos ahora X2 = (p ∨ q) ∧ (p ⇒∼ s) ∧ (q ⇒∼ r),
p
V
V
V
V
V
V
V
V
F
F
F
F
F
F
F
F
q
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
V
V
F
F
F
F
r
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
s
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
∼r
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
∼s p∨q
F
F
V
F
F
F
V
F
F
V
V
V
F
V
V
V
F
V
V
V
F
V
V
V
F
F
V
F
F
F
V
F
p ⇒∼ s
F
V
F
V
F
V
F
V
V
V
V
V
V
V
V
V
q ⇒∼ r
F
F
V
V
V
V
V
V
F
F
V
V
V
V
V
V
r∧s
V
F
F
F
V
F
F
F
V
F
F
F
V
F
F
F
∼ (r ∧ s)
F
V
V
V
F
V
V
V
F
V
V
V
F
V
V
V
Si conjuntamos ambos resultados se obtiene,
[X1 ⇒ (r ∨ s)] ∧ [X2 ⇒∼ (r ∧ s)]
18
X2 X2 ⇒∼ (r ∧ s)
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
V
V
F
V
V
V
F
V
F
V
V
V
V
V
F
V
F
V
F
V
F
V
Es posible justificar que se deduce la distributibidad1 ,
(X1 ∧ X2) ⇒ [(r ∨ s)∧ ∼ (r ∧ s)]
aplicando (65) obtenemos finalmente,
(X1 ∧ X2) ⇒ (r ∨ s)
De esta forma, el dilema constructivo adaptado para la disyunción exclusiva adquiere esta expresión particular,

[(p ∨ q) ∧ (p ⇒ r) ∧ (q ⇒ s)] 
∧
⇒ (r ∨ s)

[(p ∨ q) ∧ (p ⇒∼ s) ∧ (q ⇒∼ r)]
La asociatividad de la conjunción permite simplificar este resultado y lograr la expresión del
dilema constructivo exclusivo,
[(p ∨ q) ∧ P ] ⇒ (r ∨ s)
(74)
P = (p ⇒ r) ∧ (q ⇒ s) ∧ (p ⇒∼ s) ∧ (q ⇒∼ r)
(75)
donde,
1
Se basa en la siguiente implicación que es una inferencia:
[(w ⇒ y) ∧ (x ⇒ z)] ⇒ [(w ∧ x) ⇒ (y ∧ z)]
19
3.
Relación de Equivalencia
3.1.
Nociones Básicas sobre Conjuntos
3.1.1.
Pertenencia
Para indicar que un elemento x pertenece a un conjunto A, escribimos, x ∈ A. Si x no es un
elemento del conjunto A, escribimos, x ∈
/ A. Observemos que la no pertenencia es la negación
de la pertenencia, es decir,
(x ∈
/ A) =∼ (x ∈ A)
(76)
Una trivialidad, no exenta de utilidad, es la afirmación de que A es el conjunto de todos los
elementos que pertenecen a A,
A = {x| x ∈ A}
3.1.2.
(77)
Igualdad de Conjuntos
Dos conjuntos son idénticos o iguales si tienen los mismos elementos, sin importar el orden
en que se indiquen los mismos y admitiendo que los elementos repetidos son uno mismo. En caso
contrario, decimos que son no iguales o diferentes.
Dados dos conjuntos A y B, las notaciones de igualdad y diferencia son las siguientes:
A = B
A 6= B
si
si
A y B son iguales
A y B son diferentes
Dos observaciones importantes relativas a este concepto:
i. La expresión, A = B, significa que todo elemento del conjunto A pertenece al conjunto
B y que todo elemento de B pertenece a A. En términos lógicos formales, esto es que,
para cualquier elemento x, si x ∈ A, entonces x ∈ B, y que si x ∈ B, entonces x ∈ A.
Más formalmente, ∀x : [(x ∈ A ⇒ x ∈ B) ∧ (x ∈ A ⇐ x ∈ B)]. Ahora bien, atendiendo a la
equivalencia (9), tenemos,
A = B ⇔ ∀x : (x ∈ A ⇔ x ∈ B)
(78)
De otra forma, podemos afirmar también que A = B siempre que para cualquier objeto
x, o bien no pertenece ni a A ni a B, o bien pertenece a ambos. Esto lo escribimos como
sigue,
A = B ⇔ ∀x : [(x ∈
/ A∧x∈
/ B) ∨ (x ∈ A ∧ x ∈ B)]
(79)
En términos lógico formales, ambas expresiones (78) y (79) son equivalentes.
