Algebra Matricial: Inversa Lateral Derecha de una Matriz

Algebra
Matricial:
Inversa
Lateral
Derecha de
una Matriz
Departamento
de
Matemáticas
Inversa
Derecha
Inversa Lateral Derecha
Teorema
Sea A una matriz m × n: Existe una matriz X tal que
A · X = Im si y sólo si el rango de A es m. En caso de que X
exista, se le llamará una inversa lateral derecha de la matriz A.
Demostración
Sabemos que C (A) ⊆ Rm y que Rm = C (Im ). Si el rango de A
es m, entonces C (A) = Rm = C (Im ). En particular,
C (Im ) ⊆ C (A), y por lo tanto, existe X tal que A · X = Im .
Por otro lado, si existe X tal que A · X = Im , entonces
C (Im ) ⊆ C (A) y por lo tanto, m ≤ dim (C (A)) ≤ m. Por
tanto, dim (C (A)) = m y por lo tanto el rango de A es m.
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Observe que una inversa derecha de A se obtiene resolviendo la
ecuación A · X = Im . Y para ello, podemos reducir la matriz
aumentada [A |Im ]:
• Si en esta reducida hay un renglón de ceros a la izquierda,
la matriz A tiene rango menor que m y por lo tanto, no
tiene inversa lateral derecha.
• Si por otro lado, todo renglón a la izquierda tiene pivote;
podemos calcular una inversa derecha tomando la parte
derecha de la reducida de la aumentada e insertando
renglones de ceros en la posición de las variables libres, si
hubieran.
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Ejemplo del cálculo de una inversa lateral derecha:
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