(PROBLEMAS_DE_SIST._DE_PARTICULAS_CUERPO_RIGIDO).

Problemas de
sistemas de
partículas y cuerpo
rígido
Dos personas de masa m cada una, se
encuentran paradas en los extremos opuestos de
un bote de longitud d y masa 3m que se encuentra
en reposo sobre un líquido sin fricción, tal como se
muestra en la figura. Las personas caminan una
hacia la otra con rapidez constante y se encuentran
a d/4 del extremo izquierdo del bote.
a) Si la persona de la izquierda se mueve con
velocidad v0 respecto al bote, ¿cuál es la velocidad
que tiene la otra persona, respecto al bote?
b) ¿Cuál es la velocidad del bote, respecto a tierra,
durante el movimiento de ambas personas?
c) ¿Cuánto avanzó el bote hasta el momento del
encuentro?
a) Como el tiempo para
encontrase ambas personas es
el mismo, entonces
t1 = t 2
d
4=
v0
3d
4 ⇒ v = 3 v Hacia la izquierda
1
0
v1
b) Por conservación de la cantidad de movimiento
r
r
p antes = p después
r
p antes = 0
r
r
r
r
p después = m (v0 + vb )i + m(− 3v0 + vb )i + 3mvb i = 0
2 r
r
⇒ vb = v 0 i m / s
5
c) El tiempo que caminaron ambas personas es:
⇒t =
d
4v0
Por consiguiente el bote se habrá movido :
 2  d
x = vb t =  v0 
 5  4v0
 d
 =
 10
• En un parque de diversiones dos amigos juegan con los
autitos “chocones”. En cierto momento las direcciones
de ambos vehículos forman un ángulo α . Un auto se
dirige con velocidad v1 y el otro con velocidad v2 de tal
modo que chocan.
• Después del choque el auto 1 sale con velocidad v’1
cuya dirección forma un ángulo β , tal como se
indica en la figura.
a) Hallar la velocidad del auto 1 luego del impacto.
b) Determinar la posición del centro de masa y las
ecuaciones paramétricas del mismo.
m1 = m2 =200 kg , v1 = 3m/s , v2 = 1m/s ,
v’1 = 2m/s, α = 53º , β = 37º , d = 3m
a) Empleando la conservación de la cantidad de
movimiento:
r
r
p antes = p después
r
r
r
r
m1v1 + m2 v2 = m1v1' + m2 v 2'
r
r
vv1 = 3 i
r
r
r
v2 = (1) cos 53° i + (1) cos 53° j
r
r
= 1,6 i + 1,2 j
Re emplazando
r
r
r
r
v r
3 i + 0,6 i + 0,8 j = 1,6 i + 1,2 j + v2'
r
r
r
vv ' = 2 i − 0,4 j
2
⇒ v 2' = 2 2 + 0,4 2
v2' = 2,04 m / s
tg γ =
−2
= −5 ⇒ γ = −79°
0,4
b) Para determinar la posición del CM es necesario
conocer la posición inicial de m2:
Al emplear ambas masas el mismo tiempo para
colisiona, entonces:
d
3m
t= =
= 1s
v1 3m / s
La posición inicial para m2 es:
x 2 = v2 x t = (−0,6)(1) = −0,6m
y 2 = v 2 y t = (−0,8)(1) = −0,8m
Posición inicial de m1:
x1 = −3m, y1 = 0
Luego el CM viene dado por:
xCM
x1m1 + x 2 m2
=
m1 + m2
yCM
y1m1 + y 2 m2
,
=
m1 + m2
siendo m1 = m2 = 200 kg
⇒ xCM =
1
(x1 + x2 ) yCM = 1 ( y1 + y 2 )
2
2
Antes del choque
x1 = −3 + 3t , y1 = 0
x 2 = −0,6 + 0,6 t , y 2 = −0,8 + 0,8 t
⇒ xCM = −1,8 + 1,8t , yCM = −0,4 + 0,4 t
Después del choque
x1 = 1,6(t − 1), y1 = 1,2(t − 1)
x 2 = 2(t − 1), y 2 = −0,4(t − 1)
⇒ xCM = −1,8(t − 1), yCM = 0,4(t − 1)
Tres partículas de igual masa m, unidas por barras
rígidas de largo L y masa despreciable, están
obligadas a moverse sobre los ejes tal
como lo muestra la figura. Si la partícula de la
derecha tiene la velocidad v = v0ˆı , determine la
velocidad del centro de masa, el momento angular
del sistema respecto del origen O.
Si θ indica el ángulo que la barra forma con la vertical,
tenemos que:
x = L sin θ,
y = −L cos θ,
de donde derivando
v x = Lω cos θ = v0,
v y = Lω sen θ = L sen θ v0 /L cos θ
= v0 tan θ.
Para la velocidad del CM:
r
vCM =
r
vCM
r
vCM
r
m
v
∑ ii
i
,
M
r
r
2mv0 i + mv0 tan θ j
=
3m
r
r
1
= (2v0 i + v0 tan θ j )
3
Vector posición del CM:
r
rCM =
r
rCM
r
m
x
∑ ii
i
,
M
r
r
r
mL sen θ i + m( L + L sen θ ) i − mL cos θ j
=
3m
Para el momentum angular del CM:
Debemos considerar que:
r
L0 = 0, porque las velocidades son paralelas a los vectores
de posición.
Luego :
r
r
r
LCM = M rCM x vCM
r
r
 mL senθ i + m( L + L senθ ) i − mL cosθ
= 3m
3m

r
senθ + 2 r
1
LCM = m L v0
k
3
cosθ
r
r
r
j  1
 x (2v0 i + v0 tan θ j )

 3