A=B
⇔ ∀x : (x ∈ A ⇔ x ∈ B)
⇔ ∀x : [(x ∈ A ⇒ x ∈ B) ∧ (x ∈ A ⇐ x ∈ B)]
⇔ ∀x : {[∼ (x ∈ A) ∨ x ∈ B] ∧ [x ∈ A∨ ∼ (x ∈ B)]}
⇔ ∀x : [(x ∈
/ A ∨ x ∈ B) ∧ (x ∈ A ∨ x ∈
/ B)]
⇔ ∀x : [(x ∈
/ A∧x∈
/ B) ∨ (x ∈
/ A ∧ x ∈ A)∨
∨(x ∈ B ∧ x ∈
/ B) ∨ (x ∈ A ∧ x ∈ B)]
⇔ ∀x : [(x ∈
/ A∧x∈
/ B) ∨ 0 ∨ 0 ∨ (x ∈ A ∧ x ∈ B)]
⇔ ∀x : [(x ∈
/ A∧x∈
/ B) ∨ (x ∈ A ∧ x ∈ B)]
Por
Por
Por
Por
(78)
(9)
(8)
(76)
Por (23)
Por (27)
Por (26)
ii. La expresión, A 6= B, significa que debe existir algún elemento del conjunto A que no
pertenezca al conjunto B o que algún elemento de B no pertenece a A. En términos lógicos
formales,
A 6= B ⇔ ∃x : [(x ∈ A ∧ x ∈
/ B) ∨ (x ∈
/ A ∧ x ∈ B)]
20
(80)
Igualmente, en términos lógico formales, la expresión (80) es la negación de las expresiones
(78) o (79). Esto es, siendo, A 6= B ⇔ ∼ (A = B), tenemos que,
A 6= B ⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
3.1.3.
∼ (A = B)
∼ [∀x : x ∈ A ⇔ x ∈ B]
∃x :∼ [x ∈ A ⇔ x ∈ B]
∃x :∼ [(x ∈ A ⇒ x ∈ B) ∧ (x ∈ A ⇐ x ∈ B)]
∃x :∼ {[∼ (x ∈ A) ∨ x ∈ B] ∧ [x ∈ A∨ ∼ (x ∈ B)]}
∃x :∼ [(x ∈
/ A ∨ x ∈ B) ∧ (x ∈ A ∨ x ∈
/ B)]
∃x : {[∼ (x ∈
/ A ∨ x ∈ B)] ∨ [∼ (x ∈ A ∨ x ∈
/ B)]}
∃x : {[∼ (x ∈
/ A)∧ ∼ (x ∈ B)] ∨ [∼ (x ∈ A)∧ ∼ (x ∈
/ B)]}
∃x : [(x ∈ A ∧ x ∈
/ B) ∨ (x ∈
/ A ∧ x ∈ B)]
Por
Por
Por
Por
Por
Por
Por
Por
(78)
(52)
(9)
(8)
(76)
(37)
(36)
(38) y (76)
Inclusión
Dados dos conjuntos A y B, decimos que el conjunto A está incluido en el conjunto B, si
todo elemento de A pertenece al conjunto B. Se dice también que A está contenido en, es una
parte de, o es un subconjunto, de B.
La simbologı́a que se suele utilizar es la siguiente:
A ⊂ B
A 6⊂ B
si
si
A es subconjunto de B
A no está incluido en B
Para la definición formal tenemos las siguientes expresiones,
A ⊂ B
A 6⊂ B
⇔
⇔
∀x : (x ∈ A ⇒ x ∈ B)
∃x : (x ∈ A ∧ x ∈
/ B)
(81)
(82)
En términos lógico formales, podemos probar que ambas expresiones son la negación una de la
otra.
