guia1_logica

Universidad Técnica Federico Santa Marı́a
Departamento de Matemática
Campus Santiago
PROBLEMAS DE LÓGICA
1. Demuestre las tautologı́as o teoremas lógicos:
(a) {[p ⇒∼ (q ⇒ p)] ∧ [(p ⇒ q) ⇒ q]} ⇐⇒∼ (p ∨ q)
(b) {[(∼ p ∨ q) ∧ (∼ q ∨ r)] ∧ (p∧ ∼ r)} ⇐⇒ C
(c) {[(p ∧ q) ⇒ r] ∧ [(∼ r ∨ s)∧ ∼ s]} ⇒ (∼ p∨ ∼ q)
(d) p ∧ q ⇒ p
(e) [(p ⇐⇒ q) ∧ (q ⇐⇒ r)] ⇒ (p ⇐⇒ r)
(f) [p ∧ (p ⇒ q)] ⇒ q
(g) (∼ p ⇒ p) ⇒ p
(h) (p∧ ∼ q ⇒ q) ⇒ (p ⇒ q)
(i) (p ∧ q) ⇒ [(p ∨ q) ⇐⇒ (p ⇐⇒ q)]
2. Demuestre sin usar tablas de verdad.
(a) ∼ (p ⇐⇒ q) ⇐⇒ (p ⇐⇒∼ q)
(b) ∼ [(p∧ ∼ q) ∨ (∼ p ∧ q)] ⇐⇒ (p ⇐⇒ q)
(c) [((∼ p ∨ q) ⇒ r) ∧ (r ⇒ (s ∨ t)) ∧ (∼ s∧ ∼ u) ∧ (∼ u ⇒∼ t)] ⇒ p
3. Dé una expresión lógica que sólo contenga a los conectivos ∼, ∨, ∧ de las expresiones:
(a) [(p ∧ q) ⇒ (p ∨ q)] ⇐⇒ (p ⇐⇒ q)
(b) (∼ p ⇐⇒ q) ⇒ (p ∧ q)
(c) (p ⇐⇒ q ⇐⇒ r)
(d) [(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ s)] ⇒ (p ⇒ s)
4. Niegue y simplifique:
(a) p ∧ (q ∨ r) ∧ (∼ p∨ ∼ q ∨ r)
(b) p ∧ q ⇒ r
(c) p ⇒ (∼ q ∧ r)
5. Convierta el siguiente argumento en notación lógica y luego determine su valor de
verdad: ”Si estudio leyes entonces ganaré mucho dinero. Si estudio arqueologı́a
viajaré mucho. Si gano mucho dinero o viajo mucho no me decepciono. Por lo
tanto, si estoy decepcionado no estudié leyes ni arqueologı́a”.
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6. (a) Si p ∧ q es Verdadera y q ∧ r es Falsa. Determinar el valor de verdad de
(r ∨ q) ⇒ (r ∧ q).
(b) Determinar el valor de verdad de las proposiciones p, q y r, si se sabe que la
proposición compuesta:
{[(p ⇐⇒ q) ⇐⇒ (p ∨ r)]∧ ∼ [p ⇒ (q ∧ r)]}
es Verdadera.
7. Determine la mejor conclusión posible usando todas las hipótesis:
(a) Una persona que no es patriota nunca vota en una elección presidencial.
(b) Las serpientes no tienen emociones.
(c) Alguien sin emociones no puede ser patriota.
8. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
(a) Considere A = {−1, 0, 1}
∀x ∈ A ∃y ∈ A :
x2 + y 2 ≥ xy ⇒ ∃x ∈ A ∃y ∈ A :
(b) Suponga que p ∧ q ⇒ r es Falso:
(∼ p∨ ∼ q) ⇐⇒∼ (r ∨ p)
(c) Considere n un número natural: n3 − 1 es primo ⇒ n = 2
(d) ∀n ∈ N : n2 + n + 1 es un número primo
9. Pruebe que son tautologı́as:
(a) (p ⇒ q ∧ r) ⇒ (p ⇒ q)
(b) (p ⇒ q) ⇒ (p ∧ r ⇒ q ∧ r)
(c) [(p ∨ r) ⇒ q] ⇒ (p ⇒ q)
(d) (p ∧ q) ⇒∼ (∼ p∧ ∼ q)
(e) (p ∨ (p ∧ q)) ⇐⇒ p
10. Simplificar las proposiciones:
(a) p ∧ (q∧ ∼ p)
(b) (p ∧ q) ∨ q
(c) (p ⇒ q)∨ ∼ p
(d) (q ⇒ p) ⇒ p
(e) p∧ ∼ (q ⇒ p)
2
xy + y 2 + x ≥ 5
(f) [p ∨ (q ⇒∼ p)] ⇒∼ q
(g) (p ⇐⇒∼ q) ∨ p
(h) (∼ p ⇐⇒ q)∨ ∼ q
(i) ∼ p ⇒ [q ⇒ (p ⇒∼ q)]
(j) (∼ p ⇐⇒ q) ∧ p
(k) ∼ (p ⇒ q)∨ ∼ q
(l) ∼ [(∼ p ⇒ q)∧ ∼ (p ∨ q)]
(m) ∼ p ⇒∼ (∼ q ∨ p)
11. Demostrar las siguientes equivalencias:
(a) p ⇒ (q ⇒ r) ≡ (p ∧ q) ⇒ r
(b) p ⇒ q ∧ r ≡ (p ⇒ q) ∧ (p ⇒ r)
(c) p ∧ q ⇒ r ≡ (p ⇒ r) ∨ (q ⇒ r)
(d) [(p ⇒ q) ∧ (p ⇒ s)] ∨ [(r ⇒ q) ∧ (r ⇒ s)] ≡ (p ∧ r) ⇒ (q ∧ s)
(e) (p∧ ∼ q) ⇒ (∼ q ⇒∼ p) ≡ (p ⇒ q)
(f) [(p ⇒ q) ⇒ (q ⇒ p)] ≡ [(p∧ ∼ q)∨ ∼ (q∧ ∼ p)]
(g) [p ∧ r) ⇒∼ q] ≡ [(p ∧ q) ⇒∼ r]
12. Construya la tabla de la verdad de las siguientes proposiciones:
(a) (p∨ ∼ q) ∧ (∼ p ∨ q)
(b) p ∧ [(q ∨ r) ∧ (∼ q∧ ∼ r)]
(c) [p ∨ (∼ q∧ ∼ r)] ∨ [(q∧ ∼ p) ∨ (r∧ ∼ q)]
(d) [(p ⇒ q) ⇒ (q ⇒ p)] ⇒ (p∨ ∼ q)
13. Si p es V, q es V y r es F. Hallar el valor de verdad de
[(p ⇒ q) ⇒ (∼ p ∧ q)] ∧ (r ⇒ q)
14. (a) Si q y r son proposiciones no equivalentes. Determine el valor de verdad de
