MA-150 PRINCIPIOS DE MATEM´ATICA. EJERCICIOS

MA-150 PRINCIPIOS DE MATEMÁTICA.
EJERCICIOS ADICIONALES DE LÓGICA.
1. Sea F la siguiente proposición:
∀a, b, c ∈ R (a 6= 0 ⇒ [(∃x ∈ R (ax2 + bx + c = 0)) ⇔ b2 − 4ac ≥ 0])
Escriba una proposición equivalente a F, que comience con el sı́mbolo de negación,
y en donde este sı́mbolo solo aparezca una vez.
2. Considere la siguiente afirmación: “Para cualquier a, a es diferente de 0 si y solamente si la ecuación ax + b = 0 posee solución cualquiera que sea b”. Exprésela en
lenguaje matemático por una proposición que comience con el sı́mbolo de negación
seguido por un cuantificador, y en la que el sı́mbolo de negación aparezca solamente
una vez.
3. Sea F (x) la siguiente expresión:
∀y ∈ N (x + y > 2) ⇒ [ ∃z ∈ N (x + z = 10) ⇒ x2 + 30 ≤ 13x ]
Encuentre una expresión equivalente a ¬F (x) en la que no aparezca el sı́mbolo de
negación.
4. Demuestre la siguiente equivalencia:
∀x(∃yF (x, y) ⇒ ∀zG(x, z)) ∼ ¬∃x(∃z¬G(x, z) ∧ ∃yF (x, y)).
5. Considere la siguiente proposición:
Existe un número natural tal que su triple más uno es menor o igual que 61, y tal
que sumado con cualquier otro número natural se obtiene un resultado diferente de
20.
(a) Exprésela en lenguaje matemático por una proposición que comience con el
sı́mbolo de negación y adonde este sı́mbolo no aparezca más que una vez.
(b) Demuestre por contradicción que esta proposición es falsa.
6. Demuestre la siguiente equivalencia:
¬∃x (F (x) ⇔ G(x)) ∼ ∀x ((F (x) ∧ ¬G(x)) ∨ (¬F (x) ∧ G(x)))
7. Demuestre la siguiente proposición por contradicción:
∀x ∈ N (7x + 4 < 40 ∨ ∀y ∈ N (x + y 6= 5))
8. Considere la siguiente proposición F:
∀x ∈ N [3x < 22 ⇔ ∃y ∈ N (x2 + y + 1 ≤ 50)]
(a) Escriba una proposición G equivalente a la negación de F, en donde no aparezca
el sı́mbolo de negación.
(b) Obtenga una contradicción a partir del supuesto de que G es verdadera.
9. Considere la siguiente proposición:
Sea cual sea el número natural, si su doble más uno es estrictamente mayor que 7,
entonces su cuadrado es mayor o igual a 13.
Exprésela en lenguaje matemático por una proposición que comience con el sı́mbolo
de negación y adonde este sı́mbolo no aparezca más que una vez.
10. Use la contrapositiva para demostrar la siguiente proposición:
∀x ∈ N (x3 > 30 ⇒ ∀y ∈ N (7x + y + 3 6= 30)).