A 6⊂ B ⇔ ∼ (A ⊂ B)
⇔ ∼ [∀x : (x ∈ A ⇒ x ∈ B)]
Por (81)
⇔ ∃x : ∼ (x ∈ A ⇒ x ∈ B)
Por (52)
⇔ ∃x : ∼ [∼ (x ∈ A) ∨ x ∈ B]
Por (8)
⇔ ∃x : {∼ [∼ (x ∈ A)] ∧ ∼ (x ∈ B)}
Por (36)
⇔ ∃x : (x ∈ A ∧ x ∈
/ B)
Por (38) y (76)
La igualdad podemos escribirla en términos de la inclusión, como sigue:
A = B ⇔ [(A ⊂ B) ∧ (B ⊂ A)]
A=B
3.1.4.
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
∀x : (x ∈ A ⇔ x ∈ B)
∀x : [(x ∈ A ⇒ x ∈ B) ∧ (x ∈ A ⇐ x ∈ B)]
[∀x : (x ∈ A ⇒ x ∈ B)] ∧ [∀x : (x ∈ A ⇐ x ∈ B)]
[∀x : (x ∈ A ⇒ x ∈ B)] ∧ [∀x : (x ∈ B ⇒ x ∈ A)]
(A ⊂ B) ∧ (B ⊂ A)
(83)
Por (78)
Por (9)
Por (56)
Por (81)
Conjunto Vacı́o
Se llama conjunto vacı́o, y lo denotamos mediante ∅, al conjunto que no tiene elementos.
Algunas observaciones:
i. Para todo objeto a, a ∈ ∅ es siempre falso, y a ∈
/ ∅ es siempre verdadero en vista de que,
por definición, ∅ no posee elementos.
ii. Para todo conjunto A, se verifica ∅ ⊂ A.
Para justificar esta afirmación observemos que, ∅ ⊂ A ⇔ [∀x : (x ∈ ∅ ⇒ x ∈ A)], donde
la proposición, ∀x : (x ∈ ∅ ⇒ x ∈ A), es siempre verdadera ya que, x ∈ ∅, es siempre
falsa y, por tanto, la proposición x ∈ ∅ ⇒ x ∈ A es siempre cierta sin importar el valor
de certeza de la proposición x ∈ A. Todo esto de acuerdo con la tabla de verdad para la
definición de la implicación, según la cual, si el antecedente es falso, entonces la implicación
21
es siempre verdadera. Por tanto, la cuantificación, ∀x : (x ∈ ∅ ⇒ x ∈ A) tiene valor lógico
V de acuerdo con la definición del cuantificador universal, (43), pudiendo concluirse en
consecuencia que ∅ ⊂ A, es siempre cierta.
3.1.5.
Conjunto Complementario
Sean dos conjuntos A y X tales que A ⊂ X.
Se llama conjunto complementario de A en X, o complemento de A en X, al conjunto de los
elementos de X que no pertenecen a A.
Se denota mediante, ∁X A, o también, X − A, ya que al restar de X los elementos de A lo que
quedan son los elementos de X que no son de A. En términos formales,
∁X A =
{x| x ∈ X ∧ x ∈
/ A}
(84)
o bien,
x ∈ ∁X A ⇔
3.2.
3.2.1.
(x ∈ X ∧ x ∈
/ A)
(85)
Operaciones con Conjuntos
Intersección
Dados dos conjuntos A y B, llamamos intersección del conjunto A con el conjunto B, al
conjunto cuyos elementos son comunes a A y a B.
En sı́mbolos:
A ∩ B = {x| x ∈ A ∧ x ∈ B}
(86)
x ∈ A ∩ B ⇔ (x ∈ A ∧ x ∈ B)
(87)
y, de otra forma:
3.2.2.
Unión
Dados dos conjuntos A y B, llamamos reunión, o unión, del conjunto A con el conjunto B,
al conjunto cuyos elementos pertenecen al menos a uno de los conjuntos A o B.
En sı́mbolos:
A ∪ B = {x| x ∈ A ∨ x ∈ B}
(88)
x ∈ A ∪ B ⇔ (x ∈ A ∨ x ∈ B)
(89)
y, de otra forma:
3.2.3.
Conjuntos Disjuntos
Decimos que dos conjuntos, A y B, son disjuntos uno al otro, si no tienen elementos comunes,
es decir, ningún elemento de A pertenece a B, o también, ningún elemento de B pertenece a A.
