La sección rectangular de la figura, de 40x20 cm de un material

La sección rectangular de la figura, de 40x20 cm de un material caracterizado
por E = 200 GP a , ν = 0,30 y σe = 200 MP a está sometida a los siguientes
esfuerzos, según las orientaciones indicadas en la figura: MZ = 3 mt, Nx = 3 t,
Vy = 0,25 t
1. Determine y represente el tensor de tensiones en la sección indicada.
2. Para un punto situado a 10 cm de la fibra más comprimida determine los tensores desviador y esférico de deformaciones, mediante el
paralelepı́pedo elemental.
3. ¿Existe, en ese punto, algún sistema de referencia para el que todas las
tensiones tangenciales sean nulas? En caso afirmativo, determine ese
sistema , ası́ como el tensor de deformaciones asociado.
4. Determine el incremento sufrido por la superficie.
Examen de septiembre de 2008
1
Las componentes intrı́nsecas de los vectores tensión asociados a sendos
planos en un determinado punto (P) de un dominio elástico son las indicadas
en la figura ( no existen componentes perpendiculares al plano del dibujo ).
1. Determine el ángulo que forman los planos.
2. Determine las tensiones principales y represente en el plano xy las direcciones principales.
3. ¿Existen direcciones tales que las componentes intrı́nsecas normales de
los vectores tensión asociados sean nulas? En caso afirmativo, determine
cuáles son.
4. Represente en el plano xy las direcciones de tensión tangencial máxima.
Examen noviembre de 2007
2
La laja ( sólido que se caracteriza por que una dimensión es mucho menor
que las otras dos y las fuerzas actúan en el plano perpendicular a la sección
menor ) de dimensiones 2a x a x a/10 de la figura está sometida al tensor de
tensiones:
[σ] = k.
0
6.x
6.x −6.y
!
Se pide, en función de k:
1. Obtener analı́tica y gráficamente las fuerzas volumétricas y superficiales
que actúan sobre el sólido.
2. Si se coloca una galga extensométrica, elemento que se utiliza para
medir deformaciones longitudinales unitarias en la dirección de la galga,
en el punto A y según la dirección representada en la figura, el valor
de la medida que se obtendrı́a en la misma.
3. Tensiones tangencial y normal que se obtendrı́a en el punto A según el
plano perpendicular a la dirección n̄.
4. Incremento total de volumen que sufre el sólido.
5. Valor de k para que no plastifique ningún punto del sólido según el
criterio de Von-Mises.
kg
6
Datos: σf = 2850 cm
2 , E = 2,1 • 10
11 de junio de 2007
3
kg
,
cm2
ν = 0,25, a = 12 cm Examen
Se nos da el tensor de tensiones de un sólido y un punto P del mismo :


4x + 3y
−6(x + y + z) y + z

10(y − z)
3x 
[σ] =  −6(x + y + z)