la proposición:
[∼ (q ∨ r) ∧ (q ∧ r)] ⇒ [(p ∧ s) ∨ (∼ s ∨ q)]
(b) Si la proposición p ⇒ q es falsa. ¿ Cuál es el valor de verdad de la proposición
p ∨ (q ∧ r) ⇐⇒ (p ∨ r) ∧ q?
15. Se define p ↑ q por la siguiente tabla:
p
V
V
F
F
q p↑q
V
F
F
V
V
V
F
V
Demuestre que:
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(a) ∼ p ≡ p ↑ p
(b) p ∨ q ≡ (p ↑ q) ↑ (p ↑ q)
(c) p ∧ q ≡ (p ↑ q) ↑ (q ↑ q)
16. Si Stoke City evita las lesiones ellos ganaran el campeonato. Ellos evitan las
lesiones o el árbitro está comprado. Si el árbitro está comprado entonces la
hinchada no estará feliz. Pero la hinchada está feliz.
Dada la verdad de esas proposiciones, ¿ Stoke City será el campeón?
17. Convierta el siguiente argumento en notación lógica y entregue una demostración
formal: “Si mis cálculos son correctos y pago la cuenta de electricidad, me quedaré
sin dinero. Si no pago la cuenta de electricidad, me cortarán la corriente.Por lo
tanto, si no me he quedado sin dinero y no me han cortado la corriente, entonces
mis cálculos son incorrectos”.
18. Pruebe que el siguiente razonamiento es válido.
* Todas las cartas fechadas en esta habitación están escritas sobre papel azul.
* Ninguna está escrita con tinta negra, excepto aquellas escritas en tercera persona.
* No he archivado ninguna de las que puedo leer.
* Ninguna de las que están escritas en una hoja están sin fecha.
* Todas las que no están eliminadas están en tinta negra.
* Todas las escritas por Pérez empiezan con “Estimado señor”.
* Todas las que estan escritas en papel azul están archivadas.
* Ninguna de las que están escritas en más de una hoja están eliminadas.
* Ninguna de las que empiezan con “Estimado señor” están escritas en tercera
persona.
** Por lo tanto: No puedo leer ninguna de las cartas de Pérez.
Solución: Sean
p : la carta está fechada
q : la carta está escrita en papel azul
r : la carta está escrita con tinta negra
s : la carta está escrita en tercera persona
t : la carta está archivada
u : puedo leer la carta
v : la carta está escrita en una hoja
w : la carta está eliminada
x : la carta está escrita por Pérez
y : la carta empieza con “Estimado señor”
Simbólicamente el razonamiento anterior se expresa:
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(a) p ⇒ q
(b) ∼ s ⇒∼ r
(c) u ⇒∼ t
(d) v ⇒ p
(e) ∼ w ⇒ r
(f) x ⇒ y
(g) q ⇒ t
(h) ∼ v ⇒∼ w
(i) y ⇒∼ s
19. Considere el siguiente razonamiento:
* Si el Sr. Ramirez es honesto y capaz, entonces tendrá un puesto importante en
su empresa.
* El Sr. Ramirez es el sub-gerente de su empresa.
** Por lo tanto, el Sr. Ramirez es honesto y capaz.
Demuestre que tal razonamiento es incorrecto.
20. En los siguientes problemas, determine la validez de los razonamientos:
(a) Si Juan bebe cerveza, tiene al menos 18 años.
Juan no bebe cerveza.
Por lo tanto, Juan no tiene aún 18 años.
(b) Si las niñas son rubias, entonces son populares entre los niños.
Las niñas feas no son populares entre los niños.
Las niñas intelectuales son feas.
Por lo tanto, las niñas rubias no son intelectuales.
(c) Si estudio entonces no reprobaré este curso.
Si no juego a los naipes muy seguido, entonces estudiaré.
Reprobé este curso.
Por lo tanto, jugué muy seguido a los naipes.
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