En tal caso resulta que la intersección entre ambos conjuntos es vacı́a. Esto es,
A y B son disjuntos ⇔ A ∩ B = ∅
(90)
En un sentido lógico formal, dos conjuntos A y B son disjuntos entre sı́, si cualquier elemento que
pudiera pertenecer a alguno de los dos conjuntos, o bien no pertenece a A, o bien no pertenece
a B. Según esta afirmación, la definición podemos expresarla como sigue,
A ∩ B = ∅ ⇔ ∀x : (x ∈
/ A∨x∈
/ B)
(91)
donde la disyunción serı́a falsa sólo cuando ambas proposiciones sean falsas y, en tal caso, algún
elemento pertenecerı́a a ambos conjuntos y la intersección no serı́a vacı́a, esto es,
A ∩ B 6= ∅ ⇔ ∃x : (x ∈ A ∧ x ∈ B)
22
(92)
Mediante una sencilla aplicación de la negación de los cuantificadores (52), y de la ley de Morgan
(36) puede verificarse que (92) es la negación de (91).
Por otra parte, aplicando (8) obtenemos otras expresiones útiles para caracterizar la condición
de conjuntos disjuntos. Según esta equivalencia tenemos que,
[x ∈
/ A∨x∈
/ B] ⇔ [∼ (x ∈ A) ∨ x ∈
/ B] ⇔ [x ∈ A ⇒ x ∈
/ B]
Por tanto, podemos escribir también,
A ∩ B = ∅ ⇔ ∀x : (x ∈ A ⇒ x ∈
/ B)
(93)
y por la conmutatividad de la disyunción, [x ∈
/ A∨x∈
/ B] ⇔ [x ∈
/ B∨x∈
/ A], podemos escribir,
A ∩ B = ∅ ⇔ ∀x : (x ∈ B ⇒ x ∈
/ A)
3.3.
(94)
Relación de Equivalencia
Sea R una relación binaria sobre un conjunto A 6= ∅.
Se dice que R es una relación de equivalencia definida sobre A si es reflexiva, simétrica y transitiva.
Las relaciones de equivalencia se denotan como sigue:
x ∼ y (mod R(A))
y se lee: x es equivalente a, o congruente con y, módulo R(A).
Si no hay peligro de confusión con la relación R ni el conjunto A sobre el cual se define, se escribe
solamente,
x∼y
3.3.1.
Propiedades de las Relaciones de Equivalencia
Sea un conjunto A y una relación de equivalencia ∼ definida sobre A. Las siguientes son las
propiedades que deben ser satisfechas por esta relación:
Propiedad Reflexiva, si y sólo si, ∀x ∈ A : x ∼ x.
R ⇔ ∀x ∈ A : x ∼ x
(95)
Propiedad Simétrica, si y sólo si, ∀x, y ∈ A : x ∼ y ⇒ y ∼ x.
S ⇔ ∀x, y ∈ A : x ∼ y ⇒ y ∼ x
(96)
Propiedad Transitiva, si y sólo si, ∀x, y, z ∈ A : [x ∼ y ∧ y ∼ z] ⇒ x ∼ z.
T ⇔ ∀x, y, z ∈ A : [x ∼ y ∧ y ∼ z] ⇒ x ∼ z
(97)
Más adelante serán de utilidad las siguientes variantes para la propiedad transitiva, entendiendo
aquı́ que, ∼ (x ∼ y) = x 6∼ y, indica que x no es equivalente a y, y según el contexto el lector
podrá distinguir cuando ∼ indica negación, de cuando expresa la relación de equivalencia.