y+z
3x
5z
y el punto P(0,1,-1)
1. Calcular las fuerzas de volumen.
2. Coeficiente de seguridad n del punto P por el criterio de Von Mises,
siendo el lı́mite elástico de 28.5 MPa.
3. Vectores principales de P.
4. Tensor esférico y desviador en un punto P.
5. Interpretar las deformaciones que experimenta el sólido y si es adecuado
haber utilizado el criterio de Von Mises en el apartado b, a partir de
los tensores calculados anteriormente.
[σ] en MP a y P en metros
E = 2,1 • 105 MP a
ν = 0,25
Examen de septiembre de 2007.
4
Para el estado tensional de la figura, obtener:
1. Plano y componentes intrı́nsecas del vector tensión tal que : τ = 2σn y
σn máxima.
2. Plano tal que τ = 2 y σn = 1.
3. Vector tensión asociado al plano α = 30◦ , β = 80◦
4. Plano y componentes intrı́nsecas del vector tensión asociado a una dirección con α = 30◦ y tal que el vector tensión y la normal al plano
forman 45◦ .
Examen de febrero de 1998.
5
Un dominio con forma de hexaedro de 2 metros de lado y propiedades
elásticas E = 200 GP a y ν = 0,25, está sometido a cierto estado de cargas
que provoca el siguiente campo de desplazamientos en milı́metros cuando las
coordenadas se miden en milı́metros:
u(x, y, z) = x(y + z)10−6
v(x, y, z) = 2y(x + z)10−6
w(x, y, z) = z(x + y)10−6
El sistema cartesiano utilizado tienen su origen en el centro del dominio
y los ejes paralelos a las aristas.
1. Obtenga el tensor de deformaciones.
2. Obtenga el tensor de tensiones.
3. En el punto de coordenadas x=0.5 m, y =-0.25 m y z= 0.5 m; obtenga
las tensiones principales ası́ como la dirección de máxima deformación.
4. Obtenga las tensiones intrı́nsecas normales sobre el plano definido por
los vértices BFHD ( cara vista según el dibujo ).
5. Obtenga la resultante de las fuerzas de volumen.
6. Obtenga el coeficiente de seguridad en el punto del apartado 3 si la
tensión de fluencia es de 700 MPa.
7. Obtenga el incremento de longitud de la lı́nea CF.
Datos:
E
2(1 + ν)
Eν
λ=
(1 + ν)(1 − 2ν)
Examen 12 de enero del 2008
G=
6
El dominio de la figura consiste en un tubo de sección circular con radio
interior ri , radio exterior re y altura h, realizado en un material con módulo
de elasticidad de 200 GPa y coeficiente de Poisson 0.3.
Las solicitaciones que actúan sobre el dominio de la figura imponen el
siguiente campo de desplazamientos:
ux = k1 (x + y) , uy = k2 (x + y) ; uz = k3 z
1. ¿Cúales son las solicitaciones sobre la superficie basal superior y sobre
la superficie interior?
2. ¿Qué valor debe tener k3 ( como función de k1 y k2 ) para que el dominio
esté sometido a un estado de tensión plana?
3. Para el valor de k3 obtenido arriba, y suponiendo k1 = k2 = k, determine el plano en el que se produce la tensión tangencial máxima.
4. De los planos cuya normal forman 60◦ con el eje z, determine aquel cuyo
vector tensión tiene su componente tangencial el triple de la normal.
Examen de junio de 2007
7
Un sólido de forma cúbica con 1 m de arista presenta el siguiente tensor
de deformación:
2kx
k 0z 2 + 2k 0
 0 2
2ky
0 
[] =  k z + 2k

0
0
2k


1. Comprobar la compatibilidad
2. Determinar el campo de desplazamiento.
El tensor de tensiones en un punto de un sólido, respecto a un sistema
cartesiano ortogonal xyz, es:


2 4 3


[σ] =  4 2 0 
3 0 2
Se pide:
1. Tensiones principales.
2. Matriz de cambio del sistema xyz al sistema de las direcciones principales 1,2,3.
3. Determinar gráficamente , mediante el diagrama de Mohr, los ángulos
que las direcciones principales forman con los ejes coordenados ( utilice
la escala: 1 MPa = 1cm ).
8
Sobre la superficie libre de un sólido deformado se disponen 3 bandas
extensométricas con la disposición que se indica en la figura. Las lecturas
fueron:
a = 600,10−6 b = 300,10−6 c = 240,10−6 Se pide:
1. Obtener el tensor de deformación en dicho punto del sólido.
2. Suponiendo que el sólido tiene un comportamiento elástico lineal e
isótropo, obtener las componentes del tensor de tensión.
3. Obtener el ángulo θ que forma la dirección principal mayor tanto de
tensión como de deformación.
4. Calcular la deformación volumétrica en dicho punto.
Datos: E = 200000 MP a , ν = 0,3
9
Un dominio con forma rectangular plano de 4 y 1 metros de lado y espesor
despreciable, y propiedades elásticas E = 200 GP a y ν = 0,3, está sometido
a cierto estado de cargas que provoca el siguiente tensor de tensiones en GPa
cuando las coordenadas se miden en metros:
[σ] =
"
ax + by
a
a
ay + bx
#
Se sabe que el punto D no tiene desplazamiento en Y. El punto C no tiene
1
desplazamiento en X. El punto B tiene desplazamiento en X: u = 0,04• 200
m
1
, y en Y: v = 0,005 • 200 m.
1. Obtenga el tensor de deformaciones que cumpla con las condiciones de
contorno.
2. Suponiendo que en el apartado anterior se obtiene que a = 50 • 10−4 ,
y que b = 20 • 10−4 , calcule:
a) el incremento de la longitud de la lı́nea AB ,
b) la tensión tangencial máxima en B ,
c) el incremento de superficie del cuerpo ,
d ) fuerzas exteriores de contorno en el lado CB ,
e) fuerzas de volumen.
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