10 Cuerpos Rígidos Rototraslación

Física I
Apuntes complementarios
al libro de texto
CUERPO RÍGIDO
ROTOTRASLACIÓN
Autor : Dr. Jorge O. Ratto
Movimiento de traslación
F=ma
m
K tras
=
1
M
2
2
vcm
Movimiento de rotación
I
M0
Krot =
=
1
2
I0 α
Iω
2
Movimiento de roto - traslación
F=ma
M0
K=
1
M
2
=
I0 α
1
vcm + I ωcm 2
2
2
En general , no tienen vinculación entre sí .
ROTO -TRASLACIÓN
sin
DESLIZAMIENTO
y´
y
y ′i
yi
ri
ycm
•
•
• mi
ri′ x ′i
h
xcm
xi
x´
•
•
De la figura se sigue que , para el punto i-ésimo del cuerpo rígido
vale que :
ri = h + ri′
Derivando en ambos miembros respecto del tiempo :
vi = v CM + vi′
velocidad de la partícula i-ésima, medida desde un sistema fijo al CM
• Ahora , el único movimiento que los puntos del cuerpo rígido
pueden tener respecto del centro de masa , es un movimiento
de rotación alrededor del mismo.
vi = v CM + ω × ri′
B
•
•
vCM•
•
•
vCM
•
A
vCM
vCM
vCM
vCM
ω×r
B
B
rB
⊗
ω×r
A
rA
A
B
v cm
•
v cm
B
+
v cm
A
ω rB
rB
•
ω rA
Traslación pura
rA
A
rotación pura
ROTO-TRASLACIÓN
con deslizamiento
B
•
A
v cm
con deslizamiento
sin deslizamiento
B
vB
B
v
B
vB
v cm
•
v
•
fc
vA
v A = v cm − ωrA < 0
cm
A
vA = 0
A
vA
fc
v A = v cm − ωrA > 0
Ejemplo:en el instante t = 0 la velocidad de la esfera es v0 = 3 m / s
Calcular : a) a CM ; b) α ; c) cuánto tarda en rototrasladar
sin deslizamiento.
Datos : r = 4 cm ; µc = 0, 2
•
x
y
f
c
•A
vCM
vCM
iˆ
a)
{
{
Σ Fy = 0
a CM = − µc g
cte
Σ Fx = m aCM
− f c = m a CM
N = mg
a CM = − 0 , 2 . 10 m / s = − 2 m / s
2
b)
MCM = I CM α
•
2
f c r kˆ = I CM α
De la tabla del Tipler ( pág .262 ) :
2
I CM = m r
2
5
5 µc
5 fc
g k̂ = 1 2 5 r a d / s 2 k̂
k̂ =
α =
2 r
2 mr
cte
c)
•
Como
a CM = c t e
•
Como
α = ct e
v CM = v CM ( 0 ) + a . ( t − t 0 )
v CM = 3 − µ c g . t
(1)
ω = ω ( 0) +α . ( t − t 0 )
ω =
t = tR
5
µc g
2
r
Cuando
•
Reemplazando ( 1 ) y ( 2 ) en ( 3 ) :
tR =
(2)
v CM (t R ) = ω (t R ) . r
•
:
. t
6
7 µC g
= 0, 428 s
(3)
•
Veremos ahora un ejemplo en el cual debe existir una fuerza de
roce estática, para que el cuerpo pueda roto- trasladarse sin deslizar .
Ejemplo : se deja caer una esfera maciza de masa m desde una altura h
por un plano inclinado que forma un ángulo β.
Suponiendo que roto - traslada sin deslizar desde t = 0 ,
Calcular : a)
a CM
;
b)
v CM
al pie del plano inclinado
c) el módulo de la fuerza de roce estática .
Datos :
β = 40º ; h ; m
Dato adicional :
µe = 0 , 3
ω
v
x
y
•
r
mg β
h
f
β
N
a)
{
m g s e n β − f e = m a CM
MCM = I CM α
•
•
{
Σ Fx = m aCM
Como no desliza :
Σ Fy = 0
N = m g cos β
r fe = ICM α
(1)
a =α r
(2)
v CM = ω . r
Reemplazando ( 2 ) en ( 1 ) , queda el siguiente sistema :
m g s e n β − f e = m a CM
N = m g cos β
ICM
a
fe =
2
r
(3)
(4)
(5)
•
m g sen β −
Con ( 5 ) en ( 3 ) :
a CM =
g sen β
1+
mr
7
r
2
a CM = m a CM
g s e n β < a partícula = g s e n β
2
a CM = c t e
b ) Como
v
v CM =
I CM
=
5
I CM
2
2
CM
=v
2
CM
a CM x =
( 0) + 2
2 g h
1+
I CM
mr
2
a
=
.
(
x
−
x
)
CM
0
10
7
g h<
2gh
partícula
c)
•
Con la expresión de la aceleración en ( 5 ) obtenemos :
fe =
•
ICM
r
2
•
5
7
g sen β =
2
7
m g sen β
Obsérvese que no se utilizó : fe = µe N
que corresponde al máximo valor de la fuerza de roce estática.
fe =
2
7
?
fe = µe N
?
7
m g sen β <
tg β <
0, 8 3 9
<
2
µe
1,05