T ′ ⇔ ∀x, y, z ∈ A : [x ∼ y ∧ (x 6∼ z)] ⇒ (y 6∼ z)
(98)
T ′′ ⇔ ∀x, y, z ∈ A : [y ∼ z ∧ (x 6∼ z)] ⇒ (x 6∼ y)
(99)
∀x, y, z ∈ A :
[(x ∼ y) ∧ (y ∼ z)] ⇒ (x ∼ z) ⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
∼ [(x ∼ y) ∧ (y ∼ z)] ∨ (x ∼ z)
[∼ (x ∼ y)∨ ∼ (y ∼ z)] ∨ (x ∼ z)
∼ (x ∼ y) ∨ [∼ (y ∼ z) ∨ (x ∼ z)]
∼ (x ∼ y) ∨ [(x ∼ z)∨ ∼ (y ∼ z)]
[∼ (x ∼ y) ∨ (x ∼ z)] ∨ ∼ (y ∼ z)
∼ [(x ∼ y)∧ ∼ (x ∼ z)] ∨ ∼ (y ∼ z)
[(x ∼ y)∧ ∼ (x ∼ z)] ⇒∼ (y ∼ z)
[(x ∼ y) ∧ (x 6∼ z)] ⇒ (y 6∼ z)
23
Por (8)
Por (37)
Por (34)
Por (22)
Por (34)
Por (37)
Por (8)
Por: ∼ (x ∼ y) = x 6∼ y
[(x ∼ y) ∧ (y ∼ z)] ⇒ (x ∼ z) ⇔ ∼ [(x ∼ y) ∧ (y ∼ z)] ∨ (x ∼ z)
⇔ [∼ (x ∼ y)∨ ∼ (y ∼ z)] ∨ (x ∼ z)
⇔ ∼ (x ∼ y) ∨ [∼ (y ∼ z) ∨ (x ∼ z)]
⇔ [∼ (y ∼ z) ∨ (x ∼ z)] ∨ ∼ (x ∼ y)
⇔ ∼ [(y ∼ z)∧ ∼ (x ∼ z)] ∨ ∼ (x ∼ y)
⇔ [(y ∼ z)∧ ∼ (x ∼ z)] ⇒∼ (x ∼ y)
⇔ [(y ∼ z) ∧ (x 6∼ z)] ⇒ (x 6∼ y)
3.3.2.
Por (8)
Por (37)
Por (34)
Por (22)
Por (37)
Por (8)
Por: ∼ (x ∼ y) = x 6∼ y
Clase de Equivalencia. Representante de una Clase.
Sea, ∼, una relación de equivalencia definida sobre un conjunto A y sea a ∈ A.
Se llama clase de equivalencia de a, y lo denotamos mediante, cl (a), al conjunto formado por
todos los elementos de A que son equivalentes al elemento a.
cl(a) = {x ∈ A| x ∼ a} ⊂ A
(100)
De otra forma, podemos escribir también que,
x ∈ cl(a) ⇔ x ∼ a
(101)
Es inmediato ver que si negamos (101) obtenemos,
x∈
/ cl(a) ⇔ x 6∼ a
(102)
Como las relaciones de equivalencia verifican la propiedad reflexiva, entonces al menos a ∼ a, de
manera que siempre se tendrá que, cl(a) 6= ∅, ya que al menos, a ∈ cl(a).
Esto último nos permite afirmar también que todo elemento x ∈ A pertenece a una clase de
equivalencia; ésta es la clase cl (x).
Al utilizar el elemento a ∈ A, para denotar la clase de equivalencia, cl (a), se dice que a es el
representante de esa clase de equivalencia.
3.4.
Teorema de las Clases de Equivalencia
Sea A un conjunto no vacı́o. Sean a, b elementos cualesquiera de A.
Sea dada una relación de equivalencia, ∼, definida sobre el conjunto A.
Entonces las dos clases de equivalencia, cl (a) y cl (b), o son iguales, o son disjuntas.
Demostración
Para a, b ∈ A están definidos y son diferentes del vacı́o los conjuntos,
cl(a) = {x ∈ A| x ∼ a} y cl(b) = {x ∈ A| x ∼ b}
Dados dos conjuntos cualesquiera, si ellos son iguales entonces poseen (todos sus) elementos
comunes de manera que su intersección no será vacı́a. Y si su intersección es vacı́a no poseen elementos en común de modo que no pueden ser iguales. Por consiguiente, ser iguales o ser disjuntos
son dos propiedades exclusivas de los conjuntos. Particularmente las clases de equivalencia, en
su calidad de conjuntos, pueden ser, o iguales, o disjuntas. De manera que, sobre la base del
concepto de relación de equivalencia, lo que se pretende probar es que,
∀ [∼ (mod.R(A))] : ∀a, b ∈ A : [cl(a) = cl(b)] ∨ [cl(a) ∩ cl(b) = ∅]
Para la demostración partimos del hecho cierto de que, dados dos elementos cualesquiera a, b ∈ A,
o bien ambos están relacionados, o bien ambos no están relacionados mediante la relación de
equivalencia ∼, a sabiendas de que es un sin sentido admitir que puedan existir dos elementos
relacionados que no estén relacionados. Por consiguiente, la premisa de partida es también una
disyunción exclusiva,
(a ∼ b)∨(a 6∼ b)
Para la demostración utilizaremos el dilema constructivo exclusivo (74). Esto es, para todo
a, b ∈ A y para toda relación de equivalencia ∼ (mod.R(A)), probaremos que,
{[(a ∼ b)∨(a 6∼ b)] ∧ P } ⇒ [cl(a) = cl(b)] ∨ [cl(a) ∩ cl(b) = ∅]
24
(103)
La premisa P es propiamente la ejecución de la demostración. De acuerdo con (75) podemos
escribir,
P = P1 ∧ P2 ∧ P3 ∧ P4
donde,
P1
P2
P3
P4
:a∼b
: a 6∼ b
:a∼b
: a 6∼ b
⇒ cl(a) = cl(b)
⇒ cl(a) ∩ cl(b) = ∅
⇒ cl(a) ∩ cl(b) 6= ∅
⇒ cl(a) 6= cl(b)
P1 : a ∼ b ⇒ cl(a) = cl(b)2 .
Por la equivalencia (83), se tendrá que, [cl(a) = cl(b)] ⇔ [(cl(a) ⊂ cl(b)) ∧ (cl(a) ⊃ cl(b))]. Demostraremos primero que, cl(a) ⊂ cl(b). O sea, por (81) debemos probar que, x ∈cl (a) ⇒ x ∈cl (b).
Seguidamente, probaremos que, cl(b) ⊂ cl(a), es decir que, x ∈cl (b) ⇒ x ∈cl (a).
x ∈cl (a)
⇔
⇔
⇒
⇔
x∼a
x∼a∧a∼b
x∼b
x ∈cl (b)
Por
Por
Por
Por
(101)
hipótesis : a ∼ b
T (97)
(101)
por tanto, a ∼ b ⇒ cl(a) ⊂ cl(b).
x ∈cl (b)
⇔
⇔
⇒
⇔
x∼b
x∼b∧b∼a
x∼a
x ∈cl (a)
Por
Por
Por
Por
(101)
hipótesis: a ∼ b y S (96)
T (97)
(101)
o sea, a ∼ b ⇒ cl(a) ⊂ cl(b).
Por consiguiente, a ∼ b ⇒ cl(a) = cl(b).
P2 : a 6∼ b ⇒ cl(a) ∩ cl(b) = ∅.
Por definición de conjuntos disjuntos, (cl(a) ∩ cl(b) = ∅) ⇔ ∀x ∈ A : [x ∈ cl(b) ⇒ x ∈
/ cl(a)].
La inferencia (11) nos simplifica la expresión a la siguiente, ∀x ∈ A : [x ∈ cl(b) ⇒ x ∈
/ cl(a)] ⇒
(cl(a) ∩ cl(b) = ∅). Probemos entonces que, x ∈ cl(b) ⇒ x ∈
/ cl(a),
x ∈cl (b)
⇔
⇔
⇒
⇒
⇔
x∼b
x ∼ b ∧ a 6∼ b
a 6∼ x
x 6∼ a
x ∈cl
/ (a)
Por
Por
Por
Por
Por
(101)
hipótesis: a 6∼ b
T ′′ (99)
S (96)
(102)
osea, a 6∼ b ⇒ (cl(a) ∩ cl(b) = ∅).
P3 : a ∼ b ⇒ cl(a) ∩ cl(b) 6= ∅
De acuerdo con (92), cl(a) ∩ cl(b) 6= ∅ ⇔ ∃x ∈ A : [x ∈ cl(a) ∧ x ∈ cl(b)].
Partiremos del hecho de que las clases de equivalencia son no vacı́as,
h cl(a) 6= ∅
⇔ ∃x ∈ A : x ∈ cl(a)
⇔ x∼a
⇔ x∼a∧a∼b
⇒ x∼b
⇔ x ∈ cl(b) i
⇔ [∃x ∈ A : x ∈ cl(a)] ∧ x ∈ cl(b)
⇔ ∃x ∈ A : [x ∈ cl(a) ∧ x ∈ cl(b)]
2
Por (101)
Por hipótesis: a ∼ b
Por T (97)
Por (101)
Se justifica al final (∗)
Por (61)
En lo que sigue se utilizará reiteradamente el siguiente argumento: Una demostración simple es de la forma: h ⇒ t
donde h es la hipótesis y t es la tesis. Las hipótesis son proposiciones que se asumen como verdaderas de manera que
la tesis sólo podrá ser verdadera si el argumento de la demostración simple consta de reglas de inferencia válidas. Por
tanto, dentro de este argumento, para una proposición cualquiera p, la expresión p ⇒ p ∧ h, será una equivalencia,
p
V
F
h
V
V
p∧h
V
F
25
p⇔p∧h
V
V
P4 : a 6∼ b ⇒ cl(a) 6= cl(b).
De acuerdo con (80), cl(a) 6= cl(b) ⇔ ∃x ∈ A : (x ∈ cl(a) ∧ x ∈
/ cl(b)) ∨ (x ∈
/ cl(a) ∧ x ∈ cl(b)). Y
atendiendo a la inferencia (12) se debe probar ambas componentes de la disyunción. Partimos,
como en la anterior, del hecho de que las clases de equivalencia son no vacı́as,
h cl(a) 6= ∅
h cl(b) 6= ∅
⇔ ∃x ∈ A : x ∈ cl(a)
⇔ x∼a
⇔ x ∼ a ∧ a 6∼ b
⇒ x∼
6 b
⇔ x∈
/ cl(b) i
⇔ [∃x ∈ A : x ∈ cl(a)] ∧ x ∈
/ cl(b)
⇔ ∃x ∈ A : [x ∈ cl(a) ∧ x ∈
/ cl(b)]
Por (101)
Por hipótesis: a 6∼ b
Por T ′ (98)
Por (101)
Se justifica al final (∗)
Por (61)
⇔ ∃x ∈ A : x ∈ cl(b)
⇔ x∼b
⇔ x ∼ b ∧ a 6∼ b
⇒ x∼
6 a
⇔ x∈
/ cl(a) i
⇔ [∃x ∈ A : x ∈ cl(b)] ∧ x ∈
/ cl(a)
⇔ ∃x ∈ A : [x ∈
/ cl(a) ∧ x ∈ cl(b)]
Por (101)
Por hipótesis: a 6∼ b
Por T ′ (98)
Por (101)
Se justifica al final (∗)
Por (61)
(∗) Se justifica esta parte por lo siguiente. Sea p = [cl(b) 6= ∅], o bien, por ser equivalentes,
p = [∃x ∈ A : x ∈ cl(b)], y sea q = [x ∈
/ cl(a)]. Como cualesquiera proposiciones, tenemos una
coimplicación del tipo, h p ⇒ q i ⇔ (p ∧ q), la cual no es tautológica ya que si p es falso entonces
dicha coimplicación es falsa . Sin embargo, para el lugar de p estamos partiendo de una afirmación
que es siempre verdadera en el contexto de los términos manejados en la demostración. Esto es,
nuestro punto de partida es un conjunto A 6= ∅ sobre el cual tenemos definida una relación de
equivalencia ∼. Se debe entender que A es un conjunto con varios elementos, como lo estipula
el enunciado del teorema, de manera que podamos establecer las propiedades de simetrı́a y
transitividad. La misma propiedad reflexiva nos asegura que las clases de equivalencia son no
vacı́as sin lugar a dudas. Por tanto, la proposición p utilizada arriba, esto es, cl(b) 6= ∅, tiene
carácter tautológico en nuestro contexto. Es decir, lo que tenemos en el paso (∗) de las tres
pruebas de arriba es una coimplicación del tipo, (1 ⇒ q) ⇔ (1 ∧ q), la cual sı́ es tautológica,
1
V
V
q
V
F
1⇒q
V
F
1∧q
V
F
(1 ⇒ q) ⇔ (1 ∧ q)
V
V
Referencias
[1] Marques P., Manuel y Puertas D., José Francisco.
Matemática Universitaria. Álgebra.
Editorial Bello. Valencia (España), 1973
[2] Orellana Ch., Mauricio, Rivas A., Sergio y Monagas Oswaldo.
Álgebra I. Tomo I.
Registro de Publicaciones de la U.N.A. Caracas, 1980
26